UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. EXAMEN PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL. GRADO 1º ECONOMÍA. CURSO 2009-2010. 14 DE ABRIL DE 2010 CUESTIONES: CADA CUESTIÓN VALE : 0,5 PUNTOS TOTAL 3 PUNTOS 1. Sea W = L{(1,0,0, a ), (0,1,0, a ), (1,1,1,1)} . Se verifica que: a) Para cualquier valor de a, W es un subespacio vectorial de dimensión 3. b) Si a=0, W = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / z = t , x = y} por lo que, dim(W ) = 4 − nº ecuaciones no redundantes = 4 − 2 = 2 c) Si a=1, BW = {(1,0,0,1), (0,1,0,1), (1,1,1,1)} es una base de W . 2. Dados los subespacios W1 = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / x = 0, y = 0} W2 = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / z = 0} Se verifica que: a) W1 + W2 = R 4 b) dim(W1 ∩W2 ) = 2 c) W1 ⊕ W2 = {( x, y, z, t ) ∈ R 4 / x = 0, y = 0, z = 0} d) W1 ∩ W2 = L{(0,0,0,1)} 3. Dadas las aplicaciones lineales f : R 4 → R 3 y g : R 3 → R 2 definidas por: f ( x, y , z , t ) = (3 x + y, y − z ,2 z + t ) g (u, v, w) = (2u + v, v − w) Se verifica que: 6 3 −1 0 a) La matriz asociada a la aplicación lineal g o f es 0 1 − 3 − 1 10 0 5 0 − 5 b) La matriz asociada a la aplicación 5 g es 5 c) f o g es una aplicación lineal definida R 3 → R 3 . 4. Sea f una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas viene dada por: 1 0 3 A = 2 1 5 Entonces se verifica que: a) (18,32) ∈ Im( f ) b) dim Im( f ) = 3 c) B = {(−3,1,1)} es una base de Ker ( f ) por lo que dim Ker ( f ) = 1 d) Im( f ) = R 2 . 5. Sea A x = b donde A ∈ M 3 , x ∈ R 3 , y b ∈ R 3 , b ≠ 0 , un sistema de ecuaciones lineales incompatible. Entonces se verifica: a) El sistema homogéneo asociado A x = 0 es un sistema compatible indeterminado. b) El sistema A x = 2 ⋅ b es un sistema incompatible. c) Si B es una matriz de orden 3 con rg ( B) = 3 entonces el sistema B x = b es un sistema compatible determinado. d) Si C es una matriz de orden 3 con rg (C ) = 2 entonces el sistema C x = b es un sistema compatible indeterminado. 6. Sea A una matriz de orden 3 ortogonal y sea B una matriz de orden 3 unipotente. Si | A |= 1 entonces se verifica: a) | A ⋅ B |= 0 b) c) | A ⋅ ( B ⋅ A) t |=| B | A ⋅ B es una matriz unipotente. CONTESTACIÓN A LAS CUESTIONES (Señala con una X la respuesta o respuestas correctas): Cuestión 1 Cuestión 2 Cuestión 3 Cuestión 4 Cuestión 5 a) a) a) a) a) b) b) b) b) b) c) c) c) c) c) d) d) d) PROBLEMAS: Cuestión 6 a) b) c) TOTAL 7 PUNTOS. 1. Sea f : R 3 → R 3 definida por f ( x, y, z ) = ( x + 2 y + z, y + z, x + y + z ) . Se pide: a. Obtener la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. (0,2 puntos) b. Hallar las ecuaciones cartesianas de los subespacios Im( f ) y Ker ( f ) . Obtener una base y la dimensión de los subespacios Im( f ) y Ker ( f ) . (0,4 puntos) c. Determinar si es posible la aplicación lineal inversa de f . (1 punto) d. Calcular la matriz asociada a la aplicación 2( f o f ) (0,4 puntos) 2. Dado el sistema ax − y + 2 z = 1 2 x + 3 y + 5 z = 5 ax + y + 4 z = b Se pide: a. Estudiar la compatibilidad del sistema para los distintos valores de los parámetros a y b . (1,5 punto) b. Para a = 1 y b = 1 calcular si es posible, la solución o soluciones del sistema. (1 punto) 3. Sean los subespacios vectoriales W1 = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / 2 x + y − z = 0} W2 = L{(1,0,2,0), (0,0,03)} Se pide: a. Obtener una base y la dimensión del subespacio W1 . (0,5 puntos) b. Determinar si el vector (2,-1,3,1) pertenece a W1 y en su caso, calcular las coordenadas de dicho vector respecto de la base obtenida en el apartado anterior. (0,5 puntos) c. Obtener las ecuaciones cartesianas del subespacio W1 ∩ W2 una base y su dimensión. (1 punto) (0,5 puntos) d. Calcular la dimensión y una base de W1 + W2