1 4 9 9 jZ X jX Z Z Z Z jX V S j jZ X V Z Z jX Z Z jX + − − +

Calcular la matriz de scattering del circuito de la figura, respecto a
impedancias de referencia Z0 = 50 Ω. Comprobar que para X1 = 25 Ω y
X2 = 100 Ω, el circuito no tiene pérdidas.
Puerta 1
Puerta 2
Solución: El parámetro S11 es el coeficiente de reflexión en la puerta 1 con la puerta 2
adaptada, lo que significa colocar una impedancia igual a la impedancia característica
de la línea de acceso. Es decir,
S11 =
−
1
+
1 V2+ = 0
V
V
jZ 0 X 2
+ jX 1 − Z 0
Z in − Z 0 Z 0 + jX 2
1 4
=
=
= + j
jZ
X
Z in + Z 0
0 2
+ jX 1 + Z 0 9 9
Z 0 + jX 2
De la misma manera,
S 22 =
( Z 0 + jX 1 ) jX 2 − Z
−
V2
V2 +
=
V1+ = 0
Z in − Z 0 Z 0 + jX 1 + jX 2
1 4
=
=− + j
9 9
Z in + Z 0 ( Z 0 + jX 1 ) jX 2
+ Z0
Z 0 + jX 1 + jX 2
0
El cálculo de S12 se hace adaptando la puerta 1, es decir, colocando sobre su plano
terminal una impedancia igual a la impedancia de referencia de esa línea de acceso. Es
decir, trabajamos sobre
jX1
V1
Z0
jX2
V2
Z0
S12 =
V1−
V2 +
V1+ = 0
⎛ V−
⎞
V2 = V2 + + V2 − = V2 + ⎜1 + 2 + ⎟ = V2 + (1 + S 22
V2 ⎠
⎝
)
si V1+ = 0.
V1 = V1+ + V1− = V1− si V1+ = 0.
En el circuito anterior se cumple que
V2 = V1
jX 2
jX 2
⇒ V2+ (1 + S22 ) = V1−
,
jX 2 + jX 1
jX 2 + jX 1
luego
S12 =
V1−
V2 +
= (1 + S 22 )
( X1 + X 2 ) = 8
V1+ = 0
X2
9
que coincide con S21 pues las impedancias de referencia son reales e iguales. Con
valores numéricos la matriz de scattering resulta ser
⎡S
S = ⎢ 11
⎣ S12
8
⎡1 4
+ j
S12 ⎤ ⎢ 9 9
9
=⎢
S22 ⎥⎦ ⎢ 8
1 4
− +
⎢⎣ 9
9 9
⎤
⎥
⎥
j⎥
⎥⎦
de donde fácilmente se comprueban las condiciones de matriz unitaria siguientes
S11 + S12 = 1,
2
2
S12 + S 22 = 1,
2
2
*
S11S12* + S12 S22
= 0.