5 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior 1.1 1.1. Introducción En este capítulo resolveremos ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. Estudiaremos diferentes métodos tanto para ecuaciones lineales como ecuaciones no lineales. Además se estudiarán las ecuaciones diferenciales de orden superior cuando tenemos problemas de valor inicial y de valores en la frontera. 1.2 Problemas de valor inicial y de valores en la frontera Un problema de valor inicial de orden n es: an HxL Sujeta a : yHx0 L = y0 , y' Hx0 L = y1 , ..., yHn-1L Hx0 L = yn d xn + an-1 HxL d n-1 y Resolver : Teorema 1 1.3 dn y d xn-1 + ... + a1 HxL d xn + a0 HxL y = gHxL Sean an HxL, an-1 HxL, ..., a1 HxL, a0 HxL y gHxL continuas en un intervalo I, y sea an HxL ∫ 0 para todo x del intervalo. Si x = x0 es cualquier punto en el intervalo, existe una solución en dicho intervalo y(x) del problema de valor inicial representado por las ecuaciones (1) y (2), y es única. Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma dn y dx Existencia de una solución única Ecuaciones Homogéneas an HxL dy + an-1 HxL d n-1 y d xn-1 + ... + a1 HxL dy dx + a0 HxL y = 0 se llama homogénea, mientras que una ecuación (1) (2) 2 an HxL dn y d xn + an-1 HxL d n-1 y d xn-1 + ... + a1 HxL dy dx + a0 HxL y = gHxL donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea, por ejemplo: 2 y'' + 3 y ' - 5 y = 0 ö Ecuación diferencial homogénea x3 y''' + 6 y' + 10 y = ex ö Ecuación diferencial no homogénea Teorema 2 Si y = f1 HxL y y = f2 HxL son soluciones de y’’+by’+cy=0, entonces y = C1 f1 HxL + C2 f2 HxL es una solución para todos los números reales C1 y C2 . D e fi n i c i ó n 1 La ecuación auxiliar de una ecuación diferencial y '' + by' + cy = 0 es m2 + bm + c = 0 ésta es la ecuación características de la ecuación diferencial. La solución de la ecuación diferencial está directamente relacionada con la forma que tengan las raíces de las ecuación características, para obtenerlas usamos la ecuación cuadrática: m1,2 = -b ≤ b2 - 4 * 1 * c 2*1 = -b ≤ b2 - 4 c 2 Que dan lugar a tres casos expuestos en los siguientes teoremas: Teorema 3 Soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden y '' + by' + cy = 0 pueden ser de tres clases, dependiendo de cómo sean las soluciones m1 , m2 de la ecuación característica m2 + bm + c = 0 1.- Raíces reales distintas Si m1 ∫ m2 , ambas reales, la solución general es: y = C1 e m 1 x + C2 e m 2 x 2.- Raíces reales iguales Si m1 = m2 , ambas reales, la solución general es: y = C1 em1 x + C2 xem1 x 3.- Raíces Compejas Si m1 = a + b i y m2 = a - b i, la solución general es: y = C1 eax cosH bxL + C2 eax senH bxL 3 Ejemplo 3.1 Solución : Hallar la solución general de la ecuación diferencial y'' + 6 y' + 12 y = 0 1.- Para determinar la solución primero debemos hallar la ecuación auxiliar o característica: y'' + 6 y ' + 12 y = 0 m2 + 6 m + 12 = 0 ö Ecuación característica 2.- Determinamos las raíces de la ecuación característica m1,2 = m1,2 = b2 - 4 c -b ≤ 2 -6 ≤ -12 = 2 m1 = -3 + 3 i m2 = -3 - 3 i = -6 ≤ 36 - 4 * 12 2 -6 ≤ -1 12 2 = = -6 ≤ 36 - 48 2 -6 ≤ 2 3 i 2 = -3 ≤ 3 i ö Raíces complejas 3.- Dado que las raíces son complejas la solución de la ecuación diferencial será: y = C1 eax cosHbxL + C2 eax senHbxL en este caso a = -3 y b= 3 y = C1 e-3 x cosI 3 xM + C2 e-3 x senI 3 xM Ejemplo 3.2 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y'' + 4 y' + 4 y = 0 con las condiciones iniciales y(0)=2 y y’(0)=1 Solución : 1.- Para determinar la solución primero debemos hallar la ecuación auxiliar o característica: y'' + 4 y ' + 4 y = 0 m2 + 4 m + 4 = 0 ö Ecuación característica 2.- Determinamos las raíces de la ecuación característica m1,2 = -b ≤ m1,2 = - 2 b2 - 4 c 2 ö = -4 ≤ 16 - 4 * 4 2 = -4 ≤ 2 0 = -2 Raíces reales iguales 3.- Dado que las raíces son reales e iguales la solución de la ecuación diferencial será: y = C1 em1 x + C2 xem1 x y = C1 e-2 x + C2 xe-2 x 4.- En este caso me proporcionan las condiciones iniciales por lo que debemos obtener la solución única de la ecuación diferencial: 4 aL y = 2 para x = 0 2 = C1 H1L + C2 H0L H1L 2 = C1 bL y' = 1 para x = 0 y' = - 2 C1 e-2 x + C2 Ie-2 x - 2 xe-2 x M 1 = - 2 C1 + C2 ï 1 = - 4 + C2 C2 = 5 Por lo tanto la solución particular será : y = 2 e-2 x + 5 xe-2 x Ejemplo 3.3 Solución : Hallar la solución general de la ecuación diferencial y''' - y' = 0 1.- Para determinar la solución primero debemos hallar la ecuación auxiliar o característica: y''' - y ' = 0 m3 - m = 0 ö Ecuación característica 2.- Determinamos las raíces de la ecuación característica mIm2 - 1M = 0 mHm - 1L Hm + 1L = 0 m1 = 0, m2 = 1 y m3 = -1 3.- Dado que las raíces son reales e iguales la solución de la ecuación diferencial será: y = C1 e m 1 x + C2 e m 2 x + C3 e m 3 x y = C1 + C2 ex + C3 e-x 1.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales No homogéneas Como mencionamos anteriormente las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas son aquellas cuya forma: an HxL dn y d n-1 y + a0 HxL y = gHxL dx dx d xn-1 Si consideremos que son con coeficientes constantes, nos quedaría de la forma: n + an-1 HxL + ... + a1 HxL dy y'' + by' + cy = FHxL En este caso la solución se desglosa en una solución homogénea y una solución particular. Teorema 4 Solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea 5 Sea y’’+by’+cy=F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Si y p es una solución particular de este ecuación e yh es la solución general de la correspondiente ecuación homogénea, entonces y = yh + y p es la solución general de la ecuación no homogénea. 1.4.1 Operadores diferenciales En cálculo la diferenciación se puede representar de varias formas: dy dx d = y ' = Dy dy dx dx = d2 y 2 dn y = y'' = DHDyL = D2 y en general n = Dn y = yHnL dx dx 1.4.2 Método de los coeficientes indeterminados Ya sabemos cómo calcular la solución de la ecuación diferencial lineal homogénea. El resto de esta sección se dedica al cálculo de la solución particular y p . Si en la ecuación y'' + by' + cy = F HxL la función F(x) consta de sumas o productos de xn , emx , cosbx o senbx, se puede hallar una solución particular y p por el método de los coeficientes indeterminados. Por ejemplo: Si F HxL = 2 x2 , tomar y p = Ax2 + Bx + C 1. Si F HxL = 4 xex , tomar y p = A x ex + B ex 2. Si FHxL = x + senH2 xL, tomar y p = HAx + BL + CsenH2 xL + DcosH2 xL 3. Table 1.1. Soluciones Particulares Tentativas F(x) 1 Forma de y p A 5x+7 3 x2 + 1 x3 - x + 1 Ax + B Ax2 + Bx + C Ax3 + Bx2 + Cx + D sen 4x cos 2x A cos4x + Bsen4x A cos2x + Bsen2x xe3 x cos4x Ejemplo 4.4 HAx + BL e3 x cos4x + HCx + DL sen4x Hallar la solución general de la ecuación diferencial y'' - 2 y' - 3 y = 2 senx 6 Solución : 1.- Lo primero es determinar la solución homogénea de la ecuación diferencial yh , para ello tomamos la ecuación y la igualamos a cero: y'' - 2 y ' - 3 y = 0 m2 - 2 m - 3 = 0 m1,2 = 2≤ 4 + 12 2 = 2≤4 2 = m1 = 3 m2 = - 1 Por lo que la solución homogénea será: yh = C1 e3 x + C2 e-x 2.- Ahora determinamos la solución particular: FHxL = 2 SenHxL ö y p = A cosHxL + B senHxL y p ' = - A senHxL + B cosHxL aL Determinamos las derivadas : y p '' = - A cosHxL - B senHxL bL Sustituimos todas las derivadas en la ecuación diferencial : y'' - 2 y' - 3 y = 2 senx H- A cosHxL - B senHxLL 2 H- A senHxL + B cosHxLL - 3 HA cosHxL + B senHxLL = 2 senHxL - A cosHxL - B senHxL + 2 A senHxL - 2 B cosHxL - 3 A cosHxL - 3 B senHxL = 2 senHxL Sacamos factor común de Sen(x) y Cos(x): H- A - 2 B - 3 AL cosHxL + H- B + 2 A - 3 BL senHxL = 2 senHxL H-4 A - 2 BL cosHxL + H-4 B + 2 AL senHxL = 2 senHxL Hacemos las igualaciones : -4 A - 2 B = 0 ö B = -2 A -4 B + 2 A = 2 ö -4 H- 2 AL + 2 A = 2 A= ö B= 1 5 -2 5 y p = A cosHxL + B senHxL yp = 1 5 cosHxL - 2 5 senHxL 3.- Ahora la solución general es: y = yh + y p y = C1 e3 x + C2 e-x + 1 5 cosHxL - 2 5 senHxL ö 8 A+2 A = 2 7 1.4.3 Método de variación de las constantes D e fi n i c i ó n 2 Variación de las constantes La solución general de la ecuación y '' + ay' + by = FHxL, se puede hallar siguiendo estos pasos: 1. Hallar yh = C1 y1 + C2 y2 . 2. Reemplazar las constantes por funciones, tomando y p = u1 y1 + u2 y2 . 3. Resolver el siguiente sistema en u1 ' y u2 ' u 1 ' y1 + u 2 ' y2 = 0 u1 ' y1 ' + u2 ' y2 ' = FHxL 4. Integrar los resultados para obtener u1 y u2 . La solución general es y = yh + y p Ejemplo 4.5 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y'' - 2 y' + y = Solución : ex 2x La ecuación característica m2 - 2 m + 1 = Hm - 1L2 = 0 tiene como solución m=1. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es yh = C1 y1 + C2 y2 = C1 ex + C2 xex Sustituyendo C1 y C2 por u1 y u2 se obtiene y p = u1 y1 + u2 y2 = u1 ex + u2 xex Aplicamos el método de la variación de constantes que establece : u 1 ' y1 + u 2 ' y2 = 0 u1 ' y1 ' + u2 ' y2 ' = FHxL u1 ' ex + u2 ' xex = 0 Sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas Restamos las dos ecuaciones: -u1 ' ex - u2 ' xex = 0 u1 ' ex + u2 ' Hx ex + ex L = ex 2x ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ u2 ' e x = ex 2x u1 ' ex + u2 ' Hx ex + ex L = ex 2x 8 1 2x -1 2 u2 ' = u1 ' = 1 u2 = ‡ 2x -1 u1 = ‡ 2 dx = dx = Integramos ambos lados de la igualdad 1 2 LnHxL = Ln -1 2 x x Por lo tanto la solución particular será : yp = -1 2 x ex + ILn x M x ex y la solución general será : y = yh + y p y = C1 ex + C2 xex - Ejemplo 4.6 Solución : 1 2 x ex + ILn x M x ex Hallar la solución general de la ecuación diferencial y'' + y = TanHxL La ecuación característica m2 + 1 = 0 tiene como solución m=±i. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es yh = C1 eax cosHbxL + C2 eax senHbxL = C1 cosHxL + C2 senHxL Sustituyendo C1 y C2 por u1 y u2 se obtiene y p = u1 y1 + u2 y2 = u1 cosHxL + u2 senHxL Aplicamos el método de la variación de constantes que establece : u 1 ' y1 + u 2 ' y2 = 0 u1 ' y1 ' + u2 ' y2 ' = FHxL u1 ' cosHxL + u2 ' senHxL = 0 Sistema ecuaciones u1 ' H-senHxLL + u2 ' cosHxL = TanHxL = senHxL cosHxL Para resolver el sistema de ecuaciones multiplicamos la primera ecuación por sen(x) y la segunda ecuación por cos(x). 9 u1 ' cosHxL senHxL + u2 ' senHxL senHxL = 0 -u1 ' senHxL cosHxL + u2 ' cosHxL cosHxL = cosHxL senHxL cosHxL ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ u2 ' Isen2 HxL + cos2 HxLM = senHxL u2 ' = senHxL u1 ' = - sen2 HxL cosHxL Integramos ambos lados de la igualdad u2 = ‡ senHxL dx = - cosHxL ‡- sen HxL 2 cosHxL u1 = dx = ‡ cos2 HxL - 1 cosHxL dx = ‡ cosHxL - secHxL dx = senHxL - ‡ secHxL dx Resolvemos esta integral ‡ secHxL dx = ‡ secHxL HsecHxL + tan HxLL dx sec2 HxL + secHxL tanHxL dx HsecHxL + tanHxLL = ‡ HsecHxL + tanHxLL u= = ‡ secHxL + TanHxL du = Isec2 HxL + sec HxL tanHxLM dx Y ahora hacemos el cambio de variable du u = LnHuL = LnHsecHxL + TanHxLL u1 = senHxL - LnHsecHxL + TanHxLL Por lo tanto la solución particular será : y p = @senHxL - LnHsecHxL + TanHxLLD cosHxL + H- cosHxLL senHxL y la solución general será : y = yh + y p y = C1 cosHxL + C2 senHxL + @senHxL - LnHsecHxL + TanHxLLD cosHxL + H-cosHxLL senHxL 10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Dennis Zill y Michael Cullen “ECUACIONES DIFERENCIALES”, 5ta y 6ta edición. [2] Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición [3] N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición [4] Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición [5] James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE". [6] Murray Spiegel, “ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS”, 3era edición.