Curso de Mecánica Cuántica 2014 Instituto de Física Facultad de Ciencias Práctico 3 Ejercicio 1.- Considere un potencial arbitrario, localizado en una zona acotada del eje x. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger del lado izquierdo y derecho del mismo estarán dadas, respectivamente, por: Demostrar que si escribimos C=S11 A + S 12 D , B=S21 A + S22 D , o sea, que las ondas “entrantes” y “salientes” están relacionadas de forma lineal, C S11 S12 A , B S21 S22 D ( )( )( ) se verificán las siguientes relaciones: |S11 2|+|S212|=1, |S21 2|+|S222|=1, S11 S21* + S21 S22* =0. S11 S12 y su traspuesta S21 S22 son unitarias. (Sugerencia: Utilice la conservación del flujo, considerando A y D como constantes complejas arbitrarias) Use estas propiedades para probar que la matriz ( ) Ejercicio 2.- Calcule los elementos de la matriz de dispersión (scattering matrix), S11, S12,S21 y S22, para el siguiente potencial: V ( x )=0 si x <−a, V ( x )= V 0 si −a< x < a, V ( x )=0 si x > a . Demuestre que las condiciones generales probadas en el Ejercicio 1, se satisfacen en este caso particular. Ejercicio 3.- Los coeficientes S11, S12,S21 y S22 son funciones de k. Demuestre que S11 (−k )=S11* ( k ) , S22 (−k )=S22* ( k ) , S12 (−k )=S21* ( k ) , 1/4 Curso de Mecánica Cuántica 2014 Instituto de Física Facultad de Ciencias es decir, que la matriz, S, tiene la propiedad de que S (−k )=S + ( k ) . Ejercicio 4.- Sin resolver formalmente la ecuación de Schrödinger, escribir la forma de la función de onda, para las siguientes situaciones: a) El flujo ℏk/m sería incidente desde la izquierda si el potencial no estuviera presente; considere E<V0. b) El flujo ℏk/m sería incidente desde la derecha si el potencial no estuviera presente; considere E<V0. Ejercicio 5.- Hallar la matriz de dispersión (scattering matrix) para el potencial 2 ℏ λ V ( x )= δ( x −b ) . Probar que es unitaria y que lleva a las condiciones para 2 ma estados ligados cuando los elementos de la matriz tienden a infinito. Ejercicio 6.- Considere el oscilador armónico perturbado por un pequeño 1 x3 término de tercer orden, V ( x )= m ω2 x 2 − . 2 a 1/ 2 ℏ Si a es grande comparado con la dimensión característica , los mω estados serán todos metaestables, pues no puede existir un estado con energía mínima (cuando x→∞ la energía tiende a -∞). Estimar la probabilidad de tunelado desde el estado fundamental hacia la región lejana a la derecha. ( ) ( ) Ejercicio 7.- Considere el potencial de la figura: 2/4 Curso de Mecánica Cuántica 2014 Instituto de Física Facultad de Ciencias ℏ 2 L ( L +1) , para x >R. Estimar la vida media de una partícula de 2 mx2 energía E en este potencial. (El potencial externo representa la barrera centrífuga en el mundo tridimensional). Exprese sus resultados en términos del cociente adimensional L/kR, donde E=ℏ2 k 2 / 2 m, y L ≫1. con V ( x )= Ejercicio 8.- Considere el potencial de doble pozo de la figura: Demostrar que las condiciones para los autovalores se pueden escribir de la forma: q α (1+tanh (α b )) tan( q ( a−b ))= 2 2 , q −α tanh(α b ) y q α(1+ coth(α b )) tan( q ( a−b ))= 2 , q −α2 coth(α b ) para las funciones pares e impares, respectivamente, donde −E =ℏ 2 α2 /2 m, y E + V 0 =ℏ2 q2 /2 m. Ejercicio 9.- Considere el sistema del problema anterior. a) Demuestre que la condición para los autovalores tienden a las del pozo simple cuando b→0. b) Considere el caso donde la separación entre los pozos se vuelve grande, con el ancho de cada pozo fijo. Demuestre que al crecer la separación entre los 3/4 Curso de Mecánica Cuántica 2014 Instituto de Física Facultad de Ciencias pozos los autovalores pares e impares tienden a ser iguales. Estime la diferencia de energía entre los respectivos autoestados correspondientes a menores valores de energía para el caso par y el caso impar. (Sugerencia: Para z grande, tanh z ≈1−2 e−2 z . Aproxime al primer orden en e−2 z . ) Ejercicio 10.- Pruebe el Teorema del Virial, que en una dimensión toma la forma: p2 1 dV ⟨ ⟩= ⟨ x ⟩. 2m 2 dx Para hacer esto, siga los siguientes pasos: a) Demuestre que para funciones de onda reales, Ψ( x ) , se verifica: +∞ dV ( x ) dΨ dx Ψ ( x ) x Ψ( x )=−⟨ V ⟩+ 2 ∫ dx x V ( x) Ψ ( x ) . ∫ −∞ dx −∞ dx +∞ b) Use la ecuación de autovalores de la energía para probar que: 2 ℏ +∞ dΨ dΨ 2 2 ∫ dx x V ( x) Ψ ( x )=E + ∫ dx d x . −∞ dx 2 m −∞ +∞ ( ) 4/4