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Derivadas
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1. [2014] [EXT-A] a) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función
f(x) =
(x+1)3
.
x2
b) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado a).
2. [2014] [EXT-B] a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.
b) Aplicando el anterior teorema a la función f(x) = senx, pruebe que cualesquiera que sean los números reales a < b se cumple la
desigualdad senb - sena  b-a.
3. [2014] [JUN-A] a) Enuncie la condición que se debe cumplir para que una recta x = a sea asíntota vertical de una función f(x).
b) Calcule las asíntotas verticales y horizontales ( en - y en +) de la función f(x) =
x2+x-1
x2-x-2
.
4. [2013] [EXT-A] a) Defina a trozos la función f(x) = 2-x·|x| y represéntela gráficamente.
b) Estudie la derivabilidad de f(x) en toda la recta real.
c) Calcule la función derivada f'(x) para los valores de x que exista.
5. [2013] [EXT-B] a) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función
f(x) =
x3
(x-1)2
b) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado a).
6. [2013] [JUN-A] Estudie si la recta r de ecuación y = 4x-2 es tangente a la gráfica de la función f(x) = x3+x2-x+1 en alguno de
sus puntos.
7. [2012] [EXT-A] a) Calcule el siguiente límite (ln denota el logsaritmo neperiano): lim x·lnx.
x0+
b) Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función f(x) = x·lnx definida en el intervalo abierto (0,+).
c) Utilizando los datos obtenidos en los apartados a) y b), represente de forma aproximada la gráfica de la función f(x) del
apartado b).
2
8. [2012] [EXT-B] a) Estudie las asíntotas de la función f(x) = e-x .
b) Calcule los extremos relativos y los puntos de inflexión de f(x).
c) Utilizando los datos obtenidos en los apartados a) y b), haga la representación gráfica aproximada de la función f(x).
9. [2012] [JUN-A] a) Determine el punto (x,y) de la parábola y = x2 en el que la suma x+y alcanza su mínimo valor.
b) Explique por qué dicho mínimo es absoluto.
10. [2012] [JUN-B] Considere la función f(x) = |x| + |x-2|.
a) Exprese f(x) como una función definida a trozos.
b) Dibuje la gráfica de f(x).
c) Escriba el intervalo abierto de la recta real formado por los puntos en los que f(x) es derivable y se anula su derivada.
11. [2011] [EXT-A] Determine los valores de los parámetros a y b para que la función f(x) = a·cos2x+bx3+x2 tenga un punto de
inflexión en x = 0.
12. [2011] [EXT-B] Calcule el límite lim
x0
17 de julio de 2015
ex-e-x+2x
sen2x
.
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13. [2011] [JUN-A] a) Enuncie el teorema de Rolle.
b) Pruebe que cualquiera que sea la constante a, la función f(x) = x3-5x2+7x+a cumple las hipótesis de dicho teorema en el
intervalo [1,3]. Calcule un punto del intervalo abierto (1,3) cuya existencia asegura el teorema de Rolle.
14. [2011] [JUN-B] a) Estudie las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) = xe-x.
b) Represente, utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, la gráfica de la función f(x).
c
15. [2010] [EXT-A] Diga, razonando la respuesta, qué valor debe tomar c para que sea continua la función f(x) =
ex-1-x
x
2
si x = 0
si x  0
.
16. [2010] [EXT-B] Halle todos los puntos de la gráfica de la función f(x) = x3+x2+x+1 en los que su recta tangente sea paralela a la
recta de ecuación 2x-y = 0.
17. [2010] [JUN-B] a) Escriba la "regla de la cadena" para la derivación de funciones compuestas.
1-cosx
, 0 < x < .
b) Calcule, y simplifique en lo posible, la derivada de la función f(x) = ln
1+cosx
18. [2009] [EXT-A] a) Enuncie el teorema de Rolle.
b) Aplique dicho teorema para probar que, cualquiera que sea el número real a, la ecuación x3-12x+a = 0 no puede tener dos
soluciones distintas en el intervalo [-2,2].
ex-1
.
x0 x
19. [2009] [EXT-B] a) Calcule el límite lim
b) Diga, razonadamente, el valor que debe tomar c para que la siguiente función sea continua: f(x) =
20. [2009] [JUN-A] a) Diga cuándo un punto x0,f x0
ex-1
si x  0
.
x
c si x = 0
es de inflexión para una función f(x).
b) Calcule los coeficientes a y b del polinomio p(x) = ax3-3x2+bx+1 para que su gráfica pase por el punto (1,1), teniendo aquí un
punto de inflexión.
c) Diga, razonadamente, si en el punto (1,1) la función p(x) es creciente o decreciente.
21. [2009] [JUN-B] Calcule los máximos y mínimos relativos de la función f(x) =
x
+cosx en el intervalo 0 < x < 2. Tenga en cuenta
2
que los ángulos se miden en radianes.
ln x2+1
.
x
x0
22. [2008] [EXT-A] a) Calcula el siguiente límite: lim
b) Indica, razonadamente, el valor que debe tomar a para que la siguiente función sea continua: f(x) =
a
si x = 0
ln x2+1
x
si x  0
.
Nota: ln denota logaritmo neperiano.
23. [2008] [EXT-B] Halla los puntos de la curva de ecuación y = x3-2x2+1 donde la recta tangente es paralela a la recta y+x-2 = 0.
24. [2008] [JUN-B] Calcula el siguiente límite: lim
x0
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ex-1
2
2
ex -1
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25. [2007] [EXT-A] a) Enuncia el teorema de Rolle.
b) Prueba que la función f(x) = x3+x2-x-1 satisface sus hipótesis en el intervalo -1,1 y calcula un punto del intervalo abierto
-1,1 cuya existencia asegura el teorema de Rolle.
26. [2007] [EXT-B] Para la función f(x) = x2e-x:
a) Comprueba que la recta y = 0 es asíntota horizontal en +.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Con los datos anteriores, haz una representación aproximada de la gráfica de la función.
27. [2007] [JUN-A] a) Enuncia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
b) Dada la función h(x) = esen
f(x)
, calcula el valor de su derivada en x = 0, sabiendo que f(0) = 0 y f'(0) = 1.
28. [2007] [JUN-B] Determina los puntos de la parábola y = x2 que están a mínima distancia del punto P= 0,1 .
29. [2006] [EXT-A] Dada la función f(x) =
senx+sen(x+1)
, en el intervalo 0 < x , calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es
cosx-cos(x+1)
constante esta función f(x)?
30. [2006] [EXT-B] Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
f(x) = 1+x2
-1
. A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráfica de la función f(x).
31. [2006] [JUN-A] Calcula lim
x0
1+x-ex
sen2x
32. [2006] [JUN-B] Defien el concepto de máximo relativo de una función f(x) y enuncia su relación con las derivadas suxcesivas de
f(x).
33. [2005] [EXT-A] Enunciar el teorema del Valor medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera
números reales x < y se verifica que cosy - cosx  y-x.
34. [2005] [EXT-B] Hallar la derivada en el punto x = 0 de la función f f(x) , donde f(x) = sen x.
35. [2005] [JUN-A] Hallar la derivada en x = 0 de la función f f(x) , donde f(x) = (1+x)-1.
36. [2005] [JUN-B] Representar gráficamente la función f(x) = x-2senx en el intervalo - < x < , determinando sus extremos
(máximos y mínimos relativos).
37. [2004] [EXT-A] Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado
de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6
caras sea mínima.
38. [2004] [EXT-B] Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente es perpendicular a la recta y+6x = 0.
39. [2004] [JUN-A] Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.
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Y
1
40. [2004] [JUN-B] Si la gráfica de la función f(x) es:
X
-2
-1
1
2
-1
Representar aproximadamente la gráfica de la derivada f'(x).
41. [2003] [EXT-A] Con un alambre de 2 metros se desea formar un cuadrado y un círculo. Determinar el lado del cuadrado y el radio
del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima.
42. [2003] [EXT-B] Determinar en qué puntos es negativa la derivada de la función f(x) = exx-2.
43. [2003] [JUN-A] Representar gráficamente la función f(x) = ex-ex, determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos).
¿Existe algún valor de x en que f(x) sea negativo?
44. [2003] [JUN-B] Determinar una recta tangente a la parábola y = 2-x2 que sea paralela a la recta de ecuación 2x+y = 4.
Soluciones
Y
Y
2
1
7. a) 0 b) min: ; positiva en (1,+) c) 1
e
X
- 2
2
8. a) y = 0 b) max: 0; p.i.:
,
2
2
1
c)
X
-1
1 2 3
1
-1 1
,
2 4
10. a)
16. (-1,0),
1 40
,
3 27
9.
2
-2x+2 si x < 0
2
si 0  x < 2 b)
2x-2 si x  2
-1
Y
1 Y
3
7
c) (0,2) 11. a=1, b0. 12. 0 13. b)
3
2
1
-1
b) 1
14. a) asint: y = 0; max: 1; p.i: 2 b) -1
X
15.
1
2
17. b)
2
senx
19. a) 1
-2
1 2 3
20. b) 1, 2 c) dec. 21. max:
5

; min:
6
6
1 22
,
3 27
22. a) 0 b) 0 23. (1,0),
1
2 1
2 1
, , ,
2 2
2 2
29. f'(x) = 0. Es constante
30.
-1
24. 1 25. b)
26. b) Creciente en 0,2
c)
27. h'(0)=1 28.
Y
X
31.
-1
2
34. 1
-2
35.
1
4
36.
1
-3
-1
-2
X
1 2 3
37. 3 3,
3 3 2
,
2
3
38. (-4,-2), (4,2)
39.
1
4
Y
X
-1
1
3
Y
1 2
Y
40.
X
1 2 3 4
1 2
41. r =
2
1
2
;l=
42. (0,2) 43.
+4
+4
1
-1
17 de julio de 2015
X
44. y = -2x+3
1 2 3
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