Sobre la matemática del Problema de Kepler

Sobre la matemática del Problema de Kepler
Carlos S. Chinea
Sobre la matemática del Problema de
Kepler
Carlos Sánchez Chinea
Introducción
Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona,
Alemania, 15 de noviembre de 1630), publicó las tres leyes que describen el
movimiento de los planetas en orbitas cerradas alrededor del Sol, las dos primeras
en el año 1609 (en su obra Astronomia Nova), y la tercera ya en el año 1619, en su
Harmonices mundi (La armonía de los
mundos), cuando aún no se conocía la
ley de gravitación de Newton (Isaac
Newton nacería el 25 de diciembre del
año 1642, doce años después de la
muerte de Kepler).
El descubrimiento de Kepler fue, pues,
experimental, basándose en los datos
sobre el movimiento planetario que se
conocían
hasta
el
momento,
en
particular los datos acumulados por
Tycho Brahe, a los cuales pudo acceder
a partir de 1602.
Con el desarrollo de la mecánica
newtoniana y el conocimiento de que la
ley de atracción de las masas es una
fuerza central de potencial inverso a la
distancia, las tres leyes pudieron ser
deducidas
matemáticamente.
Esta
deducción teórica solamente pudo
hacerse, pues, a partir de la obra de
Newton.
En el presente estudio exponemos una
forma de obtener matemáticamente las
tres leyes desde la consideración de un
campo central newtoniano. Obtendremos las ecuaciones del movimiento del
sistema constituido por las dos masas
Astronomia Nova, 1609
que se encuentran en mutua atracción
y reduciremos el problema al movimiento de un solo cuerpo inmerso en el campo
de atracción de uno de ellos supuesta fija su posición.
1
Sobre la matemática del Problema de Kepler
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Añadimos al final un pequeño apéndice que tiene por objeto definir de forma
elemental el concepto de curva cónica e indicar algunas propiedades sencillas de la
elipse a fin de que el lector pueda seguir fácilmente la exposición.
Las tres leyes
Primera Ley:
1. Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria
elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.
Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los
movimientos aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran
tamaño orbitando alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas,
asteroides, etc.., pero si se tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos
celestes habría que enunciar esta primera ley kepleriana de la siguiente manera:
1. Bajo la fuerza de atracción gravitacional de un objeto astronómico el
movimiento de otro objeto a su alrededor sigue una trayectoria cónica
(círculo, elipse, parábola, hipérbola).
Para probar mediante la mecánica de Newton que se verifica esta ley, hemos de
probar que la trayectoria de un objeto que orbita alrededor de una masa mayor
está contenida en un plano, por una parte, y por otra, hemos de probar que tal
trayectoria plana es necesariamente una cónica (elipse, circunferencia, parábola o
hipérbola).
Segunda Ley:
2. El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada
planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.
Esto indicará que los planetas más cercanos al sol se desplazan más rápidamente, o
sea, tardan menos tiempo en dar una vuelta completa en la elipse.
La prueba sería, simplemente, el probar que el área recorrida por el radio vector en
cada unidad de tiempo es constante
Tercera Ley:
3. Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas
alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de
sus órbitas elípticas.
a3
= cons tan te
T2
La prueba, obviamente, consistiría en obtener tal relación de proporcionalidad.
2
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El problema de los dos cuerpos
Supongamos dos masas, m1 y m2, que
interaccionan por mutua atracción a una
distancia r, con potencial V (r ) .
Se verifica, por principio de acción y
reacción, que
r
r
f12 = − f 21
r
r
f12 = −∇V (r )
Llamando C al centro de inercia de
ambas masas, podemos escribir, desde
la figura, las relaciones vectoriales:
r r r
r1 = rc + rc1
r r r
r2 = rc + rc 2
r r r
r&1 = r&c + r&c1
r r r
r&2 = r&c + r&c 2
Asimismo:
r r r r r r
r = r2 − r1 r& = r&2 − r&1
Por ser C centro de inercia:
r
r
 m1.rc1 + m2 .rc2 = 0
r r
r = rc2 − rc1
De lo cual se deduce que:
m2 r r
m1 r
r rc2 =
r
m1 + m2
m1 + m2
r
m2 r& r
m1 r&
vc1 = −
r vc2 =
r
m1 + m2
m1 + m2
r
rc1 = −
Y la energía cinética del sistema es:
r 1 r 1 r
r 1
r
1
1
m22
r& 2 +
Τ = (m1 + m2 ).r&c2 + m1.r&c12 + m1.r&c22 = (m1 + m2 ).r&c2 + m1.
2
2
2
2
2
2
(m1 + m2 )
r
r 1 m1.m2 r& 2
1
1
m12
r& 2 = (m1 + m2 ).r&c2 +
r
+ m1.
2
2
(m1 + m2 )
2
2 m1 + m2
Y si llamamos m a la masa reducida del sistema:
m .m
m= 1 2
m1 + m2
queda:
r
r
1
Τ = (m1 + m2 ).r&c2 + m.r& 2
2
Con lo que obtenemos la expresión de la función de Lagrange:
r
r
1
L = Τ − V (r ) = (m1 + m2 ).r&c2 + m.r& 2 − V (r )
2
[1]
Puesto que se han de verificar las ecuaciones de Lagrange para la variable
decir
rc, es
d  ∂L  ∂L
 r − r =0
dt  ∂r&c  ∂rc
se tiene entonces que, al ser
rc una variable ignorada en la expresión, será:
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r
r
d  ∂L  d
 r  = (m1 + m2 )r&c = (m1 + m 2 ).&r&c 
r

dt  ∂r&c  dt
 → (m1 + m 2 ).&r&c = 0
∂L

r =0

∂rc
r
de lo que se deduce que &r&c = 0 , es decir, el centro de inercia C está en reposo o
con movimiento uniforme, lo que nos indica que las fuerzas centrales no afectan a
su movimiento, por lo que podemos usarlo como origen de referencia (haciendo
r
rc = 0 ). La lagrangiana [1] quedaría entonces en la forma
L=
1 r& 2
m.r − V (r )
2
y la solución del problema es equivalente formalmente al movimiento de una
partícula de masa m desplazándose en el campo central V(r) origen de las fuerzas
dirigidas hacia la masa fija m1:
L=
1 m1.m2 r& 2
r − V (r )
2 m1 + m2
r
r
r
r r
r
r& = r&.ur + rθ&.uθ , siendo ur , uθ vectores unitarios. Se tiene, entonces: r& 2 = r& 2 + rθ& 2
y la lagrangiana queda en función de las coordenadas r , θ así:
1 m1.m2 2 1 m1.m2 2 & 2
L=
r& +
r θ − V (r )
2 m1 + m2
2 m1 + m2
El movimiento describe una órbita plana:
Podemos obtener de inmediato las ecuaciones del movimiento:
Consideremos la expresión de la lagrangiana con la masa reducida, y apliquemos
las ecuaciones de Lagrange
1
1
m.r& 2 + mr 2θ& 2 − V (r )
2
2
 ∂L
& 2 ∂V (r )
 ∂r = mrθ − ∂r
∂V (r )
&r& − mrθ& 2 +
→
=0
m

d  ∂L  ∂L
∂L
∂
r
0
−
=
 = mr&
 
dt  ∂r&  ∂r
→  ∂r&
d  ∂L  ∂L
 ∂L
=0 
=0
 &−
d
∂θ
dt  ∂θ  ∂θ
→ (mr 2θ&) − 0 = 0
 ∂L
dt
 = mr 2θ&
 ∂r
L=
Ecuaciones del movimiento:
∂V (r )

=0
m&r& − mrθ& 2 +

∂r
 mr 2θ& = cons tan te
r
La segunda ecuación del movimiento nos indica que el momento angular La , por
definición perpendicular a la trayectoria, es constante:
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r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
La = r ∧ p = r.u r ∧ m(r&.u r + rθ&.uθ ) = m.r.r&.u r ∧ u r + mr 2θ&(u r ∧ uθ ) = 0 + mr 2θ&.k = cte
r
La = cte
[2]
lo que nos dice que la trayectoria está contenida en un plano.
Una vez visto que la trayectoria del movimiento es una curva plana, se trata ahora
de establecer el tipo de curva. Se trata de probar que, efectivamente, es una
cónica.
Para ello hemos de integrar las ecuaciones del movimiento. Por simplicidad
utilizaremos las integrales primeras E y La:
1 m 2 .r 4θ& 2
1 r& 2
1
1
1
+ V (r ) →
m.r + V (r ) = m.r& 2 + m.r 2θ& 2 + V (r ) = m.r& 2 +
2
2 m.r 2
2
2
2
L2a
1
→ E = m.r& 2 +
+ V (r )
2
2m.r 2
L2a
1 r
Si llamamos Vc =
+ V (r ) , será E = m.r& 2 + Vc (r ) , de donde despejamos r& :
2
2
2.m.r
dr
2
dr
(E − Vc (r ) ) , y de aquí: t = ∫
=
dt
m
2
(E − Vc (r ) )
m
E = Τ + V (r ) =
2
También de La = m.r θ& despejamos θ& :
L
dθ
L
= a 2 , de donde se obtiene θ = ∫ a 2 dt
m.r
dt m.r
Se han obtenido así las relaciones t = t ( r ) y
ambas obtenemos la relación
θ =∫
θ = θ (t ) .
Eliminando el tiempo entre
θ = θ (r ) que nos da la órbita buscada:
La
dt = ∫
m.r 2
La
2
m.r
dr = ∫
2
(E − Vc (r ) )
m
L 
− d a 
 r 
2m(E − Vc (r ) )
[3]
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Para poder integrar necesitamos conocer la forma del potencial, esto es, la ley de la
gravitación newtoniana.
La ley de gravitación de Newton establece como potencial V (r ) = −
por simplicidad, llamando k = G.m1 .m 2 , sería V ( r ) = −
que Vc =
Gm1 m2
, o bien,
r
k
, y resulta, en definitiva
r
L2a
k
−
2
r
2.m.r
Primera Ley de Kepler. Las trayectorias posibles han de ser curvas cónicas
Vamos a resolver la integral [3] a fin de obtener la ecuación de la trayectoria para
el potencial newtoniano:
θ =∫
L 
− d a 
 r 
=
2m(E − Vc (r ) ) ∫
L 
− d a 
 r 

L2a 
k

2m E + −
r 2mr 2 

preparamos el radicando que figura en denominador a fin de resolver la integral:

L2 
k
2mk L2a
− 2
2m E + − a 2  = 2mE +
r 2mr 
r
r

2
2
m .k
le sumamos y restamos la expresión
, con lo cual
L2a

k
L2 
m 2 .k 2 m 2 .k 2 2mk L2a
m 2 .k 2  L mk 

2m E + − a 2  = 2mE + 2 − 2 +
− 2 = 2mE + 2 −  a −
r 2mr 
La
La
r
r
La
r
L
a



L 
L 
− d a 
− d a 
 r 
 r 
θ =∫
=∫
2

L2 
k
m 2 k 2  La mk 
2m E + − a 2 

2mE + 2 − 
−
r 2mr 
La 
La

 r
Si hacemos el cambio de variables z =
q = 2mE +
2
La mk
−
, y llamamos, por simplificar,
r
La
m 2 .k 2
, la integral queda así:
L2a
θ =∫
− dz
q−z
2
=
1
∫
q
− dz
z2
1−
q
=∫
 z 

− d
 q

 = arccos z  + θ
 q 0
2


 z 

1− 
 q


De lo cual se tiene que
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z
q
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= cos(θ − θ 0 ) → z = q . cos(θ − θ 0 )
Deshaciendo los cambios:
La mk
m2k 2
−
= 2mE + 2 . cos(θ − θ 0 )
r
La
La
o bien:
2 EL2a
1 mk mk
= 2 + 2 1+
cos(θ − θ 0 )
r La
La
mk 2
Es decir, se obtiene una ecuación de la forma:
1 1 ε
= + cos(θ − θ 0 )
r p p
que corresponde a una cónica de excentricidad
ε = 1+
2 EL2a
(ver la definición de
mk 2
cónica y la ecuación polar en el primer apartado del apéndice, expresión [A0]).
El valor de la excentricidad depende simplemente de la energía total
las otras magnitudes son constantes. Veamos los valores posibles:
a) Si E > 0 , entonces
hipérbola.
1+
E, puesto que
2 EL2a
> 1 → ε > 1 , es decir, se trata de una
mk 2
2 EL2a
= 1 → ε = 1 , se trata ahora de una
b) Si E = 0 , entonces 1 +
mk 2
parábola.
c) Si E < 0 , entonces
0 ≤ 1+
2 EL2a
2 EL2a
<
1
o
bien
1
+
< 0 , por tanto se
mk 2
mk 2
tienen las dos alternativas:
2 EL2a
< 1 → 0 ≤ ε < 1 , que corresponde a una elipse, en
mk 2
donde el caso extremo ε = 0 es el de la circunferencia.
2 EL2a
c2) Si 1 +
< 0 → ε ∉ R y no hay órbita.
mk 2
c1) Si
0 ≤ 1+
En definitiva, si los planetas se desplazan alrededor del Sol en órbitas cerradas,
éstas han de ser necesariamente elípticas (consideramos la circunferencia como un
caso particular de elipse), tal como afirmaba la primera ley de Kepler, cumpliéndose
que E = Τ + V < 0 , es decir que T < V .
Los planetas se desplazan alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas
7
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Segunda Ley de Kepler. Áreas barridas en tiempos iguales son iguales
Consideremos un planeta en orbita elíptica alrededor del Sol, que ocupa uno de los
r
dos focos. Sea dr la variación infinitesimal del radio vector de posición del planeta
en su movimiento orbital, con respecto al Sol. El área infinitesimal barrida es la
r
r
mitad del área del paralelogramo que definen los vectores r y dr :
dS =
r
r
r
1 r
1 r
1 r r
1
dS 1 r dr
dr
= r∧
=
=
r ∧ dr →
r ∧m
r∧p =
La
dt 2
dt
dt
2
2m
2m
2m
y siendo constante el momento angular La en el campo central ([2]), se tiene que
la velocidad areolar es constante:
dS
dθ 1 2 dθ
dS
1
1
La =
mr 2
=
= r
= cte →
= cte → S = λt + S0
dt 2m
dt 2 dt
dt
2m
S = λt + S 0
Podemos encontrar la expresión de la constante λ en función de los parámetros de
la órbita, considerando el periodo T de traslación del planeta y los ejes a y b de la
elipse que describe, ya que el área barrida en un periodo T es el área total definida
por dicha elipse y que calculamos en el apéndice ([A5]):
dS πab
=
dt
T
Siendo (ver apéndice, [A1]) p
a=
[4]
= a(1 − ε 2 ) , se tiene:
p
=
1− ε 2
L a2
k
mk
=−
2
2E
L
− 2E a
mk 2
[5]
Asimismo, de [A2] y [A3]:
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Sobre la matemática del Problema de Kepler
b = + a 2 − c 2 = +a 1 − ε 2 = a
p
=
a
Carlos S. Chinea
pa = −
k L2a
L2a
La
.
=
=
2 E mk
2m E
2m E
[6]
Será:
dS
=
dt
π (− k 2 E ).( La
2m E
)
T
=
− kπLa
2 ET 2m E
Tercera ley de Kepler. Los cuadrados de los periodos siderales de
revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos
de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.
L
πa.b
dS πa.b
, sustituimos el valor del semieje
=
→ a =
2m
dt
T
T
La
menor por el valor [6] b =
, y eliminamos también la energía total mediante
2m E
En la expresión [4]:
k
a fin de que las únicas variables que aparezcan sean el valor del semieje
a
mayor, a, y el periodo T de la órbita:
E=−
L2a
π 2 a 2b 2
=
=
T2
4m 2
Simplificando:
π 2a 2
L2a
2m E
T2
=
π 2 a 2 L2a
2m E T 2
=
π 2 a 2 L2a
2m
k 2
T
2a
=
2π 2 a 3 L2a
2mkT 2
a3
1
= π 2 2 , por lo que, en definitiva, resulta:
4m
kT
a3
k
=
= cte
2
T
4π 2 m
Un ejemplo de cálculo usando la tercera ley de Kepler
En el caso de la Tierra orbitando alrededor del Sol, podemos encontrar la longitud
30
del semieje mayor de la elipse conociendo las masas del Sol (1,9891x10 Kgs) y de
24
la Tierra (5,9736x10 Kgs) junto con el periodo orbital (365,2564 días terrestres):
a3
k
G.m1.m2
G (m1 + m2 )
G (m1 + m2 ) 2
.T
=
=
=
→ a3 =
2
2
2
4π m 4π 2 m1.m2
4π
4π 2
T
m1 + m2
9
Sobre la matemática del Problema de Kepler
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por tanto, el semieje mayor de la elipse que describe el movimiento de la Tierra
alrededor del Sol puede calcularse como
a=3
G (m1 + m2 ) 2
.T
4π 2
G = 6,67.10 −11 Nw.m 2 .Kg −2
m1 = 1,9891.1030 Kgs (masa del Sol)
m2 = 5,9736.1024 Kgs (masa de la Tierra)
1 año = 365,2564 dias = 31,55815296.10 6 s
π = 3,1416
m1 + m2 = 1,9891.10 30 + 5,97363.10 24 Kg = 1,98910597363.10 30 Kg
G (m1 + m2 ) = 6,67.10 −11 x1,98910597363.10 30 = 13,2673368441121 .1019 Nw.m 2 .Kg −1 =
= 13,2673368441121.1019 m 3 .s − 2
G (m1 + m2 ) 13,2673368441121 19
=
.10 = 0,3360639964.1019 m 3 s − 2
39,47860224
4π 2
G (m1 + m2 ) 2
.T = 0,3360639964.1019 x995,917018246.1012 = 3346,91853234776.1030 m 3
2
4π
G (m1 + m2 ) 2 3
a=3
.T = 3346,91853234776 .1010 m = 14,9582819.1010 m = 14,9582819.10 7 km =
4π 2
= 149582819 kms
Bibliografía:
LANDAU, L.D.; LIFSHITZ, E.M., “Curso de Física Teórica”, vol I (Mecánica) y Vol II
(Teoría Clásica de los Campos). Editorial Reverté, Barcelona.
BAKULIN, P.I.; KONONOVICH, E.V.; MOROZ, V.I., “Curso de Astronomía General”,
Editorial Mir-Rubiños, Moscú-Madrid.
WIKIPEDIA, http://es.wikipedia.org/wiki/Astronomia_nova, de donde se ha tomado
la imagen de la portada del libro de Kepler Astronomia Nova.
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Sobre la matemática del Problema de Kepler
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Apéndice
Definición elemental de cónica:
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya relación de
distancias a un punto y una recta fijos es constante y se denomina excentricidad de
la cónica.
El punto y la recta fijos se denominan, respectivamente, foco y directriz de la
cónica, y el cociente de dividir la distancia al foco por la distancia a la directriz nos
da, por consiguiente, el valor de la excentricidad.
Llamando D a la distancia desde el foco
a la directriz, se tiene:
D = r cos θ + d → d = D − r cos θ
ε=
r
r
=
d D − r cos θ
εD = r (1 + ε cos θ ) →
ε
1
1
=
+
cos θ
r εD εD
llamando p = εD , queda la expresión
siguiente para la ecuación de la cónica
en coordenadas polares con origen en el
foco:
1 1 ε
= + cos θ
r p p
[A0]
Se definen, mediante el valor de la excentricidad, los diferentes tipos de cónicas:
-Hipérbola, si ε > 1
-Parábola, si ε = 1
-Elipse, si 0 ≤ ε < 1 (la circunferencia puede considerarse una elipse de
excentricidad nula)
11
Sobre la matemática del Problema de Kepler
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De los tres tipos de cónicas, la única cerrada es la elipse, que corresponde al caso
de excentricidad menor estrictamente que la unidad. Veamos algunas propiedades.
Algunas propiedades de la elipse:
θ = o,
El radio vector mínimo, rmin corresponde a
y el radio vector máximo,
rmax z corresponde a θ = π :
1
rmin
=
1 ε
1+ ε
p
+ cos 0 =
→ rmin =
1+ ε
p p
p
2a = rmin + rmax =
1
rmax
p
p
2p
p
+
=
→a=
2
1+ ε 1− ε 1− ε
1− ε 2
=
p
1 ε
1− ε
→ rmax =
+ cos π =
p p
p
1− ε
[A1]
Si llamamos c a la distancia entre el foco de referencia y el centro de la elipse, se
tiene que
c = a − rmin = a −
c
p
a(1 − ε 2 )
=a−
= a − a.(1 − ε ) = εa , o sea, ε =
a
1+ ε
1+ ε
[A2]
rmedio el radio vector del punto donde el semieje menor corta a la elipse, se
tiene que ε = rmedio d = rmedio D + c → rmedio = ε ( D + c ) = εD + εc = p + ε (εa ) =
Si es
12
Sobre la matemática del Problema de Kepler
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= a(1 − ε 2 ) + ε 2 a 2 = a . Luego, es rmedio = a
Por tanto, se verifica que
b 2 = a 2 − c 2 = a 2 (1 − ε 2 ) → 1 − ε 2 = b 2 a 2
[A3]
La ecuación reducida:
Podemos obtener la ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares con origen
en el centro (0,0) de la elipse. Bastará hacer el cambio, desde la ecuación en
coordenadas polares con origen en un foco F, de la forma
 x − c = r. cos θ

2
2
r = ( x − c ) + y
que, sustituimos en la ecuación polar:
1 1 ε
= + cos θ
r p p
r=
p
→ p = r + ε .r. cos θ → p = ( x − c) 2 + y 2 + ε ( x − c) →
1 + ε . cos θ
→ p − ε ( x − c) = ( x − c) 2 + y 2
Elevamos al cuadrado:
p 2 − 2ε ( x − c) p + ε 2 ( x − c) 2 = ( x − c) 2 + y 2
o bien
p 2 − 2ε ( x − c) p = (1 − ε 2 )( x − c) 2 + y 2
sustituimos, de [A1],
p = a (1 − ε 2 ) :
a 2 (1 − ε 2 ) 2 − 2ε ( x − c)a (1 − ε 2 ) = (1 − ε 2 )( x − c) 2 + y 2
sustituimos también [A3]:
a2
por [A2]
b4
b2 b2
−
−
= 2 ( x − c) 2 + y 2
x
c
a
2
ε
(
).
.
4
2
a
a
a
ε = c / a , por lo que
b4
c
b2 b2
a 2 4 − 2 ( x − c).a. 2 = 2 ( x − c) 2 + y 2
a
a
a
a
simplificando:
b2
1
1
1
− 2c( x − c) 2 = 2 ( x − c) 2 + 2 y 2
2
a
a
a
b
2
2
2
2
b
2cx − 2c
x − 2cx + c
y2
−
=
+
a2
a2
a2
b2
b 2 2cx − 2c 2 2cx − c 2 x 2 y 2
−
+
= 2+ 2
a2
a2
a2
a
b
13
Sobre la matemática del Problema de Kepler
Carlos S. Chinea
b2 + c2 x2 y 2
= 2+ 2
a2
a
b
2
2
2
a
x
y
= 2+ 2
2
a
a
b
Ecuación reducida de la elipse:
x2 y2
+
=1
a2 b2
[A4]
Superficie total limitada por la elipse:
y = +b. 1 −
x2
a2
La superficie total puede calcularse como la integral definida
a
a
0
0
S = 4∫ y.dx =4b ∫ 1 −
Hacemos el cambio de variables
x2
.dx
a2
x a = senz
dx = a. cos z.dz
Con lo queda:
π
π
π
2
2
π
0
0
2
1 + cos 2 z
dz = 2ab ∫ (1 + cos 2 z ).dz =
2
0
0
2
S = 4b ∫ 1 − sen 2 z .a. cos z.dz = 4ab ∫ cos 2 z.dz = 4ab ∫
π
π
2
2
0
0
π
= 2ab ∫ dz + 2ab ∫ cos 2 z.dz =2ab.z 02 + 2ab
sen2 z
2
π
2
0
π


sen2

sen2.0 
π
2

= 2ab + 2ab
−
=
2
2 
 2




= πab + 0 = πab
Superficie: S = πab
[A5]
14