2. Una onda armónica de frecuencia 100 Hz y 0.5 m de amplitud se propaga con una velocidad de 10 m/s en el sentido positivo del eje X. En el instante inicial (t = 0 s) y en el origen (x = 0 m), la elongación es y = + 0.5 m. Halla: a) La ecuación de la onda y la diferencia de fase entre dos puntos separados 0.2 m. b) La velocidad y aceleración máximas de un punto del medio. a) Como ecuación de una onda armónica transversal se suele utilizar habitualmente alguna de las siguientes expresiones: t x y( x ,t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ − + ϕ o T λ y( x ,t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ o ) Si se hace uso de la segunda expresión, se trata de calcular el valor de las magnitudes que en ella aparecen a partir de los datos del enunciado, así: A = 0,5 m de la frecuencia: f = 10 0 Hz → ω = 2π ⋅ f = 2π rad ⋅ 100 Hz = 200π rad s de la velocidad: v=λ⋅ f → v= 2π ν k ⇒ k= 2π 2π ⋅ 100 s -1 v= = 20π v 10 ms rad m Si se sustituyen estos valores en la expresión de la función de onda quedaría: y( x ,t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ o ) → y( x ,t ) = 0.5 ⋅ sen( 200πt − 20πx + ϕ o ) ; (en unidades del S.I.) Para calcular la fase inicial hay que tener en cuenta que en el instante inicial (t = 0 s) y en el origen (x = 0 m), la elongación es y = +0.5 m, por lo que al sustituirlo en la expresión anterior, resulta: y( 0 ,0 ) = +0.5 = 0.5 ⋅ sen( 200 ⋅ π ⋅ 0 − 20 ⋅ π ⋅ 0 + ϕ o ) → 0.5 = 0.5 ⋅ senϕ o → senϕ o = 1 → ϕ o = π2 rad De esta manera la ecuación de la onda vendrá dada por la expresión: y( x ,t ) = 0.5 ⋅ sen( 200·π ·t − 20·π ·x + π2 ) (en unidades del S.I.) Ahora para calcular la diferencia de fase, para un instante “t”, sabiendo que x2 − x1 = 0.2 m ∆ϕ = (200·π ·t − 20·π ·x1 + π2 ) − (200·π ·t − 20·π ·x2 + π2 ) = 20 ⋅ π ⋅ ( x2 − x1 ) = 20 ⋅ π rad m ⋅ 0.2 m = 4 ⋅ π rad Al ser la diferencia de fase un múltiplo de 2π radianes, resulta que ambos puntos están en fase. Se hubiera llegado a la misma conclusión si se hubiese calculado la longitud de onda: λ= v 10 ms = = 0.1 m f 100 1s como los puntos se encuentran separados una distancia múltiplo de la longitud de onda, están en fase. b) En primer lugar se deben obtener las ecuaciones correspondientes a la velocidad y a la aceleración de un punto del medio. Este punto realiza un movimiento armónico simple, de manera que oscila transversalmente a la dirección de propagación de la onda. Para obtener la ecuación de la velocidad hay de derivar, con respecto al tiempo, la expresión de la posición: v ( x ,t ) = d y ( x ,t ) = 100 ⋅ π ⋅ cos(200 ⋅ π ⋅ t − 20 ⋅ π ⋅ x + π2 ) (en unidades del S.I.) dt La velocidad máxima, en valor absoluto, se obtendrá cuando el valor del coseno valga ±1, de esta manera: vmax = 100 ⋅ π m s Para obtener la ecuación de la aceleración hay de derivar, con respecto al tiempo, la expresión de la velocidad: v ( x ,t ) = d v( x ,t ) = −20000 ⋅ π 2 ⋅ sen(200 ⋅ π ⋅ t − 20 ⋅ π ⋅ x + π2 ) (en unidades del S.I.) dt La aceleración máxima, en valor absoluto, se obtendrá cuando el valor del seno valga ±1, de esta manera: amax = 20000 ⋅ π 2 m s2 = 1.97 ⋅ 105 m s2