Problemas Geometrı́a Diferencial, Tensores y Campos - Curso 2003/04 6. Campos diferenciables 1. Verificar las siguientes expresiones vectoriales (las letras en negrita representan campos vectoriales y las demás, campos escalares) en R3 : a) rot grad V = 0, b) div rot A = 0, c) ∆V = div grad V , d) rot rot A = grad div A − ∆A, e) div (V A) = A · grad V + V div A, f) rot (V A) = grad V × A + V rot A, g) div (A × B) = B · (rot A) − A · rot B, h) grad hA, Bi = ∇A B + ∇B A + A × rot B + B × rot A, i) rot (A × B) = ∇B A − ∇A B + A div B − B div A. 2. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas cartesianas en R 3 : ∂V ∂V ∂V a) grad V = u1 + 2 u2 + 3 u3 ∂x1 ∂x ∂x ∂A1 ∂A2 ∂A3 b) div A = + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 3 1 2 2 ∂A ∂A ∂A ∂A3 ∂A ∂A1 − − − u1 + u2 + u3 c) rot A = ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 d) ∆V = ∂2V ∂2V ∂2V + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax e) ∆A = ∆A ux + ∆A uy + ∆A uz = + + ux + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 y ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ A ∂ 2 Az uy + uz + + + + 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 2 ∂Ax ∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Ay ∂Ay f) ∇B A = B x ux + B x uy + + By + Bz + By + Bz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂Az ∂Az ∂Az + Bx uz + By + Bz ∂x ∂y ∂z x y z 3. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas polares en R 2 : ∂V 1 ∂V a) grad V = uρ + uφ ∂ρ ρ ∂φ 1 ∂V ∂V b) rot V = − uρ + uφ ρ ∂φ ∂ρ 1 ∂(ρAφ ) ∂Aρ c) rot A = − ρ ∂ρ ∂φ 1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aφ + ρ ∂ρ ρ ∂φ 1 ∂ ∂V 1 ∂2V e) ∆V = ρ + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ2 d) div A = 4. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas esféricas en R 3 : ∂V 1 ∂V 1 ∂V a) grad V = ur + uθ + uφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ b) div A = 1 ∂(r2 Ar ) 1 ∂(sin θAθ ) 1 ∂Aφ + + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 1 ∂(rAθ ) ∂Ar ∂(sin θAφ ) ∂Aθ 1 ∂Ar 1 ∂(rAφ ) 1 ur + uθ + uφ − − − c) rot A = r sin θ ∂θ ∂φ r sin θ ∂φ r ∂r r ∂r ∂θ 1 ∂ ∂V 1 ∂V 1 ∂ ∂2V d) ∆V = 2 r2 + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 5. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas cilı́ndricas en R 3 : 1 ∂V ∂V ∂V uρ + uφ + uz a) grad V = ∂ρ ρ ∂φ ∂z 1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aφ ∂Az b) div A = + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ρ z φ 1 ∂A ∂A 1 ∂(ρAφ ) ∂Aρ ∂A ∂Az uρ + uφ + uz c) rot A = − − − ρ ∂φ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂φ 1 ∂ ∂V 1 ∂2V ∂2V d) ∆V = ρ + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ2 ∂z 2 6. Obtener una expresión general para los operadores gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en R3 en un sistema ortogonal de coordenadas cualquiera , {x1 , x2 , x3 }, es decir, coordenadas en las que la métrica es diagonal, g = h21 dx1 ⊗ dx1 + h22 dx2 ⊗ dx2 + h23 dx3 ⊗ dx3 , donde h1 , h2 , h3 son funciones cuyo dominio es el abierto U ⊂ R3 en el que están definidas las coordenadas, {x1 , x2 , x3 }. 7. Obtener una expresión general para los operadores gradiente, divergencia, laplaciano y rotacional en R2 en un sistema ortogonal de coordenadas cualquiera, {x1 , x2 }, es decir, coordenadas en las que la métrica es diagonal, g = h21 dx1 ⊗ dx1 + h22 dx2 ⊗ dx2 , donde h1 , h2 son funciones cuyo dominio es el abierto U ⊂ R2 en el que están definidas las coordenadas, {x1 , x2 }. 8. Sea ν ∈ R. Consideramos el abierto U = R3 \{(0, 0, 0)} y la forma diferencial ων ∈ Ω1 (U ) definida por ω(x, y, z)ν = x y z dx + ν dy + ν dz, ν r r r r= p x2 + y 2 + z 2 ¿Para qué valores de ν son ων , ∗ων formas cerradas? Para dichos valores encontrar una primitiva de ων . 9. La derivada de Lie, Lv , respecto a un campo vectorial, v, se puede escribir como Lv := d ◦ iv + iv ◦ d, en términos de la derivada exterior, d, y la contracción con el campo v, iv f ≡ 0, f ∈ Ω0 (U ), iv : iv ω(x) : a) E p−1 v1 , . . . , vp−1 iv ω(x) = [ω(x)](v(x)), ω ∈ Ω1 (U ), Ωp (U ) → Ωp−1 (U ) , ω 7→ iv ω → R , x ∈ U, p > 1 7→ [ω(x)](v(x), v1 , . . . , vp−1 ) Demostrar que la derivada de Lie es una derivación de grado cero, es decir, L v ω ∈ Ωp (U ) si ω ∈ Ωp (U ) y Lv (α ∧ β) = (Lv α) ∧ β + α ∧ (Lv β). 2 b) Demostrar que la derivada de Lie conmuta con la derivada exterior, d ◦ L v = Lv ◦ d. c) Demostrar que Lv f = Dv f para f ∈ Ω0 (U ). d ) Obtener la expresión analı́tica de Lv df , f ∈ Ω0 (U ). Particularizar para Lv dxi . e) Obtener la expresión analı́tica de Lv ω para ω ∈ Ω1 (U ). f ) Obtener la expresión analı́tica de Lv ω para ω ∈ Ωp (U ). g) h) i) j) Demostrar que la derivada de Lie conmuta con el retroceso de funciones, es decir, L v h∗ f = h∗ Lh∗ v f , para h : U 0 → U ⊂ E, v ∈ X(U 0 ), f ∈ Ω0 (U ). Demostrar que la derivada de Lie conmuta con el retroceso de formas, es decir, L v h∗ ω = h∗ Lh∗ v ω, para ω ∈ Ωp (U ). Imponiendo que la derivada de Lie conmuta con la contracción, es decir, omitiendo por comodidad la dependencia en el punto, Lv (ω(w)) = (Lv ω)(w) + ω(Lv w), obtener la expresión analı́tica de la derivada de Lie de un campo vectorial, que denotaremos corchete de Poisson, L v w := [v, w]. Demostrar que la derivada de Lie es compatible con el avance de campos, es decir, L h∗ v h∗ w = h∗ Lv w. 10. Deducir la expresión de los sı́mbolos de Christoffel en una base coordenada. 11. Demostrar las siguientes propiedades de la derivada covariante, siendo g la métrica y f un campo escalar arbitrario, ∇g = 0, ∇η = 0, ∇∇f es simétrico. 12. Deducir las siguientes expresiones para la divergencia de un campo vectorial, A, y el laplaciano de un campo escalar, V , usando bases adaptadas a las coordenadas, √ 1 ∂ det g Ai 1 ∂ p ij ∂V . det gg div A = √ ∆V = √ ∂ξ i ∂ξ j det g det g ∂ξ i 13. Hallar la expresión de los sı́mbolos de Christoffel en una base adaptada a un sistema de coordenadas ortogonal de R3 . 14. Hallar la expresión de los sı́mbolos de Christoffel y el gradiente vectorial en una base ortonormal obtenida a partir de la base adaptada a un sistema de coordenadas ortogonal de R 3 . 15. Calcular la expresión del operador gradiente vectorial en coordenadas polares, cilı́ndricas y esféricas. 16. Obtener las ecuaciones de cambio de base de los sı́mbolos de Christoffel de una base de campos {v1 , . . . , vn } a una base {w1 , . . . , wn }. Particularizar para el caso en el que la segunda base es la base cartesiana. Caracterizar las bases en las cuales los sı́mbolos de Christoffel son nulos. 3