Lógicas de primer y segundo orden - Pontificia Universidad Javeriana

CUADRANTEPHI No. 26-27
2013, Bogotá, Colombia
Lógicas de primer y segundo orden
Alonso Zela
Facultad de Filosofía y Letras
Universidad de Buenos Aires
Buenos Aires — Argentina
alonso.zela@filo.uba.ar
Resumen
En el presente trabajo me propongo retomar un debate interesante dentro de la literatura
de la lógica filosófica, a saber, la querella lógica de primer orden vs. lógica de segundo
orden. Expondré esta ‘rivalidad’ desde una nueva perspectiva que tiene como requisito
entender la lógica qua ciencia en sentido kuhniano. Si bien mi enfoque no pretende
tomar estas lógicas como en disputa, me inclinaré a favor de una de las lógicas, luego de
presentar un resultado metafilosófico que considero pone en un puesto muy superior a
una de la lógicas en relación con la otra.
Abstract
In this text I will approach to an interesting debate within the philosophy of logic, to
wit, the dispute first-order logic versus second-order logic. I will expose this rivalry
from a perspective that demands understanding logic as a science in the sense Kuhn
uses this term. Even though my approach may understand this logics as if in a dispute, I
will lean to one of this, after presenting a meta-philosophical result which puts a kind of
logic way above the other
1
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2013, Bogotá, Colombia
1. Un poco de historia
En el campo de las disciplinas científicas, cuando se habla de lógica (filosófica o
matemática), esto es, de un lenguaje artificial “perfecto”, está establecido, por
circunstancias históricas, que nos refiramos siempre a la lógica de primer orden o
cálculo de predicados. Esta lógica nació luego de ser la vencedora de un conflicto
histórico sucedido en los albores de la primera mitad del siglo XX. Su victoria le
permitió asegurarse el derecho a aislarse como sistema digno de ser estudiado
independientemente gracias al descubrimiento de ciertas pro- piedades
metateóricas interesantes que poseía y de las cuales su predecesora y rival carecía.
1.Un poco de historia
En el campo de las disciplinas científicas, cuando se habla de lógica (filosó- fica o
matemática), esto es, de un lenguaje artificial “perfecto”, está establecido, por
circunstancias históricas, que nos refiramos siempre a la lógica de primer orden o
cálculo de predicados. Esta lógica nació luego de ser la vencedora de un conflicto
histórico sucedido en los albores de la primera mitad del siglo XX. Su victoria le
permitió asegurarse el derecho a aislarse como sistema digno de ser estudiado
independientemente gracias al descubrimiento de ciertas pro- piedades
metateóricas interesantes que poseía y de las cuales su predecesora y
rival carecía.2
2.
LPO
La lógica de primer orden (LPO), o también conocida hoy como «lógica
estándar», puede decirse, con cierta precaución, que comienza o surge cuan- do
generalizamos proposiciones, es decir, desde un punto de vista gramatical,
cuando anteponemos adjetivos a sustantivos comunes (o de primer orden).
Tómese el caso de: «Todos los números son pares o impares».3 Logica- y estructuralmente hablando, el paso anterior se conoce como la introducción o
generalización de cuantificadores4 . Este paso por trivial que pueda aparentar trae
consigo una de las características más importantes de los lenguajes de pri- mer
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orden, a saber, el incremento en poder expresivo con respecto a lenguajes de orden
menor a 1, esto es, lenguajes proposicionales o cálculos conectivos. Esto significa
que, por ejemplo, la proposición de primer orden «Todos los números son pares o
impares» implica todas sus instancias, es decir, «Uno es par», «Dos es par», «Tres
es par», . . . etc., sin embargo, es un hecho interesante que la in- versa no se
cumpla, o sea, que las infinitas oraciones no sean equivalentes a la proposición de
primer orden5 .
La idea lógica detrás de este fenómeno es que una oración cuantificada en primer
orden no es equivalente al conjunto de todas sus instancias, o, dicho de otra
manera, el conjunto de todas sus instancias no agota en igual magnitud o
proporción todo el recorrido que efectúa el cuantificador universal, “∀”, sobre el
dominio de discurso. Dos argumentos se presentan ante este caso, uno ‘intui- tivo’
y otro técnico. El primero afirma que mientras el cuantificador universal nos
asegura un recorrido por todos los números naturales, no es el caso que las
instancias y en particular ‘. . . ’ nos aseguren una representación completa de los
números. Esto es, no hay garantía de que estemos hablando de todos los números
naturales. El argumento técnico, en cambio, señala que la razón se encuentra en
que la oración de primer orden no puede satisfacerse en ningún universo finito,
sino sólo en uno del tamaño de los números naturales, N, esto es, en un universo
infinito.
2.1. Propiedades de LPO
Es interesante que a la hora de pasar a hablar sobre las propiedades me- tateóricas
de LPO nos refiramos a los siguientes resultados como “teoremas limitativos”.
Estos resultados se cumplen sólo para lógicas de orden igual a 1. La lógica de
segundo orden con semántica estándar —de la cual hablaremos a continuación—
no posee estas propiedades.
El resultado técnico por antonomasia de LPO y que le valió su “indepen- dencia”
es el «Teorema de completud», cuya prueba fue la tesis doctoral de Kurt Gödel en
1929. Este resultado presenta un sistema deductivo para LPO que es completo,
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sólido (correct) y efectivo. Técnicamente, se entiende que una fórmula válida en
todos los modelos de la lógica clásica será deducible de los axiomas y reglas de
inferencia previamente especificados, o, dicho de otro mo- do, que el conjunto de
las fórmulas válidas es igual al conjunto de las fórmulas demostrables: las
fórmulas válidas resultan ser teoremas, y viceversa. Esto, pues, demuestra que
existe una estrecha conexión entre la validez semántica y la demostrabilidad
sintáctica de las fórmulas de LPO.
Un corolario del Teorema de completud es que LPO sea compacta. El Teore- ma de
compacidad establece que para todo conjunto Γ de fórmulas de primer orden, si
todo subconjunto finito de Γ tiene modelo, entonces Γ mismo tiene modelo.
Otro grupo de resultados limitativos son los Teoremas de Löwenheim- Skolem. La
versión descendente o fuerte de este teorema establece que si Γ es un conjunto
finito o contable de fórmulas de primer orden que tiene un mo- delo cuyo
dominio es infinito, entonces Γ tiene un modelo cuyo dominio son los números
naturales, esto es, un modelo (con dominio) contable. La forma generalizada de
entender esta versión apunta a que sea Γ cualquier conjunto satisfacible de
fórmulas de primer orden, Γ tendrá un modelo cuyo dominio no sobrepasará lo
finitamente contable o la cardinalidad de Γ, aquel que resulte de mayor tamaño.
La versión ascendente del Teorema de Löwenheim-Skolem establece que si Γ es un
conjunto de fórmulas de primer orden tal que para todo número natural n, Γ tiene
un modelo cuyo dominio tiene a lo sumo n elementos, entonces para todo cardinal
infinito k, Γ tiene un modelo cuyo dominio tiene cardinalidad de por lo menos k, o
sea, k ≤. La conjunción de ambas versiones del Teorema nos permiten formular una
versión generalizada que tiene la siguiente forma: si Γ es un conjunto contable de
fórmulas de primer orden que tiene un modelo cuyo dominio es infinito, entonces
Γ tiene un modelo cuyo dominio es infinito de todas las cardinalidades.
Lo que en primer lugar derivamos como consecuencia de los Teoremas de
Löwenheim-Skolem son la existencia de modelos no estándar. Por modelo no
estándar nos referimos a interpretaciones no pretendidas de estructuras o teorías
matemáticas. Cuando, p. ej., la aritmética de Peano (PA) es formuladas en un
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lenguaje de orden uno, esta será necesariamente no categórica. Que PA1 no sea
categórica significa que no podremos distinguir formalmente a los elementos que
eran distinguibles en el ámbito pre-formal, a saber, en la estructura pretendida.
Dicho de otro modo, habrán estructuras que satisfagan los axiomas de PA pero
que no tengan la siguiente forma: 0, 1, 2, 3, . . . . Este fenómeno se debe
particularmente a que las estructuras o teorías clásicas de la matemática
formuladas en primer orden, la cardinalidad se vuelve algo relativo, y ello debido a los Teoremas de Löwenheim-Skolem: el dominio del modelo no tendrá
una
cardinalidad
determinada
sino
que
podrá
tomar
cualquier
cardinalidad.6Otra “propiedad” metateórica de LPO, aunque menos conocida, fue
descu- bierta más tarde por George Kreisel en «Informal rigour and completeness
proofs». El objetivo de su artículo era arremeter en contra de la postura
positivista en torno a los fundamentos de la matemática favoreciendo un
enfoque, digamos, “old school”, es decir, uno más cercano a su práctica real.
Kreisel no sólo se pro- puso demostrar que las representaciones formales de los
conceptos matemáti- cos dejaban de lado muchas de las propiedades de sus
contrapartes intuitivas, sino que éstas podían tomar el lugar de aquellas. Creía que
«era un hecho de la ex- periencia intelectual» que el análisis intuitivo de nuestras
nociones había logrado pasar el test de la experiencia. Para ejemplificar su
propuesta, Kreisel presentó un teorema7 por medio del cual demostraba que la
validez lógica intuitiva (Val), la derivabilidad formal (D) y la verdad en todos los
modelos (V)8
eran equivalen- tes. Su argumento parte de dos propiedades
reconocidas de Val, a saber (i) su solidez intuitiva, ∀i∀α(Dαi → Valαi ), y (ii) la
conformidad de la semántica modelo-teórica para interpretar fielmente el lenguaje,
∀i∀α(Valαi → Vαi ). Para el caso particular de i = 1, esto es, los lenguajes de
primer orden, al contar con el Teorema de completud, que afirma ∀α1 (Vα → Dα),
esto demuestra ser suficiente para probar la equivalencia de las tres nociones:
∀α1 (Valα ↔ Vα)
&
∀α1 (Valα ↔ Dα)
Finalmente, la característica distintiva de LPO fue presentada por Per Lindström
en [13], característica que pretende explicar el actual uso extendi- do de la lógica de
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primer orden. Su teorema puede reducirse a la siguiente formulación:
«LPO es la lógica más fuerte que satisface la propiedad contable de compacidad
y la versión descendente del teorema de Löwenheim- Skolem».
Entender esta fórmula requiere saber el significado de cada uno de los conyuntos y por qué ellos y no otros. Se dice que una lógica es contablemente
compacta cuando todo conjunto contable tiene modelo si y sólo si todo subconjunto finito tiene modelo. Mientras que el Teorema descendente de LöwenheimSkolem afirma que si φ es una fórmula del lenguaje de primer orden que tiene un
modelo con cardinalidad arbitraria, entonces esta misma fórmula tiene un
modelo cuyo dominio son los números naturales. Que ambos resultados hayan
sido los escogidos se fundamenta en que son el símbolo distintivo de la Teoría de
modelos de LPO, puesto que permiten examinar estructuras con dominios
infinitos como si fueran o se tratasen de dominios finitos. La conjunción de
ambos resultados nos conduce pues a entender a LPO como la lógica que mejor
codifica secuencias finitas sin poder distinguir entre cardinalidades infinitos. El
aditivo de Lindström está en que mostrar que todo lenguaje que satisfaga estos
dos resultados resulta ser equivalente a LPO, es decir, tiene el mismo poder
expresivo.
2.2. Una propiedad interesante de LPO
A continuación, quisiéramos, inspirados en los dos resultados presentados
anteriormente ([8] & [12]), presentar lo que consideramos es un argumento
metafilosófico que ha sido escasamente resaltado en la literatura existente y que
deseamos proponer como núcleo de nuestro trabajo y que lo denominaremos el
Kreisel metafísico:
En todo lo que ataña al conocimiento de la validez de los argumentos de primer
orden, nuestras facultades humanas cumplen al 100 % su objetivo, a saber, de todo
argumento de primer orden, hemos de poder conocer su validez. Siguiendo el
espíritu de Hilbert: «No hay Ignorabimus en torno a la validez de los argumentos
6
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de primer orden».
Debemos dejar en bien claro que por medio del Kreisel metafilosó fico no hemos
pretendido afirmar que todos los argumentos válidos han de poder ser
reconocidos como válidos, sino algo menos abarcador aunque no por ello carente
de interés y complejidad: nuestra facultad de la razón es suficiente para
determinar todos los argumentos válidos de primer orden.
El Kreisel metafilosófico, a diferencia del argumento original de Kreisel, apoya
más el lado de la teoría de la prueba que de la semántica, aun sabien- do que por el
Teorema de completud ambas partes coinciden. Esto tiene su fundamento en que
al hablar del lado semántico podemos llegar a toparnos con la noción de verdad,
noción de la que no tenemos acceso en absoluto si sólo contamos con nuestra
sola razón como medio: no hay forma de conocer la verdad de toda proposición
verdadera10 . En cambio, si hacemos referencia a la noción de validez, sí podemos
afirmar que de todo argumento formulado en primer orden podemos conocer su
validez. Podríamos decir –sin ánimo de grandilocuencia– que de existir un ámbito
de argumentos (de primer orden) válidos per se, y otro de argumentos (de
primer orden) válidos demostrables, ambos coincidirían y el conocimiento de
este ámbito se lograría por simple inspección de nuestra razón.11
3.
LSO
Así como LPO tuvo su inicio por medio de las generalizaciones, la lógica de
segundo orden (LSO) tiene su comienzo de igual forma. La técnica es la misma al
caso de LPO, esto es, consiste en anteponer un adjetivo a un sustan- tivo, aunque
en este caso particular se anteponen adjetivos a sustantivos de segundo orden,
tales como: propiedad, función, conjunto, relación, concepto, etc. Esto conlleva a
que el adjetivo que le antecede al sustantivo pase a ser uno de segundo orden
también. Aquí se produce otro cambio más en los adjetivos (cuantificadores): como
su orden es igual a 2, su recorrido se da sobre un do- minio de discurso mayor a
LPO, dominio que está compuesto por los objetos de segundo orden a los que
sus sustantivos (variables) refieren, y que inclu- yen a los objetos (variables) de
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primer orden. Desde una perspectiva lógica y estructural, la introducción de estos
cuantificadores conlleva a un incremento de poder expresivo superior a LPO y a
otros lenguajes de orden menor a 2. El universo de discurso de LSO es más
grande: no sólo queremos decir más cosas sino que ahora podemos decirlas.
Uno de las principales atractivos de LSO se encuentra en el campo del estudio de
los fundamentos de la matemática y las axiomatizaciones. Si bien afirmamos
(supra) que LPO bastaba para satisfacer teorías con universos infi- nitos, LPO
resulta insuficiente para axiomatizar incluso teorías infinitamente contables,
siendo el paradigma representativo la teoría elemental de números o aritmética
de Peano (PA). Esta insuficiencia se produce en razón de que el quinto axioma de
Peano, a saber, el principio de inducción matemática (PIM), es un axioma
netamente de segundo orden.12 Este axioma, cuya representación natural es:
∀Φ{Φ0 ∧ ∀x(Φx → Φs(x)) → ∀xΦx}
afirma que:
«Toda propiedad que pertenezca tanto a cero como al sucesor de todo número,
pertenecerá a todos los enteros positivos sin excep- ción».
Así como también aclaramos que es un error pensar que el conjunto de todas las
instancias de una oración de primer orden sea equivalente a la oración misma, en
el caso presente, ningún conjunto de oraciones verdaderas de primer orden
resulta(rá) suficiente para implicar PIM, esto es, ningún axioma-esquema de
primer orden, en particular:
Φ0 ∧ ∀x(Φx → Φs(x)) → ∀xΦx
logrará agotar en igual medida el dominio de discurso de PIM en segun- do
orden. Por consiguiente, se sigue que no existe axiomatización de primer orden
alguna que codifique o, mejor dicho, represente adecuadamente nuestro
8
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conocimiento de la estructura de los números naturales, N. El resultado técnico
que manifiesta la superioridad de LSO en este campo de las axiomatizaciones se
conoce como «categoricidad».
3.1. Categoricidad
Sólo en la lógica de segundo orden con semántica estándar no se cum- plen los
Teoremas de Löwenheim-Skolem. La versión ascendente del teorema no se
cumple porque SOL con semántica estándar hace posible la existencia de una
oración AR —la conjunción de los axiomas de Peano con el principio de
inducción matemática formulado en segundo orden— el cual representa una
caracterización categórica de los números naturales, N. Y, la versión descendente del teorema tampoco se cumple porque hay una oración AN —los
axiomas de los números reales junto con el axioma de continuidad formulado en
segundo orden— el cual es una caracterización categórica de los números reales,
R.
Un conjunto Γ de fórmulas es categórico si todos sus modelos son isomorfos entre
sí, de modo tal que un conjunto categórico de fórmulas caracteriza una sola
estructura hasta el isomorfismo. Los Teoremas de Löwenheim-Skolem impli- can
que ningún conjunto de fórmulas de primer orden que tenga un modelo infinito es
categórico. Es decir, no existen caracterizaciones adecuadas de las estructuras
clásicas de la matemática, p. ej., N, R, C y ZFC. Toda teoría de pri- mer orden de
las estructuras mencionadas que sea satisfacible tendrá modelos no estándar,
esto es, interpretaciones diferentes a las pretendidas.
El caso más representativo para mostrar la categoricidad de un sistema axiomático es el de la Aritmética de Peano formulada en segundo orden. PA2 se
compone de los axiomas de cero, sucesor e inducción, donde cero y sucesor, 0 y s,
son las únicas constantes no-lógicas. Lo que el argumento establece es que
sean M1=⟨D1 , I1⟩ y M2=⟨D2 , I2⟩ dos modelos donde M1 |= PA2 y M2 |= PA2 ,
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entonces M1 es isomórfico a M2, esto es, M1 ≈ M2, ssi existe una función biunívoca f entre D1 y D2 tal que cada miembro de D1 se relacione con un miembro de
D2 , en particular, f (01 ) = 02 , y para cada a ∈ D1 , f (s1 (a)) = s2 f (a). 13
Dos consecuencias filosóficas importantes se siguen de este resultado. En
primer lugar, que la categoricidad puede ser entendida como un Teorema de
representación según el cual LSO le basta para caracterizar la estructura {ℕ, s, 0}
hasta el isomorfismo, o lo que es lo mismo, que LSO interpreta perfectamente la
secuencia estructural de los números naturales, y con ello absorbe todas sus
propiedades. Por ejemplo, sean T 1 ≈ T 2 , entonces si T 1 |= V se sigue que T 2 |= V,
esto es, que las verdades que se cumplan para T 1 también se cumplirán
para T 2 . Y por último, que debido al Teorema de Löwenheim-Skolem no existe
sistema formal de primer orden que sea categórico en vista de que es imposible
determinar la cardinalidades de sus modelos.
3.2. (In)completud y compacidad
Como corolario de los resultados de categoricidad y los teoremas de incompletud de Gödel (cfr. [9]), se obtiene que SOL no es completa, y es este fenómeno el
que abre el debate en torno a la legitimidad o estatus de SOL qua lógica.
Empecemos por dilucidar qué significa que SOL sea incompleta. Pues que aún
no cuenta con un candidato a sistema deductivo que relativo a la semán- tica sea
completo, sólido y efectivo. Técnicamente, el conjunto de (códigos de) fórmulas
válidas o verdades semánticas de LSO no es semirecursivo (o recursi- vamente
enumerable), esto es, no pueden ponerse en correlación 1-1 con los números
enteros, y lo que resulta mucho más importante, es que este conjunto tampoco es
aritmético por el Teorema de indefinibilidad de Tarski14
Este resultado establece que hay argumentos finitos válidos en segundo or- den
cuya conclusión no puede ser derivada de sus premisas. O lo que es lo mismo, que
LSO con semántica estándar no cuenta con un procedimiento só- lido de prueba
que sea completo. Este fenómeno no es en realidad un defecto o problema de LSO,
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sino de los candidatos que se presentan como procedimien- tos de prueba y sobre
todo de su gran poder expresivo.15 En conclusión, una axiomatización sólida
aunque a la vez completa de la validez de segundo orden es imposible.
Como corolario de este fenómeno de incompletud se sigue la imposibilidad de
formular lo que hubiésemos querido denominar el Kreisel metafilosó fico para
segundo orden. En LSO (y lenguajes de orden superior, L≥2 ), nuestra fa- cultad
humana mejor repartida se revela insuficiente para cumplir el objetivo de
determinar como válidos todos los argumentos válidos. No contamos pues con un
argumento convincente o garantía para creer que nuestras nociones infor- males
en segundo orden reflejan fielmente las nociones formales de validez de nuestro
aparato deductivo. El mismo Kreisel sintió una desazón al ver que en segundo
orden no se podía contar con un teorema similar al anterior, aunque nuestras
intuiciones nos dijeran que debía suceder lo contrario.
Un colorario más del fenómeno de incompletud es que SOL no sea com- pacta.
Sea Γ:{AR, a>0, a>s0, . . . }. Todo subconjunto finito de este conjunto Γ es
satisfacible dentro del ámbito de los números naturales. Puesto que la oración AR
(supra) es categórica, se sigue que todo modelo de Γ será isomórfico a N.
Pero, en vista que no existe el número mayor de los números naturales —esto
debido a que a todo número se le puede aplicar la función sucesor— la función de
denotación no podrá elegir un elemento del dominio para a, imposibilitando que
todo miembro de Γ tenga modelo. Por tanto, Γ mismo no tendrá modelo. Además,
puesto que toda deducción debe tenerun número finito de pasos y todo
subconjunto finito de Γ es consistente, se sigue que Γ es consistente pero no tiene
modelo. Esto es, al contrario de lo que sucede en LPO, en SOL no hay
coextensibilidad entre la consistencia y la satisfacibilidad, dicho de otro modo,
entre ser consistente y tener modelo. Si bien esto puede interpretarse como
insatisfactorio, las consecuencias de este fenómeno son positivas desde la
siguiente perspectiva. A raíz del Teorema de compacidad para la lógica de
primer orden se derivaba que muchas nociones importantes de las matemáticas no
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podían ser representadas en LPO, entre ellas, finitud, contabilidad y buena
fundación. Por el contrario, existen fórmulas de segundo orden que represen- tan
naturalmente estas nociones. Esto le garantiza a LSO un lugar destacable dentro
de las herramientas del lógico y en mayor medida las del matemático, y esto por
estar más acorde a sus intuiciones y manera de pensar en su práctica diaria.
Consideraciones: enfoque de la lógica como ciencia kuhniana
Hasta aquí he intentado ser lo más arbitrario posible en aportar nuevas
consideraciones en torno al debate entre las dos lógicas. Mi intención ahora es
afirmar mi postura. Para ello es que hube de entender desde un comien- zo a la
lógica como una disciplina científica que tiene como objeto de estudio ciertos
fenómenos que llamamos argumentos. Debemos ahora pasar a asumir la
perspectiva kuhniana con respecto al vocablo ciencia y con ello entenderla como
pasible de sufrir crisis y nuevas cumbres: hasta 1930 el paradigma lógico fue LSO,
luego, desde ese entonces hasta nuestros días, la lógica reinante es LPO. Como
toda disciplina científica, la lógica no puede conocerse si no es a través del
estudio de su desarrollo. Ello significa conocer LSO y el porqué de la gran
aceptación que tuvo los primeros treinta años a partir de 1900. No obstante, esta
revisión de la historia de la lógica debe entenderse como tal y no pensarse como
que LSO volverá a imperar o, siquiera, a tener la misma aceptación que antes,
tal como es el deseo de muchos de sus fieles seguidores y partidarios, entre ellos,
Shapiro, Corcoran, Rossberg, Weaver, etc. La razón es muy simple: actualmente se
considera más útil la fuerza deductiva por sobre el poder expresivo en vista de
las actuales líneas de investigación; el estudio de los fundamentos es un capítulo
que ya fue cerrado hace mucho tiempo. La incompletud de LSO derrumba
consigo la esperanza de poder contar con un
Kreisel metafilosófico para L≥2 . Y, por si fuera poco, la existencia de oraciones
consistentes de segundo orden sin modelo hacen de LSO una lógica algo patológica.
El debate en torno a la legitimidad de LSO surge cuando un grupo de lógicos,
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conocidos en la comunidad como universalistas, quineanos o conser- vadores se
aferran a la creencia de que nuestra razón debe ir siempre a la par de (uno de) los
objetivos de la lógica: determinar la validez de los argumentos válidos. Ello en
virtud de que dan por descontado como un hecho la existencia de proposiciones
verdaderas sobre el universo material que nos rodea de las cuales no podemos
conocer su verdad, pero en lo que a la validez atañe, ésta debe considerarse como
característica intrínseca de los métodos analíticos a priori y, sobre todo, que toda
proposición válida ha de ser deducida. La batalla actual entre LPO y LSO ya no
gira en torno a la importancia que se le pue- da adjudicar a cada lógica, sino que
la toma de bandera de los conservadores pretende tomar la forma de un destierro
de LSO. Sin embargo, esta forma de crítica es por completo errada y perjudicial
debido a que existen innegables no- ciones lógicas, tales como ancestro,
cardinalidad o identidad, que sólo pueden ser representadas en un lenguaje de
orden mayor igual a 2. El hecho de que su representación se dé en una y no en
otra basta para mantener el estatus de lógica a LSO. Además, debemos recalcar
que estas nociones denominadas téc- nicamente «nonfirstorderizable»16 se dan en
razonamientos de segundo orden. Esto significa que forzar su representación en
cualquier lenguaje menor a 2 nos daría una imagen distorsionada de lo que
nuestro análisis conceptual intuitivo
–siguiendo el espíritu de Kreisel– nos afirma.
Como conclusión, he pretendido demostrar que poco podemos hacer pa- ra
cambiar el hecho de LPO como lógica de facto. Sin embargo, dentro de la
comunidad científica LSO está asegurada, no sólo por las ventajas heurísticas
demostradas en algunas ramas del saber (i.e. axiomatizaciones), sino también por
la importancia histórica innegable que tiene para el entendimiento adecua- do de
la situación actual de la lógica qua disciplina científica y como fuente de
motivación para mantener vivo el dinamismo de una disciplina17 que, pese a que
sus más grandes resultados han sido negativos, sigue teniendo desarrollos
profundos18 .
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