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DII
Asignatura:
Profesor:
MC2216 Análisis Matemático
José Miguel Serradilla
Cuatrimestre:
Grupo:
1º
2IT1/2
Examen:
Curso:
Final
2000/01
Convocatoria: Ordinaria
Fecha:
06/02/01
(
1. Halla D( g o f ) (0,0 ) , donde f (x , y ) = x 2 + y , x − y , e x + y
2
),y
g (u, v, w) = (log (u + w) , sen(u + v )) (1,5 puntos)
 x 2 + y 2 − xy
si

2. Sea f (x , y ) =  x 2 + y 2

0
si

( x, y ) ≠ (0,0)
( x, y ) = (0,0)
a) Estudia la continuidad de f en (0,0 ) (0,5 puntos)
b) Halla las derivadas parciales de f en (0,0 ) (0,5 puntos)
3. Sea f (x , y ) = x 2 + y 2 + x + y
a) Calcula los extremos relativos de f (0,5 puntos)
b) Prueba que el conjunto
{
}
M = (x , y ) / x 2 + y 2 = 1
es una variedad
diferenciable en R 2 , e indica su clase y dimensión (0,5 puntos)
c) Calcula el máximo y el mínimo de f sobre M (1 punto)
4. Resuelve
∫∫
A
xy 2 dxdy en los siguientes casos:
a) A = {( x, y ) / x + y ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0
{
}
b) A = ( x, y ) / x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0
(1 punto)
}
(1 punto)
5. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) x ( y − 1)dy = ydx (0,5 puntos)
b) ydx − ( x + y )dy = 0 (0,5 puntos)
c) y ′ − y = x (0,5 puntos)
d) y ′ + 2 y = y 4 (0,5 puntos)
(
)
(
)
e) 2 xy3 + 2 x dx + 3x 2 y 2 − 3 y 2 dy = 0 (0,5 puntos)
6. Halla la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas definida por:
y (cx + 1) = x (1 punto)