Estadística y Probabilidad (FP_Superior)

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1
Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combinatoria
Estadística Descriptiva
Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones
para un grupo mayor.
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.
Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el nº de individuos de una muestra
es menor que el de la población.
El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y
representativa de la población.
Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si
lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.
Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una
moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.
Variables estadísticas
Variable cualitativa
Variable cuantitativa
Se refieren a características o cualidades que no
pueden ser medidas con números.
Se expresa mediante un número, por tanto, se pueden
realizar operaciones aritméticas con ella.
Variable cualitativa
nominal
Variable cualitativa ordinal
Variable discreta
Presenta modalidades no
numéricas que no admiten
un criterio de orden.
Presenta modalidades no
numéricas, en las que
existe un orden.
Toma valores aislados, es
decir no admite valores
intermedios entre dos
valores específicos.
Variable continua
Puede tomar valores
comprendidos entre dos
números.
Tablas Estadísticas
Distribución de frecuencias: Variables Discretas
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos
estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Frecuencia absoluta (fi).- número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. La
suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos (N).
Frecuencia relativa (ni).- es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total
de datos. Se puede expresar en tanto por ciento. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
ni =
fi
N
Frecuencia acumulada (Fi).- es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al
valor considerado.
Frecuencia relativa acumulada (Ni).- es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el
número total de datos. Se puede expresar en tanto por ciento.
á
á
2
Matemáticas _ CCSS _ 1º Bachillerato
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33,
29, 29.
xi
fi
Fi
ni
Ni
27
1
1
0.032
0.032
28
2
3
0.065
0.097
29
6
9
0.194
0.290
30
7
16
0.226
0.516
31
8
24
0.258
0.774
32
3
27
0.097
0.871
33
3
30
0.097
0.968
34
1
31
0.032
1
31
Distribución de frecuencias agrupadas: Variables Continuas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un
número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma
amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el
límite inferior y el límite superior de
la clase.
Amplitud de la clase
Marca de clase
Es la diferencia entre el límite
superior e inferior.
Es el punto medio de cada intervalo
y es el valor que representa a todo
el intervalo para el cálculo de
algunos parámetros.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37,
34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1º. Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.
2º. Se restan y se busca un nº entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nº de
intervalos queramos establecer. Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.
En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.
3º. Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero
el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.
ci
fi
Fi
ni
Ni
[0, 5)
2.5
1
1
0.025
0.025
[5, 10)
7.5
1
2
0.025
0.050
[10, 15)
12.5
3
5
0.075
0.125
[15, 20)
17.5
3
8
0.075
0.200
[20, 25)
22.5
3
11
0.075
0.2775
[25, 30)
27.5
6
17
0.150
0.425
[30, 35)
32.5
7
24
0.175
0.600
[35, 40)
37.5
10
34
0.250
0.850
[40, 45)
42.5
4
38
0.100
0.950
[45, 50)
47.5
2
40
0.050
1
40
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3
Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combinatoria
Gráficos Estadísticos
Diagrama de barras
Se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Los datos se
representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.
Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se
puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.
Frecuencia
Absoluta
Valores
Diagrama de sectores
Se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los
datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia
absoluta correspondiente.
25%
α=
5%
10%
20%
360°
∙ fi
N
30%
25%
Histograma
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han
agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del
intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
Frecuencia
Absoluta
Valores
á
á
4
Matemáticas _ CCSS _ 1º Bachillerato
Medidas de centralización
Moda (Mo)
Valor que tiene mayor frecuencia absoluta, se puede hallar la Mo para variables cualitativas y cuantitativas.
Datos No Agrupados
Datos Agrupados
Misma amplitud
1º.Ordenamos los datos de menor
a mayor.
2º.Mo = valor más repetido.
Distinta amplitud
fi
ai
La clase modal es la de mayor
altura
hi+1
Mo = Li +
·a
hi-1 + hi+1 i
hi =
Mo = L i +
fi+1
·a
fi-1 + fi+1 i
Mediana (Me)
Valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. Se puede
hallar sólo para variables cuantitativas
Datos No Agrupados
Datos Agrupados
1º.Ordenamos los datos de menor a mayor.
2º.Nº impar de medidas: Me = puntuación central.
3º.Nº par de puntuaciones: Me = media entre las dos
puntuaciones centrales.
Se encuentra en el
intervalo donde la
frecuencia acumulada
llega hasta la mitad de la
suma de las frecuencias
N
absolutas:
N
- Fi-1
Me = Li + 2
· ai
fi
2
Media aritmética (x)
Valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
Datos No Agrupados
x=
n
i=1
Datos Agrupados
xi
x=
N
n
i=1
x i · fi
N
Medidas de posición
Cuartiles (Q)
Deciles (D)
Son los 3 valores de la variable que
dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro 4 iguales:



Percentiles (P)
Son los 9 valores que dividen la
serie de datos en 10 partes iguales.




Q1: 25% de los datos
Q2: 50%.
Q3: 75%.
Son los 99 valores que dividen la
serie de datos en 100 partes
iguales.
D1: 10% de los datos
D2: 20%.
…
D10: 90%.
k·N
- Fi-1
Qk = Li + 4
·ai
fi
k·N
- Fi-1
Dk = Li + 10
·ai
fi
k =1,2,3
k = 1, 2, ⋯, 9




D1: 1% de los datos
D2: 2%.
…
D99: 99%.
k·N
Pk = Li + 100
- Fi-1
fi
·ai
k = 1, 2,⋯, 99
Medidas de dispersión
Varianza (2)
Desviación media ( Dx )
Es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media.
Datos No Agrupados
Dx =
n
i=1
xi - x
N
Datos Agrupados
Dx =
Desviación típica ()
Es la raíz cuadrada de la varianza.
σ= σ2
n
i=1
Datos No Agrupados
x i - x · fi
N
σ2 =
n
2
i=1 xi
N
- x2
Datos Agrupados
σ2 =
n
2
i=1 xi · fi
N
- x2
Coeficiente de variación de Pearson
Es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.
C.V = σ x
C.V= σ x · 100
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5
Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combinatoria
Combinatoria
Es la parte de las Matemáticas que se dedica a buscar procedimientos y estrategias para el recuento de los
elementos de un conjunto o la forma de agrupar los elementos de un conjunto.
Son técnicas de recuento que permiten conocer el número de elementos de los conjuntos (o la forma de
realizar agrupaciones con sus elementos) en los que, por su extensión, no es posible contar de uno en uno los
elementos, pero que poseen algunas propiedades que permiten deducirlo utilizando algún procedimiento o
fórmula.
No importa el orden
Combinaciones Ordinarias
k
Cn =
Combinaciones con Repetición
n
n!
=
k
k! n-k !
k
CRn =
n+k-1
(k + n - 1)!
=
k
k! n-1 !
Sí importa el orden
Variaciones
k
Vn =
n!
n-k !
Variaciones con
Repetición
Permutaciones
Permutaciones Circulares
Pn = n!
PCn = Pn-1 = (n-1)!
k
VRn = nk
NO
No
C
Si
CR
No
Se pueden
Repetir?
x, y, z
PRn
=
n!
x! · y! · z!
Se pueden
Repetir?
Importa el
Orden?
SI
Permutaciones con
Repetición
No
V
Si
VR
No
P
Si
PR
Se usan
Todos?
Si
Elementos
Iguales?