Apuntes de Circuitos Eléctricos II

2012
Apuntes de Circuitos
Eléctricos II
Análisis de la respuesta de CA en régimen
permanente sinusoidal
En este documento se presenta un análisis de redes simples usando el método
fasorial
Usuario UTP
UTP
24/07/2012
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Capítulo 1: RESPUESTA ESTACIONARIA DE CIRCUITOS SIMPLES
CON EXCITACIONES SINUSOIDALES POR EL MÉTODO FASORIAL
1.1 INTRODUCCIÓN
El objetivo principal de este capítulo es hallar la respuesta en régimen permanente en el
dominio del tiempo de circuitos arbitrarios conformados por elementos pasivos, lineales,
bilaterales, invariantes con el tiempo y de parámetros concentrados, para excitaciones
sinusoidales, usando el método fasorial.
1.2 EJEMPLO INTRODUCTORIO
En el circuito de la Figura 1, se desea determinar una expresión para la corriente i en estado
estable si el voltaje de alimentación vS es de la forma Vmcos(ωt).
i
L
+ vL −
+
+
vR
−
vS
−
R
Figura 1. Circuito simple serie RL.
La fuente de alimentación es un voltaje sinusoidal que tiene un valor pico de Vm, una
frecuencia angular ω de rad/s y un ángulo de fase de 0°. Aplicando la ley de voltaje de
Kirchoff al circuito de la figura, se tiene que:
v L  t   vR  t   v s  t  ,
(1.1)
2
donde vL(t) es el voltaje instantáneo a través de la inductancia, y se relaciona con la
corriente i(t) a través de la ecuación
vL  t   L
d
i t  ,
dt
(1.2)
el voltaje instantáneo a través de la resistencia es vR (t), y su relación con la corriente i(t) es
vR  t   Ri t  ,
(1.3)
reemplazando las ecuaciones (1.2) y (1.3) en la ecuación (1.1), se obtiene una ecuación
diferencial de primer orden que describe la corriente
L
d
i t   Ri t   Vm cos  ωt  ,
dt
(1.4)
ignorando la respuesta transitoria de la corriente (que finalmente desaparece con el
tiempo), se puede plantear la siguiente solución para i(t) en régimen permanente o estado
estable usando el método de los coeficientes indeterminados:
i  t   Asen  ωt   Bcos  ωt  ,
(1.5)
donde desde luego, se requieren estimar los coeficientes A y B. El procedimiento para
encontrar los coeficientes A y B se basa en plantear un sistema de ecuaciones linealmente
independientes (en este caso un sistema 2×2) que relacionen los coeficientes
indeterminados con los parámetros conocidos del circuito, como por ejemplo el valor pico
del voltaje de alimentación sinusoidal, la frecuencia angular ω y los valores de R y L.
Reemplazando la ecuación (1.5) en la ecuación (1.4) se tiene:
L
d
 Asen ωt   Bcos  ωt   R  Asen  ωt   Bcos  ωt   Vm cos  ωt 
dt 
efectuando las derivadas indicadas de las funciones sinusoidales respecto al tiempo
AωLcos  ωt   BωLsen  ωt   ARsen  ωt   BRcos  ωt   Vm cos  ωt 
para que la ecuación anterior se cumpla se debe de cumplir que:
AωL  BR  Vm ,
BωL  AR  0,
(1.6)
(1.7)
las dos ecuaciones anteriores se resuelven de manera simultánea para encontrar los valores
de los coeficientes A y B en términos de los parámetros del circuito, en efecto, de la ecuación
(1.7)
AR  BωL,
3
AB
ωL
,
R
(1.8)
reemplazando la ecuación anterior en la ecuación (1.6), se tiene
B
ωL
 ωL  BR  Vm ,
R
multiplicando inicialmente por R en ambos lados de la ecuación y después factorizando el
coeficiente B,
2
B R 2   ωL   RVm ,


donde el valor de B es igual a:
B
RVm
R   ωL 
2
(1.9)
2
reemplazando el valor obtenido para B en la ecuación (1.8), se obtiene el valor de A:
A
RVm
R   ωL 
2
A
2

ωL
,
R
ωLVm
R   ωL 
2
(1.10)
2
una vez determinados los valores de A y B, se tiene la solución para la corriente del circuito
i(t) en régimen permanente sinusoidal. Reemplazando las ecuaciones (1.9) y (1.10) en la
ecuación (1.5) se tiene
i t  
ωLVm
R 2   ωL
2
 sen ωt  
RVm
R 2   ωL 
2
 cos  ωt  ,
(1.11)
la corriente i(t) dada en la ecuación anterior, se puede expresar también de la siguiente
forma:
i  t   Im cos  ωt  θ 
(1.12)
en efecto, utilizando la identidad trigonométrica
cos  ωt  θ   cos θ  cos  ωt   sen θ  sen ωt  ,
multiplicando en ambos lados de la ecuación anterior por la constante I m, tenemos que
4
i  t   Im cos  ωt  θ   Im cos θ  cos  ωt   Im sen θ  sen  ωt 
(1.13)
comparando las ecuaciones (1.13) y (1.11) se observa que
Im cos θ  
RVm
R   ωL
2
 Im senθ  
2
ωLVm
R   ωL 
2
2

para determinar el valor de Im se realiza la siguiente operación
 Im cos θ    Im senθ 
2
2
usando los resultados obtenidos en el paso anterior
2
2
 RV
 
ωLVm 
m
 Im cos  θ     Im sen θ    



 ,
2
2
 R 2   ωL    R 2   ωL  
2
2
Im cos  θ   s en  θ    Vm
2
2
2
 R  ωL  Vm2 ,
2
2
R 2   ωL 
R 2   ωL  2 


2
2
el valor de la constante Im en función de los parámetros del circuito está dado por:
Im 
Vm
R   ωL 
2
(1.14)
2
nótese que, en la ecuación anterior el denominador coincide con la magnitud del número
complejo ZRL = R + jωL, denotada como || Z RL || = ZRL con parte real R y parte imaginaria ωL,
como se muestra en la Figura 2.
Eje imaginario
jωL
ZRL
jωL
Luego:
θ
90°
0
Eje real
R
Figura 2. Relación de la magnitud de la corriente con la magnitud del
número complejo ZRL.
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En el análisis de circuitos de CA en estado estable ZRL se conoce en como la magnitud de la
impedancia de la carga conformada por la combinación en serie de la resistencia de valor R
y la inductancia de valor L (serie RL), y su unidad es el ohmio (Ω). Para determinar el ángulo
θ se realiza la siguiente operación:
Im sen θ 
senθ 
cos θ 
Im cos θ 


ωL
R
ωL
ωL
,  tanθ  = 
,
R
R
 ωL 
θ   tan1 
,
 R 
(1.15)
reemplazando las ecuaciones (1.14) y (1.15), en la ecuación (1.12) se tiene la expresión
buscada para la corriente de carga:
i t  
Vm
R 2   ωL 
2
cos  ωt  θ  .
Una vez determinada la corriente del circuito, se puede obtener el voltaje en terminales de
la resistencia vR(t) y en la inductancia vL(t). Para el voltaje en la resistencia,
vR  t   Rio  t 
vR  t   RIm cos  ωt  θ  ,
Cabe notar que, en la ecuación anterior la amplitud de la forma de onda del voltaje en la
resistencia VR, es igual a,
VR  RIm ,
además, la frecuencia angular de la forma de onda del voltaje en la resistencia es la misma
frecuencia angular ω del voltaje de alimentación vS (t) (y la corriente i(t)) . El ángulo de fase
de vR(t) es igual al ángulo de fase de la corriente i(t), y debido a esto, se dice que la corriente
y el voltaje en una resistencia están en fase. Para el voltaje en la inductancia vL (t),
vL  t   L
vL  t   L
d
io t  ,
dt
d
Im cos  ωt  θ   ωLIm   sen ωt  θ  ,
dt
Aplicando la siguiente identidad:
sen  a   cos  a  90  ,
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luego,
 sen  ωt  θ    cos  ωt  θ  90  ,
y teniendo en cuenta que:
se tiene que:
 cos  a   cos  a  180  ,
 sen  ωt  θ   cos  ωt  θ  90 
reemplazando la ecuación anterior para el voltaje en la inductancia vL(t),
vL  t   ωLIm cos  ωt  θ  90 
Cabe notar que, en la ecuación anterior la amplitud de la forma de onda sinusoidal del
voltaje en la inductancia VL es igual a,
VL  ωLIm  x L Im ,
x L  ωL,
xL se conoce como la reactancia inductiva y su unidad es el ohmio (Ω). La frecuencia angular
del voltaje en la inductancia es igual a la frecuencia angular del voltaje de la fuente de
alimentación (y a la frecuencia de i(t) y vR(t)). El ángulo de fase del voltaje en la inductancia
es igual al ángulo de fase de la corriente i(t) denotado como θ más 90°. Debido a esto, se
dice que el voltaje en la inductancia adelanta 90° en ángulo de fase la corriente que circula a
través de ella. Un resumen de las formas de los voltajes y la corriente del circuito obtenidos
anteriormente, se muestra en la tabla 1.1.
vS(t)
i(t)
vR(t)
vL(t)
Ecuación
Vmcos(ωt)
Imcos(ωt- θ)
IRcos(ωt- θ)
VLcos(ωt- θ-90°)
Amplitud
Vm
Im=Vm/ZRL
VR=RIm
VL=ωLIm
Ángulo de fase
0°
-θ
-θ
-(θ+90°)
Tabla 1.1. Resumen de las formas de onda de los voltajes en lo s elementos y la
corriente en el circuito serie RL.
Una grafica de las formas de onda de los voltajes y la corriente del circuito realizada en
Matlab® se muestra en la figura 3, ajustando los parámetros del circuito con los valores
indicados en la Tabla 1.2.
parámetro
Vm
R
L
ω
valor
100 V
5Ω
10 mH
377 rad/s
Tabla 1.2. Valores utilizados en lo s parámetros del circuito para realizar las
graficas de los voltajes y la corriente.
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En la Figura 3, se observa en la parte superior que el voltaje en la inductancia adelanta 90° a
la corriente y adelanta también a el voltaje de la fuente de alimentación. En la parte inferior
de la figura es claro que el voltaje y la corriente en la resistencia tienen el mismo ángulo de
fase.
20
100
vs(t)
vL(t)
0
-50
-10
-100
vR(t)
0.225
0.23
0.235
tiempo (s)
0.24
0.245
-20
0.25
80
20
60
15
40
10
20
5
0
0
-20
-5
-40
-10
-60
-15
-80
0.225
0.23
0.235
tiempo(s)
0.24
0.245
i(t)
vs (t)
0
10
i(A)
io(t)
50
-20
0.25
Figura 3. Formas de onda de los voltajes en los elementos y la corriente i(t), en el circuito
serie RL.
Con base en el análisis del circuito anterior se puede concluir lo siguiente: Todas las formas
de onda del circuito (voltajes y la corriente) tienen la misma frecuencia angular ω (rad/s)
que la función forzante sinusoidal vS(t). Además, las respuestas de régimen permanente del
circuito (voltajes y corrientes) son funciones sinusoidales de la forma:
x  t   X cos  ωt  θx  ,
donde x(t) puede representar un voltaje o una corriente con amplitud X, y ángulo de fase θx,
por lo cual, se conoce la forma de las respuestas estacionarias del circuito y por lo tanto, la
solución “simplemente” implica determinar los valores de las constantes X y θx.
Ejercicio: Para el circuito de la Figura 4, determinar una expresión para la corriente i(t) en estado
estable, luego determine el voltaje en el capacitor vC(t) y en la resistencia vR(t).
8
i
+
vS
−
C
+ vC −
+
vR
−
R
Figura 4. Circuito simple serie RC.
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