comportamiento de los cristales en relación con el campo eléctrico

COMPORTAMIENTO DE LOS CRISTALES EN RELACIÓN CON EL CAMPO
ELÉCTRICO LOCAL, LA POLARIZACIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO DE LA LUZ
INCIDENTE
 Para que la luz viaje con la misma velocidad a través de cualquier dirección en un cristal, la
polarización debe tener también el mismo valor en cualquier dirección. Hay que tener en cuenta
que la polarización depende no sólo del número de dipolos, sino también de la fuerza que esos
dipolos ejercen sobre los demás dipolos del cristal; dicha fuerza depende, a su vez, del campo
eléctrico local. Por otra parte, el efecto de los dipolos sobre la polarización de un ión particular
depende de la simetría traslacional de la estructura cristalina en la que se encuentra dicho ión.
 Para comprender estos aspectos hay que tener en cuenta
1. La relación entre un dipolo eléctrico y las componentes radial (Er) y angular (E) del campo
que rodea al dipolo.
Er
A
(+)
EA
E

(-)
Figura 6
Er es la componente del campo eléctrico en la dirección r
E es la componente del campo eléctrico perpendicular a la dirección r
 es el ángulo entre el eje del dipolo y la dirección r
2. Las expresiones que proporcionan la magnitud de la intensidad eléctrica en cualquier punto
de un cristal que dista de un dipolo una distancia r.
cos
40 r 3
................................................................................................................1
sen 
E  e. s.
40 r 3
E r  2. e. s.
donde:
e.s es el momento dipolar de un ión, donde e es la carga del electrón y s el
desplazamiento entre el núcleo y las cargas negativas
1/40 es la constante de la ley de Coulomb
1
 Consideremos ahora el caso de un cristal cúbico como la halita (NaCl), cuya estructura
presenta los iones de sodio formando un empaquetado cúbico compacto y los iones de cloro
dispuestos en coordinación octaédrica, y apliquémosle un campo eléctrico externo.
1. Aplicación de campo eléctrico externo paralelo a una de las aristas de la celda cúbica de la
halita
(+)
(+)
Cl-a
(-)
(+)
Cl-b
EL
Er
Er
(e)
(b)
(a)
Eext
(-)
E (e)
(+)
(-)
(d)
(d)
(a)
(b)
E
Cl-e
(-)
(+)
Cl-e
(-)
Figura 7
E r (a )  E r (e)  2 cos 45º /r 3  1,414 / r 3
E r (b)  E r (d )  1,414 / r 3
E (a )  E (e)  sen 45º /r 3  0,707 / r 3
.............................................................................. 2
E (b)  E (d )  0,707 / r 3
dado que:
E r (e)  E (b)  E (d )
E r (b)  E (a )  E (e)
.........................................................................................................3
estas componentes se anulan y quedan las componentes Er(a) y Er(d), por lo que de la
combinación de ellas resulta el campo eléctrico local:


E L  E r (a )  E r (d )  21,414 / r 3   2 / r 3 ...........................................................................4
2
2. Aplicación de campo eléctrico externo paralelo a una de las diagonales de la celda cúbica de
la halita
E r (a )  E r (e)  2 cos 0º /r 3  2 / r 3
E r (b)  E r (d )  2 cos 90º /r 3  0
E (a )  E (e)  sen 0º /r 3  0
......................................................................................5
E (b)  E (d )  sen 90º /r 3  1 / r 3
2
La componente Er(a) anula la suma de las componentes E(b) y E(d), quedando que el
campo eléctrico local es:
E L  E r (e)  2 / r 3 ...............................................................................................6
(+)
(+)
Cl a
-
(-)
(+)
Cl e
(-)
-
EL
{
(a)
Er
(+)
(e)
Cl-b
(d)
(b)
Eext
(-)
(-)
E
(+)
Cl-e
(-)
Figura 8
 Se comprueba así que el campo eléctrico local resultante de la polarización de cada ión
cloro tiene el mismo valor tanto si el campo eléctrico externo se aplica paralelo a una de las
aristas de la celda cúbica o a una de sus diagonales. Ello implica que la polarización
también tiene el mismo valor y por lo tanto la velocidad de la luz es la misma en dichas
direcciones, por lo que el índice de refracción es igual. Debido a ésto, la simetría requerida
alrededor del punto dado es 4mm. Aquí puede apreciarse la dependencia de la polarización
y la simetría traslacional mencionada antes.
 Consideremos ahora el caso de un cristal anisótropo, la calcita (CaCO3), que cristaliza en el
sistema romboédrico y por lo tanto es uniáxico. Muestra una anisotropía estructural
pronunciada debido a la disposición planar de los grupos aniónicos (CO3)2- perpendicular al eje
cristalográfico c.
1. Aplicación de campo eléctrico externo perpendicular al eje cristalográfico c.
 Debido a que los tres oxígenos del grupo aniónico tienen una posición simétrica alrededor
del eje c, existe una fuerte polarización. Cada ión oxígeno se convierte en un dipolo bajo
la influencia de un campo eléctrico externo, conviertiéndolo así en un campo secundario
que contribuye al campo eléctrico local de los oxígenos vecinos. Debido a la simetría de
orden 3, todas las componentes E de dirección este-oeste se anulan.
 El vector suma de las componentes que apuntan en la misma dirección del campo
eléctrico externo será:
3
E arriba  E r (b, a )  E r (c, a )  E r (a , b)  E r (a , c)cos 30º 
E aabajo
6
r3
3
 E (b, a )  E (c, a )  E (a , b)  E (a , c)cos 60º  3
r
.......................................7
 El efecto de los dipolos vecinos es reforzar la polarización.
Er(c,a)
Er(b,a)
O2-a
(+)
E(c,a)
E(b,a)
(-)
(+)
Eext
Er(a,c)
Er(a,b)
(-)
Carbono
(+)
O2-b
(-)
(+)
E(a,b)
E(c,b)
E(a,c)
E(b,a)
(-)
O2-c
Figura 9
2. Aplicación de campo eléctrico externo paralelo al eje cristalográfico c.
 En este caso, cada oxígeno está menos polarizado debido a la presencia de los iones
vecinos.
(+)
O2-a
Eext
(-)
O2-b
(+)
(+)
O2-c (-)
Carbono
(-)
(+)
(-)
Figura 10
 El valor de las componentes, en este caso, será:
sen 90º 1
 3
r3
r
2 cos 90º
E r (b, c)  E r (c, b) 
0
r3
E (b, c)  E (c, b) 
sen 30º 0,5
E (b, a )  E (c, a )  E (a , b)  E (a , c) 
 3
r3
r
2 cos 30º 1,732
E r (b, a )  E r (c, a )  E r (a , b)  E r (a , c) 
 3
r3
r
4
............................................8
 Como resultado, la luz que vibra paralela al plano del grupo aniónico está más polarizada que
la que vibra perpendicular a dicho plano, por lo que el rayo ordinario viaja con una velocidad
más baja que el rayo extraordinario y su índice de refracción tiene un valor más alto (n =1,658)
que el de este último rayo (n=1,486).
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