Destacando a Barrow - cremc - Universidad Interamericana de

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
1
Destacando a Barrow
Prof. Lina Soraya Llanos Vargas
Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de San Germán
Introducción
Por diversas razones en nuestro quehacer educativo, muchas veces prescindimos de los
detalles suficientes de cómo se superaron o se resolvieron algunos de los problemas fundamentales
encontrados en el transcurso de la historia del cálculo. En la solución de un problema ocurre que
los pasos en el proceso de solución pueden ser más interesantes e importantes que la misma
solución en sí. En términos didácticos, se puede aprender más en el proceso de solucionar los
problemas que sólo analizando las soluciones.
En todos los cursos y textos de Cálculo, la sección de Métodos Fundamentales de
Integración, de algunos textos de Cálculo Diferencial e Integral, las integrales:
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃
(1)
y
𝑑𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃
(2)
suelen aparecer como sendos y claros ejemplos de dos técnicas distintas de integración.
Nos proponemos en este artículo mostrar que ambas integrales pueden realizarse, empleando la
misma metodología, utilizada por vez primera por el matemático inglés Isaac Barrow.
El personaje y sus circunstancias
Exponer la técnica de Barrow e ignorar el trasfondo histórico de quién fue este matemático,
y cómo fue que él llegó a formularse el problema de la evaluación de la ecuación (1), sería una
forma de presentar el tema de una manera fría e incompleta. Isaac Barrow nació en Londres en el
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
2
año 1630 y murió 47 años más tarde en la misma ciudad. Aunque no le faltaban méritos, a Barrow
le hubiera resultado una faena a contracorriente efectuar estudios universitarios en Trinity College,
Cambridge, de no haber tenido un valedor: su tío por vía paterna, quien por aquella época fungía
como Miembro de la Junta de Síndicos de dicha institución universitaria británica.
Una vez asegurada su estadía en tan célebre Institución, Barrow se aferró a ella, estudiando
con ahínco matemáticas y griego. Importa destacar que descolló en ambas disciplinas. Durante un
paréntesis de cuatro años Barrow viajó por Francia, Italia y Turquía, ensanchando de esta manera
su cultura, haciéndole percibir los eventos y situaciones de una manera distinta. En el año 1663,
a los 33 años de edad, Isaac Barrow fue nombrado primer profesor Lucasiano en Cambridge. Las
pulidas anotaciones de las clases correspondientes a la Cátedra de Matemáticas que Barrow
desarrolló en 1667, se publicaron ese mismo año. En esa publicación Barrow examina,
meticulosamente, la manera como Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo.
En el año 1670 Barrow publicó el tratado intitulado: LECTIONES OPTICAE ET
GEOMETRICAE (Lecciones de Óptica y Geometría) en el que presenta una técnica que se
aproxima al actual proceso de diferenciación, al determinar tangentes a CURVAS. Es en dicha
obra en la que Barrow establece, geométricamente, la relación inversa que existe entre el cálculo
de tangentes y el de áreas, que en la actualidad se conoce como el Primer Teorema Fundamental
del Cálculo.
La necesidad es la madre de la invención
Es precisamente en la obra que lleva por título LECCIONES DE ÓPTICA Y
GEOMETRÍA, que encontramos la integral de la secante. Para entender mejor la historia de la
integral de la secante conviene hacer intervenir a otro personaje: el matemático y cartógrafo inglés
Edward Wright (1561- 1615), quien llegó a la conclusión de que, para trazar con exactitud en un
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
3
mapa el paralelo de latitud, ; era necesario tomar como distancia del paralelo al ecuador la
integral de la secante de . Nadie había efectuado tal cálculo, hasta que Barrow lo consideró y le
dio una admirable solución, que publicó 55 años después del fallecimiento de Wright.
Método empleado por Barrow en la integración de 𝒔𝒆𝒄𝜽
Actualmente la manera corriente de integrar la secante de 𝜃 , consiste en multiplicar y
dividir el integrando de la ecuación (1) por: 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 .
Efectivamente,
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = ∫
𝑠𝑒𝑐𝜃(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃)
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑑𝜃 = ∫
𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃𝜃 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃| + 𝐶,
(3)
siendo C una constante de integración.
Barrow nos ofrece una manera alterna, por cierto, muy metódica y elegante. Y, ¿por qué
no decirlo?, más natural. Probablemente a un educando promedio no le resulte de fácil
asimilación la demostración de Barrow, debido a que este matemático utiliza la siguiente
separación de una fracción de polinomios en otros más simples ( técnica de las fracciones
parciales o fracciones simples:
1
=
(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)
1
[
1
2𝑎 𝑎+𝑏
+
1
𝑎−𝑏
]
(4)
Observemos primero que:
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = (1−𝑠𝑒𝑛𝜃)(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)
(5)
Por tanto:
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
4
𝑐𝑜𝑠𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = ∫ (1−𝑠𝑒𝑛𝜃)(1+𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑑𝜃
(6)
Haciendo 𝑎 = 1 y 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 , en virtud de la ecuación (4), la ecuación (6) se transforma en:
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 =
=
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
∫(
+
) 𝑑𝜃
2
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
1
(𝑙𝑛|1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃| − 𝑙𝑛|1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃|) + 𝐶
2
1
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑙𝑛 |
|+𝐶
2
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃
1
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑙𝑛 |
|+𝐶
2
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
1 (1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)2
= |
|+𝐶
2 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
1
= 2 𝑙𝑛 |
(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)2
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
1+𝑠𝑒𝑛𝜃
| + 𝐶 = 𝑙𝑛 |
𝑐𝑜𝑠𝜃
|+𝐶
(7)
Finalmente,
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃| + 𝐶 (8)
resultado que coincide con el expresado por la ecuación (3).
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
5
El inquisitivo Barrow va más lejos. Efectivamente, él emplea las identidades
trigonométricas:
𝜃
𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 2
𝜃
𝜃
− 𝑠𝑒𝑛2
2
2
en la ecuación (7), obteniendo así el resultado
𝜃
𝜃
1 + 2𝑠𝑒𝑛 2 𝑐𝑜𝑠 2
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛 |
| + 𝐶 = 𝑙𝑛 |
|+𝐶
𝜃
𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 2 − 𝑠𝑒𝑛2 2
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛 |
𝜃
2
𝜃
2
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
(𝑐𝑜𝑠 −𝑠𝑒𝑛 )(𝑐𝑜𝑠 +𝑠𝑒𝑛 )
2
2
2
2
1+2𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
|+𝐶
(9)
Barrow observó que:
(𝑐𝑜𝑠
𝜃
𝜃 2
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
+ 𝑠𝑒𝑛 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑒𝑛2 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
2
2
2
2
2
2
2
2
lo cual permite expresar la ecuación (9) como sigue:
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
(𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑒𝑛 2) (𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑒𝑛 2)
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛 |
|+𝐶
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
(𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑒𝑛 2) (𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑒𝑛 2)
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
𝜃
𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑒𝑛 2
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛 |
𝜃
𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑒𝑛 2
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛 |
6
|+𝐶
𝜃
2
𝜃
1−𝑡𝑎𝑛
2
1+𝑡𝑎𝑛
|+𝐶
(10)
Si en la identidad trigonométrica:
tan(𝑥 + 𝑦) =
𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦
1 − 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦
hacemos , 𝑥 = 𝜃⁄2 ,𝑦 = 𝜋⁄4 se obtiene:
𝜃
𝜋
tan ( + ) =
2
4
𝜃
2
𝜃
1−𝑡𝑎𝑛
2
1+𝑡𝑎𝑛
(11)
Al llevar este resultado a la ecuación (10) se concluye que:
𝜃
𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑙𝑛 |tan (2 + 4 )| + 𝐶
(12)
𝒅𝜽
Empleo del método de Barrow en el cálculo de la expresión: ∫
(𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽+𝒃𝒄𝒐𝒔𝜽)𝒏
Para evaluar esta integral precisamos primero transformar la suma en una expresión que
involucre únicamente la función coseno.
Observemos que:
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 = √𝑎2 + 𝑏 2 (
𝑎
√𝑎2 + 𝑏 2
𝑠𝑒𝑛𝜃 +
7
𝑏
√𝑎2 + 𝑏 2
𝑐𝑜𝑠𝜃)
Si en la identidad trigonométrica cos(𝜃 − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼, efectuamos las
sustituciones:
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎
√𝑎 𝑠 + 𝑏 2
𝑏
√𝑎2 + 𝑏 2
se obtiene:
𝑎
𝑎
𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑏, 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑏) .
Por tanto,
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 = √𝑎2 + 𝑏 2 cos(𝜃 − 𝛼)
∫
𝑑𝜃
𝑑𝜃
=∫
𝑛
𝑛
(𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃)
[√𝑎2 + 𝑏 2 cos(𝜃 − 𝛼)]
Haciendo 𝜙 = 𝜃 − 𝛼, se obtiene
𝑑𝜃
∫ (𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑛 =
1
𝑛
(𝑎2 +𝑏 2 ) 2
𝑑𝜙
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜙 =
1
𝑛
(𝑎2 +𝑏2 ) 2
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝜙𝑑𝜙
(13)
Si 𝑎 = 𝑏 = 1 entonces 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 1 , de modo que 𝛼 = 𝜋⁄4. Haciendo y en la ecuación (13)
resulta el caso particular:
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
∫
8
𝑑𝜃
1
𝑑𝜙
1
=
∫
=
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜙𝑑𝜙
𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 √2 𝑐𝑜𝑠𝜙 √2
De la ecuación (12) se desprende que:
𝜙 𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜙𝑑𝜙 = 𝑙𝑛 |tan ( + )| + 𝐶
2 4
𝜋
Finalmente, recordando que 𝜙 = 𝜃 − 4 , se obtiene:
𝑑𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝜃
√2
𝑙𝑛
|𝑡𝑎𝑛
(
2
2
𝜋
+ 8 )| + 𝐶
(14)
Aunque consabido, no dejaremos de mencionar que hoy día se acostumbra evaluar la
integral que aparece en la ecuación (14) empleando la sustitución. Sin embargo, el procedimiento
para llegar a la respuesta final es ligeramente tedioso, debido a lo mecánico, aparte, claro está, de
que resulta un poco difícil de asimilar para una fracción apreciable de los estudiantes de un primer
curso de cálculo.
Consideramos útil recordar que en la tarea de evaluación de la integral:
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝜃𝑑𝜃
(15)
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
9
para cualquier entero 𝑛 ≥ 1, es preferible emplear una técnica alterna a la de Barrow, es decir,
hacer primero 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑢, seguida de la sustitución hiperbólica 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝜈 . Haciendo 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑢,
resulta:
∫ 𝑢𝑛−1 𝑑𝑢
𝑛
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑑𝜃 =
√𝑢2 − 1
Si ahora efectuamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝜈, entonces
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑛−1 𝜈𝑑𝜈
Ahora bien,
𝑐𝑜𝑠ℎ𝜈 =
𝑒 𝜈 +𝑒 −𝜈
2
,
por tanto:
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝜃𝑑𝜃 = ∫
1
2𝑛−1
(𝑒 𝜈 + 𝑒 −𝜈 )𝑛−1 𝑑𝜈
o, empleando el teorema del binomio de Newton
𝑛
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝜃𝑑𝜃 =
1
2𝑛−1
1
𝑛−1
𝑛 − 1 𝑘𝜈 −(𝑛−1−𝑘)𝜈
)𝑒 𝑒
𝑑𝜈
𝑘
∫∑(
𝑘=0
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝜃𝑑𝜃 = 2𝑛−1 ∫ ∑𝑛−1
𝑘=0 (
𝑛 − 1 𝜈(2𝑘−𝑛+1)
)𝑒
𝑑𝜈
𝑘
(16)
Revista 360/ No.6/ 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
10
Integrando la función exponencial y regresando a la variable original  se obtiene el resultado
anhelado:
1
𝑛 − 1 (𝑠𝑒𝑐𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃)2𝑘−𝑛+1
)
+ 𝐶, 𝑛 > 1
2𝑘−𝑛+1
𝑘
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝜃𝑑𝜃 = 2𝑛−1 (
(17)
Es, naturalmente, absurdo pretender que un estudiante de un primer curso de cálculo sepa
integrar una función exponencial, si apenas está aprendiendo a integrar expresiones que contienen
funciones trigonométricas. La ecuación (17) es, pues útil en un curso intermedio de cálculo. A
nivel introductorio la integración de la ecuación (15) se puede realiza empleando la conocida
técnica de integración por partes.
Referencias
1. T.M. Apóstol, Calculus, volumen 1, Editorial Reverte Colombia, Santa Fe de Bogotá,
1988.
2. H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, sexta edición, Pacific Grove,
CA, Thomson, 1990.
3. V.F. Rickey, P.M. Tuchinsky, Application of geography to mathematics: history of the
integral of the secant, Math. Magazine, 53 3, 162, 1980.
Prof. Lina Soraya Llanos Vargas, Lina_llanos_vargas@intersg.edu. M.A. Matemática Aplicada, M.S. Física
Especialización en Educación Matemática con énfasis en los sistemas dinámicos. Universidad Interamericana de
Puerto Rico-Recinto de San Germán.
Revista 360/ No.6/ 2011