第5章 習題簡答 習題 5-1 1. (1) 3 1 1 1 1 1 2 2 + c (4) x − +c ( 1) (2 x + 1)5 − (2 x + 1) 4 + c (2) ( x 4 + 1)9 + c (3) − 15( x3 + 2)5 3 20 16 36 (5) 5 3 1 1 1 2 4 1 + 8 x 2 + c (6) ( x + 2)5 − ( x + 2) 4 + c (7) ( x + 2) 2 − ( x + 2) 2 + c 8 5 2 5 3 (8) 11 8 3 1 3 1 1 3 1 2 1 ( x + 1) 3 − ( x 3 + 1) 3 + c (9) (1 + x) 2 − 2(1 + x) 2 + c (10) (1 + x 2 ) 2 − (1 + x 2 ) 2 + c 11 8 3 3 2 3392 506 211 1 (2) 513 (3) 18 − 11 (4) (ln 22 − ln 3) (5) (6) (7) 11 3 2835 375 3 2 3.略 4.略 2. (1) − 習題 5-2 1 5 2 1 1 + c 5. x − ln(1 + e x ) + c (e − e ) 3. (ln(ln x 2 )) 2 + c 4. − x e +1 2 4 1. 2(e 2 − e) 2. 1 1 1 −3 x2 3 6. − ln 1 − 2 x + c 7. − e + c 8. −e x + c 9. ln(1 + e x ) + c 10. 2e 6 6 11. x +c x 1 ln 2e x − 1 + c 12. ee + c 13. ln(e x + e − x ) + c 2 14.題目更改: ∫ 17. 2 ln 1 + e x dx 1 =− x + c 15. 2 e x − 1 + c 16. e x − 3ln(e x + 1) + c −x e −1 e −2+e x + c 18. 1 3ln 2 x +c [ln(1 + e x )]3 + c 19. 3 ln 3 習題 5-3 1. ln sin x + c 2. ln csc x − cot x + c 3. 1 1 ln sec 5 x + c 4. ln 3 + sin 5 x + c 5. x + cos x + c 5 5 3 2 2 2 1 1 6. − cot 3x − x − csc 3 x + c 7. (5 + tan x) 2 + c 8. − (sin x + cos x)6 + c 9. [ln(sin x)]2 + c 3 3 3 6 2 3 2 π2 1 12. (tan −1 x ) 2 + c 13. e 4+sin x + c 14. cos(cos 3x) + c 10. (4 + 3sec x) 2 + c 11. 3 9 32 15. sin e x + c 16. tan −1 e x + c 17. ln e x − e− x + c 18. −2 cos x + c 19. sin(ln x) + c 20. −ecos x + c 21. 1 1 ln x 1 (tan −1 x) 2 + c 22. (sin −1 x) 2 + c 23. sin −1 + c 24. sec−1 x 2 + c 2 2 3 2 2 1 −1 3 1 1 2x 1 ln x −1 x + c 27. sec −1 tan 25. sin x + c 26. + c 28. tan −1 +c 3 3 3 2 2 2 3 3 1 習題 5-4 1. − x cos x + sin x + c 2. x3e x − 3x 2 e x + 6 xe x − 6e x + c 3. 4. − 1 1 x sin 3 x + cos 3x + c 3 9 ln x 1 1 1 − + c 5. x sin −1 3x + 1 − 9 x 2 + c 6. x tan −1 x − ln(1 + x 2 ) + c 4 4 4 x 16 x 3 2 x2 3x 2 3x 2 3x x4 x4 e − xe + e + c 8. ln 5 x − + c 9. x(ln x) 2 − 2 x ln x + 2 x + c 3 9 27 4 16 3 x 1 1 1 3 10. x(ln x)3 − 3x(ln x) 2 + 6 x ln x − 6 x + c 11. − cos 2 x + sin 2 x + c 12. x3e x − e x + c 4 8 3 3 7. 2 1 2 x2 1 x2 1 1 1 2 1 1 x e − e + c 14. − x 2 e− x − e− x + c 15. x 2 sin x 2 + cos x 2 + c 2 2 2 2 2 2 2 13. 2 1 6x 2 3x 2 ex 1 3x 3x 3x + c 18. e x (sin x + cos x) + c 16. − e cos e + e sin e + cos e + c 17. 2 2( x + 1) 3 3 3 2 1 sin −1 x x2 1 x 1 − x2 sin −1 x − sin −1 x + +c ( x + 1 − x 2 ) + c 20. x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c 21. e 2 4 4 2 x2 x 1 x2 x2 x4 x4 22. ln x − + c , 23. ln x − + c 24. x tan x − ln sec x + c 25. − sin 2 x + cos 2 x + c 4 4 8 2 4 4 16 19. 3 1 3 x3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −1 26. sin x − (1 − x ) + (1 − x ) + c 27. x 1 + x − (1 + x ) + c 3 9 3 3 28. x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + c 29. x sin −1 x + 1 − x 2 + c 30. x ln x − x + c 31. 2 2x 3 2 2x 3 e cos 3x + e 2 x sin 3x + c 32. e sin 3x − e 2 x cos 3x + c 13 13 13 13 1 2 1 2 33. − e− x cos 2 x + e− x sin 2 x + c 34. − e − x sin 2 x − e − x cos 2 x + c 5 5 5 5 2 x 1 x x3 x 3x sin x sin x − +c 35. e sin 2 x + e cos 2 x + c 36. e sin x − e + c 37. ln 3 (ln 3) 2 5 5 1 2x −1 1 1 38. x ln(1 + x3 ) − 3x + ln x + 1 − ln( x 2 − x + 1) + 3 tan −1 + c 39. − x 2 cos x 2 + sin x 2 + c 2 2 2 3 40. 略, 41 略, 42. − 12 π 1 + 4 43. − 44. bf ′(b) − af ′(a) − f (b) + f (a) 2 e 4 2 習題 5-5 1. − 1 1 1 1 1 1 cos 7 x + cos 3x + c 2. − cos8 x + cos 2 x + c 3. − sin 5 x + sin x + c 14 6 16 4 10 2 4. 1 1 1 1 1 1 sin 6 x + sin 2 x + c 5. sin 9 x + sin 3x + c 6. − sin(9 x + 6) + sin 5 x + c 12 4 18 6 18 10 7. 1 1 1 cos3 x − cos x + c 8. ( x − sin x cos x) + c 9. sin x − sin 3 x + c 3 2 3 2 2 5 1 3 1 ⎛1 ⎞ 10. − ⎜ sin 5 x − sin 3 x + sin x ⎟ + c 11. x − sin 2 x + sin 4 x + sin 3 2 x + c 16 4 64 48 3 ⎝5 ⎠ 1 1 1 x 1 12. x − cos 2 x + c , 13. cos5 x − cos3 x + c 14. − sin 4 x + c 2 5 3 8 32 15. 9 5 1 9 2 1 3 3 2 2 sin x − sin 7 x + sin 5 x + c 16. x + sin10 x + c 17. cos 2 x − cos 2 x + c 9 7 5 2 20 9 5 18. 1 5 1 3x 1 1 sin x − sin 7 x + c 19. + sin 2 x + sin 4 x + c 5 7 8 4 32 20. 1 1 1 1 1 3 2 3 8 sin 2 x − sin 3 2 x − sin 4 x − sin 2 x + x + c 21. sin 3 x − sin 3 x + c 16 48 64 16 16 2 8 22. − 7 3 1 1 2 2 2 2 − 2sin x + sin 3 x + c 23. cos 2 x − cos 2 x + c 24. cos5 x − cos3 x + c sin x 3 7 3 5 3 25. 1 1 1 1 tan 4 x − tan 2 x + ln sec x + c 26. − cot 5 x + cot 3 x − cot x − x + c 27. tan x − x + c 4 2 5 3 28. 1 1 1 tan 2 x − ln sec x + c 29. − cot 2 x − ln sin x + c 30. − cot 3 x + cot x + x + c 2 2 3 2 2 1 3 3 31. − cot 3x − x − csc3 x + c 32. sec3 x tan x + sec x tan x + ln sec x + tan x + c 3 3 4 8 8 33. 7 3 1 1 1 1 1 2 2 tan 6 x + tan 4 x + c 34. − cot 8 3x − cot 6 3x − cot 4 3 x + c 35. tan 2 x + tan 2 x + c 6 4 24 9 12 7 3 36. 1 1 1 1 tan 6 x + tan 4 x + tan 2 x + c 37. csc x + cot x + c 38. cos 2 x − ln cos x + c 6 2 2 2 39. 1 1 ln csc x − cot x + ln sec x + tan x ) + c 40. sin 2 x + c ( 2 2 x x −1− 2 tan − 1 1 2 2 + +c ln 41. x 2 2 tan − 1 + 2 1 + tan 2 x 2 2 tan 習題 5-6 1. 2 8 1 x 1 − 25 x 2 ⎛ 3x ⎞ x 16 − 9 x +c + c 2. sin −1 ⎜ ⎟ + + c 3. sin −1 (5 x) + 10 2 3 2 ⎝ 4 ⎠ 4 4 − x2 x 3 − 9 − 4 x2 ⎛ x −1 ⎞ −1 ⎛ x ⎞ + 9 − 4 x2 + c 4. 5sin ⎜ ⎟ + c 5. sin ⎜ 3 ⎟ + c 6. 3ln 2x ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠ −1 7. x 9 −1 x x 9 − x 2 1 x sin + + c 8. tan −1 + c 9. + c 10. ln 2 3 2 4 4 9 9 + 4 x2 3 x 2 + 6 x + 10 + x + 3 + c 11. 1 x 9 + x2 9 − ln 9 + x 2 + x + c 12. ln 9 + x 2 + x + c 13. ln 3 2 2 14. − 17. 20. 9 + 4 x2 − 3 +c 2x 4 + x2 x x 9 + x2 9 + ln 9 + x 2 + x + c + c 15. + c 16. 2 4x 2 2 4 4+ x 5 3 1 1 (1 + x 2 ) 2 − (1 + x 2 ) 2 + c 18. 5 3 4 x 2 − 9 − 3sec −1 2x 1 1 − x2 + c 19. ln − +c 3 x x ( ) 25 −1 ⎛ 3x ⎞ x 25 − 9 x 2 x2 − 1 e x e2 x − 9 9 + c 22. sin ⎜ ⎟ − − ln e x + e 2 x − 9 + c + c 21. 54 5 18 x 2 2 ⎝ ⎠ 23. ⎛ ex x x2 − 9 9 1 − ln x + x 2 − 9 + c 24. sec −1 ⎜ 2 2 2 ⎝ 2 26. 1 10 ln x 2 − 2 x − 8 + ln 2 3 x−4 x − 2x − 8 2 ⎞ 7 −1 x + 1 +c ⎟ + c 25. 2 x − tan 2 4 ⎠ 1 −1 x − 2 tan +c 3 3 + c 27. x−2 9 10 tan −1 + c 29. ln x − 1 + x 2 − 2 x + c 10 10 x −1 +c 30. −3 2 x − x 2 + 5sin −1 ( x − 1) + c 31. − 8 + 2 x − x 2 + sin −1 3 28. ln x 2 − 4 x + 14 + 32. ln 2 x + 1 + 4 x 2 + 4 x − 16 + c 33. 35. 2 + ln( 2 + 1) 36. 5 − 2 x + x 2 − 3ln x 2 − 2 x + 5 + x − 1 + c 34. 25 25 − ln 3 6 8 習題 5-7 1. 1 x−2 3 1 2 7 ln + c 2. ln x − 3 + ln x + 3 + c 3. ln x − ln x + 5 + c 2 2 5 5 4 x+2 3 1 4 13 4. 3ln x − ln( x 2 + 1) − tan −1 x + c 5. x 3 + 3x + ln x − 1 − ln x + 2 + c 2 3 3 3 1 1 3 3 − +c 6. ln x + ln x − 1 − ln x + 1 + c 7. ln x + 1 + 2 2 x + 1 2( x + 1) 2 8. 3 1 3 1 ln x − tan −1 x + c − ln( x 2 + 1) − 25 25 x 50 125 9. 5 3 3 4 ln x − 1 − ln x + 1 + + ln x + 2 + c 12 4 2( x + 1) 3 10. 1 2 1 1 1 31 x − 2 x + ln x + − 2 + ln x + 2 + c 2 8 4x 4x 8 4 3− π 3 11. 7 4 20 11 1 1 1 x ln x + 1 + ln x − 2 − ln x + 2 − tan −1 + c + ln x − 2 − + c 12. 27 9( x + 1) 27 9( x − 2) 32 32 16 2 13. − ln tan x + 1 1 + ln tan x − 1 + c 14. x − ln(e x + 1) + x +c tan x e +1 15. 2 ln x − 1 − 11ln x − 2 + 10 ln x − 3 + c 16. ln x + ln x − 1 + ln x + 2 + c 17. 2 ln x − 1 − 1 2 − 2 ln x + 2 + c 18. 2 ln x − 1 + − ln( x 2 + 1) + tan −1 x + c x −1 x −1 1 3 x 1 3 1 + + +c 19. tan −1 x + ln( x 2 + 4) − tan −1 + c 20. − 2 2 2 2 x + 2 2( x + 2) 3( x + 2)3 21. ln x − 1 − 4 3 2 1 1 1 − − − + c 22. − x + +c 2 3 4 x x − 1 ( x − 1) 3( x − 1) 2( x − 1) e + 1 2(e + 1) 2 1 1 1 1 1 1 23. − ln e x + 1 + + ln e x − 2 + c 24. − ln(e 2 x + 1) − tan −1 e x + ln e x − 1 + c x 9 3(e + 1) 9 4 2 2 1 1 1 25. ln e x − 1 − ln e x + 3 + c 26. ln sin x − ln(sin 2 x + 1) + c 4 4 2 27. 30. x 2 + tan − 1 x 2 2 2 ln + c 28. − tan + x + c 29. ln 2 5 x x 1 + 2 tan − tan 2 2 2 1 5 tan θ + 3 tan −1 + c 31. 2 4 x +1 2 +c x 2 x 4 − 4 tan + 6 tan 2 2 x ⎛ ⎞ 5 tan + 4 ⎟ ⎜ 2 x 2 ⎛ ⎞ 2 tan −1 ⎜ 5 tan ⎟ + c 32. tan −1 ⎜ ⎟+c 3 3 2 5 ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 tan x x 2 + tan − 1 tan 2 2 +c 33. 2 ln + c 34. ln x x x tan + 1 1 + 2 tan − tan 2 2 2 2 x 1 x x 35. − ln 1 + tan + ln 1 + tan 2 + + c 2 2 2 2 1 x 1 x 1 1 36. − ln 1 − tan + ln 1 + tan − + +c x x 2 2 2 2 2 1 + tan (1 + tan ) 2 2 習題 5-8 1.收斂 2.收斂 3.發散 4.收斂 5.收斂 6.發散 7.收斂 8.發散 9.發散 10.收斂 11.收斂 12.發散 13.收斂 14.收斂 15.發散 16.收斂。 習題 5-9 1.梯形法則 ≈ 604.06 ,辛普森法則 ≈ 596.25 2.梯形法則 ≈ 5.6724 ,辛普森法則 ≈ 5.6527 3.梯形法則 ≈ 0.6938 ,辛普森法則 ≈ 0.6932 4.梯形法則 ≈ 0.9871 ,辛普森法則 ≈ 1.0001 5.梯形法則 ≈ 1.3694 ,辛普森法則 ≈ 1.3708 6.梯形法則 ≈ 0.7462 ,辛普森法則 ≈ 0.7468 7.梯形法則 ≈ 1.1352 ,辛普森法則 ≈ 1.1358 5