Breve introducción Matrices 2

Breve introducción a Matrices 2
Liceo Nº 35 - IAVA
junio 2016
4 - Producto de matrices
El producto de matrices que definiremos a continuación difiere del producto definido en R en
algunos aspectos, por ejemplo en el producto de matrices las matrices factores deben cumplir
ciertas condiciones (con lo que el producto no está definido para dos matrices cualesquiera); el
producto de matrices no es conmutativo; el producto de dos matrices puede ser la matriz nula y
ninguno de los dos factores serlo.
Def. 4.1
Sean A ∈ M pxq y B ∈ Mqxr con p, q, r ∈ N∗ , definimos el producto de A por B como la matriz
C = (ci j ) definida de la siguiente manera:
k=q
ci j =
∑ aik bk j
k=1
con 1 ≤ i ≤ p y 1 ≤ j ≤ r.
Es decir que se trata de una ley de composición interna del tipo:
. : M pxq × Mqxr → M pxr
Observación 4.1
i) De la definición dada arriba deducimos que el producto de dos matrices de orden pxq y qxr
respectivamente, será una matriz de orden pxr.
ii) Es evidente que si en el producto de dos matrices A y B de orden pxq y qxr respectivamente
p ?= r no es posible plantear el producto de B por A. Podríamos preguntarnos entonces si en el
caso de que p = r el producto sería conmutativo, pero una vez más surge el hecho de que el
orden de A.B es pxp y el orden de B.A es qxq. Ampliamos entonces nuestro cuestionamiento y
preguntamos ¿ y si las matrices A y B fuesen cuadradas y de igual orden?.
Teorema 3.1
Para toda matriz A ∈ Mmxn se tiene que:
A.In = Im .A = A
Demostración
Calculemos por un lado A.In y por otro Im .A y probemos que en ambos casos el resultado es A:
Diego Charbonnier
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A.In =
Im .A =
?
k=n
∑ aik .δk j
k=1
?
k=m
?
∑ δik .ak j
k=1
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= (ai j .δ j j ) = (ai j ) = A
?
= (δii .ai j ) = (ai j ) = A
Teorema 3.2
Sean A ∈ M pxq y B ∈ Mqxr , se tiene que:
(A.B)t = Bt .At
Demostración
Calculemos por separado ambos miembros de la igualdad a demostrar y veamos finalmente si
son iguales o no:
?
?
?
?
k=q
k=q
A.B = ∑k=1 aik bk j = (ci j ) → (A.B)t = (c ji ) = ∑k=1 a jk bki
?
?
k=q
Bt = (b ji ) y At = (a ji ) → Bt .At = ∑k=1 bki a jk
Teorema 3.3
Para toda matriz A ∈ M pxq se tiene que:
?
?
A.At y (At .A)
son matrices simétricas.
Demostración
Alcanza con probar1 que (A.At )t = (A.At ) y que (At .A)t = (At .A)
Teorema 3.4
Sean A ∈ M pxq y B ∈ Mqxr , se tiene que:
1 Recordar
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el teorema 1.2
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(α.A).(β .B) = (α.β ).(A.B) = (β .A).(α.B)
Demostración
Apliquemos la definición de producto de matrices:
k=q
k=q
k=q
(α.A).(β .B) = ∑k=1 (α.aik )(β .bk j ) = ∑k=1 ((α.β ).aik .bk j ) = (α.β ). ∑k=1 aik .bk j = (α.β )(A.B)
Teorema 3.5
Sean A ∈ M pxq , B ∈ Mqxr y C ∈ Mrxs , se tiene que:
(A.B).C = A.(B.C)
Demostración
Identifiquemos primero un elemento genérico del producto (A.B), sea xih dicho elemento:
k=q
xih =
∑ aik bkh
k=1
entonces el elemento de la fila i y de la columna j de la matriz (A.B).C será el yi j definido como:
yi j =
h=r
h=r
h=1
h=1
?
k=q
∑ xihch j = ∑ ∑ aik bkh
k=1
?
yi j =
ch j =
h=r k=q
k=q h=r
h=1 k=1
k=1 h=1
∑ ∑ aik bkhch j = ∑ ∑ aik bkhch j →
k=q
h=r
k=1
h=1
∑ aik ∑ bkhch j
y esta última igualdad representa el elemento de la fila i y la columna j del producto A.(B.C),
lo que prueba el teorema.
Teorema 3.6
Sean A ∈ M pxq y B,C ∈ Mqxr se tiene que:
A.(B +C) = A.B + A.C
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Demostración
Por cuenta del lector.
Si prestamos especial antención al conjunto de las matrices cuadradas de orden n y recordando
algunos resultados obtenidos podemos concluír que2 :
(Mnxn , +, . )
tiene estructura de anillo unitario no conmutativo.
Veamos ahora cómo a partir de la definición dada anteriormente podemos introducir la idea de
potencia de exponente natural de una matriz cuadrada.
Def. 4.2
Sea A una matriz cuadrada, A ∈ Mmxm y n ∈ N, definimos entonces:
A0 = I
A1 = A
An+1 = An .A
Teorema 3.7
Sea A una matriz cuadrada, A ∈ Mmxm y p, r ∈ N, se tiene entonces que:
A p .Ar = A p+r
Demostración
Haremos la demostración por inducción sobre r; para r = 1 la tesis es cierta ya que quedaría
A p .A = A p+1
de acuerdo con la definición dada más arriba. Resta ahora demostrar el siguiente teorema:
H) la proposición es cierta para r = n con n ∈ N, n ≥ 1, es decir que vale que A p .An = A p+n .
T ) la proposición es cierta para r = n + 1, o sea que A p .An+1 = A p+(n+1) .
Demostración
2 Siendo
” + ” y ”.” las dos leyes de composición interna definidas anteriormente
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Podemos escribir:
A p .An+1 = A p .(An .A) = (A p .An ).A = A p+n .A = A(p+n)+1 = A p+(n+1)
lo que demuestra este último teorema y a la vez el teorema 3.7.
Ejercicios
1) Dadas las siguientes matrices
A=
?
?
3 4
7 6
B=
a) A.B
Calcula:
?
5 0
2 3
b) B.C
?
C=
c) A.B.C
?
9 8
2 1
?
d) 2.(A + B.C)
2) Dadas las matrices A y B
A=
?
1 0
0 0
?
B=
?
0 0
1 0
?
observa que ninguna de ellas es la matriz nula. Calcula ahora el producto A.B y si el resultado
te sorprende expresa tu conclusión.
3) Calcula
?
−1 14
−8 2
?2
.
4) Dadas las matrices A, B ∈ M pxp ¿ valdrá que (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 ? Si opinas que si
pruébalo, si opinas que no, da un contraejemplo.
5) Halla las matrices X de orden 2x2 que verifiquen
2
X =
?
1 2
0 4
1 2
2 5
?
?
?
6) Resuelve la ecuación
X.
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?
=
1 0
0 1
?
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7) Utilizando el resultado anterior, resolver
?
1 2
2 5
?
.Y =
?
3 4
2 7
?
8) Considera las matrices siguientes M y N y los reales α y β tales que α, β ∈ [0, 2π)
M=
?
cos α sen α
−sen α cos α
?
yN=
?
cos β sen β
−sen β cos β
?
investiga si el producto de M por N es conmutativo.
9) Calcula la potencia n-ésima de las siguientes matrices


?
?
1
0 0
1
0
−1
A= k
1 0  y B=
k 1
k−1 0 1
10) ¿Crees que en el producto de matrices vale la propiedad cancelativa? Es decir crees que
vale que si:
A.B = A.C entonces B = C
si tu respuesta es afirmativa, pruébalo, si es negativa da un contraejemplo.
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