TP-003-2010 : Campos escalares y vectoriales. Aplicaciones.

Escuela Nacional de Náutica Manuel Belgrano
ANÁLISIS MATEMÁTICO II - TRABAJO PRÁCTICO No 3
CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES - APLICACIONES
1.
Trace los siguientes campos vectoriales dibujando sus correspondientes diagramas:
a. V(x, y) = xi + yj
b. V(x, y) = xi − yj
c. V(x, y) = yi + j d. V(x, y) = −xi + 2yj
yi − xj
yi + xj
f. V(x, y) = p
g. F(x, y, z) = j
h. F(x, y, z) = zj
e. V(x, y) = p
x2 + y 2
x2 + y 2
2.
Calcule la divergencia de los siguientes campos:
a. F(x, y, z) = xzi + xyzj − y 2 k
c. F(x, y, z) = (x − 2z)i + (x + y + z)j + (x − 2y)k
e. F(x, y, z) = xey i + yez k
x
y
1
g. F(x, y, z) = i + j − k
z
z
z
3.
4.
5.
6.
7.
h.
Calcule el rotor de los siguientes campos:
a. G(x, y, z) = (x2 − y)i + 4zj + x2 k
c. G(x, y, z) = (2xy + z 2 )i + (2yz + x2 )j + (2xz + y 2 )k
e. G(x, y, z) = (x − y)i + (y − z)j + (z − x)k
g. G(x, y, z) = (x2 + yz)i + (y 2 + zx)j + (z 2 + xy)k
F(x, y, z) = xeyz i + yexz j + zexy k
b. G(x, y, z) = xi + yj + zk
d. G(x, y, z) = xyzi + x2 y 2 zj + yz 3 k
f. G(x, y, z) = (x2 − y)i + 4zj + x2 k
h. G(x, y, z) = (x2 − y 2 )i + (x2 − z 2 )j + y 2 k
Determine si el campo vectorial dado es o no conservativo. Si es conservativo, encuentre f tal que
verifique que H = ∇f
a. H(x, y, z) = yzi + xzj + xyk
b. H(x, y, z) = 2xyi + (x2 + 2yz)j + y 2 k
2 3
2 3
2 2 2
c. H(x, y, z) = xy z i + 2x yz j + 3x y z k d. H(x, y, z) = ex i + ez j + ey k
e. H(x, y, z) = yzexz i + exz j + xyexz k
f. H(x, y, z) = xi + yj + zk
Hallar el rotor de los siguientes campos vectoriales en el punto indicado
a. Q(x, y, z) = (x2 − log y)i +√xyzj − z 2 k en (−1, 1, 0)
√
b. Q(x, y, z) = 3xyi + yj + zk en (3, 4, 2)
c. Q(x, y, z) = sen xi + sen yj + sen zk en (0, π2 , π)
Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Explique si las siguientes expresiones tienen sentido
y porqué. Si lo tienen, indique si el resultado es un campo escalar o vectorial. Escriba las expresiones
usando el operador ∇
a. rotacional f
b. grad f
c. divergencia F
d. rotacional(grad f )
e. gradiente F
f. grad(div F)
g. div( grad f )
h. grad( div f )
i. rotacional(rot F)
j. div(div F)
k. (grad f )×(div F)
l. div(rotacional(grad f ))
m. Demostrar que div(rot(F)) = 0 n. Demostrar que rot(grad(f )) = 0
Si φ(x, y, z) = 3x2 − yz y F(x, y, z) = 3xyz 2 i + 2xy 3 j − x2 yzk hallar en (1, −1, 1)
a. ∇φ b. ∇ • F c. ∇ × F d. F • ∇φ e. ∇ • (φF) f. ∇ × (φF) g. ∇2 φ
Rta: 7a. (6, −1, 1)
8.
b. F(x, y, z) = xyi + yzj + zxk
d. F(x, y, z) = xyzi − x2 yk
f. F(x, y, z) = ex sen yi + ex cos yj + zk
7b. 4
7c. (−1, −8, −5)
7d. −15
7e. 1
7f. (−3, −41, −35)
7g. 6
Aplicaciones de los operadores vectoriales.
a. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie definida por 3xy + z 2 = 4 en (1, 1, 1)
b. Ídem para z = x3 + y 3 − 6xy en (1, 2, −3)
c. Ídem para z = cos x · cos y en (0, π2 , 0)
d. Ídem para z = cos x · sen y en (0, π2 , 1)
e. Hallar un vector unitario normal a la superficie dada por z = x2 + y 2 + 1 en el punto (0, 0, 1)
f. Hallar las ecuaciones para el plano tangente y la lı́nea normal a la superficie x2 yz + 3y 2 = 2xz 2 − 8z
en el punto (1, 2, −1)
r
g. En electrostática la fuerza F de atracción entre dos partı́culas de carga opuesta es F = k · 3
|r|
−k
donde k es una constante y r el vector posición. Mostrar que F = ∇
|r|
~ ) y rot(AP
~ )
h. Si el punto A(a,b,c) está fijo y P(x,y,z) es variable. Calcular div(AP