Cónicas

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES.
Ciclo 02 de 2012.
Circunferencia.
Elementos de la circunferencia.
El segmento de recta
es una cuerda.
El segmento de recta
es una cuerda que pasa por el
centro, por lo tanto es un diámetro
Propiedades.
1. Toda recta tangente es perpendicular al radio en su punto de tangencia.
2. Toda cuerda es perpendicular al radio, en el punto medio de la cuerda.
3. Si en una circunferencia se tienen n cuerdas, se tiene que toda recta perpendicular a
cada una de las cuerdas en el punto medio de cada una de ellas pasa por el centro de la
circunferencia. Es decir que las diferentes rectas perpendiculares a las cuerdas en el
punto medio de ellas, se cortan en el centro de la circunferencia.
1
4. Todo triángulo inscrito en una circunferencia, en donde uno de sus lados es el diámetro y
el vértice opuesto es un punto que pertenece a la circunferencia, constituye un triángulo
rectángulo.
Problemas resueltos sobre circunferencia.
1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
recta
en el punto
.
y es tangente a la
Recta tangente:
Ecuación de la forma:
Pendiente de la recta tangente:
Pendiente de la recta perpendicular:
Ecuación de la recta
Es: —
El centro
; la cual es perpendicular a la recta tangente en el punto
pertenece a la recta
.
, por lo que podemos escribir:
.
Con los puntos
medio
y
podemos trazar una cuerda, la cual posee como punto
.
Una recta perpendicular a dicha cuerda, en el punto medio a ella, pasa por el centro de la
circunferencia.
Pendiente de la cuerda
es
Por lo que la pendiente de la recta
Con el punto medio de la cuerda
podemos escribir la ecuación de la recta :
es
y la pendiente
,
2
El centro
pertenece a la recta
, por lo que podemos escribir
Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:
Sustituyendo
en la ecuación (2) tenemos:
Centro de la circunferencia
. Note que se ha obtenido, que el centro de
la circunferencia, en este caso coincidió con el punto medio de la cuerda
. Note que la
recta y la recta tangente
son paralelas, ya que tienen la misma pendiente y la recta
es paralela a la cuerda
, ya que estas dos rectas poseen la misma pendiente
.
Ecuación de la circunferencia:
El radio de la circunferencia lo podemos calcular como el
módulo del vector
decir
, con
, es
.
. Luego el radio de la circunferencia
buscada es
Ecuación de la circunferencia con centro
.
y radio
es:
3
Relaciones entre circunferencias.
1. Circunferencias que son tangentes.
Circunferencias que son tangentes:
.
2. Circunferencias que se intersectan.
Distancia entre los centros
que la suma de los radios
es menor
3. Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan.
Distancia entre los centros
que la suma de los radios
es menor
Recta de los centros.
Es la línea recta que une los centros de 2 circunferencias.
Eje radical.
4
Es la recta perpendicular a la recta de los centros.



Cuando se tienen 2 circunferencias que son tangentes, el eje radical para por el punto
de tangencia.
Cuando se tienen 2 circunferencias que se intersectan, el eje radical pasa por los
puntos de intersección de las dos circunferencias.
Cuando se tienen 2 circunferencias que NO se intersectan, NI son tangentes; el eje
radical se ubica más cerca de la circunferencia de menor radio.
Circunferencias que son
tangentes
Circunferencias que se
intersectan
Circunferencias que NO son
tangentes, NI se intersectan
Ejercicios Resueltos.
1. Determinar si las circunferencias
y
Se intersectan, son tangentes o NI SE CORTAN, NI SON TANGENTES.
Determine la ecuación de la recta de los centros y los puntos de intersección o de tangencia de las
circunferencias, según sea el caso.
Centro
, radio
5
Centro
, radio
Distancia entre los centros
y
Distancia entre los centros
Conclusión: Las circunferencias se intersectan.
Recta de los centros
Pendiente:
Con
escribimos la ecuación de la recta de los centros:
Para encontrar los puntos de intersección de las circunferencias, simultanearemos las ecuaciones
de ella; para ello multiplicamos por -1 la ecuación de
_
Note que es una ecuación de la forma
.
que es la ecuación de una línea recta en
Esta ecuación constituye, la ecuación del eje radical.
Despejemos “y”:
Sustituyamos “y” en la ecuación de
, para encontrar los puntos de intersección.
Por 196:
6
Puntos de intersección de
las circunferencias.
Distancia de un punto
(Menor distancia del punto
a la recta en
a la recta en
con ecuación general
.
, la cual es la distancia perpendicular).
Si se tiene la ecuación general de una línea recta en
:
, se debe tener
presente que un vector paralelo a dicha línea recta es el vector
Ej. Sea la recta en
Si tenemos la ecuación de la recta
recta con los ejes “x” e “y”. Teniendo:
Un vector paralelo a ella es
, podemos calcular los intersectos de dicha
7
Note que, de la figura
Si
y multiplicamos y dividimos por
Con
Luego
y
=
tenemos:
tenemos:
, ya que
Teniendo:
Fórmula de la distancia del punto
a la recta en ,
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro
recta
y que es tangente a la
8
Calculemos la distancia del punto C(0,6) a la recta 3x-4y-1=0, ya que dicha distancia es el valor
del radio r.
Con r=5 y el centro C(0,6), escribimos la ecuación de la circunferencia:
Ejercicio: Hallar la ecuación general y la ecuación ordinaria de la circunferencia; así como
también el centro y el radio de ella, si la circunferencia pasa por los puntos A(-1,-1), B(5,7) y
E(7,3).
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Pendiente de una recta perpendicular a la
cuerda
:
Con
y
Pendiente de una recta perpendicular a la
cuerda
:
escribimos la ecuación de la recta perpendicular a la cuerda
en el punto medio de ella:
Como
pertenece a esta recta escribimos:
I
Con
y
escribimos la ecuación de la recta perpendicular a la cuerda
en el punto medio de ella:
Como
pertenece a esta recta escribimos:
II
Igualando las ecuaciones I y II tenemos:
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Luego
Centro
Calculemos el radio, como el módulo del vector
, siendo
. Luego
Escribamos la ecuación de la circunferencia con centro
y radio
:
Ecuación ordinaria de
la circunferencia
Ecuación general de
la circunferencia
Problemas resueltos sobre cónicas.
1. Sobre Circunferencia.
1) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
es el punto común de las rectas:
y
y cuyo centro
Solución:
Encontremos el punto de intersección de las rectas:
Por (-2):
Por (7):
Sustituyendo x en la ecuación de
es:
11
Tenemos la ecuación de la circunferencia:
sabemos que h=4,
k=2 es el centro de la circunferencia.
En la ecuación,
es el punto de la circunferencia,
son las coordenadas del
centro de la circunferencia. Para encontrar el radio tenemos:
Luego la ecuación de la circunferencia buscada es:
2) Una circunferencia contiene a los puntos
de la circunferencia, su centro y radio.
y
. Hallar la ecuación
Solución:
La ecuación general de la circunferencia es de la forma:
Son las coordenadas de un punto de la circunferencia.
Sustituyamos cada punto en la ecuación general:
Con
tenemos:
Con
tenemos:
Con
tenemos:
Resolvamos el SEL generado utilizando el método de Gauss Jordan:
De la matriz normalizada tenemos:
12
Tenemos la ecuación general de la circunferencia:
Completemos cuadrados:
Circunferencia de radio
y con centro
3) Hallar el área de la región limitada por
circunferencia.
.
y el centro de la
Solución:
Esta ecuación representa una circunferencia, completemos cuadrados:
Circunferencia con centro
Área del círculo=
y radio
.
4) Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
.
Determine las coordenadas del centro.
Solución:
El perímetro de la circunferencia es
, que representa a la longitud de la
circunferencia.
Completemos cuadrados:
Circunferencia con centro
Perímetro del círculo=
y radio
.
2. Sobre Parábola.
1) Graficar la cónica cuya ecuación es
característicos.
. Determine sus elementos
Solución:
Tenemos la ecuación
de segundo grado
. Comparándola con la ecuación general
, tenemos que:
La ecuación representa una parábola vertical.
De la ecuación
, completemos cuadrados:
13
Parábola abierta
hacia abajo
Ecuación de la forma:
De donde:
-
Longitud del lado recto:
Vértice
Foco
2) Graficar la parábola cuya ecuación es:
a) Vértice
b) Foco
c) Longitud del lado recto.
. Encuentre:
Solución:
Completemos cuadrados
Parábola horizontal abierta
hacia la izquierda
Vértice
Longitud del lado recto:
Foco
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2. Sobre Elipse.
1) Determinar focos, vértices, centro excentricidad, longitud del lado recto de la cónica
cuya ecuación es:
. Graficar la cónica y sus elementos.
Solución:
Tenemos la ecuación
general de segundo grado
. Comparándola con la ecuación
, tenemos que:
La cónica es una elipse.
Note también que A y C son distintos y del mismo signo.
Completamos cuadrados:
Elipse horizontal con
Ecuación de la forma:
C(3,0)
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Vértice:
Focos:
Puntos donde corta el eje normal con la elipse:
Longitud del lado recto:
Excentricidad: e
2) Determine focos, vértices, centro, excentricidad, longitud del lado recto, puntos donde corta la
elipse con el eje normal. Grafique la cónica y sus elementos, cuya ecuación es:
Solución:
Note que en la ecuación A y C son distintos y del mismo signo.
La ecuación representa una elipse.
Completamos cuadrados:
16
Centro
, elipse vertical.
Longitud del lado recto:
Excentricidad: e
3. Sobre Hipérbola.
La ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados es de la forma:
con
y con A y C de signo diferente.
Ecuación ordinaria de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje x (hipérbola horizontal):
Ecuaciones de sus asíntotas:
Ecuación ordinaria de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje y (hipérbola vertical):
Ecuaciones de sus asíntotas:
Ejemplo:
1) Encuentre los elementos de la hipérbola, cuya ecuación es:
17
Note que:
12- A y C son de signo diferente.
Completando cuadrados:
Note que el término positivo, es el que lleva la variable “y” luego la hipérbola es
vertical.
Para toda hipérbola:
, luego:
Centro
Vértices:
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Puntos sobre el eje conjugado:
Focos:
Asíntotas:
I:
II:
Longitud del lado recto:
Excentricidad:
19
20