Maxwell y la acción por contacto

Maxwell y la acción por contacto.
Rolando Alvarado Flores
Universidad Autónoma de Zacatecas, Centro de Estudios Multidisciplinarios, Insurgentes 101-A,
Col. Centro, c.p. 98000, Zacatecas, Zac. México.
Tel. (492) 9226841, 9243418; Fax. 9243418 e-mail: ralvacantera.reduaz.mx
Resumen: se argumenta y documenta en esta nota sobre dos tesis: para James Clerk Maxwell no existía una noción de
campo, sino un principio de acción por contacto entre los elementos de una materia imponderable que permitía
explicar los fenómenos eléctricos y magnéticos como perturbaciones en tal medio.
Además, como resultado de éste principio, se logró unificar la teoría del éter luminífero de la óptica con la teoría del
dieléctrico de Maxwell y Faraday. Situación que eventualmente condujo al olvido del éter y generó la problemática
relación que subsistirá aún en los desarrollos mecano-cuánticos de la interacción radiación-materia.
I.- Introducción.
En el siglo XIX existían, al menos, tres concepciones diferenciadas de la interacción entre cuerpos
cargados1:
1.- La de Fechner-Weber: los cuerpos cargados tienen como origen de su carga la presencia de átomos
de electricidad en cualquiera de sus dos variedades (+ o -). La carga está diferenciada del objeto que la
posee, y en el análisis de la interacción se sustituye el cuerpo por una región espacial que contenga los
átomos de electricidad que la constituyen. La interacción es por acción a distancia entre los átomos.
2.- La de Faraday-Maxwell: se introduce una entidad denominada “dieléctrico”, distinta a los cuerpos
cargados y que funciona como mediador en la interacción. En este caso, lo que cambia es la tensión en
el dieléctrico dentro o en la superficie de los cuerpos, lo que a su vez determina la fuerza que actuará,
por acción de contacto, entre los cuerpos.
3.- La de Helmholtz: los cuerpos cargados se encuentran en “estados” específicos: en el estado de
cargado, o en el estado de poseer una corriente. La interacción es no mediada; por tanto acción a
distancia; y se da directamente entre los estados de los cuerpos a través de una “energía de interacción”.
La energía no tiene “estados”, tal cual Helmholtz define la extensión de éste concepto, por tanto, no es
considerada una entidad introducida.
No es el caso que usualmente se discuta la relación entre las tres concepciones anteriores y la noción de
campo que se ha usado en el siglo XX. Podemos notar que en dos de las tres concepciones referidas, la
acción de las fuerzas entre los cuerpos es “acción a distancia”.
Es decir, la fuerza que ejerce una carga sobre otra se supone que se produce sin la necesidad de un
mediador2. En las secciones subsecuentes se analiza la postura de James Clerk Maxwell alrededor de la
función que cumple el dieléctrico como mediador entre los cuerpos cargados, mostrándose que el
concepto de campo; al margen de una concepción explicita del mediador en la interacción; no se
encuentra en él, ya que para Maxwell el campo sin el dieléctrico es una mera abreviación simbólica sin
significado físico. Serán los desarrollos posteriores que habrán de localizarse en la teoría de Einstein los
1
Cf. Jed Buchwald: “The Creation of Scientific Effects” University of Chicago Press (1994) Chicago, p. 10-11.
La acción a distancia puede concebirse con “tiempo de retardo” o “instantánea”.
2
que permitirán darle un nuevo contenido físico al concepto de campo. Además, se muestra que una de
las principales funciones del dieléctrico es la de unificar las experiencias en óptica y electromagnetismo,
lo que aunado a lo anterior permite demostrar que la eliminación del dieléctrico vuelve problemático el
típo de demostración que Maxwell hizo de tal unificación.
II.- El éter en la formulación de Maxwell
Durante la segunda mitad del siglo XIX, James Clerk Maxwell escribió, al final de su “Treatise”3, las
convicciones que lo animaban:
“ We have seen that the mathematical expressions for electrodynamic action led, in the mind of
Gauss, to the conviction that a theory of the propagation of electric action in time would be
found to be the very keystone of electrodynamics.
Now we are unable to conceive of propagation in time, except either as the flight of a material
substance through space, or as the propagation of a condition of motion or stress in a medium
already existing in space”.
Había Maxwell ya desechado la teoría de la acción a distancia en tiempo finito de Gauss; siguiendo en
ello el argumento de Helmholtz de que violaba la conservación de la energía; y había dejado de lado
también la teoría de la acción a distancia del discípulo de Gauss: Wilhelm Weber. Y ahora estaba, a
través de un dilema incuestionable, argumentando a favor de la existencia de un medio en el que la
energía de una partícula cargada se propagase hacia otra partícula cargada, en tiempo finito y a distancia
determinada.
Siguiendo entonces, la argumentación ofrecida por Maxwell, es claro por la evidencia de nuestros
sentidos que no hay una sustancia material que “vuele” de una partícula a otra, por lo que resulta
inevitable que debe existir un medio donde se lleve a cabo la propagación.
Medio hecho de materia imponderable que puede ser denominado “dieléctrico”4, tensionable por la
presencia de cargas y cuyo estado de tensión permite transportar energía de partícula a partícula en
tiempo finito. Medio que puede fijar una carga en una región finita y limitada, sin permitirle que cambie
en cantidad en el tiempo a menos que la tensión sea tan grande entre cargas que finalmente haya una
corriente hacia afuera de la región.5
Noción de dieléctrico que permite una analogía: así como los sólidos toleran, hasta cierto umbral, una
tensión (normal o presión, tangencial o deformación) así los aislantes pueden fijar la carga a pesar de la
tensión imperante en el medio, y así como los fluidos presentan una “viscosidad; una fricción interna
3
Cf. James Clerk Maxwell: “A Treatise on Electricity and Magnetism” Dover (2000) New York, 2 volúmenes, veasé el
art. 866 p. 492 vol. II.. Edición original: Oxford at the Clarendon Press, 1873, 2 volúmenes.
4
Cf. Frederick Rogers: “Deductive Physics” Andrews and Church (1897) Ithaca, New York, cap. XIII, p. 93.
No han pasado 30 años de la obra cumbre de Maxwell y en libros de texto como el citado se expone, correctamente, la
teoría del “dieléctrico” de Maxwell. Otro nombre para el “dieléctrico” es “éter”, la denominación dada por Descartes a
la materia imponderable.
5
Ibid, p. 96. La explicación usa esencialmente el concepto de “líneas de fuerza” y el autor se resiste a resolver la
cuestión de su existencia en un puro nominalismo: “It cannot be emphatically asserted that lines of force have no
physical existence. ...they represent a reality which the mind finds it difficult to grasp without some concret
graphical representation” ibid. p. 94 nota.
entre sus partes; que no es otra cosa que una resistencia temporal a la tensión aplicada, así los
conductores presentan muy poca resistencia a la tensión y permiten el flujo de corriente6 .
Dieléctrico, en fin, que define por su sola existencia un referencial preferencial; distinguido; ya que las
ecuaciones fenomenológicas de Maxwell, desde el punto de vista de los referenciales inerciales7; es
decir, desde el punto de vista de la mecánica; no permanecen invariantes en forma cuando son
expresadas desde otro referencial que no sea aquel en el que el dieléctrico permanece en reposo8.
Defensa y demostración de la existencia del dieléctrico realizada por Maxwell que es, también y
principalmente, defensa de una unificación: en un artículo de 18629 había logrado identificar el medio
donde tenía lugar la propagación de la luz10con el medio que se tensionaba debido a la presencia de
cargas eléctricas; siendo la luz, en rigor, sólo una perturbación transversal en tal medio infinitamente
rígido. En definitiva: el éter luminífero es exactamente el mismo que el dieléctrico. Y lo reitera de nuevo
en su “Treatise” 11:
“In several parts of this treatise an attempt has been made to explain electromagnetic
phenomena by means of mechanical action transmitted from one body to another by means of a
medium occupying the space between them. The undulatory theory of light also assumes the
existence of a medium. We have now to shew that the properties of the electromagnetic medium
are identical with those of the luminiferous medium”
Y para demostrar la necesidad de tal identificación argumenta de una manera que recordaría la navaja
de Occam, pero que Harman prefiere atribuir a los ecos de William Whewell12.
Pero, ¿hubo pruebas experimentales de la realidad del dieléctrico y su identidad con el éter luminífero?,
¿o todo se desarrollo en el vacío de la argumentación y la dialéctica?.
Las hubo, o al menos hubo experimentos y artefactos que se interpretaron de modo tal que revelaban la
existencia del dieléctrico: condensadores, vidrios bajo tensión electrostática, la transparencia de los
conductores y la opacidad de los aislantes ante radiación, etcetera 13.
Entonces, las conclusiones generales a fines del siglo XIX eran que:
6
Ibid. p. 95 art 169.
i. e. desde la clase de referenciales invariantes ante una transformación de Galilei.
8
Al aplicar una transformación de Galilei a las ecuaciones de Maxwell estas patentemente cambian de forma. Los
términos adicionales pueden interpretarse como deformaciones del éter , por tanto, se define el sistema de referencia
donde el dieléctrico esta en reposo como aquel donde las ecuaciones de Maxwell tienen su forma usual. En el
“Treatise” no se encuentra una detallada discusión de las propiedades de transformación de las ecuaciones
fenomenológicas.
9
Cf. “On physical lines of force” citado por P. M. Harman: “The Natural Philosophy of James Clerk Maxwell”
Cambridge (2001) United Kingdom p. 162.
10
No acepta propagación longitudinal, lo que en las analogías elásticas implica que a lo largo de un eje no acepta
deformación; toda propagación en un medio es deformación de tal medio; y si no la acepta es porque a lo largo de ese
eje es infinitamente resistente a la misma, o equivalentemente: infinitamente rígido.
11
Cf. “A Treatise...” art 781 p. 431.
12
Cf. P. M. Harman: “The Natural....” p. 162. Sin embargo lo que Maxwell escribe es:
“ To fill the space with a new medium whenever any phenomena is to be explained is by no means philosophical”
Cf. “A Treatise...” art. 781 p. 430. Y en efecto había un éter luminífero elástico cuyas perturbaciones afectaban los
ojos, tal cual las perturbaciones del aire afectan los oídos. Tal pluralidad de entidades se podría multiplicar sin límite,
pero la regla metodológica de Occam indica no hacerlo.
13
Cf. F. Rogers: “Deductive physics”, art. 186, p. 105-106.
7
1.- el dieléctrico existe.
2.- es idéntico al éter luminífero y por tanto los fenómenos ópticos son explicables en base a una teoría
de los fenómenos electromagnéticos.
3.- fenómenos ópticos o electromagnéticos son manifestaciones de una misma realidad física
subyacente: el éter o dieléctrico.
Para Maxwell, como para O. Heaviside y H. Hertz, la autentica realidad será develada sólo en tanto
podamos dar cuenta de la estructura del éter: para esto Maxwell (y maníacamente y de muchas maneras
Lord Kelvin) construirá un modelo del éter en el que resucita los torbellinos del viejo Descartes y no
duda en considerarlos como constitutivos de una teoría que habrá de explicar la “fenomenología,” la
mera apariencia, que las ahora denominadas ecuaciones de Maxwell revelan. 14
Este estado de cosas revela una prioridad de fines del siglo XIX: unificados electromagnetismo y óptica
mediante el éter, sólo resta cambiar el tipo de explicación basada en acciones directas entre materia
tangible por acciones directas entre materia imponderable, como queda de manifiesto en Maxwell, pero
aún más en O. Heaviside, quién, en carta a Hertz; fechada el 13 de septiembre de 1889; escribió:
“ It often occurs to me that we may be all wrong in thinking of the ether as a kind of matter
(elastic solid for instance) accounting for its properties by those of the matter in bulk with which
we are acquainted; and that the true way, could we only see how to do it, is to explain matter in
terms of the ether;going from the simpler to the more complex” 15.
En efecto, paulatinamente es la materia imponderable y la interacción entre sus partes la que podrá
explicar incluso a la materia tangible, y no a la inversa.
Retrospectivamente es la unificación de electromagnetismo y óptica lo que resultara más importante, ya
que permitirá una estrecha interacción entre planos de actividad intelectual antes alejados (el
electromagnetismo por un lado y la óptica por el otro), y arrojará, en poco tiempo, a través de la
compleja red de experimentos ópticos con fines electromagnéticos16, al olvido de la historia al éter.
III.- La representación matemática de Maxwell de la acción por contacto: la analogía
mecánica.
III.1.- El modelo del sólido elástico.
El desarrollo matemático que hace Maxwell de la acción por contacto a través del éter, le permite
definir lo que generalmente es conocido como “tensor de tensiones de Maxwell” y que
contemporáneamente es introducido mediante consideraciones relativas a la conservación del momento
14
Es decir: los campos eléctrico y magnético no son esenciales, son manifestaciones gruesas de una realidad que les
subyace y supera.
15
Citado por Roberto Torreti: “Relativity and Geometry” Dover (1996) New York, p. 38.
16
Los interferómetros de Michelson son instrumentos ópticos, pero sus resultados resultan relevantes para la teoría
electromagnética.
lineal17, pero que en su formulación original obtenía su sentido físico de las tensiones existentes en el
éter.
En el “Treatise” 18el tensor de tensiones es introducido mediante la siguiente interpretación: sean E1 y
E2 dos sistemas eléctricos continuos de densidades ρ1 y ρ2 y volúmenes V1 y V2. El espacio
matemático utilizado implícitamente por Maxwell es un espacio métrico definido por dos elementos:
(1).- ℜ3 el espacio real tri-dimensional donde se trazan las superficies y volúmenes.
(2).- La métrica euclídea usual: d = ∑i,j δ ij dxi⊗dxj.
En estas circunstancias, la acción a distancia de la fuerza de repulsión viene definida por la integral de
fuerza siguiente:
- ∫ ∫ (∇Ψ1)∆Ψ2 dV1 dV2
(1)
donde Ψ1, Ψ2 son los potenciales eléctricos que satisfacen las ecuaciones diferenciales de Poisson:
∆Ψ1 = 4πρ1, ∆Ψ2 = 4πρ2
(2)
En este punto Maxwell introduce la superficie S ⊂ ℜ3 con campo de normales definido en todos sus
puntos, describiéndola como la superficie de separación entre E1 y E2 y tal que contiene a todo el
sistema E1 pero no contiene nada de E2. Con estos elementos en mente, Maxwell redefine la integral de
fuerza (1) mediante el potencial total de los dos sistemas Ψ = Ψ1 + Ψ2 y la densidad total ρ = ρ1 + ρ2
para extender la integral al espacio dentro de S. Este es el elemento fundamental de su interpretación:
“If the action of E2 on E1 is effected , not by direct action at a distance, but by means of a
distribution of stress in a medium extending continuously from E2 to E1 , it is manifest that if we
know the stress at every point of any closed surface s which completely separates E2 from E1 , we
shall be able to determine completely the mechanical action of E2 on E1 .” 19
Entonces todo se reduce a expresar la integral volumétrica de fuerza (1) expresada en términos de Ψ,
en forma de una integral a lo largo de la superficie S. Para lograr esto, y fundar su interpretación de un
medio bajo tensión, introduce un tensor20dado por la siguiente formula:
Tij = (∂Ψ/∂xi)(∂Ψ/∂xj) - 1/2(∇Ψ · ∇Ψ)δ ij
17
(3)
Cf.- J. D. Jackson: “Classical Electrodynamics”John Wiley and Sons (1975) 2ª edición. New York, secc. 6.8, p. 238239.
18
Cf “A Treatise...” cap. V , p. 155, vol. 1.
19
Cf. “A Treatise...” cap. V, art. 105, p. 157, vol. 1.
20
Maxwell no escribe nada sobre tensores, pero seguirlo en sus cálculos es engorroso y no aporta nada a la
presentación. Por ello se usa la nomenclatura de “tensor” y su notación característica, lo que agiliza la presentación y
no entorpece la interpretación. El tensor Tij es exactamente el mismo que introduce Jackson usando consideraciones
de conservación de la energía, la única diferencia es la ausencia del vector magnético; que puede ser introducido sin
complicaciones en Tij ya que los términos adicionales son los mismos que para el vector eléctrico op. cit. p. 239.
que no es sino otra manera de expresar el integrando de la integral de fuerza (1). Se obtiene entonces
para las componentes de la fuerza aplicando el teorema de Stokes usual:
∫V ∑j ∂Ttij/∂xj dV = ∫S ∑j Ttij nj dS21
(4)
Por supuesto, si no existe el medio de propagación de las ondas, Maxwell enfatiza que las componentes
del tensor son meras abreviaciones simbólicas que no representan realidad física alguna 22. Pero si tal
medio existe, entonces las componentes del tensor de tensiones nos dan las componentes de una tensión
existente efectivamente en el éter a la que se someterá el movimiento de las partículas cargadas de
acuerdo a la segunda ley de Newton. Si se añaden los términos relativos al vector magnético al tensor
de tensiones se puede obtener la “fuerza de Lorentz” que actúa sobre la partícula 23.
La analogía mecánica utilizada por Maxwell puede hacerse evidente comparando el modelo matemático
anterior con el tratamiento que se hace de un sólido continuo sometido a fuerzas externas. Según
Landau y Lifshitz24cuando consideramos las fuerzas de tensión en un continuo estas sólo afectan una
región muy cercana a su punto de aplicación. Son fuerzas de alcance casi nulo, ya que sólo afectan la
pequeña región que tensionan. De acuerdo a estos autores, si hubiese fuerzas de un alcance mayor entre
las diferentes partes del cuerpo, se anularían por causa de la tercera ley de Newton25. Esto implica que
la fuerza total actuante sobre una porción del cuerpo es la suma de las fuerzas de las partes que rodean
a tal porción. Además, estas fuerzas sólo actúan en la superficie, lo que permite representar el estado de
tensión en base a los elementos superficiales. Con las ideas expresadas en mente, en un razonamiento
típico de Landau se puede escribir la fuerza como:
Fi = ∫ ∑j ∂σij/∂xj nj dS
La analogía es clara: el problema entonces se reduciría a expresar el tensor de tensiones en términos de
las cantidades que definen al vector eléctrico para tener una representación mecánica completa de las
tensiones en el éter.
Con esta representación a la mano Maxwell procede a analizar la naturaleza de las tensiones en el éter
en dos casos: cuando deforma la superficie S para hacerla coincidir con una superficie equipotencial, y
cuando la superficie S forma ángulo recto con las superficies equipotenciales. En el primer caso las
componentes de la tensión son similares a un cordel sometido a estiramiento y en el segundo son
similares a una presión26.
III.2.- La birrefrigencia.
21
Para quedar de acuerdo con las convenciones de Maxwell se transponen las componentes del tensor de tensiones.
Esto nos da elementos para aseverar; como hicimos en las sección precedente; que para Maxwell el campo eléctrico
sólo adquiere realidad física a partir de la realidad del éter, ya que si éste esta ausente, el campo es sólo una
abreviatura simbólica. Cf. “ A Treatise...” p. 47, art 44, Vol. 1, para la introducción del concepto de campo.
23
Siguiendo un procedimiento inverso al establecido por Jackson para establecer el tensor de tensiones, op. cit. p. 239
24
Cf. L. D. Landau, E. M. Lifshitz“Theory of Elasticity” Pergamon Press (1975) New York p. 4-5.
25
Compare esto con el razonamiento de Maxwell en el “A Treatise...” art. 104 p. 156
26
ihid art. 106, p. 159. Los cálculos matemáticos realizados son casi evidentes: en el primer caso las componentes del
gradiente de la superficie equipotencial son homotéticas a las componentes de la normal n i a S, o sea:
(∂Ψ/∂n) n i = ∂Ψ/∂xi en el segundo caso son ortogonales: ∑i n i ∂Ψ/∂xi = 0.
22
La interacción posibilitada por la teoría matemática de la electricidad y el magnetismo de Maxwell con el
vasto campo de la óptica, mediante la consideración de la luz como una perturbación en el éter de
origen electromagnético, permitía más que resolver problemas establecidos en la óptica antes de la
unificación, disolverlos dentro de la propia estructura de la teoría.
La representación del éter como un sólido elástico permite explicar un hecho experimental que las
consideraciones basadas en modelos corpusculares de la luz no podían resolver: la birrefrigencia del
espato de Islandia. En términos simples, la birrefrigencia de un material puede ser percibida cuando al
atravesar la luz el material la imagen que emerge es doble. Esto indica una aberración en el sistema
óptico27, pero la cuestión de fondo concierne a la naturaleza de la propagación de la luz, ya que el
fenómeno de birrefrigencia,al parecer, no puede ser explicado si la luz se considera que se propaga
como una onda longitudinal.
Precisamente para Christian Huygens la propagación de la luz se realizaba mediante ondas
longitudinales, lo que le llevó a intentar explicar la birrefrigencia postulando la existencia de dos índices
de refracción, y por tanto de dos medios, en un mismo material. Según Mach, fue la hipótesis de la
propagación por ondas longitudinales lo que le impidió explicar la birrefrigencia28.
Fue Thomas Young el primero en sugerir la posibilidad de que el éter vibraba como una cuerda, y en
base a esto A. Fresnel introdujo la concepción de un éter fluido compuesto de partículas que poseían
una cierta posición de equilibrio ante perturbaciones29. Con esta suposición, una perturbación haría
vibrar estas partículas alrededor de su posición de equilibrio, con lo que las ondas generadas son ya
transversales a la dirección de propagación. Si la perturbación se incrementa en intensidad las partículas
pueden ser alejadas de su posición de equilibrio y se generaría una onda longitudinal30.
Dentro de la teoría de Maxwell el dieléctrico es parecido a un sólido elástico, por lo que puede haber
ondas transversales y longitudinales en la teoría. Y aún sin consideraciones relativas a la física
subyacente, dentro de la mera abreviatura simbólica de la teoría de Maxwell, las ecuaciones que
describen los vectores prescriben la transversalidad de los mismos, lo que hace del fenómeno general de
polarización una característica que insita a la teoría. Es decir, la teoría esta estruturada de tal manera
que, dadas las ecuaciones ondulatorias que describen las componentes vectoriales en la forma: OΓi = 0
donde O es un operador generalmente lineal, a partir de las soluciones es posible deducir una relación
de la forma F ( Γi ) = 0 que índica el tapo de polarización de la onda31.
Por tanto, ya no había en efecto ningún problema teórico y la hipótesis de la transversalidad dejaba de
serlo ya que podía deducirse de las expresiones matemáticas de los hechos experimentales de la teoría
de la electricidad y el magnetismo de Maxwell.
27
Ernst Mach , en una de sus acostumbradas descripciones “económicas” describe una aberración como una
desviación de la ley de homocentricidad del sistema óptico, lo que ocasiona que existan varios puntos A ´, A´´,...,
donde los rayos que divergen de un punto A convergen. Cf. Ernst Mach “The Principles of Physical Optics” Dover
(2003) New York, art. 38, p. 76.
28
Op. cit. cap. 10, p. 188.
29
Es claro que un fluido ordinario no posee estas posiciones a menos que sea muy viscoso, lo que le hace parecer más
como un sólido elástico que como un fluido.
30
Op. cit. p. 203.
31
Esta breve descripción general se ajusta perfectamente a la situación electromagnética: si O esel operador de
D´Álembert y Γi las componentes del vector eléctrico, entonces F es en general una elipse, y el vector esta
elípticamente polarizado.
Conclusión.
Provisionalmente, y con precaución, podemos afirmar lo siguiente: durante la segunda mitad del siglo
XIX el éter es un concepto fundamental en el intento de entender la interacción a distancia entre cuerpos
materiales como caso particular de la interacción directa entre materia tangible.
Esta prioridad conduce a replantear el objetivo manifiesto de considerar toda interacción como
reducible a contactos directos entre materia tangible, y permite considerar ahora la interacción entre las
partes de la materia imponderable como explicación de lo observable. Incluso la materia tangible misma.
Funciona como medio de alejar la noción de acción a distancia, y unifica electromagnetismo y óptica,
permitiendo una estrecha serie de relaciones entre ambos campos32que finalmente darán pie al trabajo
de H. A. Lorentz y, en definitiva, el de A. Einstein a principios del siglo XX. Donde el éter no es
rechazado, ni se demuestra su inexistencia, simplemente se deja de lado como hipótesis básica y se
introduce la noción de “campo”, que nunca fue fundamental para Maxwell y sus acólitos, y habrá de ser
fundada, de otra manera, la unificación ya indisputable de electromagnetismo y óptica33.
32
Siempre será problematico referirse a “totalidades” tan inanalizadas como el “electromagnétismo” o la “óptica”.
Ciertamente, con Maxwell dejamos atrás tanto el Galvanismo como la electricidad estática, la teoría de los dos fluidos
de Symmer y la óptica practicada por Fresnel y Arago .
33
Sintomatíco de un estado general de la incompresión de los puntos señalados es la siguiente cita: “This involves
adopting as a fundamental assumption the point of view that energy and momentum are localized in the field in
accordance with Maxwell´s and Poyting´s ideas” P.A.M. Dirac Proc Roy Soc A167, 148 (1938).