IS12 Estad´ıstica Práctica 4. Modelos de probabilidad (A)

IS12 Estadı́stica
Práctica 4. Modelos de probabilidad
(A)
Nombre:
Determinar los modelos de probabilidad que siguen las variables aleatorias necesarias y calcular
las probabilidades que se piden:
1. Sea X=“número de caras en 5 lanzamientos de una moneda” −→ ........(......., .......)
P (obtener 3 caras) = P (X................) = ................
P (obtener 3 ó más caras) = P (X................) = ..............
P (obtener al menos 4 caras) = P (X................) = ....................
2. Lanzamos un dado hasta obtener 4 éxitos, siendo éxito obtener un 1 ó un 2.
Sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., .......)
P (necesitar 6 tiradas) = P (X.........) = ....................
P (necesitar al menos 10 tiradas) = P (X............) = .....................
3. En una reunión hay 6 mujeres y 9 hombres. Se eligen 4 personas al azar.
Sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., ......., .......)
P (elegir 2 mujeres) = P (X................) = ..................
P (elegir como máximo 1 mujer) = P (X..................) = ...................
4. Supongamos que, por término medio, acceden a un servidor 3 usuarios en 1 minuto.
Sea X= “número de .......................................” −→ ........(.......)
P (accedan 2 usuarios en 1 minuto) = P (X................) = ..................
P (accedan 3 ó más usuarios en 1 min.) = P (X...............) = ...................
P
Sea Y = 4i=0 Xi = “número de usuarios que acceden a un servidor en 4 minutos” −→ ........(.......)
P (accedan 10 usuarios en 4 minutos) = P (Y..................) = ...................
P accedan menos de 15 usuarios en 4 min.) = P (Y..................) = ..................
5. Suponemos que la variable que mide el tiempo de reacción a un estı́mulo sigue una distribución
uniforme en el intervalo [3,8] segundos.
Calcula la probabilidad de que el tiempo de reacción sea mayor que 5 segundos:
P (X...........) = ...............
Calcula la probabilidad de reaccionar en menos de 6 seg. P (X..............) = .............
y la probabilidad de reaccionar entre 2 y 5 seg. P (..........X..........) = ...............
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6. Sea X una v.a. con distribución normal. Sea Y = 2X otra v.a con distribución N(2,9).
Determina: E[X] = ..............; var[X] = ..................
P (X ≥ 2) = ................. P (−00 5 ≤ X ≤ 40 5) = .................
7. Un departamento de la Universidad decide adquirir una estación de trabajo. Se sabe que los
avances tecnológicos se producen de forma aleatoria de tal manera que, por término medio,
surge un nuevo modelo que deja anticuados a los ya existentes cada 7 meses.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nueva máquina no se quede anticuada durante un perı́odo
de tiempo comprendido entre 6 meses y 1 año?. P (....... < X < .........) = ..................
b) Calcula la probabilidad de que la máquina se quede anticuada después de 1 año, sabiendo
que no se ha quedado anticuada durante los primeros 7 meses.
P (....................) = P (X...........) = ........................
8. Sea X una v.a. que sigue modelo χ2 con 20 grados de libertad.
Calcula la probabilidad de que la variable tome valores mayores que 24’5.
P (X > 240 5) = ..................
χ200 05 (20) = ...............
χ200 85 (20) = ...............
9. Sea Y una v.a. que se distribuye F (5, 10). Calcula:
P (X ≤ 40 7) = ...............
F00 05 (5, 10) = ..................
P (20 3 < X < 40 7) = ...................................... = ...............
F00 8 (5, 10) = ....................
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IS12 Estadı́stica
Práctica 4. Modelos de probabilidad
(B)
Nombre:
Determinar los modelos de probabilidad que siguen las variables aleatorias necesarias y calcular
las probabilidades que se piden:
1. La probabilidad de nacer varón es 0’45. Si una pareja desea tener 3 hijas, ¿cuál es la probabilidad
de que lo consiga con 5 hijos o menos?.
Sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., .......)
P (X................) = ................
2. En una población el 35 % son personas con internet en casa. Se eligen al azar 15 personas y
consideramos X=“número de personas con internet de las 15” −→ ........... ( ............, ..........).
P (tener 10 personas con internet) = P (X..................) = ...................
P (tener menos de 6 personas con internet) = P (X..................) = ................
3. Se quieren elegir aleatoriamente 2 informáticos de un total de 85 candidatos, de los cuales 68
son mujeres.
Sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., ......., .......)
P (elegir 2 mujeres) = P (X...............) = ....................
P (elegir sólo 1 mujer) = P (X................) = ..................
4. Si se reciben en promedio 20 avisos de averias en 10 minutos, la v.a. Y =“número avisos de
averias en 5 minutos ” se distribuye ......... ( ......... ).
P (recibir 6 avisos en 5 minutos) = P (Y..................) = ..................
P (recibir más de 2 avisos pero menos de 7 avisos en 5 minutos) =
= P (........Y..........) = ............................. = ............
5. Una universidad pública oferta 80 plazas para el primer curso de Informática de Sistemas, recibiendo 200 solicitudes y el único criterio de admisión es la nota de selectividad. Sabiendo que
las notas de selectividad siguen una distribución normal de media 7’3 y desviación tı́pica 0’7,
determina la nota mı́nima para conseguir una de las 80 plazas ofertadas.
P (X ≤ x) =
200
= ..............
x−
ó
P (X ≥ x) =
200
= ..............
= z00 6 = ................. =⇒ x = ................
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6. Sea una v.a. X que se distribuye t de Student con 30 grados de libertad. Calcular:
P (X ≤ 00 854) = .................;
F (30 646) = P (X...............) = .................
P (00 530 ≤ X ≤ 20 457) = .............................. = .................
t00 025 (30) = .................;
t00 5 (30) = .................
7. Sea una v.a. X distribuida χ2 con diez grados de libertad. Calcular:
P (X ≤ 230 2) = ...................;
χ200 99 (10) = ..................;
P (30 94 ≤ X ≤ 16) = ................................. = ....................
χ200 5 (10) = ................
8. Suponemos que la variable que mide el tiempo que tarda en llegar un autobus a la parada sigue
una distribución uniforme en el intervalo [5,15] minutos.
Calcula la probabilidad de que el tiempo que tarda el autobus sea menor que 7 minutos:
P (X...........) = ...............
Calcula la probabilidad de tener que esperarlo más de 13 minutos:
P (X..............) = .............
y la probabilidad de tener que esperarlo entre 4 y 12 minutos:
P (..........X..........) = ...............
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Práctica 4. Modelos de probabilidad
(C)
Nombre:
Determinar los modelos de probabilidad que siguen las variables aleatorias necesarias y calcular
las probabilidades que se piden:
1. Una prueba de conocimientos informáticos consta de 15 items con cinco alternativas de las que
sólo una es correcta. Si un sujeto responde al azar,
sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., .......)
¿Cuál es la probabilidad de que acierte 6 items? P (X..................) = ..................
¿Cuál es la probabilidad de que falle más de 12 items? Es la misma probabilidad de que acierte
........................... P (X...............) = .....................
¿Qué número de items esperamos que acierte? ......................
2. La probabilidad de que un mensaje se reciba con error es de 0’001. Si en un mes se reciben 2000
mensajes,
sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., .......) aproximar ....... (.......).
Utiliza los dos modelos para calcular las probabilidades que se piden:
P (de que se reciban 2 mensajes con error) =
P (X............) = .................... y P (X..................) = ....................
P ( de que se reciban al menos 3 mensajes con error ) =
P (X................) = .................. y P (X.................) = ....................
P ( de que se reciba a lo sumo un mensaje con error ) =
P (X................) = ................... y P (X.................) = ..................
3. Suponemos que en la asignatura IS12 hay matriculados 67 estudiantes, de los cuales 6 son mujeres
y el resto hombres. Si elegimos una muestra al azar de 12 estudiantes para hacer un trabajo:
Sea X= “número de .......................................” −→ ........(......., ......., .......)
¿Cuál será la probabilidad de que la mitad de los sujetos sean varones?
P (X..............) = ..................
Calcular la probabilidad de que más de 4 sean varones. P (X.................) = .................
4. Calcular las siguientes probabilidades para una v.a. que sigue una distribución normal tipificada.
P (Z < 00 5) = .................;
P (00 5 < Z ≤ 1) = ........................ = ..................
P (|Z| ≤ 00 5) = ........................... = ...................;
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z00 975 = .............;
z00 1 = .................
5. Para commemorar que hoy es el 25 aniversario de la fundación de una empresa, ésta decide
premiar a los tres primeros trabajadores que hayan montado su primera pieza en menos de 2
minutos. Se sabe que la probabilidad de montar la primera pieza en menos de 2 minutos es 0’15.
Calcula la probabilidad de que la empresa tenga que seleccionar como máximo a 7 trabajadores
antes de entregar los premios.
Sea X = “número de trabajadores seleccionados antes de entregar los 3 premios”, que sigue
modelo ......... ( ........., .........).
La probabilidad pedida es P (X................) = ...................
6. Consideramos las variables aleatorias X e Y independientes, que se distribuyen χ2 con 15 y 10
grados de libertad, respectivamente. Definimos la v.a. V = X + Y . Determinar:
E[V ] = ............
var[V ] = ............
P (V ≥ 25) = ...................;
χ200 03 (......) = ................;
P (47 ≥ V ≥ 180 5) = ....................................... = ...................
χ200 95 (.......) = .................
7. Sea X una v.a. que se distribuye F con n=3 y m=8 grados de libertad. Calcular:
P (X ≤ 20 24) = ....................;
F00 05 (3, 8) = ......................;
P (|X| ≤ 30 33) = .................................. = ...................
F00 025 (3, 8) = ........................
8. Un departamento de la Universidad decide adquirir una estación de trabajo. Se sabe que los
avances tecnológicos se producen de forma aleatoria de tal manera que, por término medio,
surge un nuevo modelo que deja anticuados a los ya existentes cada 8 meses.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nueva máquina no se quede anticuada durante un perı́odo
de tiempo comprendido entre 6 meses y 1 año?. P (....... < X < .........) = ..................
b) Calcula la probabilidad de que la máquina se quede anticuada después de 13 meses, sabiendo
que no se ha quedado anticuada durante los primeros 9 meses.
P (....................) = P (X...........) = ........................
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