Aplicaciones de la derivada. Monotonía y

MONOTONÍA Y EXTREMOS
1. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x) = x3 – 12x y calcula sus
extremos relativos.
Solución: Crece en (–∞, –2) ∪ (2, +∞) y decrece en (–2, 2). Máximo en (–2, 16) y mínimo en (2, –16).
2. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de las siguientes
funciones:
2
a) f (x) = x3 – 3x + 2
b) f (x) = 4x3 – x4
c) f (x) = 2
x −1
2
2
x − 6x + 5
x2
x
d) f (x) =
e)
f
(x)
=
f)
f
(x)
=
( x − 1) 2
2x − 2
x−3
Solución: a) Crece en (–∞, –1) ∪ (1, +∞ ). Decrece en (–1, 1). Máximo en (–1, 4). Mínimo en (1, 0).
b) Crece en (–∞, 3). Decrece en (3, +∞). Máximo en (3, 27).
c) Crece: (–∞, –1) ∪ (–1, 0). Decrece: (0, 1) ∪ (1,+∞). Máximo en (0, –2).
d) Crece en (0, 1). Decrece en (–∞, 0) ∪ (1, +∞). Mínimo en (0, 0).
e) Creciente en todo su dominio.
f) Crece en (–∞, 0) ∪ (2, +∞) y decrece en (0, 1) ∪ (1, 2). Máximo en (0, 0). Mínimo en (2, 2).
3. Halla los extremos, si los tiene, de la función f (x) = x3 – 6x2 + 9x. Determina sus intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
Solución: Crece en (–∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3). En (1, 4) hay un máximo. En (3, 0) hay un mínimo.
4. Estudia la monotonía y los máximos y mínimos de la función f (x) = x2 · e–x.
Solución: f (x) crece en (0, 2) y decrece en (–∞, 0) ∪ (2, +∞). En (0, 0) hay un mínimo. En (2, 4 e–2) hay un máximo.
5. Estudia la monotonía de la función: f (x) =
x −3 .
Solución: Creciente en todo su dominio.
6. Estudia los intervalos de monotonía y los extremos de la función f (x) =
(Nota: Si Ln x = 1 ⇒ x = e).
Ln x
.
x
Solución: Dom f (x) = (0, +∞). Crece en (0, e). Decrece en (e, +∞). En (e, 1/e) hay un máximo.
7. Dada la función f (x) = x3 – 3x2 + 5, encuentra todos los extremos relativos, intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
Solución: Crece en (–∞, 0) ∪ (2, +∞). Decrece en (0, 2). Máximo en (0, 5). Mínimo en (2, 1).
8. La siguiente gráfica corresponde a la función f ‘(x),
primera derivada de una determinada función f (x). Estudia
el crecimiento y decrecimiento de la función f (x)
interpretando la gráfica de f ‘(x).
Solución: f (x) decrece en (–∞, –2) y crece en (–2, +∞). f (x) alcanza un
mínimo en x = –2.
9. La siguiente gráfica corresponde a la función f ‘(x),
primera derivada de una determinada función f (x). Estudia
el crecimiento y decrecimiento de la función f (x)
interpretando la gráfica de f ‘(x).
Solución: La función es creciente, ya que f ‘(x) es siempre positiva. f (x)
no tiene extremos.
Dpto. de Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
1. Halla los puntos de inflexión, si los tiene, de la función f (x) = x3 – 6x2 + 9x. Determina sus
intervalos de curvatura.
Solución: La función es convexa en (–∞, 2) y cóncava en (2, +∞). En punto (2, 2) es un punto de inflexión.
2. Estudia la curvatura de la función: f (x) = x3 – 3x + 2.
Solución: La función es convexa en (–∞, 0) y cóncava en (0, +∞). El punto (0, 2) es un punto de inflexión.
3. ¿Para cuál de las funciones f (x) = x, f (x) = x2, f (x) = x3, existe un punto en el que la derivada es
nula pero no es ni un máximo ni un mínimo? ¿Qué tipo de punto es?
Solución: f (x) = x3. Es un punto de inflexión.
4. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) = x4 – 6x2.
Solución: Cóncava en (–∞, –1) ∪ (1, +∞) y convexa en (–1, 1). Los puntos (–1, –5) y (1, –5) son puntos de inflexión.
5. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) = x4 – x.
Solución: La función es cóncava en todo su dominio.
6. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) =
x
.
x −9
2
Solución: Convexa en (–∞, –3) ∪ (0, 3) y es cóncava en (–3, 0) ∪ (3, +∞). El punto (0, 0) es un punto de inflexión.
x2
7. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) =
.
2x − 2
Solución: Convexa en (–∞, 1) y cóncava en (1, +∞). No tiene puntos de inflexión.
8. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) = x · e–x.
Solución: La función es convexa en (–∞, 2) y cóncava en (2, +∞). El punto (2, 2e–2) es un punto de inflexión.
9. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x3 – 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
Solución: y = –6x + 6
10. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x3 – 6x2 + 16x – 11 en su punto de
inflexión.
Solución: y = 4x – 3
11. La siguiente gráfica corresponde a la función f ‘(x),
primera derivada de una determinada función f (x). Estudia
la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f (x)
utilizando solamente la gráfica de f ‘(x).
Solución: La función es cóncava, pues f ‘(x) es creciente, como se ve en
la gráfica. No hay puntos de inflexión.
12. La siguiente gráfica corresponde a la función f ‘(x),
primera derivada de una determinada función f (x). Estudia
la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f (x)
utilizando solamente la gráfica de f ‘(x).
Solución: La función es convexa en (–∞, 0), pues f ‘(x) es decreciente en
ese intervalo, como se ve en la gráfica. La función es cóncava en
(0, +∞), pues f ‘(x) es creciente en ese intervalo, como se ve en la
gráfica. Hay un punto de inflexión en x = 0, pues en él cambia la
curvatura.
Dpto. de Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
Dpto. de Matemáticas
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