Práctica 2: Estimación

Ingeniería de Telecomunicación
Señales y Sistemas II
PRÁCTICA 2
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
EN SEÑALES ALEATORIAS
CURSO 2008 / 2009
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
Las
señales
con
las
que
un
ingeniero
de
Telecomunicación
trabaja
en
la
práctica
no
son,
la
mayor
parte
de
las
veces,
deterministas.
Por
ejemplo,
una
señal
de
voz
no
puede
ser
descrita
por
una
ecuación,
ya
que
los
parámetros
que
la
caracterizan
cambian
constantemente
con
el
tiempo.
No
obstante,
esta
señal
tiene
ciertas
características
que
la
distinguen,
por
ejemplo,
de
una
señal
de
televisión.
De
hecho,
casi
todas
las
señales
que
se
manejan
en
comunicaciones
y
en
otros
muchos
campos
de
la
ingeniería
y
de
la
ciencia
son
de
naturaleza
estocástica
(también
llamada
aleatoria).
Una
señal
aleatoria
tiene
dos
facetas:
una,
que
su
valor
(amplitud)
en
un
instante
de
tiempo
determinado
es
una
variable
aleatoria,
y
otra,
que
para
cada
resultado
(realización)
del
experimento
aleatorio
tenemos
una
función
temporal.
En
definitiva,
la
definición
de
una
señal
aleatoria
se
realiza
por
medio
de
sus
propiedades
estadísticas,
como
son:
su
función
densidad
de
probabilidad,
su
función
densidad
de
probabilidad
conjunta,
su
media,
su
función
de
auto‐
correlación,
etc.
En
los
problemas
teóricos,
estas
descripciones
cuantitativas
consideran
el
conjunto
de
todas
las
realizaciones
del
proceso
aleatorio
particular,
siendo
estas
funciones
deterministas,
las
cuales
poseen,
desde
un
punto
de
vista
matemático,
un
buen
comportamiento.
Sin
embargo,
en
un
problema
práctico,
estas
funciones
deben
ser
estimadas,
utilizando
medidas
de
un
conjunto
finito
de
datos
tomados
a
partir
de
observaciones
del
proceso
aleatorio.
Las
estimaciones
así
realizadas
son
en
sí
mismas
variables
aleatorias,
dado
que
se
forman
a
partir
de
variables
aleatorias.
Por
ello,
sólo
podemos
hacer
aseveraciones
probabilísticas
acerca
de
la
proximidad
de
los
valores
estimados
respecto
a
los
valores
reales,
por
ello
es
por
lo
que
suele
hablar
de
parámetros
como
el
intervalo
de
confianza
de
una
estimación
o
el
máximo
error
cometido
en
la
estimación,
como
se
analizó
en
la
práctica
1
de
esta
asignatura.
En
el
conjunto
de
ejercicios
que
a
continuación
se
presentan,
se
tratará
la
descripción
y
el
procesado
de
señales
aleatorias,
principalmente
bajo
los
supuestos
de
estacionariedad
y
ergodicidad.
Además
estudiaremos
cómo
se
ven
influenciados
los
promedios
de
determinadas
variables
de
las
señales
cuando
una
señal
estocástica
se
procesa
a
través
de
un
sistema
lineal
o
se
somete
a
una
transformación
no
lineal.
En
la
mayoría
de
los
casos,
las
estimaciones
se
realizarán
con
MATLAB
©
calculando
promedios
temporales
o
de
conjuntos
de
realizaciones.
Curso 2008 / 2009
1
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
Las
estimaciones
así
realizadas
deben
entonces
compararse
con
los
valores
exactos
conocidos
a
partir
de
la
teoría.
El
conocimiento
de
estos
resultados
debe
abrir
el
camino
para
diseñar
sistemas
que
generen
señales
aleatorias
con
unas
propiedades
determinadas.
Por
ejemplo,
se
puede
obtener
una
descripción
paramétrica
de
una
señal
aleatoria
dada
en
función
de
los
coeficientes
de
un
filtro
lineal
que
produce
la
señal
deseada
cuando
se
excita
con
“ruido
blanco”
(señal
incorrelada).
Relacionado
con
esta
representación,
aparece
el
problema
de
la
predicción
y
la
decorrelación,
es
decir,
el
diseño
de
un
sistema
cuya
salida
sea
aproximadamente
una
versión
adelantada
de
la
entrada,
o
tal
que
a
partir
de
una
secuencia
de
entrada
correlada
se
obtenga
una
secuencia
que
es
ruido
blanco,
es
decir,
el
proceso
inverso
al
anteriormente
expuesto
del
filtro
lineal.
Como
en
el
caso
de
las
señales
deterministas,
interesa
una
descripción
tanto
en
un
dominio
temporal
como
frecuencial.
Desafortunadamente,
la
transformada
de
Fourier
directa
de
las
señales
aleatorias
no
es
útil
debido
a
la
variabilidad
temporal
de
los
parámetros
que
caracterizan
la
señal;
sin
embargo,
la
transformada
de
Fourier
directa
de
su
función
de
autocorrelación
sí
lo
es,
la
cual
recibe
el
nombre
de
densidad
espectral
de
potencia.
ESTUDIO
1:
VARIABLES
ALEATORIAS
En
este
estudio
se
introducirán
las
propiedades
elementales
de
las
variables
aleatorias.
Los
distintos
apartados
de
los
que
consta
este
estudio
se
concentran
en
estimar
la
media,
la
varianza
y
la
función
de
densidad
de
probabilidad
de
una
serie
de
variables
aleatorias.
En
general,
una
variable
aleatoria
(v.a.)
se
describe
por
su
función
densidad
de
probabilidad
(f.d.p.)
de
la
siguiente
manera:
fv (v) =
d
Fv (v) dv
(1)
donde
Fv (v) representa la probabilidad de que una variable aleatoria v no supere un valor
€
particular de la misma v , es decir:
€
Fv (v) = Probabilidad(v ≤ v) €
Curso 2008 / 2009
€
€
(2)
2
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
En
muchos
casos,
para
caracterizar
la
variable
aleatoria
bajo
estudio,
tan
sólo
son
necesarios
determinados
momentos,
donde
las
más
utilizados
son
la
media
y
la
varianza,
los
cuales
se
pueden
calcular
mediante
las
expresiones
dadas
en
(3).
∞
mv = E{v} =
∫ vf (v)dv
v
−∞
2
v
{
2
∞
} ∫ (v − m )
σ = E [v − mv ] =
v
2
(3)
fv (v)dv
−∞
Los
momentos
de
la
variable
aleatoria
bajo
estudio
son
constantes,
pero
no
pueden
determinarse
de
forma
exacta
a
partir
de
una
serie
de
realizaciones
de
la
variable
aleatoria.
En
€
los
distintos
apartados
presentados
a
continuación,
las
realizaciones
de
la
variable
aleatoria
se
crearán
con
un
generador
de
números
pseudo‐aleatorios,
cuyas
propiedades
se
conocen
con
suficiente
precisión.
De
este
modo,
su
f.d.p.,
su
media
y
su
varianza
se
estimarán
a
partir
de
un
número
finito
de
realizaciones
de
la
variable
aleatoria
y
se
compararán
entonces
con
los
valores
teóricos.
La
función
de
generación
de
datos
pseudo‐aleatorios
de
MATLAB
rand(M,N)
genera
una
matriz
de
M
filas
y
N
columnas
de
números
pseudo‐aleatorios
con
una
distribución
de
probabilidad
de
tipo
uniforme
en
el
intervalo
[0,1].
Por
otro
lado,
la
función
randn(M,N)
trabaja
de
la
misma
manera
que
la
anterior
pero
generando
datos
pseudo‐aleatorios
con
una
distribución
de
probabilidad
de
tipo
gaussiana
con
media
nula
y
varianza
unitaria.
Otra
función
de
MATLAB
que
también
nos
puede
ser
de
bastante
utilidad
es
la
función
hist(x),
que
también
se
puede
invocar
como
hist(x,
nbarras).
Esta
función
calcula
y
dibuja
el
histograma
(en
forma
de
diagrama
de
barras)
correspondiente
a
los
datos
contenidos
en
el
vector
o
matriz
x,
que
para
nuestro
caso
de
estudio
consideraremos
que
es
un
vector
de
números
pseudo‐aleatorios
con
una
cierta
función
de
distribución
de
probabilidad.
El
número
de
barras
que
utiliza
esta
función
es
por
defecto
de
10,
pero
se
puede
indicar
otro
por
medio
de
el
segundo
parámetro
(nbarras)
indicado
con
anterioridad.
Curso 2008 / 2009
3
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
Estudio
1.1.:
Estudio
de
datos
pseudo‐aleatorios
con
una
f.d.p.
de
tipo
uniforme
Genere
un
vector
de
números
pseudo‐aleatorios
con
una
f.d.p.
de
tipo
uniforme
en
el
intervalo
[0,1].
Para
ello,
utilice
al
menos
varios
miles
de
elementos
(realizaciones)
en
el
vector.
Posteriormente
realice
los
siguientes
pasos:
1. Utilice
las
funciones
de
MATLAB
hist(…),
mean(…)
y
std(…)
para
estimar
su
f.d.p.,
su
media
y
su
varianza,
respectivamente.
Tenga
en
cuenta
que,
si
se
quiere
estimar
la
f.d.p.,
el
histograma
debe
ser
normalizado,
de
tal
forma
que
presente
un
área
total
igual
a
la
unidad.
2. Como
hemos
comentado
anteriormente,
la
función
de
MATLAB
rand(…)
produce
números
pseudo‐aleatorios
con
una
f.d.p.
uniforme
en
el
intervalo
[0,1].
De
este
modo
es
posible
determinar
teóricamente
los
valores
de
la
media
y
la
varianza
de
la
variable
aleatoria
generada.
Por
todo
ello,
determine
estos
valores
teóricos
y
compárelos
con
los
estimados.
¿Coinciden
los
valores
teóricos
con
los
obtenidos
en
la
práctica?
¿Bajo
qué
condiciones
coincides
estos
valores?
3. Repita
100
veces
el
experimento
numérico
realizado
previamente.
¿Se
obtienen
siempre
los
mismos
valores
estimados?
En
caso
de
que
no
se
obtengan
siempre
los
mismos
resultados,
debería
observar
cómo
los
valores
estimados
caen
alrededor
de
los
valores
teóricos.
Finalmente,
dibuje
para
ello
un
histograma
de
los
resultados
estimados
de
media
y
otro
de
varianza.
¿Qué
relación
aprecia
entre
estos
histogramas
y
los
resultados
teóricos?
Estudio
1.2.:
Estudio
de
datos
pseudo‐aleatorios
con
una
f.d.p.
de
tipo
gaussiana
Genere
un
vector
de
números
pseudo‐aleatorios
con
una
f.d.p.
de
tipo
gaussiana
de
media
y
varianza
la
que
usted
desee.
Para
ello,
utilice
al
menos
varios
miles
de
elementos
(realizaciones)
en
el
vector.
Posteriormente
realice
los
siguientes
pasos:
1. Como
en
el
estudio
1.1.,
calcule
las
estimaciones
de
su
f.d.p.,
su
media
y
su
varianza.
Compare
la
media
y
la
varianza
obtenidas
con
sus
valores
teóricos
y
repita
el
proceso
varias
veces
para
observar
cómo
varían
esos
momentos.
Curso 2008 / 2009
4
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
2. La
representación
del
histograma
debería
aproximarse
a
la
f.d.p.
teórica,
que
en
este
caso
tiene
la
forma
de
la
típica
campana
de
Gauss.
Por
si
nos
es
de
ayuda,
la
expresión
de
la
f.d.p.
de
una
gaussiana
de
media
mv y
desviación
típica
σ v es:
fv (v) =
2
2
1
e−( v−mv ) /2σ v σ v 2π
(4)
€
€
Como
en
el
estudio
1.1,
el
histograma
obtenido
mediante
la
función
hist(…)
de
MATLAB
debe
ser
normalizado.
Una
vez
normalizado,
en
su
representación
gráfica
superponga
la
€
representación
de
la
f.d.p.
teórica
(utilice
help
plot
o
help
hold
para
ver
los
diferentes
modos
en
que
se
pueden
ver
varias
curvas
en
una
misma
gráfica)
con
la
obtenido
de
forma
práctica.
Es
más,
pruebe
con
diferentes
números
de
barras
y
diferentes
longitudes
de
los
vectores
hasta
conseguir
un
ajuste
razonable.
Estudio
1.3.:
Estudio
de
variables
aleatorias
independientes
Podemos
llamar
dos
veces
al
generador
de
números
pseudo‐aleatorios
de
MATLAB
(rand(…)
o
randn(…))
para
obtener
valores
de
dos
variables
aleatorias
diferentes.
La
interrelación
de
estas
dos
variables
aleatorias
se
describe
por
su
f.d.p.
conjunta,
la
cual
es
función
de
dos
variables
aleatorias.
De
este
modo,
suponga
que
v1
y
v2
son
dos
variables
aleatorias.
La
f.d.p.
conjunta
es:
f (x, y) =
∂2 F(x, y)
∂x∂y
(5)
donde
su
función
de
distribución
de
probabilidad
F(x, y) viene
dada
por
la
siguiente
expresión:
€
F(x, y) = Probabilidad{v1 ≤ x, v 2 ≤ y} €
Por
ejemplo,
la
f.d.p.
gaussiana
bidimensional
puede
expresarse
como:
€
fv1,v2 (x, y) =
1
2π C
e
1
− (v−m v )T C −1 (v−m v )
2
(6)
(7)
donde
el
vector
aleatorio
v=[x
y]T,
mientras
que
mv=[mv1
mv2]T
y
C
es
la
matriz
de
covarianza
de
las
dos
variables
aleatorias.
Definiendo
v˜ i = v i − m vi ,
la
matriz
de
covarianza
buscada
se
puede
€
expresar
como:
€
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5
Señales y Sistemas II
v˜ 
C = E  1 [ v˜ 1
v˜ 2 
Práctica 2: Estimación
  E {v˜ 12 } E {v˜ 1 v˜ 2 }

v˜ 2 ] = 
2
 E {v˜ 2 v˜ 1} E {v˜ 2 } 
(8)
Como
se
puede
comprobar,
la
matriz
de
covarianza
es
siempre
simétrica
y
definida
no
negativa.
Hay
dos
formas
de
estimar
la
f.d.p.
conjunta:
una
consiste
en
calcular
el
histograma
€
bidimensional,
mientras
que
la
otra
consiste
en
asumir
que
la
f.d.p.
es
gaussiana
y
estimar
la
matriz
de
covarianza
para
utilizarla
más
adelante.
Para
probar
estos
métodos,
genere
dos
vectores
aleatorios
conteniendo
resultados
de
dos
variables
aleatorias
gaussianas.
Utilice
vectores
de
al
menos
varias
miles
de
realizaciones,
de
media
nula
y
con
varianzas
1
y
3,
respectivamente.
Una
vez
generados
estos
datos
pseudo‐aleatorios:
1. Deduzca
la
expresión
matemática
de
la
f.d.p.
conjunta,
la
cual
es
una
gaussiana
bidimensional.
Observe
la
ayuda
de
la
función
de
MATLAB
meshgrid(…)
para
generar
el
dominio
(x,y)
para
el
cálculo
y
representación
de
dicha
expresión.
Represente
las
curvas
de
nivel
de
la
f.d.p.
gaussiana
conjunta,
utilizando
para
ello
la
función
contour(…)
de
MATLAB
y
observe
que
su
forma
es
elíptica.
2. Calcule
una
estimación
de
la
matriz
de
covarianza
tomando
promedios
(esperanzas
matemáticas)
de
v12 ,
v 22 y
v1v 2 .
Compare
estas
estimaciones
con
los
valores
teóricos
de
la
matriz
de
covarianza.
Represente
la
función
gaussiana
bidimensional
utilizando
esta
matriz
de
covarianza
estimada
y
compare
sus
curvas
de
nivel
con
€
€ €
las
del
anterior
apartado.
3. Escriba
una
función
en
MATLAB
(llámese
hist2(…))
para
calcular
el
histograma
bidimensional
de
un
par
de
vectores.
Incluya
como
parámetro
el
número
de
barras
a
representar.
Aproveche
la
existencia
de
la
versión
para
una
dimensión,
así
como
de
la
función
find(…)
para
calcular
una
columna
(o
fila)
en
cada
iteración.
4. Utilice
hist2(…)
para
estimar
directamente
la
f.d.p.
a
partir
de
los
datos.
Represente
esta
f.d.p.
sobre
la
misma
gráfica
que
la
f.d.p.
teórica.
Utilice
la
función
contour(…),
para
representar
unas
pocas
curvas
de
nivel
para
cada
f.d.p.
de
tal
forma
que
la
comparación
entre
curvas
se
pueda
realizar
de
forma
fácil
y
sencilla.
5. Dado
que
estas
variables
aleatorias
estaban
generadas
independientemente,
dichas
variables
deben
estar
incorreladas.
La
definición
de
independencia
supone
Curso 2008 / 2009
6
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
que
la
f.d.p.
bidimensional
puede
expresarse
como
producto
de
las
f.d.p.
unidimensionales.
Esto
implica
que
la
media
del
producto
de
las
variables
aleatorias
es
el
producto
de
las
medias,
que
en
el
caso
de
variables
aleatorias
de
media
nula
será
cero.
Verifique
que
se
trata
de
variables
aleatorias
independientes,
realizando
lo
siguiente:
estime
las
funciones
densidad
de
probabilidad
unidimensionales
de
las
variables
aleatorias,
obtenga
una
nueva
estimación
de
la
f.d.p.
bidimensional
multiplicando
las
dos
funciones
densidad
de
probabilidad
unidimensionales.
Represente
las
curvas
de
nivel
de
esta
nueva
estimación
junto
con
la
f.d.p.
bidimensional
teórica.
Estudio
1.4.:
Estudio
de
variables
aleatorias
correladas
En
este
estudio
se
calculará
la
f.d.p.
conjunta
de
dos
variables
aleatorias
correladas.
Para
ello,
genere
dos
vectores
aleatorios
con
distribución
gaussiana,
conteniendo
cada
uno
de
ellos
varios
miles
de
elementos.
Estos
vectores
deberán
tener
media
nula
y
varianza
1
y
2,
respectivamente.
Forme
dos
nuevos
vectores
aleatorios
tomando
la
suma
y
la
diferencia
de
los
primeros.
Estos
vectores
suma
y
diferencia
serán
utilizados
para
las
siguientes
pruebas
a
realizar
durante
este
estudio.
De
este
modo:
1. Determine
la
forma
teórica
de
la
f.d.p.
gaussiana
conjunta.
Obtenga
los
valores
exactos
de
los
elementos
de
la
matriz
de
covarianza.
2. Realice
la
representación
gráfica
de
la
gaussiana
bidimensional
a
partir
de
la
función
obtenida
en
el
apartado
anterior.
Utilice
la
función
meshgrid(…)
para
generar
el
dominio
(x,y)
sobre
el
que
calcularla
y
representarla.
3. Estime
los
elementos
de
la
matriz
de
covarianza
bidimensional
a
partir
de
los
vectores
de
prueba
y
represente
la
f.d.p.
conjunta
estimada.
Compare
la
f.d.p.
estimada
y
la
teórica
realizando
una
representación
con
un
número
pequeño
de
curvas
de
nivel
para
cada
una.
Para
ello
utilice
la
función
contour(…).
4. Estime
la
f.d.p.
calculando
el
histograma
bidimensional.
Realice
una
representación
de
sus
curvas
de
nivel
y
compárelo
con
la
f.d.p.
teórica.
En
este
caso,
las
dos
variables
aleatorias
están
correladas,
por
ello
debería
verificar
que
la
f.d.p.
Curso 2008 / 2009
7
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
bidimensional
no
puede
expresarse
como
producto
de
dos
funciones
densidad
de
probabilidad
unidimensionales.
ESTUDIO
2:
SEÑALES
ALEATORIAS
ERGÓDICAS,
ESTACIONARIAS
Y
NO
ESTACIONARIAS
Dado
que
la
idea
subyacente
del
procesado
de
señales
estocásticas
es
conocer
algunos
detalles
acerca
de
la/s
f.d.p.
que
definen
dicho
proceso,
un
problema
importante
para
el
procesado
de
señales
estocásticas
es
cómo
estimar
dicha
f.d.p.
a
partir
de
una
única
realización
de
dicho
proceso,
donde
por
realización
denominamos
a
un
conjunto
de
elementos
(datos
o
valores)
de
dicho
proceso
aleatorio.
De
este
modo,
si
sólo
tenemos
una
realización,
no
podemos
promediar
sobre
un
conjunto
cómo
se
hace
en
el
caso
de
las
variables
aleatorias.
En
su
lugar,
debemos
trabajar
con
la
suposición
de
que
el
promediado
temporal
sobre
una
sola
señal
será
suficiente
para
conocer
la
f.d.p.
La
suposición
que
nos
permite
tomar
esta
aproximación
se
llama
ergodicidad,
que
establece
que
“los
promedios
temporales
convergen
al
valor
que
se
pretende
estimar”.
Por
ello,
un
proceso
ergódico
debe
ser
estacionario,
dado
que
sería
imposible
estimar
una
f.d.p.
variante
en
el
tiempo
a
partir
de
una
única
realización.
En
los
estudios
siguientes
se
examinan
las
propiedades
de
las
señales
de
los
tres
procesos
aleatorios
siguientes
determinados
por
las
siguientes
funciones:
function v=rp1(M,N)
% Proceso aleatorio número 1.
A=0.02;
B=5;
Mc=ones(M,1)*B*sin((1:N)*pi/N);
Ac=A*ones(M,1)*[1:N];
v=(rand(M,N)-0.5).*Mc+Ac;
function v=rp2(M,N)
%Proceso aleatorio número 2.
Ar=rand(M,1)*ones(1,N);
Mr=rand(M,1)*ones(1,N);
v=(rand(M,N)-0.5).*Mr+Ar;
Curso 2008 / 2009
8
Señales y Sistemas II
function v=rp3(M,N)
Práctica 2: Estimación
%Proceso aleatorio número 3.
A=0.5;
M=3;
v=(rand(M,N)-0.5)*M+A;
Como
se
puede
apreciar,
es
recomendable
realizar
cada
función
(proceso
aleatorio)
en
un
script
de
MATLAB,
de
tal
forma
que
se
cree
una
matriz
de
tamaño
[MxN]
que
contenga
números
aleatorios.
Estudio
2.1.:
¿Proceso
estacionario
o
ergódico?
Para
este
estudio,
genere
diferentes
realizaciones
de
los
tres
procesos
en
el
dominio
del
tiempo,
para
obtener
una
idea
aproximada
de
la
estacionariedad
y
de
la
ergodicidad.
Para
la
estacionariedad,
la
clave
está
en
comprobar
si
ciertas
propiedades
cambian
o
no
con
el
tiempo;
para
la
ergodicidad,
la
clave
está
en
comprobar
si
una
única
realización
del
proceso
estacionario
representa
al
proceso
completo.
Por
todo
ello,
genere
cuatro
realizaciones
de
cada
uno
de
los
procesos
de
longitud
100
(M=4,
N=100)
y
represente
cada
uno
de
ellos
en
una
misma
figura
utilizando
la
función
subplot(…).
A
partir
de
esta
representación
indique
si
estos
procesos
pueden
ser
ergódicos
y/o
estacionarios.
Estudio
2.2.:
Esperanzas
a
partir
de
promedios
de
conjuntos
Para
este
estudio,
genere
un
conjunto
de
realizaciones
de
los
tres
procesos,
por
ejemplo
con
M=80
(número
de
procesos)
y
N=100
(número
de
elementos
de
cada
proceso).
Utilice
las
funciones
de
MATLAB
mean(…)
y
std(…)
para
estimar
la
media
y
la
desviación
típica
de
estos
procesos
en
cada
instante
de
tiempo.
El
resultado
de
la
estimación
debe
ser
una
función
del
tiempo,
que
debe
representar,
y
decidir
a
partir
de
dicha
representación
si
los
procesos
pueden
ser
estacionarios
en
sentido
amplio.
Nota:
El
promedio
del
conjunto,
en
el
caso
de
la
función
mean(…),
es:
Curso 2008 / 2009
9
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
mˆ un [ n ] =
1 M
∑ uλ [n] ≈ E {un }
M λ=1
(9)
De
forma
parecida,
para
el
promedio
de
conjunto
de
la
varianza,
debemos
calcular
la
suma
de
los
cuadrados
después
de
eliminar
la
media,
es
decir:
€
M
2
1
2
ˆ
σ u n = ∑ ( uλ [ n ] − mˆ u n [ n ]) M λ=1
(10)
€
Estudio
2.3.:
Esperanzas
a
partir
de
promedios
temporales
Obtenga,
de
forma
aproximada,
la
media
de
cada
proceso
como
promedios
temporales
para
cuatro
realizaciones
( λ = 1,2,3,4 )
de
cada
proceso,
es
decir:
uλ =
1 N −1
∑ uλ [n]
N n= 0
€
uλ − uλ
2
1 N −1
= ∑ uλ [ n ] − uλ [ n ]
N n= 0
(
)
(11)
2
Para
ello,
utilice
M=4
y
N=1000
cuando
genere
las
señales.
A
raíz
de
los
resultados
obtenidos,
indique
si
los
procesos
son
ergódicos
o
no.
€
NOTA:
Hablando
estrictamente,
los
promedios
temporales
necesitan
el
límite
cuando
N
tiende
a
infinito,
pero
podemos
aproximar
el
valor
en
el
límite
considerando
longitudes
suficientemente
grandes,
N=1000.
Un
proceso
no
estacionario
no
puede
ser
ergódico,
por
ello
en
esos
casos
no
son
útiles
los
promedios
temporales.
ESTUDIO
3:
SISTEMAS
LINEALES
CON
ENTRADAS
ALEATORIAS
En
los
siguientes
ejercicios
estudiaremos
tres
sistemas
lineales
diferentes
que
actúan
como
filtros
y
su
efecto
en
el
procesado
de
señales
aleatorias
de
entrada,
generadas
por
medio
de
las
funciones
rand(…)
y
randn(…).
Los
sistemas
lineales
comentados
anteriormente
se
describen
por
medio
de
los
coeficientes
de
sus
funciones
de
transferencia,
las
cuales
son
funciones
racionales
(cociente
de
polinomios
en
Z).
De
este
modo,
los
coeficientes
de
los
tres
sistemas
lineales
(filtros)
con
los
que
vamos
a
trabajar
son:
Curso 2008 / 2009
10
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
Filtro 1:
B1=[0.3 0];
A1=[1 -0.8];
Filtro 2:
B2=0.06*[1 2 1];
A2=[1 -1.3 0.845];
Filtro 3:
B3=[0.845 -1.3 1];
A3=fliplr(B3);
%filtro paso todo.
Para
implementar
estos
filtros
en
MATLAB
se
puede
hacer
uso
de
la
función
filter(…),
así
como
obtener
la
salida
del
proceso
dada
una
entrada
y
los
coeficientes
del
filtro.
Además,
la
función
freqz(…)
se
puede
utilizar
para
obtener
muestras
de
la
respuesta
en
frecuencia
de
los
filtros.
La
estimación
de
la
secuencia
de
autocorrelación
y
de
la
correlación
cruzada
puede
obtenerse
con
la
función
de
MATLAB
xcorr(…).
Mientras
que
la
densidad
espectral
de
potencia
puede
calcularse,
de
forma
aproximada,
como
la
FFT
de
la
secuencia
de
autocorrelación
medida,
para
lo
cual
podemos
hacer
uso
de
la
función
fft(…)
de
MATLAB.
Estudio
3.1.:
Autocorrelación
de
un
proceso
de
ruido
blanco
Las
funciones
rand(…)
y
randn(…)
producen
valores
que
son
estadísticamente
independientes.
Genere
segmentos
de
dos
secuencias
aleatorias
de
entrada
por
medio
de:
N=5000;
v1=sqrt(12)*(rand(1,N)-0.5); %proceso de media nula.
v2=randn(1,N);
%proceso gaussiano de media nula y varianza 1.
Curso 2008 / 2009
11
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
Llame
a
estas
señales
v1[n]
y
v2[n].
Determine
la
varianza
de
v1[n].
Calcule
y
represente
64
valores
de
sus
secuencias
de
autocorrelación
utilizando
xcorr(…).
¿Cómo
se
aproxima
la
secuencia
de
autocorrelación
obtenida
a
la
teórica
esperada?.
Estudio
3.2.:
Ruido
Blanco
Filtrado
Las
señales
v1[n]
y
v2[n]
generadas
en
el
anterior
estudio
serán
utilizadas
como
entradas
a
un
filtro
de
primer
orden.
Para
ello:
1. Suponga
que
la
respuesta
al
impulso
del
filtro
es
h[n]=b
an
u[n],
donde
|a|<1.
Deduzca
teóricamente
la
función
de
autocorrelación
y
calcule
entonces
las
secuencias
de
autocorrelación
de
las
salidas
correspondientes
a
ambas
entradas
v1[n]
y
v2[n],
si
el
filtro
considerado
es
el
filtro
1,
y
a=0.8
y
b=0.3.
Compare
estos
resultados
con
los
calculados
de
forma
teórica
y
explique
cualquier
diferencia
significativa.
2. Estime
la
f.d.p.
de
la
salida
cuando
a
la
entrada
tenemos
la
secuencia,
de
distribución
uniforme,
v1[n].
Repita
la
estimación
anterior
si
la
entrada
es
gaussiana,
v2[n].
Explique
por
qué
ambas
funciones
de
densidad
de
probabilidad
son
prácticamente
iguales.
3. Repita
el
primer
apartado
para
el
filtro
paso
todo
(filtro
3)
de
primer
orden
mostrado
al
comienzo
de
este
estudio.
Deduzca
la
secuencia
de
autocorrelación
teórica,
de
forma
que
el
resultado
sea
aplicable
a
un
filtro
paso‐todo
con
cualquier
número
de
polos.
¿Se
espera
alguna
diferencia
para
las
dos
señales
de
entrada?.
Estudio
3.3.:
Medida
de
la
autocorrelación
El
estudio
que
desarrollaremos
a
continuación
pretende
demostrar
el
efecto
de
un
filtro
cualquiera
sobre
la
secuencia
de
autocorrelación.
Para
ello:
1. Excite
el
filtro
2
con
las
dos
señales
de
ruido
blanco
v1[n]
y
v2[n].
Llame
a
sus
salidas
correspondientes
y21[n]
e
y22[n].
2. Calcule
y
represente
el
histograma
de
ambas
secuencias
de
salida
y2i[n].
Tenga
cuidado
de
utilizar
sólo
los
datos
de
la
parte
estacionaria
de
las
señales.
Explique
Curso 2008 / 2009
12
Señales y Sistemas II
Práctica 2: Estimación
cómo
la
respuesta
al
impulso
h2[n]
puede
utilizarse
para
estimar
la
longitud
del
transitorio.
3. Obtenga
la
secuencia
de
autocorrelación
de
la
parte
estacionaria
de
las
dos
secuencias
de
salida
y21[n]
e
y22[n].
Represente
las
secuencias
de
autocorrelación
de
las
señales
de
entrada
y
las
de
salida
en
un
gráfico
cuádruple
utilizando
la
función
subplot(…).
4. Obtenga
las
varianzas
de
las
cuatro
señales
(dos
entradas
y
dos
salidas)
y
compárelas
con
los
resultados
teóricos.
5. Excite
el
filtro
3
con
v1[n]
y
v2[n].
Obtenga
la
secuencia
de
autocorrelación
y
los
histogramas
de
las
dos
secuencias
de
salida
y31[n]
e
y32[n].
Represente
los
resultados
siguiente
un
procedimiento
como
el
presentado
para
el
caso
anterior
y
explique
las
similitudes
y
diferencias
entre
ellas.
Curso 2008 / 2009
13