TEMA. DISTORSIÓN II

TEMA. DISTORSIÓN II
TEMA. DISTORSIÓN II ................................................................................................. 1 1. Introducción. .......................................................................................................... 1 2. Punto de compresión de 1dB. ................................................................................ 1 3. Productos de intermodulación. .............................................................................. 3 4. Punto de intercepto de tercer orden. ..................................................................... 4 5. Etapas en cascada. ................................................................................................. 5 6. Rango Dinámico. ................................................................................................... 6 6.1 Rango Dinámico de Compresión de 1-dB (DR1-dB). .......................................... 6 6.2. Rango Dinámico Libre de Espúreos (SFDR). ................................................... 7 Referencias ................................................................................................................... 8 1. Introducción.
En este tema continuamos nuestros estudios de distorsión centrándonos en los
parámetros que habitualmente se emplean par medir la no-linealidad en receptores de
RF. Para ello definiremos el punto de compresión de 1dB y el punto intercepto de tercer
orden. Posteriormente estudiaremos cómo se modifica el punto intercepto de tercer
orden al atravesar un conjunto de etapas en cascada.
Como sabemos, las no-linealidades fijan el nivel máximo de señal admisible. Por el
contrario, el nivel de ruido fija su valor mínimo. El rango de señal (de entrada o salida)
que un circuito puede manejar de manera que: 1) ésta sea suficientemente grande como
para mantenerse distinguible del ruido, pero 2) suficientemente pequeña como para
mantener una linealidad aceptable, se denomina Rango Dinámico. Veremos que existen
varias definiciones de Rango Dinámico, cada una de ellas adecuada para una aplicación
diferente, y presentaremos dos de ellas.
2. Punto de compresión de 1dB.
Recordemos que si un circuito cuya no-linealidad puede ser aproximada por una función
polinómica
y = f ( x ) = a 0 + a1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 + a 3 ⋅ x 3 + ... ; para
a 0 = f (0 ) ; a1 =
df ( x )
dx x =0
; a2 =
x <ε
1 d 2 f (x )
1 d n f (x )
...
a
=
n
2 ! dx 2 x =0
n ! dx n x =0
(1)
es excitado por una onda senoidal x = A cos ωt, entonces:
y = f ( x ) = a 0 + a1 ⋅ ( A ⋅ cos ω t ) + a 2 ⋅ ( A ⋅ cos ω t ) + a 3 ⋅ ( A ⋅ cos ω t ) + ...
2
= b0 + b1 ⋅ cos ω t + b2 ⋅ cos 2ω t + b3 ⋅ cos 3ω t + ....
1
3
(2)
con
( )⎤⎥
1
⎡
b0 = ⎢a 0 + ⋅ a 2 ⋅ A 2 + O A 4
2
⎣
⎡1
⎤
b2 = ⎢ ⋅ a 2 ⋅ A 2 + O A 4 ⎥
⎣2
⎦
( )
( )
3
⎡
⎤
; b1 = ⎢a1 ⋅ A + ⋅ a3 ⋅ A 3 + O A 5 ⎥
4
⎦
⎣
⎦
⎡1
⎤
; b3 = ⎢ ⋅ a 3 ⋅ A 3 + O A 5 ⎥ ; ....
⎣4
⎦
(3)
( )
Analicemos la expresión del término b1 en (3). En circuitos muy lineales (en
configuración diferencial y balanceada), el coeficiente de tercer orden a3 es el único de
interés y suele ser de signo distinto al coeficiente lineal a1. Por ello el segundo término
de b1 en (3) se opone al primero y, para niveles de señal elevados, observaremos que la
magnitud de la componente fundamental a la salida comienza a decrecer, apartándose
de la línea recta correspondiente a la ganancia de pequeña señal (Figura 1). El punto en
el que la componente fundamental se desvía 1 dB de la respuesta lineal ideal se
denomina Punto de Compresión de 1dB y resulta una forma simple de caracterizar la
no-linealidad de un circuito que es, además, fácilmente medible.
Figura 1. Punto de Compresión de 1-dB
Ignorando términos de orden superior al tercero en la expresión de b1 en (3), en el punto
de compresión de 1-dB se cumple que 1 :
20 log a1 ⋅ A1− dB +
3
⋅ a3 ⋅ A13− dB = 20 log a1 ⋅ A1− dB − 1 =
4
(4)
20 log 0.89125 ⋅ a1 ⋅ A1− dB
Despejando,
2
1− dB
A
1
a
4 a
= 0.10875 ⋅ ⋅ 1 = 0.145 ⋅ 1
3 a3
a3
0.145 ⎛ A
⇒ HD3 ≈
⋅⎜
4 ⎜⎝ A1− dB
A lo largo de este tema log representa el logaritmo en base 10.
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
(5)
Precisamente en el punto de compresión de 1-dB,
HD3 ( A = A1−dB ) ≈
0.145
= 3.6 %
4
(6)
En amplificadores de RF típicos el punto de compresión de 1 dB ocurre entre -20 y -25
dBm (de 63.2 a 35.6 mVpp referidos a 50 Ω).
3. Productos de intermodulación.
Hasta ahora hemos considerado que la señal de entrada es un tono puro, pero en la
mayor parte de los casos la entrada tiene múltiples componentes de frecuencia.
Empezaremos por el caso más simple considerando la presencia de dos tonos puros en
la entrada. Aunque parece un poco artificial, ésta es una situación bastante
representativa de un receptor de radio con dos canales presentes en la banda, por lo que
los resultados de este análisis son de gran interés en el estudio de receptores.
Por tanto, ahora la entrada x = A cos ω1 t + A cos ω2 t. Sustituyendo en (1) y operando
y = f (x ) ≈ a 0 + a1 ⋅ ( A ⋅ cos ω1 t + A ⋅ cos ω 2 t ) + a 2 ⋅ ( A ⋅ cos ω1 t + A ⋅ cos ω 2 t ) +
2
a3 ⋅ ( A ⋅ cos ω1 t + A ⋅ cos ω 2 t ) + ...
3
= b0 + b1 ⋅ (cos ω1 t + cos ω 2 t ) + b2 ⋅ (cos 2ω1 t + cos 2ω 2 t ) +
b11 ⋅ [cos (ω1 + ω 2 )t + cos (ω1 − ω 2 )t ] + b3 ⋅ (cos 3ω1 t + cos 3ω 2 t ) +
(7)
⎡cos (2 ⋅ ω1 + ω 2 )t + cos (2 ⋅ ω1 − ω 2 )t +
⎤
b12 ⋅ ⎢
+ ....
cos (ω1 + 2 ⋅ ω 2 )t + cos (ω1 − 2 ⋅ ω 2 )t ⎥⎦
⎣
Los términos b1, b2, b3, etc. tienen la misma expresión de (3), pero ahora aparecen
términos nuevos en frecuencias sumas y diferencias. En particular,
( )
b11 = a 2 ⋅ A 2 + O A 4
; b12 =
( )
3
⋅ a3 ⋅ A 3 + O A 5
4
(8)
Se definen los factores de intermodulación de segundo y tercer orden, respectivamente,
como
IM 2 =
b11
a
≈ 2 ⋅ A ≈ 2 ⋅ HD2
b1
a1
IM 3 =
e
b12 3 a3
≈ ⋅
⋅ A 2 ≈ 3 ⋅ HD3
b1
4 a1
(10)
De (10) es fácil obtener que
IM 3 (dB ) ≈ HD3 (dB ) + 9.54
3
(11)
Los términos en ω1 ± ω2 no suelen ser importantes, ya que, en los receptores, estos
términos se encuentran normalmente fuera de la banda de interés. Sin embargo, los
términos en (2ω1-ω2) y (2ω2-ω1) son especialmente peligrosos por encontrarse
normalmente en la banda de interés, con frecuencias próximas a ω1 y ω2. Además, en
circuitos diferenciales y balanceados el IM2 es cero. Por ello el IM3 es una medida de
gran importancia para caracterizar la no-linealidad de un receptor. Su medida, por otra
parte es muy simple. Se realiza aplicando dos tonos puros de igual magnitud muy
próximos en frecuencia, de manera que los productos de intermodulación caen dentro de
la banda del receptor (Figura 2).
Figura 2. Medida del IM3.
4. Punto de intercepto de tercer orden.
De forma análoga a como se define el punto de compresión de 1-dB para caracterizar y
medir de forma simple el factor de distorsión armónica de tercer orden, se define el
punto de intercepto de tercer orden para caracterizar y medir simplemente el factor de
intermodulación de tercer orden.
Se define el punto de intercepto de tercer orden IIP3 como el punto en el que el
producto de intermodulación de tercer orden intercepta a la componente fundamental
del circuito ideal perfectamente lineal (Figura 3). Dos consideraciones a tener en cuenta:
1) Normalmente este punto se encuentra fuera del rango de trabajo (de hecho suele
ser inalcanzable) y se obtiene extrapolando las medidas del producto de
intermodulación y de la componente fundamental realizadas para niveles bajos
de señal.
2) El IIP3 se encuentra normalmente por encima del punto de compresión de 1dB,
(de hecho, para circuitos débilmente no-lineales, se encuentra 9.64 dB por
encima, tal como veremos a continuacion), por lo que en esa zona de trabajo la
componente fundamental medida (si es posible medirla) se aparta de la ganancia
ideal medida para bajos niveles de señal (es decir, de la curva de ganancia de
pequeña señal). No obstante, el punto de intercepto se define respecto de la
curva ideal de ganancia de pequeña señal.
Por definición, para una no-linealidad polinómica en el punto intercepto de tercer orden:
3
3
⋅ a3 ⋅ AIIP
3i ≈ a1 ⋅ AIIP 3i
4
⇒
4
2
AIIP
3i ≈
4 a1
⋅
3 a3
(12)
Figura 3. Punto intercepto de tercer orden
Obtendremos ahora algunas relaciones útiles. De (10)
⎛ A
3 a
IM 3 ≈ ⋅ 3 ⋅ A 2 ≈ ⎜⎜
4 a1
⎝ AIIP 3i
⎞
⎟⎟
⎠
2
(13)
Despejando y en escala logarítmica (dBm)
IIP3i
dBm
≈ Pin
dBm
−
IM 3
dB
(14)
2
De (6) y (12)
⎛ AIIP 3i
⎜⎜
⎝ A1− dB
2
⎞
⎟ ≈ 9.195 ⇒
⎟
⎠
AIIP 3i (dB ) ≈ A1− dB (dB ) + 9.64
.
(15)
5. Etapas en cascada.
Si disponemos varias etapas lineales en cascada (Figura 4), se puede demostrar que el
punto intercepto de tercer orden de la cadena completa se relaciona con el punto
intercepto de tercer orden de cada una de las etapas constituyentes mediante la relación:
5
G12
G12 ⋅ G22
1
1
≈
+
+
2
2
2
2
AIIP
AIIP
AIIP
AIIP
3
3,1
3, 2
3, 3
(16)
donde Gi es la ganancia de la etapa i-ésima. La relación (16) (con el signo igual) se
conoce como la ecuación de Friis. (Para dos amplificadores la relación completa viene
dada por
3aG1 _ 2 aG 2 _ 2 aG2 1 _ 1
1
1
≈ 2 +
+ 2
, donde aGi_j es el coeficiente j-ésimo del
2
2 aG 2 _ 1
AIIP
AIIP3,1
AIIP 3, 2
3
desarrollo en serie de Taylor del amplificador i-ésimo, por lo que aGi_1 = Gi. En la
fórmula (16) se ha supuesto que el circuito es diferencial y balanceado, de manera que
los coeficientes pares se anulan).
x
y1
y2
y3
Figura 4. Etapas lineales en cascada.
De (16) se deduce que, en una cadena amplificadora, las últimas etapas son las que más
contribuyen a la distorsión. Lo contrario ocurre en una cadena atenuadora.
6. Rango Dinámico.
En la literatura pueden encontrarse muchas definiciones de Rango Dinámico. Veremos
aquí dos de las más empleadas.
6.1 Rango Dinámico de Compresión de 1-dB (DR1-dB).
Se define como el cociente entre el punto de compresión de 1-dB y el ruido equivalente
a la entrada. Por tanto, en escala logarítmica:
DR1− dB (dB ) = P1− dB (dBm ) − Pi ,mds (dBm )
(17)
Recordamos que el factor de ruido se define como F = 1 + TN /Tref , siendo TN la
temperatura equivalente de ruido a la entrada del circuito y Tref = 290º K la temperatura
de referencia de ruido. Recordemos también que la potencia de ruido de referencia
disponible a la entrada viene dada por Pi,ref (mW) = k T B = 1.38 * 10-23 J/K * 290 K * B
(Hz) * 1000 mW/W . En escala logarítmica, Pi,ref (dBm) = -174 dBm + 10 log B(Hz).
Finalmente, Pi,mds = Pi,ref * F
En escala logarítmica, la potencia de ruido equivalente a la entrada
6
Pi,mds (dBm) = Pi,ref (dBm) + NF =-174 dBm + 10 log B(Hz) + NF,
(18)
donde NF es la Figura de Ruido (NF = log F).
6.2. Rango Dinámico Libre de Espúreos (SFDR).
Se define como el máximo cociente entre la potencia de la portadora fundamental y la
potencia del espúreo más alto distinguible del ruido.
En el caso de que ese espúreo proceda de un producto de intermodulación de tercer
orden, el máximo cociente se alcanza cuando el producto de intermodulación iguala al
ruido de fondo. Si la no-linealidad es polinómica, entonces tendremos el escenario de la
Figura 5. En escala logarítmica y, dado que la componente fundamental crece
linealmente con la potencia de entrada, y el producto de intermodulación crece con el
cubo de la potencia de entrada, entonces (Figura 5):
SFDRo =
2
2
⋅ X = ⋅ (IIP3o − Po ,mds )
3
3
(19)
Figura 5. Rango Dinámico de Compresión 1-dB (DR1-dB) y Rango Dinámico Libre de
Espúreos (SFDR)
donde Po,mds (dBm) = Pi,mds (dBm) + 10 log (a1) es la potencia de ruido disponible a la
entrada, referida a la salida. Si referimos la expresión (19) a la entrada del circuito:
7
SFDRi =
2
⋅ (IIP3i − Pi ,mds )
3
(20)
Además, de (25), IIP3i (dBm) = P1-dB (dBm) + 9.64 por lo que
SFDRi (dB) =
2
⋅ DR1− dB (dB) + 6.43
3
Referencias
8
(21)