Introducción a la Topología combinatoria

Introducción a la Topología combinatoria
El teorema de los cuatro colores
Luís Román Boulais
luisboulais@hotmail.com
Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemático
Director: Oscar Eduardo Gómez Rojas
Matemático Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Facultad de Matemáticas
10 de diciembre de 2008
1
AGRADECIMIENTOS
Deseo manifestar mi agradecimiento al profesor Oscar Gómez por todo el
seguimiento y ayuda prestada. A mi esposa Andrea Sotomonte por toda la
paciencia mostrada hacia mí mientras me dedicaba a hacer la investigación
para este proyecto y por todo como nos amamos.
De igual forma a la universidad Konrad Lorenz por toda la ayuda que me
prestó.
2
ABSTRACT
This work is an exploration of combinatorial topology, especially in the
four color theorem which so far exists only shows the essence of which lies
in the verification of the full potential through a computer program.
RESUMEN
Este trabajo consiste en una exploración de la topología combinatoria, en
especial en el teorema de los cuatro colores del cual hasta el momento solo
existen demostraciones cuya esencia radica en la verificación de la
totalidad de posibilidades mediante un programa de computador.
3
ÍNDICE
1. Introducción --------------------------------------------
5
2. Planteamiento ------------------------------------------2.1. La proyección ----------------------------------
6
7
3. Historia ---------------------------------------------------- 8
3.1. Fechas destacables ----------------------------- 8
3.2. Personas importantes en esta tesis ----------- 9
4. Inicio de la Topología Combinatoria -----------------4.1. Mapeando Grafos ------------------------------4.2. Grafos de incidencia ---------------------------4.3. Consecuencias de esta fórmula ---------------4.4. Teorema de Kuratowski -----------------------4.5. Minimales Criminales --------------------------4.6. Construcción de conjuntos inevitables --------
15
19
22
26
27
27
29
5. Demostración Fallida de Kempe ------------------------- 30
5.1 Aquí esta el fallo ---------------------------------- 34
6. El teorema de los 5 colores ------------------------------ 35
7. Cuatro colores no bastan en dimensión 3 --------------- 39
8. Otras figuras geométricas ------------------------------- 40
9. Bibliografía -----------------------------------------------
42
4
1. INTRODUCCIÓN
Según la disposición de aparición histórica se podrían ordenar las materias
que se dedican al estudio del espacio así: geometría euclidiana, geometría
proyectiva y el análisis situs o topología combinatoria. La primera es
esencialmente métrica: se estudian todas las propiedades que implican
medida o están de alguna manera relacionadas con ella. Considera
equivalentes solo las figuras que coinciden al ser sobrepuestas. La segunda
tiene en cuenta la idea de proyección, en ella son equivalentes figuras que
son, mutuamente, una la proyección de la otra. No distingue, por ejemplo,
una elipse de una parábola. Y por último la topología combinatoria que
considera equivalentes aquellas figuras para las cuales se puede ir de una a
otra mediante una deformación continua. En ella son equivalentes, por
ejemplo, la circunferencia con cualquier curva simple cerrada.
Un problema clásico de la topología combinatoria es el teorema de los
cuatro colores, el cual afirma que cualquier mapa puede colorearse
empleando solo cuatro colores, cumpliendo la condición de no quedar
regiones vecinas con igual color. Hasta el momento solo existen
demostraciones que se basan en la verificación exhaustiva de todas las
posibilidades mediante un programa de computador.
Estas demostraciones emplean algunos de los resultados enunciados por Sir
Alfred Bray Kempe quien logró una demostración que se tuvo por válida
durante 10 años. Una vez corregido el error la demostración quedó
sirviendo pero ya no para cuatro colores sino para cinco. Se incluye una
discusión sobre la “demostración”, el error cometido, así como la
demostración del teorema de los cinco colores.
El tema es rico en ideas que por lo general son extrañas a otras áreas de la
matemática, por mencionar un ejemplo: predominan sobremanera las
propiedades cualitativas sobre las cuantitativas, estas ultimas acaso si
aparecen.
5
2. PLANTEAMIENTO
¿Bastan 4 colores para colorear un mapa geográfico plano, de modo que
dos países con frontera común tengan diferente color?
Antes de comenzar dicho planteamiento aclaremos unos cuantos conceptos
básicos:
Figura 1
Un conjunto de puntos es conexo cuando dos puntos cualesquiera del
conjunto se pueden unir por un arco de curva simple verificando que todos
los puntos de dicha curva pertenecerán al conjunto. En nuestra discusión se
entenderá que los mapas, y las regiones que los conforman, son conjuntos
conexos, es decir, no se admite la figura 1: una región (un país) no puede
estar “partido en dos” como en este caso el país E.
Figura 2
De igual forma no se consideran adyacentes dos regiones que se tocan sólo
en un punto (figura 2).
6
Es un problema topológico: no importa la forma de las regiones, sino como
están colocadas unas respecto a otras.
Figura 3
Aunque vivimos en una “esfera” esta se puede proyectar
estereográficamente en un mapa de dos dimensiones, como observamos en
la figura 3.
La proyección estereográfica es considerar que el foco de luz que esté en
el polo norte y esta luz se proyecte sobre un plano. El rasgo más
característico es que la escala aumenta a medida que nos alejamos del
centro.
2.1. La Proyección
Paso de poliedros a mapas: se infla el poliedro sobre una esfera, se proyecta
estereográficamente y se tiene el poliedro proyectado sobre el plano.
Cubo
Cubo esférico
Proyección del cubo
Mapa
Figura 4
7
3. HISTORIA:
3.1 Fechas Destacables:
AÑO
1852
AUTOR
Francis Guthrie
1878
1879
1890
Arthur Cayley
Sir Alfred Bray
Kempe
Percy Heawood
1913
George Birkhoff
1960
1969
Heinrich Heesch
Heinrich Heesch
1976
Ken Appel y
Wolfgang Haken
1996
N. Robertson,
D.P. Sanders, P.
Seymour y
R. Thomas
HECHO
Plantea el problema a su hermano
Frederick y éste a Augustus de Morgan.
Publica el enunciado de la conjetura
Publica su “demostración”.
Descubre un error insalvable en la
demostración de Kempe.
Formula la noción de configuración
reducible.
Método de descarga.
Avanza en reducibilidad y obtención de
conjuntos inevitables de configuraciones.
Prueban con ayuda de un ordenador que
sus 1.482 configuraciones son reducibles
(50 días de cálculo).
Mejoran la demostración con ayuda de
ordenador (sólo 633 configuraciones) y
automatizan la prueba de la inevitabilidad.
8
3.2. Personas Importantes En Esta Tesis:
Francis Guthrie (1839-1899) abogado y
botánico, observa que puede colorear un mapa
complejo de los cantones (provincias) de
Inglaterra con 4 colores.
En 1852, enuncia el problema a su hermano
Frederick (University College London) y éste
a Augustus de Morgan.
Francis Guthrie
Él es quien observa que 3 colores no son suficientes, con el diagrama
crítico (véase la figura 5)
Figura 5
Frederick Guthrie (1833 – 1886), fue un científico
británico, escritor y profesor. Ayudó a fundar la
Sociedad de Física de Londres (actualmente el
Instituto de Física) en 1874 y fue presidente de la
sociedad a partir de 1876. Creía que la ciencia debe
basarse en la experimentación, más que en el debate.
Fue el primero en observar que el problema de los
cuatro colores no se puede generalizar a
dimensión 3.
Frederick Guthrie
9
Peter Guthrie Tait (Dalkeith, 1831-Edimburgo, 1901), profesor de
Filosofía Natural, físicomatemático de la
Universidad de Edimburgo, da una prueba
alternativa en 1880, también con un error.
Uno de los ingleses victorianos que se divirtió
con el teorema de los 4 colores fue Charles
Lutwidge Dodgson “Lewis Carroll” (18321898). A Carroll le encantaba inventar puzzles y
juegos.
Augustus de Morgan (1806-1871) estaba muy interesado en la conjetura
de los 4 colores y difundió entre sus
colegas su importancia.
Una de las primeras personas con las
que habló fue con el matemático y
físico irlandés Sir William Rowan
Hamilton (1805-1865), quien no
compartía el interés de De Morgan
por el problema. Le escribe una
carta el 23 de octubre de 1852:
Un estudiante de minas [de Guthrie]
me pidió darle una razón sobre un
problema que yo no supe resolver.
Él dice que solo hacen falta cuatro
colores para poder dibujar un mapa de tal forma que cada país fronterizo
use colores diferentes…
Decepcionado por el desinterés de Hamilton, De Morgan se puso en
contacto con otros matemáticos. En 1853, escribe al conocido filósofo
William Whewell (1794-1866, Cambridge), describiendo su observación
como un axioma matemático.
10
Charles Sanders Peirce (1839-1914), matemático,
filósofo y lógico que da un seminario sobre el teorema
de los cuatro colores aunque nunca la escribió.
Charles Sanders Peirce
Pero, el problema no está del todo olvidado gracias a:
Arthur Cayley (1821-1895) de la Universidad
de Cambridge. Cayley ejerció de abogado, y
continúo durante esa época con sus
investigaciones matemáticas, en particular es uno
de los padres fundadores del álgebra de matrices.
En junio de 1878 acude a un Encuentro de la
London Mathematical Society, donde realiza la
siguiente exposición:
“Una solución ha sido dada afirmativamente: La
coloración en un mapa de un país, dividido en
municipios requiere de tan sólo cuatro colores, de
modo que no haya dos municipios adyacentes
que estén pintados del mismo color.”
En 1879 publica una nota donde explica las dificultades del tema. Entre
otras, observa que cuando se intenta probar el teorema de los 4 colores,
pueden imponerse condiciones más restrictivas sobre los mapas a colorear;
en particular, basta con limitarse a mapas cúbicos, es decir, aquellos en los
que hay exactamente 3 regiones en cada punto de encuentro: en efecto,
supongamos un mapa en el que hay más de 3 regiones en alguno de los
puntos de encuentro. Sobre este punto puede pegarse un pequeño parche,
que produce un mapa cúbico. Si se puede colorear este mapa con cuatro
colores, se obtiene un 4-coloreado del mapa original, simplemente
reduciendo el parche a un punto.
Original
Parcheado
Coloreamos
Quitamos el
parche
11
Alfred Bray Kempe (1849-1922) era un soberbio cantante. Aprendió
matemáticas de Cayley y se graduó
con distinción en 1872.
A pesar de su pasión por las
matemáticas y la música, eligió la
profesión
de
abogado
(especializado en ley eclesiástica),
dejando las matemáticas y la
música como pasatiempos.
En 1872 escribió su primer trabajo
matemático sobre la solución de
ecuaciones por medios mecánicos.
Cinco años más tarde, estimulado
Alfred Bray Kempe
por un descubrimiento del
ingeniero Charles Nicholas Peaucellier (1832–1913) sobre un mecanismo
para trazar líneas rectas, publicó su famosa memoria sobre mecanismos
titulada Como trazar una línea recta.
Kempe se interesa por el problema de los 4 colores tras la pregunta de
Cayley en la London Mathematical Society.
En junio de 1879 obtiene su solución del teorema de los 4 colores y lo
publica en el Amer. Journal of Maths.
En 1880, publica unas versiones simplificadas de su prueba, donde corrige
algunas erratas de su prueba original, pero deja intacto el error fatal...
Percy John Heawood (nació el 8 de
septiembre de 1861 en Newport Inglaterra
y muere el 24 enero de 1955 en Durham,
Inglaterra)
Perci es el autor de la publicación “Map
Colour Theorem” en el J. Pure Appl.
Maths en 1890.
Encuentra, muy a su pesar, un caso para el
que la prueba de Kempe no funciona.
12
Kempe admite su error en las páginas de los Procedings of the London
Math. Soc. y el 9 de abril de 1891 dice lo siguiente en un encuentro de la
London Mathematical Society:
"Mi prueba consistió en un método por el cual cualquier mapa puede ser
coloreado con cuatro colores. Sr Heawood da un caso en que el método
falla, y, por tanto, la prueba demuestra ser errónea. No he logrado en la
reparación del defecto, aunque se puede demostrar que el mapa que da Sr
Heawood puede ser coloreado con cuatro colores, y, por tanto, su crítica
se aplica a mi prueba y no sólo a sí mismo el teorema”
Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 12 de enero de 1909) fue un matemático
alemán de origen judío que desarrolló la teoría
geométrica de los números. Sus trabajos más
destacados fueron realizados en las áreas de la
teoría de números, la física matemática y la
teoría de la relatividad.
Minkowski
impartió
clases
en
las
universidades
de
Bonn,
Göttingen,
Königsberg y Zúrich. En Zúrich fue uno de
los profesores de Einstein.
Dijo en cierta ocasión a sus alumnos que él no había resuelto el problema
de los 4 colores, porque se trataba de un problema que sólo habían atacado
matemáticos de tercera fila…
“Si quiero, puedo probarlo”… algún tiempo más tarde reconoció de
manera sumisa: “El cielo se ha enfadado por mi arrogancia: mi prueba es
también errónea”.
Heinrich Heesch (1906- 1995), graduado en
matemáticas y Música, este matemático
resolvió en 1932 uno de los 23 problemas de
Hilbert de 1900, el “regular parquet
problem” (construcción de un tipo particular
de embaldosamiento del plano), que es parte
del problema número 18 de Hilbert.
En 1969, Heinrich Heesch sistematiza la
prueba de la reducibilidad, desarrollando un
Heinrich Heesch
13
algoritmo que intenta implementar con ordenador:
1. Realiza diversos tests con el programa Algol 60 en un CDC1604A (en
contacto ya en América con su alumno Wolfgang Haken).
2. Afirma que la conjetura puede resolverse considerando tan sólo 8.900
configuraciones;
3. Da una manera de construir conjuntos inevitables (obstrucciones
locales), a través de su algoritmo de descarga.
Martín Gardner (Tulsa, Oklahoma, 21 de
octubre de 1914) es un divulgador científico y
filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular
por sus libros de matemática recreativa. Publicó el 1
de abril de 1975 un artículo, pretendiendo que se
había encontrado un mapa de 110 regiones,
figura 2 (el mapa de William McGregor, especialista
en teoría de grafos
según Gardner), que
Martín Gardner
requería
necesariamente 5 colores, dando así un
contraejemplo, que invalidaba la aún por
entonces conjetura de los 4 colores. Pero
esto solo fue una bonita broma.
Figura 2
La prueba de Haken y Appel
El progreso era lento, hasta que en 1976 Ken
Appel y Wolfgang Haken dieron una prueba
cuyos principales ingredientes eran los
conceptos de descarga y reducibilidad (además
de cadenas de Kempe, etc.): una vez obtenida la
larga lista de configuraciones inevitables,
demostraron que eran reducibles, obteniendo
una prueba inductiva del teorema.
14
4. INICIOS DE LA TOPOLOGÍA COMBINATORIA
Históricamente se asocia el nacimiento de la Topología Combinatoria con
la solución dada por Euler en 1736 al problema de los puentes de
Königsberg. El problema es el siguiente: a la altura de la ciudad de
Königsberg (actual Kaliningrado) hay dos islas dentro del río Pregel. Estas
islas están unidas con tierra firme y entre sí por siete puentes como aparece
en la figura 1.
Figura 1
Los habitantes de Königsberg se preguntaban si era posible idear un
recorrido que, comenzando en tierra firme o en alguna de las islas,
permitiera al caminante pasar por todos los puentes, pero empleando cada
puente solo una vez.
El modelo matemático empleado por Euler para resolver el problema
corresponde a lo que hoy se conoce como Teoría de Grafos.
Definición 1. Un grafo G se puede definir como el par de conjuntos V(G)
y E(G) donde V(G) es un conjunto finito, no vacío, de elementos
denominados vértices (o nodos, o puntos), y E(G) es un conjunto finito de
elementos asociados con pares no ordenados de elementos de V(G)
llamados aristas (o arcos).
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Esta es obviamente una definición puramente matemática. Realmente la
noción de grafo es sumamente intuitiva. La relación entre la definición
formal y la intuición se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. La figura 2 representa un grafo simple G.
Figura 2
Para este grafo se tiene V(G) = {a, b, c, d} y E(G) = {u, v w, z}. Existe una
clara relación entre vértices y aristas, por ejemplo la arista u está
relacionada con los vértices a y b ya que u es la arista que une a con b.
¿De que manera podemos emplear los grafos para resolver el problema de
los puentes de Königsberg? Si nombramos las regiones como aparece en la
figura 3 notamos que en realidad la única información importante es: dada
una región ¿a cuales otras está conectada mediante puentes?
Figura 3
Por ejemplo la región A está conectada con las regiones B y C. Con B
mediante dos puentes y con C mediante uno solo. Podemos consignar esta
información importante mediante el empleo de un grafo, figura 4.
16
Figura 4
Figura 5
La figura 5 representa el famoso juego escolar en el que se pide repetir el
dibujo con dos condiciones: no se puede levantar el lápiz y no se debe
repasar ninguna línea. Si imponemos estas condiciones al grafo de la figura
4 notamos que el dibujo así obtenido constituirá una solución para el
problema de los puentes. Esta se basa en la idea de grado de un vértice.
Definición 2. El grado de un vértice v de G es igual al número de aristas
que inciden en v. Se representa como g(v).
Por ejemplo en la figura 4 se tiene g(A) = 3 y g(B) = 5.
Para resolver el problema es importante considerar únicamente la paridad
del grado de un vértice y no el grado en sí.
Figura 6
Por ejemplo en la figura 6 aparecen dos vértices de grados 2 y 4 (grados
pares) respectivamente. Si comienzo el recorrido en el nodo de la
izquierda: salgo empleando un vértice. Luego, cuando vuelva a entrar, lo
haré empleando el vértice restante y por lo tanto no podré moverme más
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del nodo. Si comienzo el recorrido en el nodo de la derecha: salgo y entro:
estoy dentro del nodo y aún dispongo de dos vértices, por lo tanto estoy en
el caso de la izquierda y ya sé que debo terminar el recorrido en el mismo
nodo en que comencé. Es fácil generalizar este resultado a nodos de grado
par cualquiera: si comienzo el recorrido dentro del nodo necesariamente
debo terminarlo en él.
Por el contrario si comienzo el recorrido por fuera del nodo de la izquierda:
en algún momento entro empleando uno de los vértices, al salir agoto el
vértice restante y por lo tanto no podré retornar a este nodo. Si comienzo
por fuera del nodo de la derecha en algún momento entro y salgo: quedo
fuera del nodo y solo dispongo de los dos vértices restantes: por lo tanto sé
que debo terminar por fuera de este. En resumen: si comienzo el recorrido
por fuera de un nodo de grado par necesariamente debo terminarlo también
por fuera de dicho nodo.
Figura 7
En el caso de nodos de grado impar (figura 7) se tiene lo siguiente: en el
caso a comienzo dentro del nodo, salgo y debo necesariamente terminar
por fuera. En el caso b salgo y entro y la situación se reduce al caso a. Por
lo tanto si comienzo dentro termino fuera. En el caso c comienzo afuera y
necesariamente termino dentro. En el caso d entro y salgo y quedo en el
caso c y por tanto termino dentro. Resumiendo: si comienzo afuera termino
dentro y si comienzo dentro termino fuera.
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La tabla 1 resume estos resultados. Dependiendo del tipo de nodo (par o
impar) y de donde comienzo el recorrido (dentro o fuera) me indica donde
termino.
Tipo de Nodo
Donde comienzo
Dentro
Fuera
Par
Dentro
Fuera
Tabla 1
Impar
Fuera
Dentro
De esta información deducimos un resultado interesante: un gráfico con
tres o más vértices de grado impar es imposible de recorrer ya que,
necesariamente, el recorrido comenzará por fuera de al menos dos de tales
nodos y por lo tanto debería terminar, simultáneamente, dentro de cada uno
de ellos, lo cual es, obviamente, imposible. Por lo tanto el grafo de la figura
4 no puede ser recorrido y así se concluye que el problema de los siete
puentes de Königsberg no tiene solución.
En la solución del problema de los puentes hemos abstraído lo esencial de
la distribución de las regiones y hemos consignado esta información en un
grafo, este proceso corresponde a lo que se conoce como el mapeo de
grafos, veámoslo más a fondo:
4.1.
MAPEANDO GRAFOS
Entre los tipos de grafos que existen podemos centrarnos en dos clases
importantes: los completos y los bipartidos.
Grafo completo de n vértices: es aquel que contiene una, y solo una,
arista en cada par de vértices distintos. Notamos por K n a un grafo
completo de n vértices.
Grafo bipartito: es aquel grafo simple en el cual podemos hacer una
partición del conjunto de vértices en dos conjuntos disjuntos, de manera
que cada vértice de un conjunto de la partición es adyacente exactamente
con todos los vértices del otro conjunto de la partición. Si p y q son el
número de vértices de cada uno de los conjuntos de la partición denotamos
a este grafo por K p, q.
Grafo plano: decimos que un grafo es plano cuando puede ser dibujado
en el plano de forma que las aristas no presenten intersecciones salvo en
sus vértices. Podemos observar que K1, K2, K3 y K4 (como veremos más
adelante) son grafos planos dando una representación de ellos sin
19
intersecciones, sin embargo esto no es posible para K5, con lo cuál K5, no es
un grafo plano.
K5
K 3, 3
Por otro lado los grafos bipartitos que son del
tipo K p, q. con p o q menor estrictamente que 3
son claramente planos mientras que K 3 ,3 no lo
es.
Un mapa divide el plano en componentes
conexas a las que denominamos regiones. Decimos que dos regiones son
adyacentes si tienen una frontera común (es importante observar que no son
adyacentes si solo tienen un punto en común).
Podemos asociar a cada mapa su grafo dual que resulta ser siempre un
grafo plano. A cada región del mapa se asocia un vértice y siempre que dos
regiones tengan una arista en común entenderemos que estas dos regiones
son vecinas.
Para grafos planos se verifica la fórmula de Euler para poliedros.
20
Teorema: sean V, A y C respectivamente el número de vértices, aristas y
caras de cualquier poliedro simple (esto es que no tenga perforaciones).
Entonces siempre se tiene que
V+C–A=2
Demostración:
Imaginemos que el poliedro simple dado es hueco,
con una superficie hecha de caucho delgado (como
en la figura 8). Entonces, si quitamos una de las
caras del poliedro hueco, podemos deformar la
superficie que queda hasta que se extienda en un
Figura 8
plano (como se realiza en la figura 9).
Con este proceso tendremos que el polígono sigue con el mismo número
de aristas y vértices, lo único que habrá cambiado es el número de caras
que será una menos: C = C’ + 1 donde C’ es el
nuevo número de caras
V − A + C = 2 → V − A + C’ + 1 = 2 → V − A + C’ = 1
Primero “triangulamos” la red plana de la
siguiente
Figura
9
manera: en algún polígono de la red que no sea ya
un triangulo trazamos una diagonal. (Como se puede
observar
en
la
figura 10), la idea es aumentar en A y en C
permaneciendo invariante la fórmula de Euler, vamos a denotar como
nueva arista A’’ y como nueva cara C’’, quedando de la siguiente forma:
A = A’’− 1 y C’ = C’’− 1
V − A + C’ = 1→ V − (A’’− 1) + (C’’− 1) = 1→ V − A’’ + C’’ = 1
Así seguiremos hasta que el polígono quede
absolutamente triangulado.
Ahora procedemos a eliminar triángulos:
Tomamos cualquier triangulo con exactamente
una arista en la frontera y le quitamos esta arista,
que claramente no le pertenece a ningún otro
triangulo.
Por ejemplo de la figura 10, del triangulo ABC le
quitamos la arista AC, dejando las otra aristas sin
quitar.
Figura 10
21
Una vez más realizando está táctica la fórmula de Euler permanece
invariable:
Quitando este tipo de aristas hemos conseguido reducir en una unidad las
aristas y por otro lado también hemos reducido una cara (el propio
triangulo que desapareció)
Quedando de la siguiente forma A’’ = A’’’ + 1 y C’’ = C’’’ + 1
V − A’’ + C’’ = 1→ V − (A’’’+1) + (C’’’+1) = 1→ V − A’’’ + C’’’ = 1
Ahora eliminamos triángulos que tienen dos aristas
en la frontera, por ejemplo en la figura 11 del
triangulo DEF quitamos las aristas EF y DF.
En este caso observamos que sigue invariante la
fórmula de Euler, pero porque V disminuye en 1,
A disminuye en 2 y C disminuye en 1, quedando
de la siguiente forma:
V = V IV) + 1 , A’’’ = AIV) + 2 y C’’’ = C IV) + 1
V − A’’’ + C’’’ = 1→ (V IV) + 1) − (AIV) + 2) +
(C IV) + 1) = 1→ V IV) − AIV) + C IV) = 1
Mediante una sucesión de estas operaciones, escogidas
adecuadamente, podemos quitar triángulos con aristas
en la frontera (la cual cambia con cada supresión), hasta
que finalmente quede un único triángulo, con sus tres
aristas, tres vértices y una cara (véase la figura 13)
Para esta red sencilla se obtiene:
Figura 11
Figura 12
V n) − An) + C n) = 3 – 3 + 1 = 1
Ahora volviendo al estado inicial observamos que en
ningún momento alteramos la fórmula de Euler salvo
cuando le quitamos una cara al poliedro inicial.
Con esto damos por finalizada la demostración.
Figura 13
4.2. GRAFOS DE INCIDENCIA
Un k-coloreado de un mapa consiste en asociar a cada región del mapa un
color de forma que las regiones adyacentes no reciban el mismo color y
utilizando exactamente k colores. Cuando existe un k-coloreado de un
mapa decimos que es k-coloreable.
22
Un k-coloreado de un grafo consiste en, utilizando exactamente k colores
asociar a cada vértice del grafo un color de forma que vértices adyacentes
no
reciban
el
mismo
color.
Cuando
existe
un
k-coloreado de un grafo decimos que es k-coloreable.
En general pueden ser necesarios muchos colores para colorear un cierto
grafo. Es claro que para colorear Kn se necesitan n colores exactamente.
El proceso de k-colorear un mapa es equivalente al de k-colorear su grafo
dual en sentido que uno se puede, si y solo si, se puede el otro. La
restricción que da el hecho de ser siempre plano el grafo dual de un mapa
es el hecho crucial para determinar el número de colores que se necesitan.
La idea hasta aquí expuesta se representa de la siguiente forma, en un
mapa se marcan las “capitales” y estas se unen si corresponden a países
contiguos. Así se obtiene un grafo de incidencia o dual del mapa, entonces
a partir de ahora colorear un mapa equivale a colorear su grafo dual:
De este mapa, marcamos las “capitales” (es
decir un punto cualquiera), estas capitales
son mis vértices y estos los unimos a través
de aristas.
Desde este punto nos olvidamos del
mapa obteniendo el grafo con el que
trabajaremos a partir de ahora:
23
24
Los grafos de incidencia son siempre planos, es decir, se puede dibujar en
el plano una representación concreta del grafo, en la cual las aristas no se
corten excepto en un eventual vértice común. Veamos que K4 es plano
• Un mapa es cúbico si y sólo si su grafo de incidencia es triangulado
(grafo planar en el que cada cara tiene exactamente tres aristas).
• El número de regiones vecinas se corresponde ahora con el grado de cada
vértice (número de aristas incidentes).
Para los grafos de incidencia también se puede usar la fórmula de Euler:
Vértices – Aristas + Caras = 2
25
Por ejemplo: en el caso es un
grafo plano porque no tiene
cortes entre sí, además tiene:
11 Vértices (ciudades)
15 Aristas (carreteras)
6 Caras (Regiones incluida la
exterior)
Entonces verifica la fórmula
de euler:
11 – 15 + 6 = 2
4.3 CONSECUENCIAS DE ESTA FÓRMULA:
Si G es un grafo simple y plano con V vértices y A aristas
1.- Si A ≥ 3, entonces
A ≤ 3V − 6C ≤ 2V − 4
Si el borde de cada región es un triángulo, como cada arista pertenece al
borde de dos regiones resulta, 3C=2A.
Por la fórmula de Euler 3V − 3A + 3C = 6, sustituyendo resulta
A = 3V−6
Análogamente como 2V − 2A + 2C = 4, sustituyendo resulta
C = 2V − 4.
2.- Si V ≥ 3 y G no tiene ciclos de longitud 3, entonces A ≤ 2V−4
Ahora el borde de cada región tiene, al menos, 4 aristas y cada arista
pertenece al borde de dos regiones.
Así contando el número de aristas, resulta que 4C ≤ 2A
Sustituyendo en la fórmula de Euler 2V−2A+2C = 4, A ≤ 2V−4
3.- G tiene, al menos, un vértice v con grado d(v) ≤ 5 Si para cada vértice
x, se tiene que d(x)≥6 entonces 2A=Σd(x) ≥ 6V, luego A ≥ 3V
Propiedades: El grafo K 5 y el grafo K 3,3 No son planares y por tanto no
pueden ser de incidencia.
Demostración: K 5 No es plano porque 5 vértices y 10 aristas, si aplicamos
la A ≤ 3V − 6C, entonces 10 ≤ 3*5 – 6 = 9 y por tanto no se verifica y
concluimos que no es planar.
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En el caso de K 3, 3 tampoco es plano porque V = 6, A= 9 que observando la
fórmula: A ≤ 2V − 4, entonces, 9 ≤ 2*6-4=8 y por tanto no se verifica y por
ende no es planar.
4.4. TEOREMA DE KURATOWSKI
Un grafo G es planar ⇔ G no contiene subgrafos homeomorfos a K5 ni a
K3,3
4.5. MINIMALES CRIMINALES
Un acercamiento alternativo para resolver la conjetura de los cuatro colores
es: imaginar que es falsa, es decir, existen algunos mapas (grafos) que no
pueden 4-colorearse. Entre estos mapas (grafos) que necesitan 5 colores o
más, debe de haber alguno con el menor número posible de regiones.
Estos ejemplos se llaman minimales criminales… así un minimal criminal
no puede 4-colorearse, pero un mapa (grafo) con menos regiones (vértices)
sí.
Para probar el teorema de los 4 colores hay que demostrar que no existen
minimales criminales... y eso se consigue encontrando condiciones
restrictivas sobre este tipo de mapas (grafos).
Lo que Kempe demuestra con su argumentación (en este nuevo lenguaje),
es que un minimal criminal no puede contener digones, triángulos o
cuadrados (aquí es donde usa su método de cadenas),... y falla al intentar
probar que tampoco puede contener pentágonos…
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Si hubiese conseguido esto último, habría quedado establecida la conjetura,
al no existir míniales criminales (pues cualquiera de ellos debe contener
obligatoriamente una de las anteriores cuatro configuraciones).
La demostración (bien hecha) del teorema de los 4 colores toma la de
Kempe, pero para la inducción, en vez de eliminar un único vértice, se
elimina un determinado trozo del grafo (una configuración).
• Un conjunto inevitable K es un conjunto finito de configuraciones (una
configuración es un ciclo con vértices internos triangulados) tal que todo
grafo contiene una copia conforme de una k de K: por ejemplo, Kempe
demuestra que para mapas cúbicos, el conjunto
K = {digones, triángulos, cuadrados, pentágonos} es inevitable.
• K es una configuración reducible, si se puede deducir el coloreado de
cualquier grafo que contenga a k, a partir de un grafo menor.
Plan de la prueba: encontrar un conjunto inevitable K (todo grafo no 4coloreable contiene una copia conforme de alguna k en K).
Si K estuviese formado sólo de configuraciones reducibles, la prueba del
teorema de los 4 colores estaría terminada: en efecto, en tal caso, no podría
existir un minimal criminal.
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4.6. CONSTRUCCIÓN DE CONJUNTOS INEVITABLES:
Para generar un conjunto inevitable de configuraciones, la idea de Heesch
es considerar el grafo como una red eléctrica, asociando a cada vértice una
“carga” inicial de 6 − d(v), donde d(v) es el grado de v (número de aristas
Incidentes con este vértice).
Usando la fórmula de Euler, se demuestra que la suma de las cargas en un
grafo triangulado es 12. Si ahora se desplazan las cargas eléctricas sobre la
red (con su algoritmo de descarga), la suma total seguirá siendo 12: los
vértices cargados positivamente pueden ceder cargas, los cargados
negativamente pueden recibir y los de carga nula no intercambian.
Al final del proceso, se eliminan los vértices de carga negativa y se obtiene
un conjunto de configuraciones, de vértices de cargas nulas o positivas:
como todo grafo triangulado es de carga total 12, debe contener al menos
una de las configuraciones (cuya geometría dependerá del proceso de
descarga elegido) del conjunto anterior, que forma entonces un conjunto
inevitable.
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5. DEMOSTRACION FALLIDA DE KEMPE
Alfred Bray Kempe investigó el teorema de los cuatros colores, diciendo
que lo había demostrado, el usa la fórmula de Euler para mapas cúbicos
para obtener la llamada counting formula, que permite probar: “Todo mapa
cúbico tiene al menos una región con cinco o menos regiones vecinas”, es
decir, cada mapa contiene al menos un digon, un triángulo, un cuadrado o
un pentágono:
DIGON
TRIANGULO
CUADRADO
PETAGONO
Otros resultados esenciales en la demostración de la conjetura, y que
obtiene utilizando la fórmula de Euler, son:
“Un mapa cúbico que no contiene digones, triángulos o cuadrados debe
contener al menos doce pentágonos”.
“Si todos los mapas se pueden colorear con cuatro colores, puede hacerse
de manera que sólo aparezcan tres colores en el borde exterior del mapa”.
DEMOSTRACIÓN:
Si X es una región del mapa cúbico M, denotamos por v(X) el número de
sus regiones vecinas. La propiedad probada por Kempe (que veremos en la
demostración del teorema de los cinco colores) “Todo mapa cúbico M tiene
al menos una región X con cinco o menos regiones vecinas” se escribe con
la anterior notación del modo: “Existe una región X con v(X) ≤ 5”.
La prueba se hace por inducción sobre el número de regiones. Así, la
hipótesis de inducción es que M - X es 4-coloreable, y la prueba consiste en
ver que M también lo es. Hay tres casos posibles:
CASO 1: Supongamos que v(X) = 3 (el caso de v(X) =
2 lo consideraremos obvio a partir de observar las
siguientes).
Basta con colorear X con el cuarto color (en este caso,
el verde), como muestra la figura adjunta.
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CASO 2: Supongamos que v(Y) = 4.
(Cuadrado)
Si Y y Z son dos regiones, Y de color rojo y
Z de color verde, en un mapa
4-coloreado, se llama cadena de Kempe
rojo-verde de Y a Z a un camino que va de
Y a Z, alternando los colores rojo y verde.
Una componente rojo - verde de Y es el conjunto
de todas las regiones Z del mapa, tales que existe
una cadena de Kempe rojo-verde de Y a Z.
El interés de estas dos definiciones es que se
pueden invertir los colores rojo y verde en una
componente rojo-verde cualquiera de un grafo
4-coloreado, para obtener un nuevo coloreado del
mapa respetando la regla de los cuatro colores:
Carta original
Carta obtenida por inversión
de la componente rojo-verde
En el caso que nos ocupa en que v(X) = 4, un
entorno de X es de la forma que aparece en la
figura de la derecha.
Y se distinguen entonces dos posibilidades:
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1) si X3 no está en la componente rojo-azul de X1, se invierten el rojo y el
azul en esta componente y se libera un color para X (el rojo):
Liberamos el
rojo
para
poder
poner x
en
color
rojo.
2) Si X3 está en la componente rojo-azul de X1, entonces, X2 no está en la
componente amarillo-verde de X4. Se hace un cambio en la componente
amarillo -verde de X4, con lo que se libera un color (el amarillo) para X:
Cambiamos
amarillo por
verde para
poder pintar
a x de
amarillo.
CASO 3: Supongamos que v(X) = 5.
Entonces, un entorno de X es de la forma
que se muestra en la figura de la derecha:
Y se distinguen otra vez dos casos:
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1) Supongamos que X2 no pertenece a la componente amarilla-verde de X5
o que X2 no pertenece a la componente azul-verde de X4.
Elegimos la primera de las opciones por
fijar ideas, el otro caso se hace de manera
totalmente análoga.
Entonces, se invierten el amarillo y el
verde en esta componente amarilla-verde
de X5 y se libera un color (el verde) para
X.
2) En caso contrario, X2
pertenece a la componente
amarilla-verde de X5 y X2
pertenece a la componente
azul-verde de X4.
Entonces, se invierten las
componentes roja-azul de X1 y
roja-amarilla de X3, para liberar el rojo para X.
... Y, así, Kempe finaliza “con éxito” la demostración de la conjetura.
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5.1 Aquí esta el fallo
Percy John Heawood (1861-1955) publica el
trabajo “Map Colour Theorem” en el Journal
of Pure and Applied Mathematics, en 1890.
Encuentra, muy a su pesar (como él mismo
afirma), un contraejemplo a la prueba de
Kempe.
Se muestra a la derecha su configuración
original:
En efecto, el problema consiste en que las
componentes amarilla–verde
de X5 y azul–verde de X4
pueden cruzarse. Y si así
sucede, las componentes
rojo–azul de X1 y rojo–
amarillo de X3 no son
invertibles
simultáneamente...
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6. EL TEOREMA DE LOS CINCO COLORES
Con base en la fórmula de Euler vamos a demostrar que todo mapa sobre la
esfera se puede colorear adecuadamente utilizando a lo más cinco colores
diferentes.
Nos restringiremos a la coloración según las condiciones expuestas al
comienzo de esta tesis, es decir, que entre países vecinos no tengan el
mismo color y que los países sean cerrados, simples y compuestos por
arcos simples, a este tipo de mapas lo llamaremos regular.
Podemos suponer que exactamente tres arcos interceptan a cada vértice,
pues si hay más arcos, reemplazamos ese vértice por un pequeño círculo,
obteniendo un nuevo mapa en el que los vértices múltiples están
reemplazados por un número de vértices triples. El nuevo mapa tendrá el
mismo número de regiones que el mapa original.
Original
original+círculo
Figura 1
Este nuevo mapa regular se podrá colorear adecuadamente con cinco
colores, reduciendo los círculos a puntos tendremos la iluminación deseada
para el mapa original.
Para comenzar dicha demostración tenemos primero que demostrar que
todo mapa regular debe tener al menos un polígono con menos de 6 lados.
Denotamos C n al número de regiones de n lados en un mapa regular;
entonces, si C es el número total de regiones.
C = C2 + C3 + C4 + …
Cada arco (A) tiene dos extremos y en cada vértice (V) concurren
exactamente tres arcos, entonces se verifica:
2A = 3V.
Además, una región limitada por n arcos tiene n vértices y cada vértice
posee tres regiones, entonces:
2A = 3V = 2C 2 + 3C 3 + 4C 4 + …
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Por la fórmula de Euler se tiene que:
V – A + C = 2 o mejor dicho 6V – 6A + 6C = 12
Como sabemos que 2A = 3V o lo que es lo mismo 6V = 4A, sustituimos
obteniendo:
4A – 6A + 6C = 12 → −2A + 6C = 12
Entonces:
6(C 2 + C 3 + C 4 + …) + (2C 2 + 3C 3 + 4C 4 + …) = 12
Movemos esta última ecuación y tenemos:
(6 − 2)C 2 + (6 − 3)C 3 + (6 − 4)C 4 +(6 − 5)C 5 + (6 − 6)C 6 +
+ (6 − 7)C 7 + … = 12
Tenemos que 12 es un número positivo y que únicamente los coeficientes
de la derecha de C 2, C 3, C 4 y C 5 son positivos y el resto de coeficientes
son negativos, es por tanto que uno de estos primeros coeficiente deben de
ser distinto de cero y por tanto concluimos que tenemos seguro una región
con menos de seis lados.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LOS 5 COLORES:
Con estas demostraciones iniciales ya nos podemos encaminar a la
demostración de los cinco colores.
Sea M cualquier mapa regular con un número total de n regiones. Sabemos
que al menos una de estas regiones tiene menos de 6 lados.
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Caso 1: M contiene una región A con 2,3 o 4 lados. Vamos a quitar una
frontera entre A y una de las regiones adyacentes. (Como se muestra en la
figura 1).
El mapa resultante M’ será un mapa regular con n − 1 regiones. Si M’
puede colorearse adecuadamente con cinco colores, lo mismo ocurrirá para
M. Pues dado que a lo más cuatro regiones de M tocan a la región de A,
siempre podemos utilizar un quinto color para esta.
Figura 2
Caso 2: M contiene una región A con 5 lados. Considérese las cinco
regiones adyacentes a la región A y llámese a estas regiones B, C, D, E y F.
siempre podemos encontrar un par de ellas que no se toquen entre sí: ya
que por ejemplo si B y D se tocan, impedirán que C toque a E o a F, pues
cualquier camino que lleve de C a E o a F tendrá que pasar a través de al
menos una de las regiones A, B y D. Por tanto podemos suponer, por
ejemplo, que C y F no se tocan. Quitamos los lados de A adyacentes a C y a
F, formando un nuevo mapa M’ con n − 2 regiones, que también es regular.
Si el nuevo mapa M’ puede iluminarse adecuadamente con cinco colores,
lo mismo se cumple para M, Pues cuando se restauran las fronteras A estará
en contacto con no más de cuatro colores diferentes ya que C y F tienen el
mismo color, y por tanto podemos utilizar un quinto color para A.
Así en cualquier caso, si M es un mapa regular con n regiones podemos
construir un nuevo mapa regular M’ con n − 1 o n − 2 regiones, y tal que si
M’ puede colorearse con cinco colores, lo mismo se cumple para M. Este
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proceso puede aplicarse de nuevo a M’ y repetirse sucesivamente
obteniéndose así a partir de M una sucesión de mapas
M, M’, M’’,…
Como el número de regiones en los mapas de esta sucesión es estrictamente
decreciente, finalmente debemos obtener un mapa con cinco o menos
regiones.
Tal mapa siempre puede colorearse a lo más con cinco colores. Por lo tanto
regresando paso a paso hasta M, vemos que M mismo puede colorearse con
cinco colores.
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7. CUATRO COLORES NO BASTAN EN DIMENSIÓN 3
El teorema de los cuatro colores nos dice que podemos dibujar un mapa
con sólo con 4 colores, pero en dimensión 2.
Ahora la pregunta sería ¿Este teorema se puede generalizar a dimensión 3?
La respuesta claramente es que no y esta demostración la trabajó el
profesor de matemáticas y botánico Francis Guthrie en 1874.
Un contraejemplo posterior realizado por Heinrich Tietze, se puede
observar de una forma clara que este teorema no se puede generalizar:
DEMOSTRACIÓN: La propuesta consiste en tomar barras numeradas de 1
hasta n. Se sitúan, ordenadas de manera horizontal como muestra la figura,
y sobre ellas se colocan n barras numeradas de 1 hasta n en sentido vertical.
De este modo, tenemos un mapa tridimensional con 2n países, y es fácil
observar que se necesita exactamente 2n colores, por tanto, tomando más
de 4 barras se puede observar que necesitamos 4 o más colores.
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8. OTRAS FORMAS GEOMÉTRICAS
Para comenzar este tema veamos que es el género:
La fórmula de Euler para poliedros de género g > 0 se debe a Simon
Antoine Jean Lhuilier (1750-1840) y dice que:
• Caso orientable
Caras – Aristas + Vértices = 2-2g
• Caso no orientable
Caras – Aristas + Vértices = 2-g
En 1968, Gerhard Ringel y Ted Youngs prueban que para toda superficie
sin borde orientable de género g > 0 o toda superficie sin borde no
orientable distinta de la botella de Klein, N no es el máximo sino el número
exacto.
Por ejemplo para colorear un:
TORO:
Para colorear mapas sobre el toro son necesarios 7
colores
[½(7+(48g+1) ½)]=7
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DOBLE TORO:
[½(7+(48g+1)½)]=8
Para la BOTELLA DE KLEIN se
necesitan 6 colores (uno menos que su
número N=7), J.L. Saaty, 1986.
Para la BANDA DE MÖBIUS, que es
una superficie con borde, se necesitan
también 6 colores (aquí la fórmula de
Heawood no se puede aplicar).
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9. BIBLIOGRAFÍA
[DIRECCIÓNES http://math.ucalgary.ca/~laf/colorful/enseignm.html
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://les.racailles.du.net.free.fr/
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://dept-info.labri.fr
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://www.enseignement.polytechnique.fr
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://fourcolourtheorem.tripod.com/
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://www.emu.edu.tr/~cahit/
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://www.geocities.com/dharwadker/
DE INTERNET]
[DIRECCIÓNES http://www.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html
DE INTERNET]
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