problemas_ondas1 - Las cosas que me interesan

Problemas de Ondas
1.- Una onda transversal sinusoidal, que se propaga de derecha a izquierda, tiene una
longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 m/s.
Si el foco emisor de ondas tiene una elongación máxima cuando t = 0, calcula: a) La
ecuación de onda; b) la velocidad transversal máxima de un punto del medio; c) la función
que da la forma de la onda a los 10 s; d) la diferencia de fase entre dos puntos que distan 10
m en un instante dado
Datos: λ = 20 m, A = 4 m, ν = 200 m/s, y (0,0) = A
a) Ecuación de una onda que se mueve de derecha a izquierda: y (x,t) =A sen (ωt + kx + ϕ0)
2π 2π
El número de onda: k =
=
= 0’1 π = 0'314 m-1
λ
20
En cuando a la frecuencia angular: k =
ω
⇒ ω = k ⋅υ = 0'314 · 200 = 62'83 rad/s
υ
Para averiguar la fase inicial: Para t = 0 y x = 0, y (x,t) = A ⇒ A = A sen (ω · 0 + k · 0 + ϕ0)
1 = sen ϕ0 ⇒ ϕ0 =
π
rad = 1'57 rad
2
En definitiva: y (x,t) = 4 sen (62'83t + 0'314x +1'57) = 4 sen (20 π t + 0'1π x+ 0'5 π) m
b) La velocidad transversal de un punto del medio será:
v = 4 · 62'83 · cos (62'83t + 0'314x +1'57) = 251'32 · cos (62'83t + 0'314x +1'57) m/s
Esta velocidad es máxima cuando el coseno vale ±1: vmax = ± A ω= 4 · 62'83 = 251'32 m/s
c) La función de onda a los 10 segundos es: y (x,10) = 4 sen (62'83· 10 + 0'314x +1'57)
y (x,10) = 4 sen (628'3 + 0'314x +1'57) = 4 sen (0'314x +629'9) m
d) δ = diferencia de fase entre dos puntos o instantes: δ =(ωt2+kx2+ϕ0) - (ωt1+kx1+ϕ0) =
(ωt2 + kx2) - (ωt1 + kx1) = (ωt2 - ωt1) + (kx2 - kx1) = ω (t2 - t1) + k (x2 - x1)
Como los dos puntos distan 10 m, en un mismo instante, es decir: t2= t1
y x2 - x1=10
Con estos datos: δ = k (x2 - x1) = 0'314 · 10 = 3'14 rad
2.- Una onda armónica que viaja en el sentido positivo del eje OX tiene una amplitud de 8
cm, una longitud de onda de 20 cm y una frecuencia de 8,0 Hz. El desplazamiento
transversal en x = 0 para t = 0 es cero. Calcula: a) el número de onda; b) el periodo y la
frecuencia angular; c) la velocidad de fase de la onda; d) la ecuación de la onda; e) la
velocidad de propagación de la onda.
Datos: sentido positivo eje OX, A = 8 cm = 0,08 m, λ= 20 cm = 0'2 m, f = 8'0 Hz, y(0,0) = 0
a) El número de onda, k, es el número de longitudes de onda que hay en una distancia igual a 2π.
2π 2π
k=
=
= 31'4 m-1
λ 0'2
1 1
b) El periodo es la inversa de la frecuencia: T= = = 0'125 s
f 8
En cuando a la frecuencia angular: ω =
c) La velocidad de propagación es: υ =
2π
2π
=
=50'24 rad/s
T
0'125
λ
= λ ⋅ f = 0'2 · 8 = 1'6 m/s
T
d) La ecuación de una onda que se mueve de izquierda a derecha: y (x,t) =A sen (ωt – kx + ϕ0)
De esta ecuación se conoce todo excepto la fase inicial. Para averiguarla hay que saber dónde se
encuentra un punto del medio en un instante determinado. Según los datos aportados por el
problema:
y (0,0) = A sen (ω·0 – k ·0 + ϕ0) = 0 ⇒ sen ϕ0 = 0 ⇒ ϕ0 = 0
Por tanto, la ecuación de la onda será: y (x,t) = 0'08 sen (50'2t – 31'4x)
e) La velocidad de fase o de vibración: v =
dy( x, t )
= 0'08 · 50'2 · cos (50'2t – 31'4x)
dt
v = 4'02 cos (50'2t – 31'4x)
3.- Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación y (x,t) = 0'4 cos
(100t - 0'5x) en unidades del S.I. Calcula: a) la longitud de onda; b) la velocidad de
propagación de la onda; c) el estado de vibración de una partícula situada a x = 20 cm en el
instante 0'5 s; d) La velocidad transversal de la partícula anterior; e) Representa
gráficamente la variación de la elongación de la partícula anterior en función del tiempo.
Datos: y (x,t) = 0'4 cos (100t - 0'5x)
Se trata de una onda armónica cosenoidal que se desplaza en el sentido positivo del eje OX. La
ecuación general de este tipo de ondas es: y (x,t) =A cos (ωt – kx + ϕ0)
a) Comparando con la ecuación general: A = 0'4 m, ω = 100 rad s-1, k = 0'5 m-1, ϕ0 = 0
2π 2π
=
= 12'6 m
Por tanto: λ =
k
0'5
b) La frecuencia angular permite determinar la frecuencia de vibración:
ω 100
2π
= 15'9 s-1
ω=
=2πf ⇒ f=
=
2π
T
2π
υ=
λ
T
= λ ⋅ f = 12’6 · 15’9 = 200’3 m/s
c) El estado de vibración para t = 0'5 s y x = 0'2 m:
y (0'2,0'5) = 0'4 cos (100 · 0'5 - 0'5 · 0'2) = 0'4 cos 49'9 = 0'37 m
d) La velocidad transversal de las partículas, velocidad de vibración, del medio se obtiene
derivando la ecuación de onda respecto del tiempo:
dy( x, t )
v=
= - 0'4 · 100 sen (100t - 0'5x) = - 40 sen (100t - 0'5x)
dt
La partícula del apartado c) tendrá una velocidad:
v (0'2,0'5) =- 40 sen (100 · 0'5 - 0'5 · 0'2) = - 40 sen 49'9 = 14'3 m/s
Unidad 6: Movimiento ondulatorio
pag.1
e) La ecuación de la partícula situada a 20 cm del foco emisor es:
y (0'2,t) = 0'4 cos (100t - 0'5·0'2) = 0'4 cos (100t - 0'1)
La representación gráfica de esta función coseno se puede hacer de forma aproximada
encontrado los puntos de elongación cero y máxima además de la elongación inicial.
4.- La ecuación de una onda es, y (x,t) = 25 sen (0'4t – 3'14x) expresada en unidades del S.I.
Calcula: a) Los puntos que están en fase y en oposición de fase; b) ¿Qué tiempo debe
transcurrir para que un punto situado a 5,0 m del foco tenga velocidad máxima?
Datos: y (x,t) = 25 sen (0'4t – 3'14x)
De la ecuación se deduce que: A = 25 m, ω = 0'4 rad s-1, k = 3'14 m-1, ϕ0 = 0
a) Empezaremos por determinar la longitud de onda. A partir de la ecuación de onda,
2π
2π
λ=
=
=2m
k
3'14
Dos puntos vibran en fase si la distancia entre ellos es igual a: x2 – x1 = n · λ = n · 2
Es decir, se encuentran en fase aquellos puntos situados a 2n metros: 2,4,6,8,…
Dos puntos están en oposición de fase, si la distancia entre ellos es igual a:
λ
2
x2 – x1 = (2n + 1) · = (2n+1) = 2n+1
2
2
Es decir, se encuentran en oposición de fase aquellos puntos situados a 2n+1 metros: 1, 3, 5, 7,…
b) La velocidad de un punto del medio (velocidad transversal) es, para este movimiento
ondulatorio,
dy( x, t )
v=
= 25 · 0'4 cos (0'4t – 3'14x) = 10 cos (0'4t – 3'14x)
dt
Esta velocidad es máxima si el coseno es ±1. Debemos poner esta condición para el punto
situado a 5,0 metros del foco emisor como demanda el problema,
cos (0'4t – 3'14 · 5) = ± 1
Esto ocurre cuando: 0'4t – 15'7 = 0 ⇒ t =
15'7
= 39'3 s
0'4
Pero también cuando: 0'4t – 15'7 = π, ⇒ t =
15'7 + 3'14
= 47'1 s
0'4
De las dos soluciones, la primera es la que ocurre antes, por tanto, la respuesta es 39,3 s.
Unidad 6: Movimiento ondulatorio
pag.2
5.- Un foco emite ondas esféricas con una potencia de 20 W. Calcula la intensidad de la
onda a una distancia de 2 m y a 4 m del foco. ¿Cuál es la relación entre las intensidades y
las amplitudes a esas distancias del foco?
Datos: P = 20 W = 20 J s-1, r1 = 2 m, r2 = 4 m
E
P
La intensidad de una onda esférica a una distancia R del foco es I =
=
S ⋅ Δt S
P
20
20
=
= 0'4 W/m2
I2 =
= 0'1 W/m2
I1 =
4πr 2 4π 2 2
4π 4 2
Al duplicar la distancia al foco la intensidad disminuye cuatro veces.
I r 2 A2
La relación entre las amplitudes: 1 = 22 = 12
I 2 r1 A 2
0'4 42 A12
A
= 2 = 2 = 4 ⇒ A1 = 2A 2 ⇒ A2 = 1 La amplitud se divide por dos.
0'1 2 A 2
2
6.- Una onda armónica esférica tiene una intensidad de 6·10-8 W·m-2 a 20 m del foco emisor.
Si no hay absorción, calcula: a) la energía emitida por el foco emisor en un minuto; b) la
amplitud de la onda a los 40 m si se sabe que a 20 m su amplitud es de 4 mm.
Datos: I = 6·10-8 W·m-2, si r = 20 m ; A = 4·10-3 m, si r = 20 m
a) La intensidad de una onda esférica a una distancia R del foco es: I =
E
P
E
= =
S ⋅ Δt S 4πr 2 ⋅ Δt
Despejando la energía en esta expresión: E = I 4π ⋅ r 2 Δt
E = 6·10-8 · 4π · 202 · 60 = 1'8 · 10-2 J
Esta energía es precisamente la que corresponde a la emitida por el foco emisor en dicho tiempo
si no hay amortiguamiento por absorción.
b) La relación, para dos frentes de onda, entre las intensidades de una onda, las amplitudes de
una onda y las distancias al foco emisor es
I1 r22 A12
= =
I 2 r12 A 22
402 (4 ⋅10 −3 )
=
⇒ A2 = 0'002 m
202
A 22
2
7.- Una marca de frigoríficos establece en su publicidad que estos electrodomésticos
trabajan con un nivel de sonoridad (nivel de intensidad sonora) máximo de 40 dB. ¿Cuál
es la máxima intensidad del sonido que emiten los frigoríficos?
Intensidad umbral = 10-12 W/m2 Datos: β = 40 dB
β = 10 log
I
I
I
I
40
= log
⇒
⇒ 4 = log
⇒ =104 ⇒ I = Io · 104 = 10-12 ·104 = 10-8 W/m2
10
I0
I0
I0
I0
Unidad 6: Movimiento ondulatorio
pag.3
8.- El oído humano es capaz de percibir frecuencias entre 20 y 20.000 Hz. Indique,
justificando la respuesta, si será audible o no, un sonido de 1 cm de longitud de onda.
Datos: l = 1 cm = 0'01 m, νsonido = 340 m/s
λ
υ
340
= 34.000 Hz
υ = = λ ⋅f ⇒f = =
T
λ
0'01
Como la frecuencia es mayor de 20.000 el sonido no será audible (es un ultrasonido)
9.- Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de potencia. a) Calcula la intensidad
de las ondas a 3'5 m de la fuente. b) ¿A qué distancia de la fuente el sonido es de 40 dB?
Datos: P = 80 W, r = 3'5 m
80
w
P
a) I =
=
= 0'51 2
2
2
4 ⋅ π ⋅ 3'5
4πr
m
I
I
I
40
I
⇒ I = 104 ·I0 = 104 ·10-12 = 10-8 W/m2
⇒
b) β = 10 log
= log ⇒ 4 = log ⇒ 104 =
10
I0
I0
I0
I0
r=
P
=
4πI
80
= 2'52 ⋅10 4 m
−8
4π ⋅10
10.- Un altavoz genera una intensidad sonora de 10-2 W/m2 a 20 m de distancia. Determina,
en decibelios, el nivel de intensidad sonora. Determina también la potencia de sonido
emitida por el altavoz considerándolo como un foco puntual de ondas esféricas.
Intensidad umbral = 10-12 W/m2 Datos: = I =10-2, r = 20 m
I
10−2
⇒ β =10 log −12 ⇒ 4 = 100 dB
a) β = 10 log
10
I0
b) I =
P
P
=
⇒ P = I · 4 · 3'14 · r2 = 10-2 · 4 · 3'14 · 202 = 50'26 W
S 4 ⋅π ⋅ r2
11.- El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de distancia.
Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcula: a) El nivel de intensidad
sonora a 1 km de distancia. b) La distancia a ala que la sirena deja de ser audible.
Intensidad umbral = 10-12 W/m2
Datos: β = 60 dB, r = 10 m
a) β = 10 log
I
I
I
I
⇒ 60 =10 log −12 ⇒ 6 = log −12 106 = −12 ⇒ I =106 · 10-12 = 10-6 W/m2
10
10
10
I0
Como el sonido es una onda tridimensional:
I1 = I2 ·
I1 r22
=
I 2 r12
10 2
r22
-6
=
10
·
= 10-10 W/m2
2
3 2
(10 )
r1
10 −10
= 10 dB (audible)
10−12
b) La sirena deja de ser audible cuando la intensidad sonora coincide con el umbral de audición:
La intensidad sonora a 1 km de distancia: β = 10 log
I1 r22
= ⇒ r1 =
I 2 r12
I 2 ⋅ r22
=
I1
10 −6 ⋅10 2
= 104 m= 10 km
10 −12
Unidad 6: Movimiento ondulatorio
pag.4
Problemas de Selectividad
1.- (Junio 2009) Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con
una velocidad de 8 ms-1. Su periodo es de 0'5 s y su amplitud es de 0'3 m.
a) Escriba la ecuación de la onda, razonando como obtiene cada el valor de cada una de las
variables que intervienen en ella.
b) Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2 m en el instante t=1 s.
a) La ecuación general de una onda armónica unidimensional que se propaga hacia la izquierda
viene dada por la expresión general:
y(x,t) = A · sen (ωt + kx + ϕ0)
El problema no informa sobre la fase inicial del foco, así que suponemos ϕ0= 0, lo que significa
que el foco inició su movimiento ascendiendo desde el punto de equilibrio al utilizar una función
seno.
La amplitud es 0'3 m y del periodo (0'5 s) podemos obtener la pulsación:
ω=
2π 2π
=
= 4π rad/s = 4 · 3'14 = 12'56 rad/s
T 0'5
El número de ondas está relacionado con la longitud de onda y esta a su vez con la velocidad y
periodo de la misma:
k=
2π
λ
=
π
2π
2π
= m-1 = 1'57 rad/m
=
v ⋅ t 8 ⋅ 0'5 2
Con lo que la ecuación final que se deduce es:
y(x,t) = 0'3 · sen (12'56 t + 1'57 x ) (SI)
b) La ecuación general de la velocidad con que vibra cada punto del medio se obtiene derivando
la ecuación general de la elongación con respecto al tiempo. Recuérdese que la velocidad es el
ritmo con que cambia la posición de un punto. Obviamente el movimiento oscilatorio es vertical,
por lo que nos referimos a la variación temporal de y: dy/dt
v=
dy( x , t )
= 0'3 · 12'56 · cos (12'56 t + 1'57 x) = 3'768 · cos(12'56 t + 1'57 x)
dt
Donde se observa que la velocidad con que oscilan los puntos de la cuerda varía entre 3'768 m/s
(cuando pasa por el punto de equilibrio y ascendiendo) y -3'768 m/s (al pasar por el punto de
equilibrio y descendiendo), pasando por todos los valores intermedios. En los extremos la
velocidad será nula.
En el punto x = 2 y t = 0 s:v (2,1) = 3'768 cos (12'56 ·1+ 1'57 · 2) =3'768 cos (15'7) = -3'768 m/s
En ese instante, dicho punto está descendiendo con velocidad máxima lo que significa que está
pasando por el punto de equilibrio (ϕ = 5π).
Unidad 6: Movimiento ondulatorio
pag.5
2.- (Junio 2010) En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm de amplitud
mediante un oscilador de 20 Hz. La onda se propaga a 2 m/s.
a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga de derecha a izquierda y que
en el instante inicial la elongación en el foco es nula.
b) Determine la velocidad de una partícula de la cuerda situada a 1 m del foco emisor en el
instante t = 3s.
Datos: A = 10 cm = 0,1 m, f = 20 Hz, ν = 2 m/s
Se trata de una onda unidimensional transversal que se mueve de derecha a izquierda, por lo que
su ecuación viene dada por la expresión general: y (x,t) = A sen (ωt + kx + φ0)
1
s ⇒ de donde: ω = 2πf = 40 π rad/s = 125'6 rad/s
T=
20
2π ω 125'6
El número de ondas (k) se puede calcular: k =
= =
= 62'8 m-1
λ υ
2
Como en el instante inicial la elongación es cero: Se toma φ0 = 0 rad
Por consiguiente, la ecuación de onda es: y (x,t) = 0'1 · sen (125'6 t + 62'8 x ) (S.I.)
b) La velocidad se define como el ritmo con que cambia la posición de un móvil. En el caso del
movimiento ondulatorio, cada partícula del medio oscila entre dos puntos extremos, cambiando
dos veces de sentido en cada periodo (T). Como disponemos de la ecuación de la elongación,
esto es la ecuación que nos indica la posición de cada una de las partículas del medio en cada
instante, la velocidad de vibración se obtiene por derivación:
v (x,t) = dy(x,t)/dt = 0'1 · 125'6 · cos (125'6 t + 62'8 x) = 12'56 · cos (125'6 t + 62'8 x) (S.I.)
En el punto x = 1 m y en el tiempo t = 3s:
v (x,t) = 12'56 · cos (125'6·3 + 62'8·1 ) = 12'56 m/s
Unidad 6: Movimiento ondulatorio
pag.6