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6
El Sistema Métrico Decimal
Presentación de la unidad
•Sistemas de medida.
La unidad comienza con la revisión, siempre necesaria, del concepto de medida como comparación con una cantidad fija a la que
llamamos unidad.
–Juegos de medidas tradicionales.
–Sistema Métrico Decimal: longitud, superficie, capacidad y peso.
Con frecuencia, observamos que los alumnos y las alumnas, en
cuestiones de medida, memorizan ciertos hechos y adquieren ciertos procedimientos (equivalencias, cambios de unidad, etc.) dentro de un contexto exclusivamente teórico y de cálculo escrito,
perdiendo de vista el significado real de la medida.
•Procedimientos para el cálculo con las diferentes unidades de
medida relativas a una misma magnitud.
El aprendizaje realmente significativo es el que integra esas destrezas de cálculo con el manejo útil de las magnitudes en la vida
cotidiana: interpretación y elaboración de información cuantificada, estimación, valoración de soluciones, elección de la unidad
adecuada a cada situación, etc.
–Operaciones con cantidades expresadas en forma compleja e
incompleja.
Por ello, no se ha de perder de vista el trabajo de campo que aporta la experiencia directa y la utilización práctica de las unidades y
de los instrumentos de medida.
Para la formación básica del alumnado, se considera imprescindible:
Los contenidos de la unidad se pueden clasificar como sigue:
•Conceptos de medida.
–Equivalencias y cambios de unidad.
–Paso de complejo a incomplejo, y viceversa.
Conocimientos mínimos
•Realizar mediciones directas de longitudes, pesos y capacidades:
–Utilizando unidades arbitrarias: listones, vasos, etc.
–Conceptos de magnitud y de unidad de medida.
–Utilizando unidades convencionales.
–La capacidad y el peso.
•Medir áreas de diversas figuras por conteo directo de unidades
cuadradas.
–La longitud y la superficie.
Esquema de la unidad
MEDIDA
se compone de
SISTEMAS
ESTANDARIZADOS
DE MEDIDA
se utilizan
MAGNITUD
+
UNIDAD DE MEDIDA
como son
UNIDADES
TRADICIONALES
EL SISTEMA
MÉTRICO
DECIMAL
90
LONGITUD
CAPACIDAD
PESO
SUPERFICIE
• Pulgada, palmo,
pie, paso.
• Vara.
• Legua.
• …
• Cántara.
• Celemín.
• Fanega.
• …
• Arroba.
• Pulgada cuadrada.
• Celemín de tierra.
• Yugada.
• …
• EL METRO:
Múltiplos y
submúltiplos
del metro.
• EL LITRO:
Múltiplos y
submúltiplos
del litro.
• EL GRAMO:
Múltiplos y
submúltiplos
del gramo.
• EL METRO CUADRADO:
Múltiplos y submúltiplos
del metro cuadrado.
Unidades agrarias.
Adaptación curricular
•Conocer y utilizar las unidades del Sistema Métrico Decimal para
las magnitudes: longitud, peso y capacidad.
En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación
curricular de esta unidad 6 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que
aquí se proponen.
–Manejar las equivalencias.
–Realizar cambios de unidad.
–Pasar cantidades en forma compleja a incompleja, y viceversa.
La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para
mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual.
•Conocer y utilizar las equivalencias entre las distintas unidades
de superficie.
•Repasar las operaciones con números decimales.
Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no
han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente
para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va
dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se
proponen.
•Actividades con unidades arbitrarias que dejen en evidencia la
necesidad de adoptar unidades convencionales conocidas por
todos.
Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos.
•Práctica: manejo de distintos instrumentos de medida (regla, cinta métrica, metro de costura, pesas, básculas digitales, botellas,
tetrabriks…).
Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de
nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la
autoevaluación.
Anticipación de tareas
•Multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros.
•Estimación y comprobación mediante medición directa.
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, el emprendimiento y la resolución de problemas.
Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad,
y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).
APRENDIZAJE COOPERATIVO
Pág. 105. Actividad sugerida en esta
PENSAMIENTO COMPRENSIVO
P.D. (*)
Pág. 110. Actividad sugerida en esta P.D. (*)
Pág. 109. Actividades
3 (*),
PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 105. Actividad sugerida en esta P.D. (*)
4
Pág. 111. Ejercicios resueltos
Pág. 106. Actividad 1 (*)
Pág. 113. Actividades 4 (*), 5, 6
Pág. 108. Actividad 1
Pág. 114. Ejercicio resuelto
Pág. 110. Actividad 7
Pág. 115. Problemas resueltos
Pág. 113. Actividad 7
Pág. 116. Actividad
1 (*)
Pág. 115. Actividad 8
Pág. 116. Actividad 2
INTERDISCIPLINARIEDAD
TIC
EMPRENDIMIENTO
50 (*),
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág. 106. Actividad 4
Pág. 108. Actividad sugerida en esta P.D. (*)
Pág. 119. Actividades
52
Pág. 106. Actividad sugerida en esta P.D. (*)
Pág. 112. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 120. “Calcular distancias midiendo el tiempo” (*)
Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés.
Pág. 111. Actividad 4
Pág. 113. Actividad 3
Pág. 118. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)
Pág. 118. Actividad 35
Pág. 119. Actividades 48 (*), 49 (*)
Pág. 121. Actividad “Entrénate resolviendo problemas” (*)
91
6
El Sistema Métrico Decimal
El intercambio de mercancías, el comercio, obliga a disponer de un sistema de medidas que sirva de referencia. Desde siempre, cualquier grupo
humano de cierto nivel de civilización tuvo un sistema de medidas.
Algunos sistemas de medidas anteriores al S.M.D.
SISTEMA TRADICIONAL CASTELLANO
• 1 legua = 4 millas
• 1 milla = 8 estadios
• 1 estadio = 25 cuerdas
• 1 cuerda = 5 pasos
• 1 paso = 5 pies
• 1 pie = 27,9 cm
• 1 vara = 3 pies = 4 palmos
Codo
L
longitud
• 1 pulgada = 2,54 cm
• 1 pie = 12 pulgadas
• 1 braza = 2 yardas = 6 pies
• 1 milla terrestre = 1,609 km
• 1 milla náutica = 1,853 km
capacidad
peso
• 1 libra = 16 onzas =
= 0,460 kg
• 1 pinta = 0,568 l
• 1 barril = 159 l
Expresa…
1
os antiguos egipcios utilizaban
medidas anatómicas: pies, brazos… El codo era la longitud del
antebrazo del comerciante.
SISTEMA ANGLOSAJÓN
longitud
a) … una yarda en metros.
b) … un paso en centímetros.
c) … un palmo en pies castellanos.
d) … un kilómetro en millas terrestres.
2
¿Qué es más grande, un pie castellano o un pie inglés?
¿Cuál es la diferencia en centímetros?
3
Una tableta de chocolate pesaba media libra y se dividía en ocho pastillas.
¿Cuántas onzas pesaba cada pastilla?
Medidas y cuentos
4
En algunos cuentos y leyendas aparecen “las
botas de siete leguas”. Eran mágicas y con ellas
se podían recorrer grandes distancias. Expresa
siete leguas en kilómetros.
Medidas y dichos populares
6
Explica el significado de la expresión
“Meterse en camisas de once varas”.
¿Cuántos metros son 11 varas?
Pie
5
¿Conoces el libro de Julio Verne “Veinte mil
leguas de viaje submarino”?
7
¿Cuál era la longitud de ese viaje en kilómetros?
A
Explica el significado de la expresión
“Más vale onza de talento que libra de
ciencia”.
l proliferar el negocio entre países y mejorar las comunicaciones, se hizo necesario crear un sistema de medidas universal. El Sistema Métrico Decimal (S.M.D.) se creó
en Francia a finales del siglo XVIII y fue pronto adoptado por
muchos países.
Actualmente, el 95% de la población mundial se rige por él.
Al iniciar la unidad
•Esta primera página anuncia los contenidos de la unidad y da pie a
plantear algunas reflexiones de interés relativas a las medidas tradicionales y al nacimiento del S.M.D.:
– ¿Cómo medían los pueblos antiguos?
– ¿Conoces alguna unidad de medida relacionada con las dimensiones
del cuerpo?
– Investiga: ¿Qué unidades se utilizaban en España para medir el grano,
los líquidos, los campos…? – ¿Qué ocurría en el pasado con los sistemas de medidas? ¿Qué problemas se planteaban?
– ¿Por qué razones se ideó el Sistema Métrico Decimal? ¿Qué ventajas
ofrece?
– ¿Se han conseguido plenamente los objetivos que perseguían sus
creadores?
– ¿Qué países no siguen el S.M.D.? ¿Qué problemas ocasiona?
•Consideramos de importancia llamar la atención sobre la necesidad de
adoptar sistemas de medidas comunes. Dicha necesidad surgirá de la
confusión creada mediante la utilización simultánea de diferentes unidades para cuantificar una misma cantidad.
•Los estudiantes entenderán que no siempre se ha medido con las mismas unidades, que los sistemas de medida han sido creaciones de las
distintas culturas, dando respuesta a diferentes necesidades; que esos
sistemas siguen teniendo interés para interpretar el pasado y son parte
de la herencia cultural pero resultan obsoletos.
•Todo ello nos ayudará a justificar la adopción del Sistema Métrico
Decimal como sistema internacional de medidas.
Aprendizaje cooperativo/Pensamiento crítico
Se sugiere realizar las siguientes actividades en gran grupo:
a)Los estudiantes comentan y resuelven verbalmente las actividades, contrastan opiniones y escriben las conclusiones. El docente, o un estudiante por él designado, hace de moderador.
b)Comentar el significado de la expresión “utilizar distinta vara de medir”
cuando se opina sobre la actuación de una persona o de una institución.
Soluciones de las actividades
1 a)1 yarda = 0,9144 m
b)1 paso = 139,5 cm
c) 1 palmo = 0,75 pies castellanos d)1 km ≈ 0,622 millas terrestres
2 El pie inglés es 2,58 cm más grande que el pie castellano.
3 Cada pastilla pesaba una onza.
Cuestiones para detectar ideas previas
•Las actividades que se plantean en la página 105, además de para detectar conocimientos previos, como la capacidad de establecer equivalencias entre unidades o el manejo de las operaciones con números decimales, pretenden profundizar en alguna de las reflexiones que surgen
a partir de la lectura de la pagina anterior, ofrecer ejemplos y mostrar al
alumnado que en el lenguaje actual y en la literatura quedan huellas de
formas de medir usadas en otras culturas o en el pasado.
92
4 7 leguas = 39,06 km
5 20 000 leguas = 111 600 km
6 11 varas = 9,207 m. “Meterse en camisa de once varas” significa involucrarse en situaciones complicadas.
7 La libra es mayor que la onza. La expresión significa que vale más la
inteligencia viva que la acumulación del saber de libro.
1
Soluciones de “Piensa y practica”
2
Las magnitudes y su medida
Para recopilar y transmitir información relativa a los objetos, atendemos a sus
cualidades y propiedades características.
MATERIA:
1,6 m
Gris metálico
FORMA:
Cilíndrica
PESO:
3,2 m
Acero inoxidable
COLOR:
483 kg
CAPACIDAD:
6,43
m3
Algunas de esas cualidades se pueden medir y cuantificar de forma numérica. Son
las magnitudes.
e)V
f ) V
A lo largo de la historia, cada región, cada país, cada grupo cultural ha adoptado
sus propias unidades de medida, diferentes en cada caso.
Y eso…
¿Cuántas
arrobas son?
Un quintal.
Lo entendería
mejor en
libras.
3 a)1 caja = 3 cubitos verdes
b)1 caja = 9 cubitos rojos
4 a)Tiempo
b)Memoria de un ordenador
TRIGO
c) Temperatura
La diversidad de unidades dificultaba la comunicación entre las distintas comunidades. Así surgió la necesidad
de crear un sistema de medidas que fuera cod)Masa
nocido y adoptado por todos los países. A finales del siglo xviii (en 1792), la
Academia de Ciencias de París propuso para tal fin el Sistema Métrico Decimal.
e)Tensión eléctrica
Qué es medir una magnitud
Medir una cantidad de una magnitud es compararla con otra cantidad fija y predeterminada llamada unidad de medida.
d)F
c) V
2 Porque no se pueden medir y cuantificar de forma numérica.
Ejemplos de magnitudes: peso, longitud, superficie, temperatura, voltaje, intensidad del sonido, potencia de un motor, …
Pesa
6 unidades.
6
UNIDAD
1 a)F
b)V
El Sistema Métrico Decimal
f ) Superficie
El Sistema Métrico Decimal (S.M.D.) es un conjunto de unidades de medida
para las magnitudes básicas. Y está dotado de una estructura:
cuadrante
ANOTACIONES
• Las unidades fundamentales están relacionadas entre sí.
MAGNITUD
UNIDAD FUDAMENTAL
longitud → el metro → Es la diezmillonésima parte de un
cuadrante del meridiano terrestre.
Ya, pero…
meridiano terrestre = 40 000 km
¿Qué unidades?
CANTIDAD
UNIDAD
LA JARRA TIENE UNA CAPACIDAD
A MEDIR
DE MEDIDA
INFERIOR A
peso
5 VASOS
Una magnitud se puede medir en distintas unidades. Para que la información
que aporta una medida sea significativa, la unidad utilizada ha de ser conocida
y aceptada por toda la comunidad. Es decir, debe ser convencional y estandarizada.
1l
¿Verdadero o falso?
a) El kilómetro es una magnitud.
3. Expresa el peso de la caja, tomando como unidad:
a) Un cubito verde.
b) Un cubito rojo.
b) El palmo es una unidad de longitud.
d) La cinta métrica es una unidad de medida.
e) La balanza es un instrumento de medida.
f ) El decibelio es una unidad que se utiliza para medir
la intensidad del sonido.
2. El color y la forma son cualidades, pero no magnitu-
des. ¿Por qué?
→ el gramo → Es el peso de un centímetro cúbico
de agua.
1 kg
1 dm
múltiplos
kilo hecto
1 000 U 100 U
4. ¿Qué magnitudes se miden con estas unidades?:
a) Segundo.
b) Bit.
c) Grado centígrado.
d) Gramo.
e) Voltio.
f ) Metro cuadrado.
106
deca
10 U
submúltiplos
← unidad → deci centi
mili
1U
0,1 U 0,01 U 0,001U
Piensa y practica
1. Investiga.
La arroba es una antigua unidad de peso que se usaba
en muchas regiones de España. Desafortunadamente,
no valía lo mismo en todas.
c) La capacidad de memoria de un ordenador es una
magnitud.
→ Es la capacidad de un cubo de un
decímetro de arista.
• Además, cada unidad posee un juego de múltiplos y submúltiplos, relacionados por potencias de base 10, que se designan por los prefijos siguientes:
Piensa y practica
1.
capacidad → el litro
a) Averigua el valor, en kilos, de
una arroba castellana y una
arroba aragonesa.
b) Describe alguno de los inconvenientes que ocasionaban esas diferencias.
2. Nombra:
a) Los múltiplos del metro.
b) Los múltiplos del gramo.
c) Los submúltiplos del litro.
d) Los submúltiplos del gramo.
3. Teniendo en cuenta que un cuadrante del meridiano
terrestre es la cuarta parte del mismo:
a) ¿Cuántos metros mide un cuadrante de meridiano?
b) ¿Cuántos metros mide el meridiano completo?
107
Sugerencias
•Se inicia el capítulo recordando los conceptos de magnitud y de medida de una magnitud. A pesar de que ambos conceptos ya son conocidos, conviene tenerlos presentes reforzándolos con la medida directa
de distintas magnitudes.
•La manipulación de los instrumentos de medida y la realización experimental de las mediciones directas dan significado a los contenidos teóricos posteriores y evitan que los aprendizajes de la unidad se limiten al
entrenamiento en procedimientos de cálculo escrito.
Los alumnos y las alumnas han de entender que la medida es un instrumento que nos ayuda en el análisis de la realidad y nos permite transmitir información precisa y concreta de los objetos y de los fenómenos que
nos rodean.
•Otras ideas importantes que ha de fijar el alumnado son:
– La unidad de medida es un convencionalismo adoptado por un grupo
social, válido solamente si es conocido por todo el colectivo, o solamente para los individuos que lo conocen.
– Una magnitud se puede medir con distintas unidades. Para interpretar los resultados de mediciones con distintas unidades, es necesario
conocer sus equivalencias.
– En cada medición, es importante elegir la unidad adecuada a la cantidad a medir.
Interdisciplinariedad
Se sugiere la siguiente actividad:
Realizar una búsqueda en Internet para responder a las siguientes preguntas:
a)¿Qué magnitud se mide en vatios? ¿Y en decibelios?
b)¿En qué unidades se mide la intensidad luminosa? ¿Y la intensidad de
la corriente eléctrica?
93
2
3 a)1 cuadrante de meridiano = 10 000 km = 10 000 000 m
6
UNIDAD
El Sistema Métrico Decimal
s
A lo largo de la historia, cada región, cada país, cada grupo cultural ha adoptado
sus propias unidades de medida, diferentes en cada caso.
Y eso…
¿Cuántas
arrobas son?
Un quintal.
Lo entendería
mejor en
libras.
TRIGO
n
La diversidad de unidades dificultaba la comunicación entre las distintas comunidades. Así surgió la necesidad de crear un sistema de medidas que fuera conocido y adoptado por todos los países. A finales del siglo xviii (en 1792), la
Academia de Ciencias de París propuso para tal fin el Sistema Métrico Decimal.
-
El Sistema Métrico Decimal (S.M.D.) es un conjunto de unidades de medida
para las magnitudes básicas. Y está dotado de una estructura:
cuadrante
-
• Las unidades fundamentales están relacionadas entre sí.
MAGNITUD
UNIDAD FUDAMENTAL
longitud → el metro → Es la diezmillonésima parte de un
cuadrante del meridiano terrestre.
meridiano terrestre = 40 000 km
capacidad → el litro
→ el gramo → Es el peso de un centímetro cúbico
de agua.
peso
n
a
-
1l
→ Es la capacidad de un cubo de un
decímetro de arista.
• Además, cada unidad posee un juego de múltiplos y submúltiplos, relacionados por potencias de base 10, que se designan por los prefijos siguientes:
1 kg
múltiplos
kilo hecto
1 000 U 100 U
1 dm
deca
10 U
submúltiplos
← unidad → deci centi
mili
1U
0,1 U 0,01 U 0,001U
Piensa y practica
1. Investiga.
La arroba es una antigua unidad de peso que se usaba
en muchas regiones de España. Desafortunadamente,
no valía lo mismo en todas.
a) Averigua el valor, en kilos, de
una arroba castellana y una
arroba aragonesa.
b) Describe alguno de los inconvenientes que ocasionaban esas diferencias.
2. Nombra:
a) Los múltiplos del metro.
b) Los múltiplos del gramo.
c) Los submúltiplos del litro.
d) Los submúltiplos del gramo.
3. Teniendo en cuenta que un cuadrante del meridiano
terrestre es la cuarta parte del mismo:
a) ¿Cuántos metros mide un cuadrante de meridiano?
b) ¿Cuántos metros mide el meridiano completo?
107
Sugerencias
•El incremento del comercio y de las comunicaciones, el desarrollo científico y la voluntad de intercambio y cooperación cultural entre las distintas comunidades y países dejan obsoletos los viejos sistemas de medida locales y crean la necesidad de un sistema de medidas universal. El
Sistema Métrico Decimal es la respuesta a la necesidad mencionada.
•Se ha de resaltar, una vez más, que el S.M.D., como cualquier otro juego
de medidas, es un convencionalismo, es decir, un invento humano.
•Conviene también hacer notar que es un “sistema” y no un simple conjunto de unidades. Es decir, está dotado de una estructura y unas relaciones que potencian su utilidad y lo hacen más valioso.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 1 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 38.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)Una arroba castellana equivalía a 11,5 kg, y una arroba aragonesa, a
12,5 kg.
b)Malentendidos y confusiones al hacer transacciones comerciales,
pues las unidades de medida, aunque de igual nombre, tenían distinto valor.
2 a)Decámetro, hectómetro, kilómetro.
b)Decagramo, hectogramo, kilogramo.
c) Decilitro, centilitro, mililitro.
d)Decigramo, centigramo, miligramo.
94
b) 40 000 000 m
ANOTACIONES
3
TIC
Unidades de medida en las magnitudes básicas
Como sabes, la unidad fundamental en el S.M.D. para medir longitudes es el
metro. Recuerda sus múltiplos y submúltiplos:
10
10
km
hm
dam
1 000 m
100 m
10 m
10
10
m
10
dm
cm
mm
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden inmediato
superior. Por eso, decimos que las unidades de longitud van de diez en diez.
Al manejar cantidades de longitud, conviene elegir la unidad adecuada. Así:
— Para expresar el grosor de este libro, diremos 14 milímetros o 1,4 centímetros,
pero no 0,014 metros.
Unidades tradicionales
unidad fundamental
del S.M.D.de
para medir
capacidades
es el litro, que
coin- dio la
a) B usca y escribe la Ladefinición
inicial
“metro
patrón”
que
cide con la capacidad de un recipiente cúbico de un decímetro de arista.
Academia de París, Recuerda
en la redacción
del
S.M.D.
los múltiplos y los submúltiplos del litro:
10
UNIDADES PARA MEDIR LONGITUDES MUY PEQUEÑAS
Con el avance de la ciencia y de la tecnología, se ha entrado en el mundo de
lo microscópico, donde se necesitan unidades mucho más pequeñas que el
milímetro. Estas son algunas:
Fanega, antigua medida de capacidad.
1l
2 a)Metros
1 dm
1 litro → 1
1 kl = 1 000 litros → 1 m3
1 ml = 0,001 litros → 1 dm3
d)Milímetros
10
10
kg
hg
dag
1 000 g
100 g
10 g
10
g
10
10
dg
cg
mg
0,1 g
0,01 g
0,001 g
Además, para medir pesos grandes, se añaden dos múltiplos del kilogramo:
3,4 t
• El quintal métrico (q) → 1 q = 100 kg
• La tonelada métrica (t) → 1 t = 1 000 kg
Ejemplos
— La cápsula para la gripe lleva 15 miligramos de principio activo.
• La unidad astronómica → 1 UA ≈ 150 millones de kilómetros → Es la distancia media de la Tierra al Sol y se usa para medir distancias entre planetas.
— La pescadilla ha pesado 1,6 kilogramos.
— El camión carga 3,4 toneladas.
Piensa y practica
3.
2. ¿Con qué unidad medirías estas longitudes?:
Medida del peso
b)Kilómetros
Centímetros
La unidad principal
del S.M.D. para medir pesos es el c)
gramo,
que coincide con
el peso del agua que cabe en un cubo de un centímetro de arista. Como es una
unidad muye)Unidades
pequeña, en el peso astronómicas
de los objetos cotidianos se utiliza fundamentalmente el kilogramo.
10
Y para medir longitudes muy grandes, como distancias entre los astros, se utilizan unidades de enorme tamaño:
Piensa y practica
Igual que en la longitud, cada unidad de capacidad del S.M.D. equivale a diez
unidades del orden inmediato inferior. Es decir, las unidades de capacidad van
de diez en diez.
ANOTACIONES
UNIDADES PARA MEDIR LONGITUDES MUY GRANDES
1. ¿Verdadero o falso?
10
Igual que en las unidades de longitud y de capacidad, los múltiplos y los submúltiplos del gramo aumentan y disminuyen de diez en diez.
Se utiliza para medir microorganismos (microbios, bacterias, etc.).
• El año luz → 1 año luz ≈ 9,5 billones de kilómetros → Es la distancia que
recorre la luz en un año. Se usa para medir distancias entre galaxias.
10
— Un bote de refresco tiene una
capacidad
b)F
c)
V de 33 centilitros. d)F
dm3
• El ángstrom → 1 Å = 0,000000001 mm.
Se usa para medir distancias atómicas.
Galaxia del Sombrero, en la constelación de Virgo.
10
— La capacidad de una barrica es de 2,5 hectolitros, o 250 litros.
1 a)V
• El nanómetro → 1 nm = 0,000001 mm (millonésima de milímetro)
■
10
Soluciones de “Piensa
Ejemplos y practica”
Ten en cuenta
• La micra → 1 µm = 0,001 mm (milésima de milímetro)
Algas diatomeas al microscopio óptico.
10
b)Busca y escribe la definición
actual
de “metro”
según,
por
ejemplo, el
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
1 000 l
100
l
10 l
0,1 l
0,01 l
0,001 l
Centro Español de Metrología
(CEM).
— Para expresar la distancia de Oviedo a Sevilla, diremos 665 kilómetros y no
66 500 000 centímetros.
■
6
Medida de la capacidad
celemín (castellano) → 4,625 l
fanega → 12 celemines
Medida de la longitud
10
UNIDAD
Se sugiere la siguiente actividad:
¿Verdadero o falso?
4. ¿Con qué unidad medirías en cada caso?:
a) Diez centilitros hacen un mililitro.
a) La capacidad de un bote de champú.
a) La distancia de la Tierra al Sol es de 1 UA.
a) La anchura de una carretera.
b) Diez decagramos hacen un hectogramo.
b) El peso de una bolsa de naranjas.
b) La distancia de Marte al Sol es mayor que un año
luz.
b) La longitud de un río.
c) Un kilo de aceite pesa menos que un kilo de agua.
c) El agua de un embalse.
d) Un kilo de aceite ocupa más que un kilo de agua.
d) La producción anual de mejillón en Galicia.
c) El radio de un átomo se mide en ángstroms.
c) El grosor de un tablero de madera.
d) El diámetro de un tornillo.
e) Un metro cúbico de agua pesa una tonelada.
e) La cantidad de azafrán que se echa a la paella.
e) El diámetro del Sistema Solar.
f ) Un cuarto de litro de agua pesa 500 gramos.
f ) La cantidad de perfume en una muestra publicitaria.
d) Diez mil micras hacen un milímetro.
108
109
Sugerencias
•Se repasan las unidades de longitud del Sistema Métrico Decimal, que
ya conocen los estudiantes de cursos anteriores. Sin embargo, estos
contenidos son imprescindibles para abordar más adelante las unidades
de superficie.
Como complemento, se puede buscar información sobre unidades tradicionales de longitud y su equivalencia con las del Sistema Métrico
Decimal. Este conocimiento siempre resulta interesante y muy formativo
para el alumnado.
•También se presentan en esta página las unidades para expresar longitudes muy grandes (medidas astronómicas) o muy pequeñas (medidas
microscópicas).
Aquí se pueden sugerir reflexiones como las siguientes:
– ¿Necesitaría un habitante de las cavernas estas unidades?
– ¿Y un hombre de la Edad Media?
– ¿Por qué son necesarias en la actualidad?
•Para que el alumnado se haga una idea del tamaño de las unidades astronómicas y microscópicas, conviene proponer comparaciones como
esta:
Si un milímetro fuera la distancia de Madrid a París, una micra sería la de
[poner un ejemplo local de longitud un kilómetro]; un nanómetro sería
la longitud de un paso, y un ángstrom, el grosor de una de las letras de
este texto.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 1 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la pág. 38.
95
ANOTACIONES
6
UNIDAD
Medida de la capacidad
Unidades tradicionales
La unidad fundamental del S.M.D. para medir capacidades es el litro, que coincide con la capacidad de un recipiente cúbico de un decímetro de arista.
celemín (castellano) → 4,625 l
fanega → 12 celemines
Recuerda los múltiplos y los submúltiplos del litro:
l
10
Fanega, antigua medida de capacidad.
o
10
10
kl
hl
dal
1 000 l
100 l
10 l
10
l
10
10
dl
cl
ml
0,1 l
0,01 l
0,001 l
Igual que en la longitud, cada unidad de capacidad del S.M.D. equivale a diez
unidades del orden inmediato inferior. Es decir, las unidades de capacidad van
de diez en diez.
Ejemplos
Ten en cuenta
,
— La capacidad de una barrica es de 2,5 hectolitros, o 250 litros.
— Un bote de refresco tiene una capacidad de 33 centilitros.
o
1 dm
1l
dm3
1 litro → 1
1 kl = 1 000 litros → 1 m3
1 ml = 0,001 litros → 1 dm3
e
l
Medida del peso
La unidad principal del S.M.D. para medir pesos es el gramo, que coincide con
el peso del agua que cabe en un cubo de un centímetro de arista. Como es una
unidad muy pequeña, en el peso de los objetos cotidianos se utiliza fundamentalmente el kilogramo.
Igual que en las unidades de longitud y de capacidad, los múltiplos y los submúltiplos del gramo aumentan y disminuyen de diez en diez.
10
10
10
kg
hg
dag
1 000 g
100 g
10 g
10
g
10
10
dg
cg
mg
0,1 g
0,01 g
0,001 g
Además, para medir pesos grandes, se añaden dos múltiplos del kilogramo:
• El quintal métrico (q) → 1 q = 100 kg
3,4 t
• La tonelada métrica (t) → 1 t = 1 000 kg
-
Ejemplos
— La cápsula para la gripe lleva 15 miligramos de principio activo.
.
— La pescadilla ha pesado 1,6 kilogramos.
e
— El camión carga 3,4 toneladas.
Piensa y practica
3.
4. ¿Con qué unidad medirías en cada caso?:
¿Verdadero o falso?
a) Diez centilitros hacen un mililitro.
a) La capacidad de un bote de champú.
b) Diez decagramos hacen un hectogramo.
b) El peso de una bolsa de naranjas.
c) Un kilo de aceite pesa menos que un kilo de agua.
c) El agua de un embalse.
d) Un kilo de aceite ocupa más que un kilo de agua.
d) La producción anual de mejillón en Galicia.
e) Un metro cúbico de agua pesa una tonelada.
e) La cantidad de azafrán que se echa a la paella.
f ) Un cuarto de litro de agua pesa 500 gramos.
f ) La cantidad de perfume en una muestra publicitaria.
109
Sugerencias
•Se recomienda disponer en clase de juegos de medidas de capacidad y
de peso (conjunto de pesas y balanzas, recipientes de capacidad conocida, botellas, tetrabriks, etc.). Manipulando esos materiales y realizando pesadas y trasvases de líquidos o granos, los estudiantes llegarán a
interiorizar el valor de las distintas unidades (al menos las fundamentales: el gramo, el kilogramo, el litro, el medio y el cuarto de litro, el decilitro y el centilitro) y serán capaces de efectuar estimaciones y de interpretar correctamente la información cuantificada con ellas.
•Como actividad complementaria de investigación, podemos proponer
la búsqueda de información relativa a unidades tradicionales para la
medida de capacidades y de pesos propias de la región. El establecimiento de equivalencias entre ellas y con las del S.M.D. da lugar a distintos problemas de interés.
•También conviene que los alumnos y las alumnas conozcan y comprueben la relación entre la capacidad y el peso cuando se manejan cantidades de agua, y que sepan que las unidades (1 litro = 1 kilo) se construyeron para que existiera dicha relación.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 1 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 42. Ejercicio 1 de la pág. 44.
Soluciones de “Piensa y practica”
3 a)F
4 a) Mililitros
b)V
c) F
b) Kilogramos
d)V
e)V
c) Millones o billones de litros
d) Toneladas e) Miligramos f ) Mililitros
96
f ) F
4
– Los estudiantes, distribuidos en parejas o en tríos, resuelven una serie
de ejercicios individualmente y, después, contrastan lasUNIDAD
soluciones
y
6
los
procesos.
Cantidades complejas e incomplejas
5
Cambios de unidad
Para cambiar de unidad cantidades de longitud, capacidad o peso, conviene que
te apoyes en una tabla de múltiplos y submúltiplos. En ella, el cambio de unidad
se reduce a un movimiento de la coma decimal.
– Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver
Cuando una medida viene expresada en varias unidades, decimos que está exprelas dudas o no se ponen
decompleja.
acuerdo, actuará el profesor o profesora.
sada en forma
Cuando viene en una sola unidad, decimos que está en forma incompleja.
Ejemplos
forma compleja
km
3,5 km →
3,
hm dam
5
0
m
dm
cm
mm
→ 3 500 m
0,
27,4 cm →
0,
2
7,
4
→ 0,274 m
Observa que:
— Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica por la unidad seguida de
tantos ceros como saltos hay entre ambas en la tabla.
En la web
• Practica transformaciones con unidades
de longitud.
• Practica transformaciones con unidades
de capacidad y peso.
km - hm - dam - m
dos saltos
Ejercicio dm
resuelto
b)12,7
1. La altura del canguro está en la tabla. Exprésala…
2 a)200 g
b)530
zante. g
m
a) 1,4 g
dm cm mm
1
2
a) … en metros.
b) … en decímetros.
c) … en centímetros.
d) … en milímetros.
c) 5 dg
d) 62 cg
a) 3 kg = ... g
b) 420 g = ... kg
c) 1,4 hg = ... dag
d) 28,7 dg = ... g
e) 39 dg = ... mg
f ) 470 mg = ... cg
7. Expresa el peso del elefante en kilos, en gramos y en
2. Copia y completa en tu cuaderno.
toneladas.
a) 0,2 kg → 0,2 · 1 000 = … g
b) 5,3 hg → 5,3 · … = … g
c) 3,7 dg → 3,7 : 10 = … g
d) 280 cg → 280 : … = … g
3. Expresa en litros.
a) 2,75 kl
b) 42,6 dl
c) 74,86 hl
d) 350 cl
e) 1,46 dal
f ) 3 800 ml
c) 80 dam
t
q
4
6
kg hg dag g
0
0
0
0
0
¿Cuáles son las unidades más adecuadas para expresar
el peso del elefante?
8. Copia y completa en tu cuaderno.
4. Pasa a hectómetros.
b) 0,54 km
b) 0,6 g
6. Copia y completa en tu cuaderno.
7
d) 28 m
c) 127 cm
d)1 270 mm
b) Pasar a decilitros, centilitros y mililitros el contenido del bote de suavi-
5 kl 8 hl 7 dal
hl
5 kl 8 hl 7b)4,26
dal → 5l 8
0,639 l →
0,639 l
d)3,5 l
c) 0,37 g
kl
dal
l
7
0
0,
d)2,8 g
dl
cl
6
3
e)14,6 l
operaciones con cantidades complejas
ml
→ 5 870
c) 7 486
ll
9
→ 6 dl 3 cl 9 ml
f ) 3,8 l
Para operar
con cantidades en forma
a la tabla
de
b)5,4
hm
c) 8compleja,
hm recurrimos también
d)0,28
hm
múltiplos y submúltiplos de la unidad principal.
5 a)1 400 mg
1. Un camión cisterna
5. Convierte a miligramos.
250 cm
a) Expresar en litros la capacidad del depósito.
Ejercicios resueltos
Piensa y practica
a) 6 km
1 a)1,27 m
4 a)60 hm
m - dm - cm
2,5 m
Observa cómo pasamos de una forma a la otra.
— Para pasar de una unidad a otra mayor, se divide por la unidad seguida de
tantos ceros como saltos hay entre ambas en la tabla.
27,4 cm → 27,4 : 100 = 0,274 m
forma incompleja
Soluciones de “Piensa y practica”
3 a)2 750 l
tres saltos
3,5 km → 3,5 · 1 000 = 3 500 m
forma incompleja
2 m 5 dm
que
transportaba 3 kl 5 hl 2 dal
de gasóleo ha servido un
a)3 000
pedido
de 9 hl g
7 dal 5 l.
¿Cuántos litros le quedan?
b)600
mg
kl
hl dal
6
–
3
2
d)2,87 g
5
9
5
2
7
4
l
b)0,42
c) 500 mg
e)3 900
mg
dg cg
2. Cada frasco de cierto medi-
d)620 mg
(3 kl 5 hl 2 dal ) – (9 hl 7 dal 5 l ) = 2 545 l
litros de gakgSolución: En el depósito quedan
c) 142 545
dag
sóleo.
0
5
5
hg dag g
f ) 47 cg
camento lleva 3 g 2 dg 4 cg
3
2
4
7
5
de principio activo. ¿Cuán3,24 g · 75 = 243 g
El elefante pesa 4 600 1kg ×6= 4 600 000
g = 4,6 t.
2
0
tos gramos de principio actiSolución: Se necesitan 243 gramos de principio
2
2
6
8
vo se necesitan para fabricar
activo.
2
4 3, 0 son
0
las toneladas métricas.
75 Las
frascos?unidades más adecuadas
7
8 a)400 kg
b)2,8 q
Piensa y practica
1. Expresa en metros.
c) 3 700 kg
d)9,7 t
3. Fernando compra un pollo de 2 kg 200 g y un cone-
a) 6 km 4 hm 8 dam
b) 5 hm 3 m 6 dm
c) 5 m 4 dm 7 cm
d) 3 dam
ANOTACIONES
7 cm 1 mm
jo de 0,760 kg.
¿Cuánto pesa la compra de Fernando?
4. Marta ha ido al supermercado a por cinco garrafas de
2. Expresa en forma compleja.
a) 4 q = ... kg
b) 280 kg = ... q
a) 3,68 kl
b) 7,42 dl
c) 22,36 hl
aceite de dos litros. Pero se ha encontrado que cada
garrafa llevaba 20 cl extra de regalo.
c) 3,7 t = ... kg
d) 9 700 kg = ... t
d) 365 cl
e) 2 364 l
f ) 2 408 ml
¿Cuánto aceite se lleva Marta en las cinco garrafas?
110
111
Sugerencias
•Se revisan las equivalencias, para la longitud, la capacidad y el peso,
entre la unidad fundamental de cada magnitud, sus múltiplos y sus submúltiplos, recordando que “van de 10 en 10”, igual que los órdenes de
unidades del sistema de numeración decimal.
•También se recuerdan los procedimientos para los cambios de unidad: se propone la inclusión de las distintas cantidades en tablas similares a
las utilizadas en el S.N.D. En ellas, los alumnos y las alumnas comprueban que el procedimiento se reduce a mover la coma decimal a la derecha o a la izquierda del orden de unidades deseado, lo que equivale a
multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como saltos
haya entre las unidades inicial y final . Con la práctica reiterada, terminarán automatizando el proceso sin presencia de la tabla que, en todo caso, visualizarán mentalmente.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 1 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 39. Ejercicios 2, 3 y 4 de la
pág. 42. Ejercicios 2, 3 y 4 de la pág. 44.
•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 3.
Aprendizaje cooperativo
Para las actividades de esta página y de todas las destinadas a reforzar el
manejo de las unidades del S.M.D. (equivalencias, cambios de unidad, paso de complejo a incomplejo, etc.), se puede orientar el trabajo hacia el
aprendizaje cooperativo con la siguiente metodología:
97
5
3 La compra de Fernando pesa 2,96 kg.
UNIDAD
6
Cantidades complejas e incomplejas
e
d
Cuando una medida viene expresada en varias unidades, decimos que está expresada en forma compleja.
Cuando viene en una sola unidad, decimos que está en forma incompleja.
forma compleja
forma incompleja
forma incompleja
2 m 5 dm
2,5 m
250 cm
Observa cómo pasamos de una forma a la otra.
Ejercicio resuelto
a) Expresar en litros la capacidad del depósito.
e
b) Pasar a decilitros, centilitros y mililitros el contenido del bote de suavizante.
5 kl 8 hl 7 dal
0,639 l
e
5 kl 8 hl 7 dal →
0,639 l →
kl
hl
dal
l
5
8
7
0
0,
dl
cl
ml
6
3
9
→ 5 870 l
→ 6 dl 3 cl 9 ml
operaciones con cantidades complejas
Para operar con cantidades en forma compleja, recurrimos también a la tabla de
múltiplos y submúltiplos de la unidad principal.
Ejercicios resueltos
1. Un camión cisterna que
transportaba 3 kl 5 hl 2 dal
de gasóleo ha servido un
pedido de 9 hl 7 dal 5 l.
¿Cuántos litros le quedan?
2. Cada frasco de cierto medi-
camento lleva 3 g 2 dg 4 cg
de principio activo. ¿Cuántos gramos de principio activo se necesitan para fabricar
75 frascos?
–
kl
hl
dal
l
3
5
9
5
2
7
4
0
5
5
2
hg dag g
1
2
4
2
2
3
×
6
6
3,
(3 kl 5 hl 2 dal ) – (9 hl 7 dal 5 l ) = 2 545 l
Solución: En el depósito quedan 2 545 litros de gasóleo.
dg cg
2
7
2
8
0
4
5
0
3,24 g · 75 = 243 g
Solución: Se necesitan 243 gramos de principio
activo.
0
Piensa y practica
1. Expresa en metros.
3. Fernando compra un pollo de 2 kg 200 g y un cone-
a) 6 km 4 hm 8 dam
b) 5 hm 3 m 6 dm
c) 5 m 4 dm 7 cm
d) 3 dam 7 cm 1 mm
jo de 0,760 kg.
¿Cuánto pesa la compra de Fernando?
4. Marta ha ido al supermercado a por cinco garrafas de
2. Expresa en forma compleja.
a) 3,68 kl
b) 7,42 dl
c) 22,36 hl
aceite de dos litros. Pero se ha encontrado que cada
garrafa llevaba 20 cl extra de regalo.
d) 365 cl
e) 2 364 l
f ) 2 408 ml
¿Cuánto aceite se lleva Marta en las cinco garrafas?
111
Sugerencias
•Se recuerdan las distintas maneras de presentar mediciones de longitud, capacidad y peso: forma compleja y forma incompleja.
•Un procedimiento cómodo para pasar de la una a la otra consiste en
colocar la cantidad en la tabla de unidades. En esa posición aparecen
simultáneamente ambas opciones de expresión.
•Y lo mismo diremos para las operaciones con cantidades complejas o
incomplejas (ver ejemplos resueltos). Entendido y justificado el procedimiento sobre la tabla, cada alumno o alumna lo mecanizará, abreviándolo, según procedimientos de elaboración propia.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 1 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 a 5 de la pág. 40. Ejercicios 1 a 3 de la pág. 41.
Ejercicios 1 a 4 de la pág. 43. Ejercicios 1 a 4 de la pág. 45. Ejercicios 1 a
6 de la pág. 46. Ejercicios 7 a 12 de la pág. 47.
•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 3, 4 y 5 de la pág. 4.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)6 480 m
c) 5,47 m
2 a)3 kl 6 hl 8 dal
98
b)503,6 m
d)30,071 m
b)7 dl 4 cl 2 ml
c) 2 kl 2 hl 3 dal 6 l
d)3 l 6 dl 5 cl
e)2 kl 3 hl 6 dal 4 l
f ) 2 l 4 dl 8 ml
4 En total se lleva 11 litros.
ANOTACIONES
6
UNIDAD
Medida de la superficie
6
Medida aproximada de una superficie irregular
Medir una superficie poligonal con unidades cuadradas puede resultar sencillo.
Sin embargo, cuando las superficies son irregulares, con bordes que no son rectos, resulta más complicado. En estos casos, se suelen hacer estimaciones.
En épocas pasadas, la medida de superficies se aplicaba, sobre todo, a la medición
de tierras de labor. Y como los campos tenían formas muy irregulares, se idearon
curiosos métodos para medir superficies, como el que se expone a continuación:
Ejemplos
■ MÉTODO DE LA SEMBRADURA
Se tomaba como unidad de superficie la cantidad de terreno que se podía sembrar con una unidad de capacidad de grano.
Otra unidad: la yugada
La yugada → Cantidad de terreno que
ara una pareja de bueyes en un día.
Por ejemplo:
Una fanega de tierra → Cantidad de terreno que se siembra con una fanega
de grano.
SAZUL = 48,5 u.c.
SVERDE = 28 u.c.
La superficie encerrada dentro de la línea roja es mayor que la encerrada en la
poligonal verde y menor que la encerrada en la poligonal azul.
Apoyándonos en esos datos, estimamos la superficie de la figura roja en 38 unidades cuadradas, que es un valor intermedio entre 28 y 48,5:
1 fanega = 12 celemines = 55,5 litros
Como puedes suponer, estas unidades de medida de la superficie no eran totalmente exactas y se prestaban a distintas interpretaciones y valoraciones. No eran,
por tanto, estrictamente matemáticas, como sí lo son las que vas a estudiar a
continuación.
28 u.c. < SROJA < 48,5 u.c. → SROJA ≈ 38 u.c.
Piensa y practica
1. Una fanega de simiente de trigo pesa 47 kg.
Unidades exactas e invariantes para medir superficies
Para medir superficies, tomaremos como unidad la superficie encerrada dentro de
un cuadrado (unidad cuadrada). Así, medir una superficie será averiguar cuántas
unidades cuadradas contiene.
Ten en cuenta
Para medir una superficie, podemos
utilizar distintas unidades:
Ejemplos
UNIDAD CUADRADA
terior en dos días. ¿A cuántas parejas de bueyes sustituye el tractor?
C
D
SC = 23 u.c.
SD = 22,5 u.c.
4.
SB = 7,5 u.c.
Las unidades cuadradas se suelen definir a partir de las correspondientes unidades lineales.
↑
pulgada
cuadrada
3 pies
1 centímetro
1 pie
↑
pie cuadrad0
4 pies
6. Calcula, en centímetros cuadrados, la superficie del
cuadrado, la del rombo y la del rectángulo.
Calcula la superficie de estas figuras tomando
como unidad el cuadrado de la cuadrícula:
A
5 cm
B
UNIDADES DEL S.M.D.
UNIDADES TRADICIONALES
1 pulgada
La figura amarilla mide:
— 20 u.c. rojas.
— 5 u.c. azules.
5 pulgadas
2. ¿Cuánto tiempo tardarían tres parejas de bueyes en
1 u.c.
B
SA = 15 u.c.
¿Cuántos pies cuadrados ocupa un rectángulo de tres
pies de alto por cuatro de largo?
b) ¿Cuántas fanegas de tierra se pueden sembrar con
1 000 kg de trigo?
3. Sabemos que un tractor ara el campo del ejercicio an-
A
mide cinco pulgadas de lado?
arar un campo que tiene una superficie de 48 yugadas?
u.c. roja
u.c. azul
5. ¿Cuántas pulgadas cuadradas tiene un cuadrado que
a) ¿Cuántos kilos de trigo se necesitan para sembrar
un campo de 10 fanegas?
C
7. Calcula la superficie del polígo-
D
no azul y la del polígono verde.
Después, haz una estimación de
la superficie del círculo.
↑
→ 1 u.c.
centímetro
cuadrad0
112
Sugerencias
•Se inicia el epígrafe con la presentación de algunos métodos tradicionales para medir campos de cultivo. Los alumnos y las alumnas observarán
que se usaban unidades naturales asociadas al trabajo agrícola, y valorarán sus ventajas e inconvenientes así como su relativa utilidad actual,
según el objetivo y las circunstancias de la medición.
Constatarán, por ejemplo, que este tipo de unidades resultaba muy
apropiado para medir superficies con formas irregulares, como eran de
hecho las tierras de labranza. Y esa característica las mantiene vivas en
nuestras zonas rurales.
•Sin embargo, en el afán de simplificar la terea, y de buscar fórmulas que
resuelvan situaciones en forma general, los trabajos de medición han
procurado transformar y descomponer las formas irregulares, aproximándolas a las formas geométricas. Y para medir las formas geométricas, la unidad más adecuada toma la forma más sencilla: el cuadrado.
Así, en geometría utilizaremos como unidades de superficie distintos
tamaños de unidad cuadrada. Igual que en la longitud, las primeras unidades de superficie se relacionaban con medidas corporales: pulgada
cuadrada, pie cuadrado, …
•Teniendo en cuenta lo anterior, inicialmente proponemos la revisión detenida del concepto de medida de superficies, en situaciones muy sencillas, con mediciones por conteo directo de unidades cuadradas. En
estas mediciones resulta de gran utilidad el empleo de cuadrículas
transparentes que se superponen sobre las figuras.
•La medición directa de superficies resulta más engorrosa que la de longitudes, por lo que se sustituye por la medición indirecta mediante el
empleo de fórmulas.
Sin embargo, el uso precoz de esas fórmulas impide en muchas ocasiones que el alumnado madure los conceptos básicos relativos a la superficie y a su medida, perdiendo de vista que medir es comparar con la
unidad.
113
•Solo después de asegurar que los alumnos y las alumnas han entendido
que medir una superficie es contar unidades cuadradas, pasaremos a presentar las del S.M.D. y a estudiar sus equivalencias. Y más adelante, a trabajar con las fórmulas para las distintas figuras geométricas (Unidad 13).
•Merece especial atención el procedimiento que se presenta en la página 113 para la estimación aproximada de la superficie de una figura irregular.
TIC
Se sugieren las siguientes actividades:
a) Buscar en Internet información sobre distintas medidas de superficie
tradicionales.
b)Buscar información en Internet sobre “la robada” como unidad agraria,
los lugares donde se usa y sus equivalencias con las unidades del
S.M.D.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)470 kg
b)21,276 fanegas
2 Tardarían 16 días.
3 Sustituye a 24 parejas de bueyes.
4 A → 20 u.c.
B → 10 u.c.
5 25 pulgadas cuadradas.
C → 18 u.c.
D → 20 u.c.
12 pies cuadrados.
6 Cuadrado = 8 centímetros cuadrados.
Rombo = 12 centímetros cuadrados.
Rectángulo = 10 centímetros cuadrados.
7 Polígono azul = 56 u.c. Polígono verde = 42 u.c. Círculo ≈ 49 u.c.
99
UNIDAD
Unidades agrarias
Se utilizan para medir campos (agro =
= campo).
• Hectárea (ha)
1 ha = 10 000 m2 = 1 hm2
• Área (a)
1 a = 100 m2 = 1 dam2
• Centiárea (ca)
1 ca = 1 m2
6
Unidades de superficie del Sistema Métrico Decimal
Operaciones con cantidades complejas
La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado, que se complementa con sus correspondientes múltiplos y submúltiplos.
Para operar con cantidades de superficie en forma compleja, nos apoyaremos en
la misma tabla que hemos utilizado para los cambios de unidades.
100
100
100
km2
hm2
dam2
1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2
ha
a
100
m2
100
Problemas resueltos
100
1. El suelo de un estadio polideportivo está cubierto de césped artificial y
dm2
cm2
mm2
0,01m2 0,0001 m2 0,000001 m2
tiene una superficie de 1,02 ha. En su interior se ha delimitado un campo de fútbol que ocupa 73 dam2 53 m2 50 dm2.
ca
¿Qué superficie de césped queda fuera del campo?
Para comprender las equivalencias entre estas unidades, observa la figura siguiente, que representa un metro cuadrado y su descomposición en decímetros cuadrados:
hm2 dam2 m2
dm2
1,02 ha – 7 353,5 m2 = 2 846,5 m2
1 0 2 0 0 0 0
– 7 3 5 3 5 0
2 8 4 6 5 0
1 dm
Solución: Fuera del campo de fútbol queda una
superficie de 2 846,5 m2.
1 dm
2. Se va a abordar la renovación del suelo del polideportivo mediante la
instalación de césped artificial que se comercializa en rollos de 10 m2
75 dm2. ¿Serán suficientes 825 rollos para realizar la obra?
1m
• El metro cuadrado se divide en 10 filas
de 10 decímetros cuadrados.
hm2 dam2 m2
Por tanto:
1
m2
= 10 × 10
dm2
= 100
(10 m2 75 dm2) · 825 = 8 868,75 m2 < 10 200 m2
Solución: Los 825 rollos (8 868,75 m2) no son
suficientes para cubrir el suelo del polideportivo (10 200 m2).
5 3 7 5
2 1 5 0
8 6 0 0
1m
La isla de Tenerife tiene una superficie
de 2 034 km2 = 203 400 ha.
dm2
1 0 7 5
× 8 2 5
dm2
8 8 6 8 7 5
• Lo mismo pasa con cada unidad respecto de la siguiente. Por eso decimos que
las unidades de superficie aumentan y disminuyen de cien en cien.
Piensa y practica
Cambios de unidad
8. Indica la unidad más apropiada para expresar las su-
Para pasar cantidades de superficie de una unidad a otra, también utilizaremos
una tabla, pero tendremos en cuenta que las unidades de superficie aumentan y
disminuyen de cien en cien.
a) 47 200
m2
=…
c) 1,25 a = … m2
b) 6,2
dos saltos
dam2
72
m2
00,
cuatro lugares
47 200 m2 = 47 200 : 10 000 =
= 4,72 hm2
47 200 m2
6,2 dm2
1,25 a
252 800 m2
→
→
→
→
dm2
=…
b) 6 dam2 58 m2 46 dm2
b) La extensión de un pantano.
c) 5 m2 4 dm2 7 cm2
a) 0,006
6, 2 0,
2 5, 2 8 0 0,
km2
d) 70 dm2
dm2 cm2 mm2
4, 7 2 0 0,
1, 2 5,
13. Pasa a forma compleja.
a) 587,24 hm2 b) 587 209,5 m2 c) 7 042,674 dm2
9. Expresa en metros cuadrados.
cm2
d) 252 800 m2 = … ha
km2 hm2 dam2 m2
ha
a
ca
Observa
hm2
4,
hm2
a) 5 km2 48 hm2 25 dam2
d) La superficie de una hoja de papel.
Pasar estas medidas a las unidades indicadas:
→
→
→
→
4,72 hm2
620 cm2
125 m2
25,28 ha
Observa que por cada salto de unidad en la tabla, la coma decimal se desplaza
dos lugares. (Cada salto equivale a multiplicar o dividir por 100).
12. Expresa en metros cuadrados.
a) La extensión de Portugal.
c) La superficie de una vivienda.
Ejercicio resuelto
En la web
Practica transformaciones con unidades
de superficie.
perficies siguientes:
b) 5,2
hm2
e) 12 800 cm2
c) 38
14. Calcula.
dam2
a) (6 dam2 52 m2 27 cm2) – 142,384 m2
f ) 8 530 000 mm2
b) 5 246,9 cm2 + (18 dm2 13 cm2 27 mm2)
10. Expresa en centímetros cuadrados.
c) (15 hm2 14 dam2 25 m2) · 4
a) 0,06 dam2 b) 5,2 m2 c) 0,47 dm2 d) 8 mm2
11. Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5,1 km2 = ... hm2
c) 0,03
e) 420
hm2
cm2
= ...
= ...
m2
mm2
b) 825 hm2 = ... km2
d) 53 000
m2
f ) 52 800
mm2
= ...
d) (7 dm2 28 cm2 64 mm2) · 25
15. Un finca de 17,56 hm2 tiene 13,45 ha de secano
dam2
= ...
dm2
plantadas de cereal y 11 850 m2 de huerta, en regadío. El resto es terreno baldío. ¿Cuál es la superficie
baldía?
114
Sugerencias
•Para la introducción de las unidades de superficie del S.M.D., se sugiere
comenzar con actividades que ayuden a interiorizar su tamaño y sus relaciones. Por ejemplo:
– Dibujar un decímetro cuadrado y dividirlo en cuadrados de un centímetro de lado.
– Dibujar en el suelo un cuadrado de un metro de lado y cubrirlo con
decímetros cuadrados de cartulina.
•Se llama la atención sobre la importancia de que los alumnos y las alumnas sean capaces de realizar estimaciones razonables, a ojo, sobre superficies del entorno, eligiendo en cada caso la unidad de medida adecuada.
•Además, resulta imprescindible que asuman el hecho de que las unidades de superficie del S.M.D. “van de cien en cien”, es decir, que cien
unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden superior.
Esto obliga a modificar los procedimientos para el cambio de unidades
aprendidos anteriormente para la longitud, la capacidad y el peso.
Seguiremos utilizando las tablas como las que propone el ejercicio resuelto, haciendo notar que ahora la columna correspondiente a cada
unidad consta de dos espacios, es decir, se divide en dos subcolumnas.
Así, para pasar de una unidad a otra inferior (superior) se desplaza la
coma decimal dos lugares, lo que equivale a multiplicar (dividir) por
cien.
•Insistiremos también en las unidades agrarias y en el lugar que ocupan
en las tablas anteriormente mencionadas (área = decámetro cuadrado,
hectárea = hectómetro cuadrado).
•Finalmente, en la página 115, se presentan, contextualizados, algunos
ejemplos de operaciones con cantidades de superficie en forma compleja.
100
115
Refuerzo y ampliación
Se recomiendan:
•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 5. Ejercicios 3, 4, 5 y 6 de la pág. 6.
Soluciones de “Piensa y practica”
8 a)Kilómetro cuadrado
b)Hectárea
c) Metro cuadrado
9 a) 6 000 m2
d)0,7 m2
d)Centímetro cuadrado
b)52 000 m2
c) 3 800 m2
e)1,28 m2
f ) 8,53 m2
10 a) 60 000 cm2
b)52 000 cm2
c) 47 cm2
11 a)510 hm2
d)530 dam2
12 a)5 482 500 m2
d)0,08 cm2
b)8,25 km2
c) 300 m2
e)42 000 mm2
f ) 5,28 dm2
b)658,46 m2
c) 5,0407 m2
13 a)5 km2 87 hm2 24 dam2
b)58 hm2 72 dam2 9 m2 50 dm2
c) 70 m2 42 dm2 67 cm2 40 mm2
14 a)509,6187 m2
c) 605 700 m2
15 La superficie baldía es 2,925 ha.
b)7 060,17 cm2
d)182,16 dm2
11 a)45,2 hl
e)8,5 dl
Ejercicios y problemas
5.
Magnitudes y unidades
1.
¿Verdadero o falso?
a) El radio de la Luna se mide en unidades astronómicas.
6.
b) El radio de una célula se expresa en micras.
c) La cantidad de aire de una habitación se mide en
metros cuadrados.
d) Para expresar el peso de una locomotora, lo adecuado es usar las toneladas.
e) La cantidad de gasoil que transporta un camión se
puede expresar en litros y en kilos.
nota: en caso de “falso”, escribe la opción verdadera.
2.
e) 0,63 dag
f ) 5 dg
g) 18,9 dg
h) 480 cg
i) 2 500 mg
a) 4,225 kg
b) 38,7 g
f ) 12 l
g)20 dl
UNIDAD 6
h)3,8
kl
b)85,07
m de superficie c) 1,467 m
Unidades
c) 1 230 cg
22.
Reflexiona, representa y explica la diferencia enc) 68,68
g y la superficie
d)0,706
g
tre medio
metro cuadrado
de un cuadrado de medio metro de lado.
23.
Copia y completa en tu cuaderno.
b) 1 m2 = ... dm2
a) 1 km2 = ... m2
c) 1 hm2 = ... m2
d) 1 m2 = ... cm2
e) 1 dam2 = ... m2
f ) 1 m2 = ... mm2
24.
Copia y completa en tu cuaderno.
b) 54,7 hm2 = ... m2
a) 4 km2 = ... dam2
c) 0,005 dam2 = ... dm2
d) 0,7 dm2 = ... mm2
e) 5 400 m2 = ... hm2
f ) 174 cm2 = ... dm2
25.
Pasa a decímetros cuadrados.
b) 1,4 m2
a) 0,146 dam2
d) 1 800 cm2
e) 544 cm2
recipiente:
B
C
ANOTACIONES
Expresa en toneladas.
b) 8 200 kg
d) 4 623 mg
13 a)4 523
g compleja el contenido
b)985,4
g
Expresa en forma
de cada
15.
A
Expresa, primero en kilogramos
y después en miligramos, el peso de
la barra de pan.
c) 400 kg
d) 1 kg
16.
Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5,4 t = ... kg = ... hg = ... dag
b) La altura de un edificio.
34,2 dl
18 cl
Traduce a litros.
a) 8 kl 6 hl 3 l
b) 5 hl 2 dal 7 l 2 dl
c) 1 dal 9 l 6 dl 3 cl
d) 4 l 2 dl 5 cl 7 ml
b) 0,005 kg = ... g = ... mg = ... dag
Operaciones con cantidades complejas
c) 7 hg = ... dag = ... g = ... dg
17.
Calcula, en metros, la longitud total del circuito.
d) 42 g = ... dag = ... cg = ... mg
c) Una cucharadita de jarabe.
9.
d) El gasoil que transporta un camión cisterna.
2 km 700 m
Expresa en centilitros.
e) El peso de un gato.
a) 0,15 hl
b) 0,86 dal
c) 0,7 l
f ) La cosecha de maíz de una finca.
d) 1,3 l
e) 26 dl
f ) 580 ml
g) La lona de una tienda de campaña.
10.
h) La superficie de una finca.
27 m
6,8 m2
6,7 t
8 ml
95 hl
80 cm
3,4 ha
2 500 g
Expresa en decilitros la capacidad de la botella, y
con una fracción de litro, la capacidad del vaso.
26.
3842 m
25 hm 7 dam 8 m
18.
Calcula y expresa en la unidad indicada.
27.
a) 27,46 dam + 436,9 dm → m
b) 0,83 hm + 9,4 dam + 3 500 cm → m
3
l
4
Cambios de unidades
11.
a) Para transformar decalitros en decilitros, …
b) Para pasar de miligramos a gramos, …
Copia y completa en tu cuaderno.
d) 0,6 l = ... cl
e) 850 ml = ... dl
f ) 1 200 cl = ... l
g) 2 000 ml = ... dl
h) 380 dal = ... kl
220 g
b) 0,147 t – 83,28 kg
b) 8 dam 5 m 7 cm
c) 0,472 kg · 15
d) 324,83 hg : 11
Calcula y expresa el resultado en litros.
a) 0,05 kl + 1,2 hl + 4,7 dal
Expresa en gramos.
a) 4 kg 5 hg 2 dag 3 g
b) 9 hg 8 dag 5 g 4 dg
b) 42 dl + 320 cl + 2 600 ml
d) 382 cm = ... m = ... dm = ... mm
c) 6 dag 8 g 6 dg 8 cg
d) 7 dg 6 mg
c) 7,8 dal – 52,4 l
116
b) 50 700 m2
d) 6,42 km2
Expresa en forma compleja.
b) 67 425 m2
a) 248 750 dam2
c) 83 545 cm2
d) 2 745 600 mm2
Observa y calcula la superficie total de la finca.
2 hm2 5 dam2 9 m2
3,25 ha
29.
Opera y expresa en metros cuadrados.
a) 0,00375 km2 + 2 500 cm2
b) 0,045 hm2 – 29,5 m2
c) 520 mm2 · 1 500
d) 6,96 hm2 : 24
30.
Calcula y expresa en forma compleja.
a) 725,93 m2 – 0,985 dam2
b) 0,03592 km2 + 27,14 ha + 3 000 a
c) 467 108,23 dam2 : 30
d) (15 hm2 16 dam2 38 m2 ) · 30
Calcula y expresa en forma compleja.
c) 47 m = ... dam = ... dm = ... hm
Expresa en hectáreas.
a) 572 800 a
c) 25,87 hm2
c) 0,36 m2
f ) 65 000 mm2
?
a) 57,28 g + 462 cg
21.
28.
¿Cuánto pesa la caja de galletas?
0,53 kg
20.
Expresa en metros.
13.
b) 2 380 m = ... km = ... hm = ... cm
19.
a) 3 km 8 hm 5 dam
c) 1 m 4 dm 6 cm 7 mm
a) 2,7 hm = ... km = ... dam = ... dm
d) 0,000624 km – 0,38 m → cm
b) 0,57 hl = ... dal
c) 15 dal = ... l
12.
c) Para transformar decámetros en hectómetros, …
c) 0,092 km + 3,06 dam + 300 mm → cm
25 cl
Copia y completa en tu cuaderno.
a) 4,52 kl = ... hl
Completa en tu cuaderno, como en el ejemplo.
• Para pasar de kilómetros a metros, se multiplica
por mil.
4.
d) 1,8 dag
8.
a) Una zancada.
3.
c) 0,57 hg
3,24 l
Asocia cada enunciado con su medida:
d)60 cl
12 a)3 850
m
Pasa a forma compleja.
b) 0,7 kg
a) 15 000 kg
c)150 l
14.
Pasa a gramos.
a) 1,37 kg
7.
b)5,7 dal
117
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
1 a)F
2 a)80 cm
e)2 500 g
b) V
c) F
b)27 m
f ) 6,7 t
d) V
c) 8 ml
g)6,8
m2
e) F
d)95 hl
h)3,4 ha
3 a)Para transformar decalitros en decilitros, se multiplica por 100.
b)Para pasar de miligramos a gramos, se divide entre 1 000.
c) Para transformar decámetros en hectómetros, se divide entre 10.
4 a)2,7 hm = 0,27 km = 27 dam = 2 700 dm
b)2 380 m = 2,38 km = 23,8 hm = 238 000 cm
c) 47 m = 4,7 dam = 470 dm = 0,47 hm
d)382 cm = 3,82 m = 38,2 dm = 3 820 mm
5 a)1 370 g
b)700 g
c) 57 g
d)18 g
e)6,3 g
f ) 0,5 g
g)1,89 g
h)4,8 g
i ) 2,5 g
6 0,32 kg = 320 000 mg
7 a)15 t
b)8,2 t
c) 0,4 t
d)0,001 t
8 a)5,4 t = 5 400 kg = 54 000 hg = 540 000 dag
b)0,005 kg = 5 g = 5 000 mg = 0,5 dag
c) 7 hg = 70 dag = 700 g = 7 000 dg
d)42 g = 4,2 dag = 4 200 cg = 42 000 mg
9 a) 1 500 cl
d)130 cl
b)860 cl
c) 70 cl
e)260 cl
f ) 58 cl
10 Botella: 7,5 dl; Vaso: 1/4 l
101
6
UNIDAD
14.
Pasa a forma compleja.
a) 4,225 kg
15.
b) 38,7 g
c) 1 230 cg
Expresa en forma compleja el contenido de cada
recipiente:
A
B
3,24 l
16.
d) 4 623 mg
C
34,2 dl
a) 8 kl 6 hl 3 l
b) 5 hl 2 dal 7 l 2 dl
c) 1 dal 9 l 6 dl 3 cl
d) 4 l 2 dl 5 cl 7 ml
Operaciones con cantidades complejas
17.
23.
Copia y completa en tu cuaderno.
b) 1 m2 = ... dm2
a) 1 km2 = ... m2
c) 1 hm2 = ... m2
d) 1 m2 = ... cm2
e) 1 dam2 = ... m2
f ) 1 m2 = ... mm2
25.
26.
3842 m
25 hm 7 dam 8 m
18.
Reflexiona, representa y explica la diferencia entre medio metro cuadrado y la superficie de un cuadrado de medio metro de lado.
Calcula, en metros, la longitud total del circuito.
2 km 700 m
y
22.
24.
Traduce a litros.
Calcula y expresa en la unidad indicada.
27.
a) 27,46 dam + 436,9 dm → m
b) 0,83 hm + 9,4 dam + 3 500 cm → m
c) 0,092 km + 3,06 dam + 300 mm → cm
d) 0,000624 km – 0,38 m → cm
19.
21.
220 g
c) 0,36 m2
f ) 65 000 mm2
b) 50 700 m2
d) 6,42 km2
Expresa en forma compleja.
b) 67 425 m2
a) 248 750 dam2
c) 83 545 cm2
d) 2 745 600 mm2
Observa y calcula la superficie total de la finca.
¿Cuánto pesa la caja de galletas?
0,53 kg
20.
Pasa a decímetros cuadrados.
b) 1,4 m2
a) 0,146 dam2
d) 1 800 cm2
e) 544 cm2
28.
3,25 ha
2 hm2 5 dam2 9 m2
?
29.
Opera y expresa en metros cuadrados.
a) 0,00375 km2 + 2 500 cm2
b) 0,045 hm2 – 29,5 m2
c) 520 mm2 · 1 500
d) 6,96 hm2 : 24
30.
Calcula y expresa en forma compleja.
a) 725,93 m2 – 0,985 dam2
b) 0,03592 km2 + 27,14 ha + 3 000 a
c) 467 108,23 dam2 : 30
d) (15 hm2 16 dam2 38 m2 ) · 30
Calcula y expresa en forma compleja.
a) 57,28 g + 462 cg
b) 0,147 t – 83,28 kg
c) 0,472 kg · 15
d) 324,83 hg : 11
Calcula y expresa el resultado en litros.
a) 0,05 kl + 1,2 hl + 4,7 dal
b) 42 dl + 320 cl + 2 600 ml
c) 7,8 dal – 52,4 l
117
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
14 a)4 kg 2 hg 2 dag 5 g
b)3 dag 8 g 7 dg
c) 1 dag 2 g 3 dg
15 A → 3 l 2 dl 4 cl
16 a)8 603 l
d)4 g 6 dg 2 cg 3 mg
B → 3 l 4 dl 2 cl
b)527,2 l
C → 1 dl 8 cl
c) 19,63 l
d)4,257 l
c) 12 290 cm
d)24,4 cm
17 Longitud del circuito = 9 120 m
18 a)318,29 m
b)212 m
19 La caja de galletas pesa 0,750 kg.
20 a)6 dag 1 g 9 dg
b)63 kg 7 hg 2 dag
c) 7 kg 8 dag
21 a)217 l
d)2 kg 9 hg 5 dag 3 g
b)10 l
c) 25,6 l
22 Medio metro cuadrado es la mitad de la superficie de un cuadrado de
1 metro de lado, mientras que la superficie de un cuadrado de medio
metro de lado es 0,5 · 0,5 = 0,25 m2.
23 a) 1 000 000 m2
b)100 dm2
c) 10 000 m2
e)100 m2
f ) 1 000 000 mm2
b)547 000 m2
c) 50 dm2
d)7 000 mm2
e)0,54 hm2
f ) 1,74 dm2
25 a) 1 460 dm2
b)140 dm2
c) 36 dm2
e)5,44 dm2
f ) 6,5 dm2
d) 10 000 cm2
24 a) 40 000 dam2
d)18 dm2
26 a)5 728 ha
102
b)5,07 ha
c) 25,87 ha
c) 8 m2 35 dm2 45 cm2
d)2 m2 74 dm2 56 cm2
d)642 ha
29 a)3 750,25 m2
b)420,5 m2
c) 0,78 m2
d)2 900 m2
30 a)6 dam2 27 m2 43 dm2
Copia y completa en tu cuaderno.
b) 54,7 hm2 = ... m2
a) 4 km2 = ... dam2
c) 0,005 dam2 = ... dm2
d) 0,7 dm2 = ... mm2
e) 5 400 m2 = ... hm2
f ) 174 cm2 = ... dm2
Expresa en hectáreas.
a) 572 800 a
c) 25,87 hm2
b)6 hm2 74 dam2 25 m2
28 La superficie es 5,3009 hm2.
Unidades de superficie
18 cl
27 a)24 km2 87 hm2 50 dam2
b)60 hm2 73 dam2 20 m2
c) 1 km2 55 hm2 70 dam2 27 m2 40 dm2
d)4 km2 54 hm2 91 dam2 40 m2
ANOTACIONES
UNIDAD
Ejercicios y problemas
Aprende a resolver problemas
El patio interior de un bloque de viviendas es rectangular, y tiene una zona central, ajardinada, de 42 m × 24 m, rodeada de un paseo de dos metros de ancho,
pavimentado con baldosas de 25 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se han necesitado
para pavimentar el paseo?
37.
Un campo urbanizable de 3,5 ha se divide en parcelas de 700 m2 que se ponen a la venta a 20 000 € cada una. ¿Qué cantidad se espera obtener por la venta?
38.
En una huerta de 1,4 ha se han plantado 15 eras
de remolacha con una superficie de 2 dam2 cada una.
¿Qué forma tiene el patio interior? ¿Y la zona central ajardinada? ¿Podrías
deducir las dimensiones totales del patio interior? ¿Qué forma y qué dimensiones tienen las baldosas? ¿Qué te preguntan?
Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?
Una buena manera de aclararte
cuando tienes que resolver un
problema es hacer un dibujo y
colocar sobre él los datos. ¿Te
animas a hacerlo?
— Claro. No parece demasiado
complicado. Sería algo así:
2
39.
Se ha llenado una tinaja con 15 bidones iguales
de aceite. Sabiendo que la capacidad de cada bidón
es de 4 l 6 dl 4 cl, ¿cuántos litros caben en la tinaja?
40.
En una carretera se están instalando indicadores
numerados para los kilómetros, y postes rayados, para los hectómetros.
42 m
24 m
28 m
¿Y ahora? ¿Puedes ya terminar
de resolver el problema? Eso sí,
¡no te olvides de poner todos
los datos en la misma unidad!
Una ciudad se abastece de agua desde cuatro depósitos con una capacidad de 1,2 · 108 litros cada
uno. Si el consumo es de 4 800 kl al día, ¿para cuántos días hay reservas si los depósitos están llenos?
48.
Un club de senderismo ha organizado un
recorrido de orientación. Para ello, ha delimitado sobre el mapa un terreno rectangular de 40,56 ha y lo
ha dividido, mediante un sistema de coordenadas, en
sectores cuadrados, como indica la figura:
¿Cuántos indicadores y cuántos postes se necesitan
para la señalización desde el kilómetro 20 hasta el kilómetro 30, ambos incluidos?
46 m
¿Tienes claro ya cuáles son las
dimensiones del paseo? Puedes
pensar que lo cortamos en trozos y los ponemos a lo largo,
uno tras otro.
47.
¿Cuántos metros cuadrados quedan libres para otros
cultivos?
Comprueba que has entendido el enunciado.
41.
— Sí. Poniéndolo todo en línea recta sería:
Largo → 46 + 24 + 46 + 24 = 140 metros
Ancho → 2 metros
Hemos calculado que para pintar un metro cuadrado de madera se necesitan 200 g de pintura roja.
¿Será suficiente un bote de pintura de dos kilos para
pintar un cubo de madera de un metro de arista?
42.
— Vamos a intentarlo. Puedo calcular la superficie del paseo, la de una baldosa
y dividir:
Superficie del paseo → 140 · 2 = 280 m2 = 2 800 000 cm2
Superficie de una baldosa → 25 · 25 = 625 cm2
Número de baldosas → 2 800 000 : 625 = 4 480
Solución: Se han necesitado 4 480 baldosas para pavimentar el paseo.
43.
a) ¿Cuánto mide el lado de cada sector?
b) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno delimitado?
Problemas “+”
49.
1 cm 2
A
50.
¿Cuántas UA recorre la luz en un año?
Resuelve problemas
34.
Si una cucharada de arroz pesa 22 dg y contiene
66 granos, ¿cuántos granos hay en un kilo?
31.
35.
Un metro cúbico es un cubo de un metro de arista. Teniendo eso en cuenta, ¿cuánto pesa un metro
cúbico de agua?
32.
33.
Cada cápsula de cierto medicamento contiene
20 mg de principio activo. ¿Qué cantidad de principio activo se necesita para fabricar 100 000 cápsulas?
¿Cuántas zancadas necesita un corredor de maratón para completar la prueba (42,192 km) si avanza,
por término medio, 1,25 m en cada zancada?
36.
44.
Un grano de polen tiene un diámetro aproximado de 25 micras. ¿Cuántos granos de polen habría
que alinear para hacer una fila de un metro?
45.
En un campo de cultivo con una extensión de
2,4 hectáreas hay 5 800 metros cuadrados sembrados
de trigo, y el resto, mitad por mitad, de cebada y avena.
¿Cuánta agua hay en el recipiente que ocupa el
platillo derecho de la balanza?
2 l 5 dl
46 cl
?l
25 g
Sabiendo que un litro de agua pesa 1 kg, expresa
en toneladas el peso del agua que cabe en una cisterna de 52,4 hl de capacidad.
Para entarimar el suelo de un salón, se han necesitado 140 tablas de 80 cm × 20 cm.
a) ¿Cuántos centímetros cuadrados ocupa cada tabla?
b) ¿Cuál es la superficie de la habitación?
B
Un jardinero va a abonar una pradera de
césped con un fertilizante que se vende concentrado, para diluir en agua en una proporción de 10 ml por litro.
a) Si cada bote contiene 2 litros de fertilizante, ¿en
cuántos litros de agua debe disolver cada bote?
Después, ya diluido, se administra en una proporción
de 5 litros para 100 m2 de césped.
b) ¿Cuántos botes necesita para abonar una pradera
de una hectárea?
51.
En un supermercado se vende el agua en botellas
de un litro, de dos litros y de cinco litros. ¿De cuántas formas distintas, en cuanto a las botellas elegidas,
puede un cliente comprar 8 litros?
52.
Estamos junto a una fuente y tenemos dos cántaros, uno de 7 litros y el otro de 5 litros. ¿Qué haremos para medir 4 litros?
¿Qué superficie está sembrada de avena?
46.
Calcula, en centímetros cuadrados, la superficie de estas figuras:
En una zona de regadío se calcula que hay
12,8 ha dedicadas a la producción de tomate. Según
las estadísticas de años anteriores, de cada metro cuadrado se obtienen 5,27 kilos de producto. ¿Cuántas
toneladas de tomate se espera recolectar?
Recuerda que una unidad astronómica de longitud equivale a 150 millones de kilómetros. Y que un
año luz equivale a 9,5 billones de kilómetros.
6
118
119
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
31 Se necesitan 2 kg de principio activo.
50 a)Hay que disolverlo en 22 l de agua.
b)Necesita 2,5 botes.
51 Una botella de 5 l, una de 2 l y una de 1 l. Una botella de 5 l y tres de
32 Necesita 33 753,6 zancadas.
33 El agua que cabe en la cisterna pesa 5,24 toneladas.
34 En un kilo de arroz hay 30 000 granos.
35 Un metro cúbico de agua pesa 1 000 kg.
36 Hay 2,985 l.
37 Se espera obtener 1 000 000 € por la venta.
38 Quedan libres 11 000 m2.
1 l. Cuatro botellas de 2 l. Tres de 2 l y dos de 1 l. Dos de 2 l y cuatro
de 1 l. Una de 2 l y seis de 1 l. Ocho botellas de 1 l.
52 Llenamos el cántaro de 7 litros. Pasamos 5 litros del grande al pequeño. Vaciamos el de 5 litros. Pasamos los 2 litros que quedan en el
grande al pequeño. Volvemos a llenar el de 7 litros. Completamos el
pequeño con el grande (pasan 3 litros). Quedan 4 litros en el cántaro
grande.
ANOTACIONES
39 Caben 69,6 l.
40 Se necesitan 11 indicadores y 90 postes.
41 Sí, y aún sobran 88 g de pintura.
42 Se espera recolectar 674,560 t de tomate.
43 Recorre 63 333,33 UA.
44 Habría que alinear 40 000 granos de polen.
45 La superficie sembrada de avena es 9 100 m2.
46 a) 1 600 cm2
b)22,4 m2
47 Hay reservas para 100 días.
48 a)130 m
b)101,4 km × 67,6 km
49 A → 24 cm2
B → 16 cm2
103
ANOTACIONES
Taller de matemáticas
UNIDAD
Entrénate resolviendo problemas
Lee e infórmate
Reflexiona y sé organizado
Nacimiento del Sistema Métrico Decimal
• Don Aquilino dice que con sus tres pesas
En el año 1790 la Asamblea Nacional Francesa encargó a un grupo de
científicos la creación de un sistema de medidas manejable y sencillo,
con vocación de universal, para sustituir al complicado y variado conjunto de medidas locales existentes hasta ese momento.
y la balanza puede apartar los kilos de
lentejas que quieras, si no pasan de 13.
Compruébalo.
(Observa, por ejemplo, cómo pesa 2 kilos).
Empezaron por la unidad de longitud, haciendo la medición de un
cuadrante de meridiano terrestre. El resultado lo dividieron en diez
millones de partes y a esa longitud la llamaron metro.
Después definieron la unidad de volumen o capacidad, el litro (o decímetro cúbico), como la cantidad de espacio que ocupa un cubo de
un decímetro de arista.
• Don Aquilino dice, también, que con una pesa más puede apartar cualquier cantidad
exacta de kilos, siempre que no pases de 40. ¿Qué pesa será esa? Justifica tu respuesta.
• Usando 10 palillos, se ha construido una casa con la fachada mirando hacia la izquierda,
Kilogramo patrón. Centro Español de Metrología.
Y a continuación fijaron el kilogramo, como la masa de un litro
de agua.
1l
El 22 de junio de 1799 se entregaron los patrones de estas unidades
a los Archivos Nacionales, siendo
considerada esta fecha como la de
fundación del S.M.D.
emprender
aprender
Lee, comprende e investiga
como muestra la figura.
Cambiando de posición dos palillos, ¿podrías conseguir que la fachada quedara mirando
a la derecha?
Autoevaluación
En la web
1. Explica las circunstancias que hicieron necesario el
Sistema Métrico Decimal.
2. Indica la unidad adecuada, en cada caso, para medir
estas magnitudes:
a) La anchura de un campo de fútbol.
b) El grosor de un folio.
c) La capacidad de un frasco de perfume.
d) El peso de la carga de un camión.
Calcular distancias midiendo el tiempo
Si cuentas los segundos que tarda en llegar el trueno desde que ves el relámpago, puedes saber la distancia a la que ha caído el rayo.
Como la luz es rapidísima (300 000 km/s), se puede considerar que el
relámpago llega en el mismo momento en que se produce. Sin embargo,
el trueno es más lento, ya que viaja a la velocidad del sonido (331 m/s).
Así, por ejemplo, si el trueno tarda 15 segundos, quiere decir que ha recorrido una distancia de 15 · 331 = 4 965 metros. Es decir, la tormenta está
a unos cinco kilómetros.
Utilizando un método similar pero más sofisticado, el sónar
permite a los submarinos sortear los accidentes del fondo del
mar o localizar otras naves. El sónar lanza ultrasonidos que
se propagan por el agua y cuando chocan con un obstáculo,
rebotan y vuelven. El sónar capta el eco y, teniendo en cuenta
la velocidad de los ultrasonidos y el tiempo que tardan en
volver, calcula la distancia y refleja los datos en una pantalla.
Busca información y escribe una breve historia sobre el sónar.
120
Lee e infórmate
Nacimiento del Sistema Métrico Decimal
Amplia la información, iniciada en las primeras páginas de la unidad, sobre el nacimiento del S.M.D.
Se puede pedir a los estudiantes que busquen más información sobre
cuestiones como:
– Evolución del uso del S.M.D. en el mundo desde su publicación hasta
nuestros días.
– Países que no lo usan en la actualidad.
– Anécdotas relacionadas con las dificultades entre países que lo usan y
que no lo usan (por ejemplo, algún accidente en los viajes al espacio).
Lee, comprende e investiga
Calcular distancias midiendo el tiempo
Los alumnos y las alumnas observarán cómo se puede medir indirectamente una magnitud a partir de los datos obtenidos al medir directamente otras magnitudes diferentes con las que la primera está relacionada.
La lectura se puede complementar con actividades que fijen sus contenidos, como:
– ¿A qué distancia ha caído un rayo, si desde el relámpago al trueno han
transcurrido 10 segundos?
– ¿Cuánto tardaremos en oír el trueno de un rayo que ha caído a 1 650 m
de distancia?
104
6
3. Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5,2 km = … hm
b) 18 hm = … m
c) 0,07 m = … cm
d) 345 mm = … cm
4. Expresa en forma compleja.
a) 2 537 m
b) 35,42 dal
c) 0,856 kg
d) 2 348 mm
5. Expresa en forma incompleja.
a) 3 hm 8 dam 4 m 5 dm
b) 5 l 6 dl 7 cl
c) 5 kg 7 dag 8 g
6. Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5 hm2 = … ha
b) 3,5 hm2 = … m2
c) 3 450 mm2 = … cm2
Resoluciones de estos ejercicios.
7. Pasa a forma incompleja.
a) 2 km2 15 hm2 23 dam2 = … m2
b) 35 m2 12 dm2 9 cm2 = … dm2
8. Calcula.
a) (3 hm 5 dam 6 m) + (2 dam 5 m 8 dm)
b) (3 l 4 dl 5 cl) – (8 dl 5 cl 3 ml)
9. Opera.
a) (3 km 8 hm 5 m) · 4
b) (5 m2 14 dm2 25 cm2) · 8
10. Un camión transporta 8 palés de café. Cada palé
lleva 60 cajas, y cada caja, 75 paquetes de café de
250 gramos. ¿Cuántas toneladas de café transporta
el camión?
11. Un grifo averiado pierde una gota de agua por se-
gundo. Si estimamos que el volumen de una gota es
de 0,05 ml, ¿cuánta agua pierde el grifo en un día?
12. Se ha embalado con
tela de saco un fardo
con forma de cubo
de medio metro de
arista.
0,5 m
¿Cuánta tela se ha necesitado, teniendo en cuenta
que las solapas y los sobrecosidos se llevan un 50 %
más de lo que queda a la vista?
121
Soluciones de la autoevaluación
UNIDAD
6
1 La expansión del comercio y de las comunicaciones entre las distintas
regiones del planeta hizo necesario el uso de un sistema de medidas
común para todos.
Entrénate resolviendo problemas
Reflexiona y sé organizado
• Don Aquilino dice que con sus tres pesas
y la balanza puede apartar los kilos de
lentejas que quieras, si no pasan de 13.
Compruébalo.
(Observa, por ejemplo, cómo pesa 2 kilos).
• Don Aquilino dice, también, que con una pesa más puede apartar cualquier cantidad
Cambiando de posición dos palillos, ¿podrías conseguir que la fachada quedara mirando
a la derecha?
En la web
1. Explica las circunstancias que hicieron necesario el
Sistema Métrico Decimal.
2. Indica la unidad adecuada, en cada caso, para medir
estas magnitudes:
c) La capacidad de un frasco de perfume.
a) 2 km2 15 hm2 23 dam2 = … m2
b) 35 m2 12 dm2 9 cm2 = … dm2
a) (3 km 8 hm 5 m) · 4
b) (5 m2 14 dm2 25 cm2) · 8
3. Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5,2 km = … hm
b) 18 hm = … m
c) 0,07 m = … cm
d) 345 mm = … cm
4. Expresa en forma compleja.
a) 2 537 m
b) 35,42 dal
c) 0,856 kg
d) 2 348 mm
5. Expresa en forma incompleja.
a) 3 hm 8 dam 4 m 5 dm
10. Un camión transporta 8 palés de café. Cada palé
lleva 60 cajas, y cada caja, 75 paquetes de café de
250 gramos. ¿Cuántas toneladas de café transporta
el camión?
11. Un grifo averiado pierde una gota de agua por se-
gundo. Si estimamos que el volumen de una gota es
de 0,05 ml, ¿cuánta agua pierde el grifo en un día?
12. Se ha embalado con
b) 5 l 6 dl 7 cl
tela de saco un fardo
con forma de cubo
de medio metro de
arista.
c) 5 kg 7 dag 8 g
6. Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5 hm2 = … ha
c) 3 450 mm2 = … cm2
c) 7 cm
d)34,5 cm
b)3 hl 5 dal 4 l 2 dl
d)2 m 3 dm 4 cm 8 mm
b)567 cl = 5,67 l
c) 5 078 g = 5,078 kg
b)35 000 m2
c) 34,5 cm2
7 a)2 152 300 m2
b)3 512,09 dm2
8 a)381,8 m
b)2 597 ml
9 a)15,22 km
b)41,14 m2
10 Transporta 9 toneladas de café.
11 En un día, el grifo pierde 4,32 litros.
12 Se han necesitado 2,25 m2 de tela de saco.
0,5 m
¿Cuánta tela se ha necesitado, teniendo en cuenta
que las solapas y los sobrecosidos se llevan un 50 %
más de lo que queda a la vista?
b) 3,5 hm2 = … m2
b)1 800 m
6 a)5 ha
9. Opera.
d) El peso de la carga de un camión.
3 a)52 hm
7. Pasa a forma incompleja.
a) (3 hm 5 dam 6 m) + (2 dam 5 m 8 dm)
b) (3 l 4 dl 5 cl) – (8 dl 5 cl 3 ml)
b) El grosor de un folio.
d)Tonelada
5 a)3 845 dm = 384,5 m
Resoluciones de estos ejercicios.
8. Calcula.
a) La anchura de un campo de fútbol.
c) Mililitro
c) 8 hg 5 dag 6 g
como muestra la figura.
Autoevaluación
b)Micra
4 a)2 km 5 hm 3 dam 7 m
exacta de kilos, siempre que no pases de 40. ¿Qué pesa será esa? Justifica tu respuesta.
• Usando 10 palillos, se ha construido una casa con la fachada mirando hacia la izquierda,
gía.
2 a)Metro
ANOTACIONES
121
Entrénate resolviendo problemas
Reflexiona y sé organizado
Soluciones
•
platillo
A
platillo
B
kilos de lentejas
1
0
1
3
1
3–1=2
3
0
3
3+1
0
3+1=4
9
3+1
9–4=5
9
3
9–3=6
9+1
3
10 – 3 = 7
9
1
9–1=8
9
0
9
9+1
0
9 + 1 = 10
9+3
1
12 – 1 = 11
9+3
0
9 + 3 = 12
9+3+1
0
9 + 3 + 1 = 13
• Será una pesa de 27 kg.
•
105