5 POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA
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5. POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA EN ESTA UNIDAD VAS A APRENDER POLÍGONOS RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO LÍNEA POLIGONAL POLÍGONOS TRIÁNGULOS - Clasificación. - Puntos notables. - Recta de Euler. - Teorema de Pitágoras. CUADRILÁTEROS - Clasificación. - Elementos. - Clasificación. - Perímetro. - Medida de los ángulos. - Número de diagonales. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO - Elementos de la circunferencia. - Longitud de la circunferencia. - Posiciones relativas de la recta y la circunferencia y de dos circunferencias. - Elementos del círculo. Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 93 PARA EMPEZAR 1. Dos ángulos de un triángulo miden, respectivamente, 50º y 80º. ¿Cuánto medirá el tercero? 2. Una compañera me dice que ha dibujado un triángulo obtusángulo y que dos de sus ángulos miden 42º y 71º. Pienso que eso no es posible. Ayúdame a razonarle el por qué. 3. ¿Qué longitud tiene una circunferencia de 2 cm de radio? 4. La medida de dos lados de un triángulo es 6 cm y 7 cm. Sabiendo que su perímetro es 17 cm, ¿cuánto medirá el lado que falta? PARA RECORDAR Recta: Es la línea más corta que se puede imaginar entre dos puntos. Semirrecta: Es cada una de las dos porciones en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Segmento: Es la parte de la recta comprendida entre dos puntos. Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dos rectas en el plano pueden tener las siguientes posiciones relativas: Paralelas: No tiene ningún punto en común. Secantes: Tienen un solo punto en común. Si forman un ángulo de 90º entonces se les llama perpendiculares. Coincidentes: Tienen todos sus puntos comunes. * Indica qué posición relativa tienen las siguientes rectas: Polígonos y Circunferencia - 94 Colegio Vizcaya Línea poligonal: Unión de varios segmentos por sus extremos. Línea poligonal abierta: Es una línea poligonal en la que el principio no coincide con el final. Línea poligonal cerrada: Es una línea poligonal en la que el principio coincide con el final. Polígono: Es la porción del plano contenida en una línea poligonal cerrada. Polígono regular: Es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. Polígono irregular: Es el que tiene sus lados y/o sus ángulos desiguales. Perímetro: Suma de las longitudes de los lados de un polígono. * En el siguiente esquema faltan las definiciones y los ejemplos. Coloca las definiciones y los dibujos de la página siguiente en su lugar correspondiente. Elementos Lados ( _____ , _____ ) Vértices ( _____ , _____ ) Ángulos ( ___ , ___ ) Ángulo central ( ___ , ___ ) Ángulo interior ( ___ , ___ ) Ángulo exterior ( ___ , ___ ) Diagonales ( _____ , _____ ) Además si es regular Radio ( _____ , _____ ) Apotema ( _____ , _____ ) Clasificación Cóncavo ( _____ , _____ ) Convexo ( _____ , _____ ) POLÍGONOS Según el número de lados Colegio Vizcaya Triángulos ( _____ , _____ ) Cuadriláteros ( _____ , _____ ) Pentágonos ( _____ , _____ ) Hexágonos ( _____ , _____ ) Heptágonos ( _____ , _____ ) Octógonos ( _____ , _____ ) Eneágono ( _____ , _____ ) Decágono ( _____ , _____ ) Undecágono ( _____ , _____ ) Dodecágono ( _____ , _____ ) Pentadecágono ( _____ , _____ ) Icoságono ( _____ , _____ ) etc. Polígonos y Circunferencia - 95 Definiciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Cada uno de los segmentos que lo limitan. Segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Todas sus diagonales quedan dentro de él. Polígono de 4 lados. El formado por dos radios consecutivos. Polígono de 7 lados. Segmento que une dos vértices no consecutivos. Dibujos: Polígono de 20 lados. Segmento que une el centro del 1 2 3 polígono con el punto medio de un lado. j) Polígono de 3 lados. 6 7 8 9 k) Polígono de 12 lados. l) Alguna de sus diagonales queda fuera de él. 12 13 14 15 m) Polígono de 9 lados. n) El formado por dos lados consecutivos. 18 19 20 21 o) Polígono de 5 lados. p) Puntos en común de dos lados contiguos. q) Polígono de 8 lados. r) Polígono de 6 lados. s) Porción del plano limitada por dos lados consecutivos. t) Polígono de 11 lados. u) El formado por un lado y la prolongación del lado contiguo. v) Polígono de 15 lados. w) Polígono de 10 lados. 4 5 10 11 16 17 22 23 PARA APRENDER MEDIDA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO Observa el siguiente polígono y contesta a las siguientes preguntas: 1) ¿Cuántos lados tiene este polígono? 2) ¿Cuántos ángulos centrales, interiores y exteriores? 3) ¿Cuánto miden todos los ángulos centrales juntos? ¿Y cada uno de ellos por separado? 4) ¿Cuánto miden juntos un ángulo interior junto con su correspondiente exterior? 5) ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos exteriores? 6) ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos interiores? Polígonos y Circunferencia - 96 Colegio Vizcaya CÁLCULO DEL NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLÍGONO 1) ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo? ¿Cuántas diagonales salen de cada vértice? 3) ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono? ¿Cuántas diagonales salen de cada vértice? 2) ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado? ¿Cuántas diagonales salen de cada vértice? 4) ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono? ¿Cuántas diagonales salen de cada vértice? Deduce una fórmula con la que se pueda calcular el número de diagonales de un polígono de n lados. PARA PRACTICAR 5. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? 6. ¿Cuántas diagonales tiene un eneágono? ¿Y un icoságono? 7. ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado de 10 cm de lado? 8. ¿Si tres ángulos de un cuadrilátero miden 95º, 100º y 105º, ¿cuánto mide el cuarto? 9. Construye un triángulo equilátero y traza en él un radio, una apotema, un ángulo central y un ángulo exterior. 10. Si el ángulo interior de un polígono regular mide 120º, ¿cuánto mide su ángulo exterior? ¿De qué polígono se trata? Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 97 PARA RECORDAR Mediatriz de un segmento: Línea recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Bisectriz de un ángulo: Línea recta que pasa por su vértice y lo divide en dos ángulos iguales. PARA PRACTICAR 11. Traza las mediatrices de los siguientes segmentos: 12. Traza las bisectrices de los siguientes ángulos: PARA RECORDAR Altura de un triángulo: Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas que se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. Dibuja el ortocentro de los triángulos siguientes: Equilátero Polígonos y Circunferencia - 98 Rectángulo Obtusángulo Colegio Vizcaya PARA RECORDAR Mediana de un triángulo: Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas que se cortan en un punto llamado BARICENTRO. * Dibuja el baricentro de los triángulos siguientes: PARA RECORDAR Mediatriz de un triángulo: Es la mediatriz de uno de sus lados. Un triángulo tiene tres mediatrices que se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO. * Dibuja el circuncentro de los triángulos siguientes: Traza para cada uno de los triángulos anteriores una circunferencia de centro el circuncentro y que pase por los vértices de cada triángulo. A las circunferencias que has dibujado se les llama circunferencias circunscritas. Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 99 PARA RECORDAR Bisectriz de un triángulo: Es la bisectriz de uno de sus ángulos. Un triángulo tiene tres bisectrices que se cortan en un punto llamado INCENTRO. * Dibuja el incentro de los triángulos siguientes: Traza para cada uno de los triángulos anteriores una circunferencia de centro el incentro y que sea tangente a los lados del triángulo. A las circunferencias que has dibujado se les llama circunferencias inscritas. Dibuja en el triángulo siguiente el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Después únelos con una línea recta. Como ves los tres puntos están alineados. A la recta que une estos tres puntos se le llama Recta de Euler, en honor a su descubridor. PARA RECORDAR CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Dibuja un dibujo que esté de acuerdo con cada definición: Equiláteros: Tiene sus tres lados iguales Según sus lados Clasificación de los triángulos Según sus ángulos Isósceles: Tiene dos lados iguales Escalenos: Tiene sus tres lados desiguales Rectángulo: Tiene un ángulo recto y 2 agudos Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso y 2 agudos Acutángulo: Tiene los tres ángulos agudos Polígonos y Circunferencia - 100 Colegio Vizcaya CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Dibuja un dibujo que esté de acuerdo con cada definición: - Paralelogramos: tiene sus lados opuestos iguales y paralelos. Cuadrado: Tiene sus 4 lados y ángulos iguales. Rectángulo: Tiene sus lados iguales dos a dos y sus 4 ángulos iguales. Rombo: Tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. Romboide: Tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. - Trapecio: tiene dos de sus lados opuestos paralelos. Isósceles: Los lados no paralelos son iguales. Rectángulo: Uno de los lados no paralelo es perpendicular a la base. Escaleno: Los lados no paralelos son desiguales. Trapezoides: Cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo. PARA PRACTICAR 13. ¿Puede un triángulo ser equilátero y rectángulo a la vez? ¿Y rectángulo e isósceles a la vez? ¿Y rectángulo y escaleno a la vez? Razona tu respuesta. 14. ¿Cómo se le llama al cuadrilátero que es un polígono regular? 15. Un rectángulo, ¿es un polígono regular?, ¿y un rombo? 16. Un cuadrilátero cuyos lados miden 8, 12, 8 y 12 cm, ¿qué clase de cuadrilátero es? 17. Un ángulo de un rombo mide 48º. ¿Cuánto miden los restantes ángulos? 18. ¿Qué clase de trapecio es el que tiene por lados 12, 8, 8 y 8 m? Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 101 PARA APRENDER TEOREMA DE PITÁGORAS Imagínate un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm respectivamente y su hipotenusa 5 cm. 5 cm 4 cm 3 cm Sobre cada lado del triángulo vamos a construir un cuadrado formado por baldosas de 1 cm de lado. ¿Cuántas baldosas tiene el cuadrado correspondiente a la hipotenusa? ............................................ ¿Cuántas baldosas tienen cada uno de los cuadrados correspondientes a los catetos? ..................... ¿Encuentras alguna relación entre las tres cantidades anteriores? .................................................... ¿Existe alguna relación entre el número de baldosas y la longitud de los lados del triángulo?........ ............................................................................................................................................................ Este hecho experimental que acabamos de ver nos demuestra que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Dicho de otro modo, el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. A esta relación se la conoce como el Teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. h 2 =a 2 +b 2 a h b Polígonos y Circunferencia - 102 Colegio Vizcaya PARA PRACTICAR 19. Comprueba que un triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es un triángulo rectángulo. 20. Realiza la misma actividad en el caso de que los lados midan 5 cm, 12 cm y 13 cm. 21. Busca información sobre Pitágoras y los Pitagóricos. PARA APRENDER Aplicando el Teorema de Pitágoras: El Teorema de Pitágoras no sirve sólo para averiguar qué triángulos son rectángulos sino que podemos aplicar este Teorema a la resolución de muchos problemas. Veamos algunos ejemplos en los que se puede aplicar este teorema: Problema 1: En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa? - Teorema de Pitágoras: h 2 =a 2 +b 2 - Se sustituyen los datos conocidos: h 2 = 5 2 + 12 2 5 h 12 - Se opera: h 2 =25+144=169 - Se extrae la raíz cuadrada: h= 169=13 cm mide la hipotenusa. Problema 2: En un triángulo rectángulo un cateto miden 16 cm y la hipotenusa 20 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? - Teorema de Pitágoras: h 2 =a 2 +b 2 a 2 2 - Se sustituyen los datos conocidos: 20 =a +16 20 2 16 - Se opera: 400 = a + 256 → 2 a = 400 − 256 = 144 2 - Se extrae la raíz cuadrada: h= 144=12 cm mide el otro cateto. - O puedes usar la fórmula: a = h 2 − b 2 = Colegio Vizcaya 20 2 − 16 2 = 400− 256 = 144= 12 cm Polígonos y Circunferencia - 103 PARA PRACTICAR 22. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 8 cm y uno de los catetos 6 cm. Calcula el otro cateto. 23. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm. ¿Cuánto medirá la hipotenusa? 24. El aita de Ander quiere arreglar el tejado de su casa que se encuentra situado a una altura de 8 m. Para ello coge una escalera de 9 m. ¿Sabrías averiguar a que distancia de la pared tendría que colocarla? PARA RECORDAR LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS Circunferencia: Línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan del centro. En la circunferencia de la derecha están dibujados los elementos de una circunferencia. A continuación aparecen las definiciones de cada uno de los elementos de la circunferencia. Localízalos en el dibujo poniendo su nombre. Centro: Es un punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia. Radio: Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera. Semicircunferencia: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia. Flecha o Sagita: Es el segmento perpendicular a la cuerda en su punto medio y comprendido entre éste y la circunferencia. Ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados están sobre dos radios. Polígonos y Circunferencia - 104 Colegio Vizcaya LOGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Imagínate que mides la longitud de varias circunferencias y sus diámetros. Si divides la longitud (L) de cada circunferencia por su diámetro (d) correspondiente, te darás cuenta de que siempre se obtiene el mismo valor: π , que tiene un valor aproximado de 3'14. π = 3'14 L =π d Entonces, L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π La longitud de una circunferencia es π veces su diámetro. PARA PRACTICAR 25. Calcula la longitud de una circunferencia de 12 cm de diámetro. 26. Calcula la longitud de una circunferencia de 8 cm de radio. 27. Un aro tiene 12 cm de radio. ¿Cuál es su longitud? ¿Qué espacio recorre si da 7 vueltas? 28. La rueda delantera de una bicicleta tiene 60 cm de diámetro. ¿Cuántas vueltas tiene que dar para recorrer 1 km? 29. Calcula el radio de una circunferencia de 628 cm de longitud. 30. En 10 vueltas, una motocicleta ha recorrido 22 m. ¿Cuál es el radio de sus ruedas? Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 105 PARA RECORDAR Posiciones relativas de recta y circunferencia Recta exterior: Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común. (Imagen 1.) Recta tangente: Si la recta y la circunferencia tienen un único punto en común. (Imagen 2.) Imagen 1. Imagen 2. Imagen 3. Imagen 4. Imagen 5. Imagen 6. Recta Secante: Si la recta y la circunferencia tienen 2 puntos comunes. (Imagen 3.) Posiciones relativas de dos circunferencias Exteriores: Si ambas no tienen ningún punto en común. (Imagen 4.) Interiores: Si ambas no tienen ningún punto en común y una está dentro de la otra. (Imagen 5.) Tangentes: Si ambas tienen un punto en común. (Imagen 6.) Concéntricas: Si ambas tienen el mismo centro, pero distinto radio. (Imagen 7.) Secantes: Si ambas tienen 2 puntos en común. (Imagen 8.) Imagen 7. Imagen 8. EL CÍRCULO Y SUS ELEMENTOS Círculo: Es la porción del plano contenida en una circunferencia. Observa los dibujos y relaciónalos con las siguientes definiciones: Semicírculo: Es cada mitad del círculo limitada por un diámetro. Sector circular: Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco. Segmento circular: Es la porción de un círculo comprendida entre una cuerda y un arco. Corona circular: Es la figura comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Polígonos y Circunferencia - 106 Colegio Vizcaya PARA ENTRENAR 31. Calcula el valor de la letra en los siguientes triángulos rectángulos: a) 5 cm, 12 cm, a cm b) b cm, 6 cm, 8 cm c) 9 cm, h cm, 15 cm 32. Construye un cuadrado y traza en él un radio, una apotema, un ángulo interior, un ángulo central y un ángulo exterior. ¿Cuánto miden cada uno de estos ángulos? 33. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 100 cm de longitud? 34. La rueda de una bicicleta tiene 72 cm de diámetro. ¿Qué distancia recorre en cada vuelta? ¿Cuántas vueltas dará la rueda para recorrer 12 km? 35. Calcula el lado del cuadrado sabiendo que la diagonal mide: a) 20 cm b) 64 cm c) 24 cm 36. Comprueba si los siguientes triángulos son rectángulos: a) 6, 8, 9 b) 1, 24, 26 c) 20, 21, 29 d) 12 cm d) 9, 12, 15 e) 1, 1, 3 37. Halla el número de diagonales de un polígono de 25 lados. 38. Halla el número de diagonales de un polígono de 62 lados. Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 107 39. Calcula: a) La diagonal de un cuadrado de 7 cm de lado. b) La diagonal de un rectángulo de 8 cm de base y 6 cm de altura. c) El lado oblicuo de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 10 y 4 cm y la altura es de 8 cm. d) La altura de un triángulo isósceles de 6 cm de base y 8 cm de lado. e) La altura de un triángulo equilátero de 6 cm de lado. f) La apotema de un hexágono regular de 6 cm de lado. g) El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. h) La apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio. 40. En 10 vueltas una bicicleta ha recorrido 9’42 m. ¿Cuánto mide el radio de sus ruedas en cm? 41. Siete personas se sientan alrededor de una mesa redonda de 75 cm de diámetro. ¿Qué longitud de circunferencia de mesa le corresponde a cada uno? Polígonos y Circunferencia - 108 Colegio Vizcaya 42. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden: a) 6 cm, 8 cm b) 12 cm, 16 cm c) 10 cm, 24 cm d) 12 cm, 18 cm 43. Si dos ángulos interiores de un triángulo miden 75º y 60 º, ¿cuánto miden sus ángulos exteriores? 44. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un triángulo equilátero? ¿Y cada ángulo central? ¿Y cada ángulo exterior? 45. Si un jugador de fútbol del Colegio Vizcaya recorre la diagonal de su campo de 90 m de largo y 45 m de ancho, ¿cuántos metros recorre? 46. La piscina del Colegio Vizcaya tiene 12,5 m de ancho y 25 m de largo. Calcula la mayor distancia que puedes nadar en línea recta sin cambiar de dirección. 47. Ainhoa apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. Si el pie de la escalera se encuentra a 2 m del muro, ¿qué altura alcanzará la parte superior de la escalera? 48. Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 40º, ¿cuánto miden los otros dos ángulos? ¿Y los ángulos exteriores? 49. Leire ha construido un rectángulo con listones de madera y ha medido sus lados y la diagonal obteniendo las siguientes medidas: 12 cm, 5 cm y 14 cm. ¿Son correctas estas medidas? Razona la respuesta. Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 109 50. Dibuja la Recta de Euler en el siguiente triángulo: 51. En una circunferencia de 20 cm de radio, indica la posición relativa de las rectas cuya distancia al centro es de: a) 22 cm b) 20 cm c) 18 cm 52. Si el ángulo exterior de un polígono regular mide 45º, ¿cuánto mide su ángulo interior? ¿Qué polígono es? 53. Un lado de un rectángulo mide 24 cm y su perímetro 80 cm. Calcula lo que miden los lados del rectángulo. 54. Calcula el perímetro y la altura de un trapecio isósceles cuyo lado no paralelo mide 12 cm y las dos bases, 10 y 14 cm. 55. ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado? 56. Un velódromo circular tiene 45 m de radio. ¿Cuántas vueltas habrá que dar para recorrer 3 km? 57. Un globo aerostático cautivo está sujeto al suelo con una cuerda de 100 m de longitud. Hoy que hace un ligero viento el globo se ha desplazado 60 m de la vertical. ¿A qué altura se encuentra el globo? 58. Un jugador de golf ha dado un golpe magnífico de 270 m desde el punto de salida, pero la bola ha caído 7 m a la derecha del hoyo. ¿Cuál será la distancia desde la salida al hoyo? Polígonos y Circunferencia - 110 Colegio Vizcaya 59. Cuando decimos que un televisor tiene 20 pulgadas, estamos diciendo que la diagonal del rectángulo de la pantalla mide 20 pulgadas (1 pulgada = 2´54 cm). ¿De cuántas pulgadas es un televisor cuyos lados miden 52´8 cm y 39´6 cm? 60. Un carpintero tiene un tronco de árbol de 5 m de largo. La sección es uniforme y circular de 60 cm de diámetro. ¿Cuáles son las dimensiones de la mayor viga cuadrada que puede serrarse de dicho tronco? 61. Calcula la distancia máxima a la que se pueden encontrar dos moscas en un folio de 28 cm de largo y 20 cm de ancho. 62. Un jugador de fútbol se encuentra perpendicularmente a 20 m del palo derecho de la portería y lanza el balón, situado en el suelo, a la escuadra del poste derecho marcando un magnífico gol. Si la portería tiene 2´44 m de altura. ¿Cuántos metros aproximadamente ha recorrido el balón? 63. Una hormiga está en el vértice de un cucurucho de papel, con forma de cono. El radio de la base mide 15 cm y la altura es de 40 cm. ¿Cuál es la mayor distancia que puede recorrer la hormiga, en línea recta, partiendo del vértice? 64. Para sujetar una antena de 30 m de altura, colocamos cuatro cables desde su extremo superior hasta el suelo. Sabiendo que se sujetan a 15 m de la base de la antena, ¿cuántos metros de cable necesitaremos? Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 111 65. Si el radio de una rueda de una bicicleta mide 35 cm, ¿qué distancia recorre la rueda cuando haya dado 1000 vueltas? 66. Si el radio de la rueda de una moto mide 30 cm, ¿cuántas vueltas tiene que dar para recorrer 1 km? 67. Si alrededor de una mesa circular de 110 cm de diámetro se sientan 6 personas, ¿qué arco de circunferencia le corresponde a cada uno? 68. Calcula el radio de una circunferencia cuya longitud es de 178'98 cm. 69. La Luna está a 384 000 km de la Tierra. Si siguiera una órbita circular, ¿qué distancia recorrería cada vez que diera una vuelta completa alrededor de la Tierra? 70. Al rodear un tronco de un árbol con una cuerda y estirarla, se observa que mide 94'2 cm. ¿Cuál es el diámetro del tronco del árbol? 71. Halla el radio de las circunferencias cuyas longitudes son: a) 314 m b) 6'28 hm c) 31'4 cm d) 628 dam 72. ¿Cuántos centímetros debe medir el radio de la rueda de una bicicleta para que avance 25'12 m en 10 vueltas? Polígonos y Circunferencia - 112 Colegio Vizcaya 73. ¿Qué longitud ha recorrido un ciclista sabiendo que las ruedas de su bicicleta han dado 1500 vueltas y que éstas tienen un diámetro de 60 cm? 74. Para construir unas ruedas de un carro, un carretero compra llantas a 20 euros el metro. ¿Cuánto ha gastado para construir 10 ruedas, sabiendo que el diámetro de éstas es de 1'4 m? 75. Una rueda de un automóvil da 45000 vueltas cuando el automóvil ha recorrido 100 km. Halla el radio de la rueda. 76. La rueda de un coche tiene 4 dm de radio, y da 50 vueltas por minuto. ¿Cuántos km recorrerá en 2 horas? 77. Halla la altura de un triángulo isósceles de 6 cm de base sabiendo que los lados iguales miden 12 cm. 78. La base de un triángulo isósceles mide 8 cm y su altura 3 cm. Calcula el perímetro del triángulo. 79. Una escalera de 6'5 m de longitud está apoyada sobre la pared y el pie de esta escalera está alejada 2'5 m de dicha pared. ¿A qué altura del suelo se hallará el extremo superior de la escalera? 80. El triángulo cuyos lados miden 8, 15 y 17 cm, respectivamente, ¿es un triángulo rectángulo? Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 113 81. ¿Cuánto mide el lado de una habitación cuadrada que tiene una diagonal de 9 m? 82. ¿Qué longitud ha de tener una escalera para alcanzar una altura de 12 m si la apoyamos a 4 m de la pared? 83. Una piscina mide 50 m de largo por 30 m de ancho. ¿Cuál es la mayor distancia que podemos nadar en línea recta sin girar? 84. Calcula la altura de un trapecio isósceles cuyas bases miden 10 y 16 cm respectivamente y el lado oblicuo 6 cm. 85. Calcula la apotema de un hexágono regular de 14 cm de lado. 86. ¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 6, 7 y 12 cm? 87. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 10 cm, y el lado desigual, 12 cm. Calcula la medida de la altura correspondiente. 88. Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 cm y 32 cm. Polígonos y Circunferencia - 114 Colegio Vizcaya 89. ¿Cuánto mide la apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio? 90. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 48 cm de perímetro. 91. Aitor a construido en la clase de plástica un marco rectangular para una foto. Si las dimensiones del marco son 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 50 cm de diagonal, ¿habrá construido bien su marco? 92. Para sostener un poste de 1'5 m de altura, lo sujetamos con una cuerda situada a 2'6 m de la base del poste. ¿Cuál es la longitud del poste? 93. La cuerda de una cometa mide 85 m, y ésta se encuentra volando sobre una caseta que está a 63 m de Irene. ¿A qué altura sobre el suelo está la cometa? 94. Una mosca está en el vértice de un cucurucho de cartulina con forma de cono. El radio de la base mide 15 cm y la altura es de 40 cm. ¿Cuál es la mayor distancia que puede recorrer la mosca, en línea recta, partiendo del vértice? 95. Un globo cautivo está sujeto con una cuerda. Ayer, que no había viento, el globo estaba a 50 m de altura. Hoy que hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m del punto de amarre. ¿A qué altura está hoy el globo? Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 115 96. Si las bases de un trapecio isósceles miden 4 cm y 10 cm, y la altura, 4 cm, ¿cuánto mide su perímetro? 97. Para afianzar una antena de 24 m de altura. Se van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantes que se amarrarán en tierra, a 10 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán para los tirantes? 98. El aro de una canasta de baloncesto se encuentra a 2'5 m del suelo. Si la línea para lanzar triples se encuentra a 6 m de la canasta, calcula qué distancia en línea recta hay desde la línea de tiro al aro. Polígonos y Circunferencia - 116 Colegio Vizcaya Vocabulario Recta: Es la línea más corta que se puede imaginar entre dos puntos. Semirrecta: Es cada una de las dos porciones en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Segmento: Es la parte de la recta comprendida entre dos puntos. Rectas paralelas: No tiene ningún punto en común. Rectas secantes: Tienen un solo punto en común. Si forman un ángulo de 90º entonces se les llama perpendiculares. Rectas coincidentes: Tienen todos sus puntos comunes. Línea poligonal: Unión de varios segmentos por sus extremos. Línea poligonal abierta: Es una línea poligonal en la que el principio no coincide con el final. Línea poligonal cerrada: Es una línea poligonal en la que el principio coincide con el final. Polígono: Es la porción del plano contenida en una línea poligonal cerrada. Polígono regular: Es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. Polígono irregular: Es el que tiene sus lados y/o sus ángulos desiguales. Perímetro: Suma de las longitudes de los lados de un polígono. Lados de un polígono: Cada uno de los segmentos que lo limitan. Vértices de un polígono: Puntos en común de dos lados contiguos. Ángulo de un polígono: El formado por dos lados consecutivos. Ángulo central de un polígono: El formado por dos radios consecutivos. Ángulo interior de un polígono: Porción del plano limitada por dos lados consecutivos. Ángulo exterior de un polígono: El formado por un lado y la prolongación del lado contiguo. Diagonal de un polígono: Segmento que une dos vértices no consecutivos. Radio de un polígono regular: Segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema de un polígono regular: Segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. Polígono cóncavo: Todas sus diagonales quedan dentro de él. Polígono convexo: Alguna de sus diagonales queda fuera de él. Triángulos: Polígono de 3 lados. Cuadriláteros: Polígono de 4 lados. Pentágonos: Polígono de 5 lados.... Número de diagonales de un polígono:d = n ⋅ (n - 3 ) 2 (n = nº de lados ) Mediatriz de un segmento: Línea recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Bisectriz de un ángulo: Línea recta que pasa por su vértice y lo divide en dos ángulos iguales. Altura de un triángulo: Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el vértice opuesto. Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Mediana de un triángulo: Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro: punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Mediatriz de un triángulo: Es la mediatriz de uno de sus lados. Circuncentro: punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Circunferencia circunscrita a un triángulo: Si los tres vértices del triángulo son puntos de la circunferencia. Bisectriz de un triángulo: Es la bisectriz de uno de sus ángulos. Incentro: punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. Circunferencia inscrita a un triángulo: Si los lados del triángulo son rectas tangentes a la circunferencia. Recta de Euler: Recta que une el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo. Colegio Vizcaya Polígonos y Circunferencia - 117 Vocabulario Triángulo equilátero: Tiene sus tres lados iguales. Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales. Triángulo escaleno: Tiene sus tres lados desiguales. Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto y 2 agudos. Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso y 2 agudos. Triángulo acutángulo: Tiene los tres ángulos agudos. Paralelogramo: Tiene sus lados opuestos iguales y paralelos. Cuadrado: Tiene sus 4 lados y ángulos iguales. Rectángulo: Tiene sus lados iguales dos a dos y sus 4 ángulos iguales. Rombo: Tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. Romboide: Tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos de sus lados opuestos paralelos. Trapecio isósceles: Los lados no paralelos son iguales. Trapecio rectángulo: Uno de los lados no paralelo es perpendicular a la base. Trapecio escaleno: Los lados no paralelos son desiguales. Trapezoide: Cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. h 2 =a 2 +b 2 Circunferencia: Línea curva, cerrada y ana cuyos puntos equidistan del centro. Centro: Es un punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia. Radio: Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera. Semicircunferencia: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia. Flecha o Sagita: Es el segmento perpendicular a la cuerda en su punto medio y comprendido entre éste y la circunferencia. Ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados están sobre dos radios. Longitud de una circunferencia: Es pi veces su diámetro. L = d ⋅ π Recta exterior: Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común. Recta tangente: Si la recta y la circunferencia tienen un único punto en común. Recta Secante: Si la recta y la circunferencia tienen 2 puntos comunes. Circunferencias exteriores: Si ambas no tienen ningún punto en común. Circunferencias interiores: Si ambas no tienen ningún punto en común y una está dentro de la otra. Circunferencias tangentes: Si ambas tienen un punto en común. Circunferencias concéntricas: Si ambas tienen el mismo centro, pero distinto radio. Circunferencias secantes: Si ambas tienen 2 puntos en común. Círculo: Es la porción del plano contenida en una circunferencia. Semicírculo: Es cada mitad del círculo limitada por un diámetro. Sector circular: es la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco. Segmento circular: Es la porción de un círculo comprendida entre una cuerda y un arco. Corona circular: Es la figura comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Polígonos y Circunferencia - 118 Colegio Vizcaya
