Solución del TPNº 6 Problema 1: Diseño del Filtro Digital Pasabajos (LP) de Butterworth |H(ω)| Especificaciones: A A1 fcd = 1KHz Atenuación > 10 dB a la fa = 2KHz (fa = frecuencia de atenuación) A2 0 ωc ωa Paso 1) Se desea obtener un filtro digital con las características de atenuación dadas. Por lo tanto para obtener el prototipo pasabajos digital debemos convertir todas las frecuencias digitales a analógicas mediante la relación ( ) ( ) Paso 2) Encontrar el orden n del filtro analógico Butterworth. La atenuación para el filtro Butterworth viene dada por la expresión [ ( ) ] , de donde se puede despejar el orden n del filtro: ( ) ( ( ( ) ) ) Debo tomar el número entero superior, para asegurar que la atenuación sea la requerida (At >10dB), por lo tanto tomamos: n = 2 Paso 3) Obtener de la tabla los coeficientes del filtro analógico Butterworth normalizado correspondiente al orden n calculado, en este caso para n = 2. ( ) √ Si no se dispone de tablas, se puede encontrar los polos de Butterworth como la expresión ( ) ( )( ) ( ) ( ) , con k = 1, 2,…, 2n, y armar , solamente con los polos que yacen en el semiplano izquierdo del plano s. ω Solución del TPNº 6 Paso 4) Reemplazar s en la función H(s) obtenida, por la correspondiente función de transformación bilineal. En este caso es un pasabajos analógico a un pasabajos digital: (LP-LP) ( ) ; con Y se obtendrá el filtro digital deseado. Cálculos: ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ( ) √ [ ( √ ) ] √ ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) [ es ) ) ) √ ; ( ( ( Siendo ] ; y √ ] √ Reemplazando obtenemos la función transferencia del filtro digital deseado: ( ) Y el FD normalizado, con B1= 1, resulta: ( ) Solución del TPNº 6 Problema 2: Diseño del Filtro Digital Pasabajos (LP) de Butterworth |H(ω)| A Especificaciones: fcd = 2KHz A1 Atenuación > 10 dB hasta la fa = 1KHz (fa = frecuencia de atenuación) A2 0 ω a ωc ω c ωa (Filtro Pasa altos) (Prototipo pasa bajos) Paso 1) Se desea obtener un filtro digital HP con las características de atenuación iguales a las del Ejercicio 1. Por lo tanto podemos usar el mismo prototipo pasa bajos analógico. Paso 2) Ya que el prototipo debe ser pasa-bajos, se usa la característica de atenuación igual que en el Ejercicio 1, o sea que las frecuencias de corte y atenuación se deben usar ( ) invertidas al calcular la relación ωaA /ωcA en la ecuación: ( (La frecuencia angular de corte ωcA =2 1KHz, y la de atenuación ωcA =2 2KHz ) ) Entonces el orden n del filtro analógico Butterworth es n = 2. Paso 3) Los coeficientes del filtro analógico Butterworth normalizado correspondiente para n = 2 son los mismos del Ejercicio 1: ( ) √ Paso 4) Reemplazar s en la función H(s) obtenida, por la correspondiente función de transformación bilineal. En este caso es un pasa-bajos analógico a un pasa-altos digital: ( (LP-HP) ) ; con Y se obtendrá el filtro digital deseado. Cálculos: ( ) ( ) [ ( √ ) ] √ [ ( ) ] ω Solución del TPNº 6 ( Siendo ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( ( )( ) ( ) ( √ ) ( es ( ) ( ) ) [ √ ; ) ; y √ ] √ Reemplazando obtenemos la función transferencia del filtro digital deseado: ( ) Y el FD normalizado, con B1= 1, resulta: ( )