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6. CORRIENTE ALTERNA
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Circuito R, circuito L y circuito C. Fasores.
Circuito LC, circuitos RLC en serie con y sin generador.
Circuito RLC en serie con fasores.
Resonancia
Transformadores.
~
fem = ∆V = V = Vmax cos ωt
PARA SIMPLIFICAR LA NOTACIÓN
∆V → V
6.1 Circuito R, circuito L y circuito C
Circuito de CA con R
fem
~
En fase
Potencia disipada en la resistencia:
2
P ( t ) = IVR = I 2 R = I max
R cos 2 ωt =
= Pmax cos 2 ωt
Pmedia =
1
T
2
Pmax = I max
R
Pmedia =
∫ P(t ) = P
max
Vmax
cos ωt = I max cos ωt
R
Ley de Ohm
∆V=VR
R
VR = Vmax cos ωt = IR ⇒ I =
Pmax
2
2
R/2
/ 2 = I max
Tiempo
T
Valores eficaces (son los que se miden cuando la corriente es alterna):
I eficaz ≡
( I 2 ) medio
Veficaz ≡
(V 2 ) medio
⇒ I ef =
2
I max
/ 2 = I max / 2
2
⇒ Vef = Vmax
/ 2 = Vmax / 2
⇒ Pmedia = I ef2 R = I ef Vef
⇒ I ef = Vef / R
(ef↔eficaz, también “rms” del inglés root mean square)
fem
R
VR = Vmax cos ωt = IR
V
I = max cos ωt
R
I max
2
V
Vef = max
2
Reactancia
inductiva
VL = Vmax cos ωt = L
I =
dI
dt
Vmax
π
cos(ωt − )
2
ωL
2
PL ( t ) = ... = Vmax I max cos ωt sin ωt
I ef =
I ef =
Pmedia = I ef Vef
Vef
R
Pmedia = 0
I ef =
fem
~
C
XC ≡
1
ωC
Reactancia
capacitiva
VC = Vmax cos ωt = Q / C
Q = CVmax cos ωt
I =
Vmax
π
cos(ωt + )
1 / ωC
2
I0
I0
P ( t ) = I R cos ωt
Pmedia = Pmax / 2
2
max
~
L
X L ≡ ωL
Circuito de CA con C
∆V=VC
~
R
∆V=VR
fem
Circuito de CA con L
∆V=VL
Circuito de CA con R
Vef
XL
Suponemos bobina
ideal (sin resistencia)
PC ( t ) = ... = Vmax I max cos ωt sin ωt
Pmedia = 0
I ef =
Vef
XC
Suponemos
condensador ideal
(sin resistencia)
Fasores son vectores que rotan y su proyección dan los valores instantáneos de las distintas variables de la
corriente. El potencial en cada caso tiene un desfase con la corriente o viceversa.
Circuito de CA con R
~
R
ω
∆V=VR
fem
ωt

IR

VR
VR
Circuito de CA con L
~
L
ωt
∆V=VL
fem
IL
IR
 ω
VL
VL
IR =
Vmax
cos ωt
R
VL = Vmax cos ωt
IL =

IL
I0
VR = Vmax cos ωt
Vmax
π
cos(ωt − )
XL
2
Circuito de CA con C
~
C
∆V=VC
fem

IC
ω
ωt
I0
IC
VC
http://www.walter-fendt.de/ph14e/accircuit.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/alterna/alterna.htm

VC
VC = Vmax cos ωt
IC =
Vmax
π
cos(ωt + )
XC
2
+ Qmax
Circuito LC
I =0
t=0
+++++++
v=0
k
L
C
m
−−−−−−−
− Qmax
Q=0
+ xmax
I max →
T
t=
4
← vmax
+++++++
+ Qmax
Q=0
T
t=
2
← I max
3T
t=
4
+ Qmax
−−−−−−−
max
t =T
−Q
http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm
t = 0 →ϕ = 0
k
m
T = 2π
m
k
1 2
mv
2
v=0
Ep =
→
1 2
kx
2
ETotal
Q
dI
= −L
C
dt
2
2
kxmax
mvmax
=
=
2
2
→
Q
dI
+L
0
C
dt
Q
d 2Q
+L 2 0
C
dt
Q↔x
I ↔v
L ↔ m 1/ C ↔ k
− xmax
vmax →
Q = Qmax cos ωt
x=0
EL =
I =0
+++++++
ω = 2πf =
ojo :
v = − xmaxω sin ωt = −vmax sin ωt
VC = VL
I =0
−−−−−−−
x = xmax cos ωt
Ec =
x=0
− Qmax
d 2x
kx + m 2 = 0
dt
v=0
+ xmax
1 2
LI
2
EC =
ω = 2πf =
Q2
2C
1
LC
ETotal
T = 2π LC
2
2
LI max
Qmax
=
=
2
2C
I = −Qmaxω sin ωt = − I max sin ωt
VC =
Q Qmax
=
cos ωt = Vmax cos ωt
C
C
6.2 Circuito LR, circuitos LRC con y sin generador
C
L
L
C
R
R
C
~L
~
R
R~v
~
d 2x
kx + m 2 = 0
dt
dx
d 2x
kx + b + m 2 = 0
dt
dt
dx
d 2x
kx + b + m 2 = F0 cos(ωt )
dt
dt
x = x0 cos ω0t
x = x0 exp[−γt ] cos ωt
x ≈ A cos(ωt + δ )
Q
d 2Q
0=
+L 2
C
dt
Q dQ
d 2Q
0=
+
R+L 2
C
dt
dt
Q dQ
d 2Q
Vmax cos ωt =
+
R+L 2
C
dt
dt
C
L
L
C
R
R
C
~L
R
~
R~v
d 2x
kx + m 2 = 0
dt
x = xmax cos ω0t
dx
d 2x
kx + b + m 2 = 0
dt
dt
x = xmax exp[−γt ] cos ωt
ω0 = k / m
γ = b / 2m ω 2 = ω02 − γ 2
Q
d 2Q
0=
+L 2
C
dt
Q dQ
d 2Q
0=
+
R+L 2
C
dt
dt
Q = Qmax cos ω0t
ω0 = 1 / LC
~
Q = Qmax exp[−γt ] cos ωt
2
2
2
γ = R / 2 L ω = ω0 − γ
dx
d 2x
kx + b + m 2 = F0 cos(ωt )
dt
dt
x ≈ x0 cos(ωt + δ )
x0 = F0
m2 ( ω02 − ω2 )2 + b 2ω2
tan δ = bω / m(ω02 − ω 2 )
Q dQ
d 2Q
Vmax cos ωt =
+
R+L 2
C
dt
dt
Q ≈ Q0 cos(ωt + δ )
Q0 = Vmax
L2 (ω02 − ω 2 ) 2 + R 2ω 2
tan δ = Rω / L(ω02 − ω 2 )
6.3 Circuito de CA con RLC en serie con fasores.
C
~L
R
Empiezo a contar en el instante
que la fem es máxima:
V = Vmax cos ωt
La corriente I está desfasada un
cierto ángulo:
I = I max cos(ωt − ϕ )
La ∆V en la resistencia está en fase con I:

VL


VL + VC

V
VR = IR = RI max cos(ωt − ϕ )
ϕ

I

ωt VR
La ∆V en el condensador y la bobina están
desfasados respecto a I:
VC = X C I max cos(ωt − ϕ − π / 2)
VL = X L I max cos(ωt − ϕ + π / 2)
 


Usando los fasores: V = VL + VC + VR
⇒ Vmax = VR2, max + (VL , max − VC , max ) 2

VC
Z
R
= I max R 2 + ( X L − X C ) 2 ≡ I max Z
⇒ tan ϕ =
VL , max − VC , max
X − XC
= L
VR , max
R
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RLC.htm
http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/lrc/index.html
ϕ
XL-XC → reactancia total
Z → impedancia
ϕ puede ser >0 o <0
X L − XC
6.4 Resonancia. De lo anterior se obtiene:
I max = Vmax / Z = Vmax / R 2 + ( X L − X C ) 2
El máximo de intensidad para una R dada se consigue anulando la reactancia total: X L − X C = 0
⇒ω =
1
≡ ω0 , ϕ = 0
LC
(compruebe este resultado con el obtenido mediante la similitud con el muelle)
La potencia media suministrada es la que se disipa en la resistencia (bobina y condensador ideales). Hay
muchas formas de expresar la potencia a las que se llega fácilmente con los resultados anteriores:
2
2
cos 2 (ωt − ϕ ) = RI max
Pmedia = I 2 R = RI max
/ 2 = RI ef2 = ... = I ef Vef cos ϕ = ... = Vef2 R / Z 2
De la última expresión se llega a:
Pmedia
Rω 2
=V
L2 (ω 2 − ω02 ) 2 + R 2ω 2
2
ef
(compare el denominador de este resultado con el
obtenido para la amplitud de la carga (intensidad, …)
mediante la similitud con el muelle)
Factor de calidad:
Q=
L
ω0
ω L
≈ 0 =
∆ω
R
R C
C
~L
R
6.5 Transformador.
Dispositivo para aumentar o disminuir la diferencia de potencial en un circuito
eléctrico de corriente alterna sin perder potencia (caso ideal).
Campo magnético
Conexión a la fuente
electromotriz, VP ;
bobina primaria con
NP vueltas
Símbolo del transformador;
las líneas entre bobinas indica
que tiene un núcleo.
Salida con VS ; bobina
secundaria con NS
vueltas
Laminado para reducir las
corrientes de Foucault
(corrientes eddy)
IP
IS
~V
VS
P
NP
NS
R
fem = VP = −
dΦ p
dt
= −N p A
dB p
dt
dΦ S
dBS
= −NS A
VS = −
dt
dt
dBS
dBP
=
dt
dt
Mantenimiento de la potencia (ideal):
Vef , S I ef , S = Vef , P I ef , P
⇒
VS
N
= S
VP
NP