Ejercicios del tema 1

Ejercicios del tema 1
En este documento encontrará cómo se puede emplear el programa Maxima para
resolver o apoyar algunos pasos de la resolución de varios de los ejercicios del
tema. Debe tener en cuenta que:
• En esencia se utilizan los comandos que aparecen en la bibliografı́a básica
de la asignatura. Pero aparecen algunos más que pueden resultarle interesantes para resolver ejercicios y apoyar sus cálculos actuales y futuros.
• En muchas ocasiones existe más de una forma de llegar al mismo resultado,
es decir, se pueden utilizar distintos comandos o los comandos en orden
diferente.
• Le animamos a experimentar con el programa. Tiene los comandos escritos
y solamente debe ejecutarlos para comprobar la salida. Pero ¿qué ocurre
si cambia los datos? ¿Obtiene lo que esperaba?
• La forma ideal de trabajar con este documento es.
– Primero leer el enunciado del ejercicio y tratar de resolverlo sin ayuda
de Maxima.
– Si encontramos dificultades en las que creemos que Maxima nos puede
ayudar o queremos verificar el resultado, intentar utilizar el programa
para realizar esas tareas.
– Finalmente recurrir a la información de este documento para comprobar la solución y ver qué sugerencias de resolución o apoyo aparecen.
1
Ejercicio 3
Con Maxima podemos representar f(x)=x^2 y las rectas y=0, y=1:
-->
wxplot2d([0,x**2,1], [x,-3,3], [legend,"y=0","x**2","y=1"],
[y,-6,6], [style,[lines,2,1] , [lines,1,2] , [lines,2,7]]);
plot2d : some values were clipped.
1
(%t1)
(%o1)
Observamos que los puntos del dominio (de R) cuya imagen está entre 0 y 1 (es
decir, entre las dos rectas anteriores) son los del intervalo (-1,0)U(0,1). Y éste
es el conjunto buscado.
Recordamos que ejecutamos la sentencia con Control+Enter.
2
Ejercicio 7
Comprobamos que el lı́mite de la sucesión de este ejercicio es 0:
-->
a[n]:=n/sqrt(n^3+4);
limit(a[n],n,inf);
(%o2) an := √
n
n3
+4
(%o3) 0
Primero hemos asignado a cada término de la sucesión, a n, su valor. Luego
calculamos el lı́mite cuando n tiende a infinito.
3
Ejercicio 8
Comprobamos que el lı́mite de esta sucesión es 2. Primero limpiamos la memoria, para evitar problemas al llamar a[n] a esta sucesión. A continuación, definimos la sucesión a[n] y calculamos el lı́mite:
-->
kill(all);
(%o0) done
-->
a[n]:=sqrt(16*n^4-4)/(n*sqrt(4*n^2+5));
limit(a[n],n,inf);
√
16 n4 − 4
(%o1) an := √
n 4 n2 + 5
(%o2) 2
2
4
Ejercicio 9
Procedemos como en los ejercicios anteriores:
-->
kill(all);
a[n]:=sqrt(n^2+4*n+8)-n;
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
(%o1) an :=
p
n2 + 4 n + 8 − n
(%o2) 2
5
Ejercicio 12
Calculamos el lı́mite como en los ejercicios anteriores:
-->
kill(all);
a[n]:=((5*n+2)/(5*n+3))^(3*n+1);
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
(%o1) an :=
5n + 2
5n + 3
3 n+1
3
(%o2) e− 5
6
Ejercicio 13
Definimos el términos general de la sucesión a n y calculamos su lı́mite:
-->
kill(all);
a[n]:=((n^4-n+1)/(2*n^4+n-2))^((n^2)/(n+1));
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
(%o1) an :=
n4 − n + 1
2 n4 + n − 2
n2
n+1
(%o2) 0
3
7
Ejercicio 14
Definimos, como habitualmente, el término general de la sucesión y calculamos
su lı́mite:
-->
kill(all);
a[n]:=n^(1/n);
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
1
(%o1) an := n n
(%o2) 1
8
Ejercicio 15
El lı́mite de la sucesión de este ejercicio no es sencillo de calcular. Podemos
definir la suma con sum e intentar calcular su valor.
-->
kill(all);
t[i]:=(i+1)^i/i^(i-1);
a[n]:=(sum(t[i],i,1,n))/n^2;
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
(%o1) ti :=
(%o2) an :=
(i + 1)
ii−1
Pn
i
i=1 ti
n2
Pn
i
i1−i (i + 1)
n→∞
n2
Sin embargo, no obtenemos ningún resultado. Pero Maxima nos puede ayudar
cuando aplicamos el criterio de Stolz, para calcular el lı́mite que resulta:
i=1
(%o3)
lim
-->
limit((((n+1)^n)/n^(n-1))/(2*n-1),n,inf);
(%o4)
e
2
9
Ejercicio 19
No es sencillo saber si una serie es convergente, y mucho menos conocer el valor
de la suma de sus términos. Sin embargo, existen criterios que nos ayudan a
4
decidir su carácter. Maxima nos puede ayudar en parte: puede calcular la suma
de algunas series y siempre podemos aplicar algún criterio de convergencia. En
este ejercicio, vamos a calcular el lı́mite que resulta de aplicar el criterio de
cociente:
-->
kill(all);
a[n]:=((n+1)^n)/((2*n-1)*n^(n-1));
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
n
(%o1) an :=
(n + 1)
(2 n − 1) nn−1
e
2
Este valor coincide con el que se calcula en el libro. Pero nótese que para el trabajo principal (¡darse cuenta de qué criterio hay que aplicar y hacerlo!) Maxima
no nos ayuda. Hya algunas series cuyo valor conoce Maxima.Un ejemplo es el
siguiente:
(%o2)
-->
sum(1/n^2,n,1,inf),simpsum;
(%o3)
π2
6
10
Ejercicio 20
Como en el ejercicio anterior, hay que aplicar un criterio (en este caso, el de la
raı́z), y Maxima nos ayuda con el lı́mtie que resulta:
-->
kill(all);
a[n]:=((n^(log(n)/n))/log(n));
limit(a[n],n,inf);
(%o0) done
log(n)
(%o1) an :=
n n
log (n)
(%o2) 0
El cálculo de este lı́mite, resuelto fácilmente con Maxima, en el libro resulta
laborioso.
11
Ejercicio 24
Maxima nos puede ayudar a factorizar los polinomios:
5
-->
kill(all);
factor(x^2-x);
factor(x^2+2*x-3);
(%o0) done
(%o1)
(x − 1) x
(%o2)
(x − 1) (x + 3)
También podı́amos haber simplificado directamente la expresión:
-->
ratsimp((x^2-x)/(x^2+2*x-3));
x
x+3
Además, nos da directamente el lı́mite:
(%o3)
-->
limit(((x^2-x)/(x^2+2*x-3)),x,1);
(%o4)
1
4
12
Ejercicio 25
Hacemos como en los ejercicios anteriores:
-->
kill(all);
limit((log(x))/(log(4*x^4)),x,inf);
(%o0) done
(%o1)
13
1
4
Ejercicio 26
El lı́mite se puede calcular directamente, de forma similar a como se calcula el
lı́mite se sucesiones:
-->
kill(all);
limit(((x+1)/(x-1))^x,x,inf);
(%o0) done
(%o1) e2
6
14
Ejercicio 27
El calculo de ası́ntotas con Maxima se hace a través de la determinación de los
lı́mites. Primero definimos la función y la llamamos f(x):
-->
kill(all);
f(x):=(x^2+1)/(x^2-1);
(%o0) done
x2 + 1
x2 − 1
En este ejercicio, como en el libro, comenzamos con las ası́ntotas horizontales,
que son los lı́mites cuando x tiende a infinito y menos infinito:
(%o1) f (x) :=
-->
limit(f(x),x,inf);
limit(f(x),x,-inf);
(%o2) 1
(%o3) 1
Como este lı́mite es 1, la recta y=1 es una ası́ntota horizontal. Una función
tiene ası́ntotas verticales si cuando x tiende a un punto, entonces el lı́mite de la
función es +infinito o -infinito. Para funciones que son una fracción, esto puede
ocurrir cuando el denominador es 0. Por eso, calculamos primero las raı́ces del
denominador:
-->
solve(x^2-1);
(%o4) [x = −1, x = 1]
Las raı́ces del denominador nos dicen donde buscar las ası́ntotas verticales. Hay
que calcular los lı́mites de f(x) cuando x tiende a estos valores, pero por la
derecha y por la izquierda:
-->
limit(f(x),x,1,plus);
(%o5) ∞
-->
limit(f(x),x,1,minus);
(%o6)
−∞
-->
limit(f(x),x,-1,plus);
(%o7)
−∞
7
-->
limit(f(x),x,-1,minus);
(%o8) ∞
Como estos lı́mites son infinito o menos infinito, las rectas x=1,x=-1 son ası́ntotas verticales. Buscamos ası́ntotas oblicuas, calculando el lı́mite de f(x)/x
cuando tiende a infinito y menos infinito:
-->
limit(f(x)/x,x,inf);
limit(f(x)/x,x,-inf);
(%o9) 0
(%o10) 0
Como este lı́mite es 0, significa que la ası́ntota oblicua tiene pendiente 0, es
decir, es una ası́ntota horizontal. Representamos finalmente la función:
-->
wxplot2d([f(x),1], [x,-5,5],[y,-10,10]);
plot2d : some values were clipped.
(%t11)
(%o11)
15
Ejercicio 28
El cálculo de ası́ntotas con Maxima se hace a través de la determinación de los
lı́mites. Primero definimos la función y la llamamos f(x):
-->
kill(all);
f(x):=(x^3+2*x^2-1)/(x^2-4);
(%o0) done
(%o1) f (x) :=
x3 + 2 x2 − 1
x2 − 4
8
Comenzamos con las ası́ntotas horizontales:
-->
limit(f(x),x,inf);
limit(f(x),x,-inf);
(%o2) ∞
(%o3)
−∞
Con estos resultados, no hay ası́ntotas horizontales. Continuamos con las ası́ntotas
verticales. Buscamos las raı́ces del denominador:
-->
solve(x^2-4);
(%o4) [x = −2, x = 2]
Estos puntos son los candidatos a ası́ntotas verticales:
-->
limit(f(x),x,2,plus);
limit(f(x),x,2,minus);
limit(f(x),x,-2,plus);
limit(f(x),x,-2,minus);
(%o5) ∞
(%o6)
−∞
(%o7) ∞
(%o8)
−∞
Observamos que tiene dos ası́ntotas verticales. Terminamos con las oblicuas:
-->
limit(f(x)/x,x,inf);
limit(f(x)/x,x,-inf);
(%o9) 1
(%o10) 1
Como estos lı́mites valen 1, sabemos que hay ası́ntotas oblicuas. Para encontrar
su ecuación, nos falta el valor de la coordenada en el origen, que son los siguientes
lı́mites:
-->
limit(f(x)-x,x,inf);
limit(f(x)-x,x,-inf);
(%o11) 2
(%o12) 2
Como nos dan los mismo valores, ambas recta coinciden y sólo hay una ası́ntota
oblı́cua y es y=x+2. Finalmente, representamos la función y la recta x+2, que
es la ası́ntota:
9
-->
wxplot2d([f(x),x+2], [x,-5,5], [y,-30 ,30]);
plot2d : somevalueswereclipped.
(%t13)
(%o13)
16
Ejercicio 30
Comenzamos definiendo la función:
-->
kill(all);
f(x):=x*cos(1/x);
(%o0) done
(%o1) f (x) := x cos
1
x
Ahora calculamos su lı́mite, cuando x tiende a 0:
-->
limit(f(x),x,0);
(%o2) 0
Podemos representar gráficamente la función. Vamos a hacerlo para que la
salida sea una nueva ventana, porque ası́ nos podremos aproximar y alejar de
la gráfica a capricho.
-->
wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$
plot2d : expression evaluates to non−numeric value somewhere in plotting range.
10
(%t3)
17
Ejercicio 31
Primero definimos f(x) y luego calculamos su lı́mtie cuando x tiende a 2:
-->
kill(all);
f(x):=(x^3-8)/(x-2);
limit(f(x),x,2);
(%o0) done
(%o1) f (x) :=
x3 − 8
x−2
(%o2) 12
Nótese que se podı́a haber simplificado directamente con:
-->
ratsimp(f(x));
(%o3) x2 + 2 x + 4
18
Ejercicio 32
Estudiamos el lı́mite:
-->
kill(all);
limit(exp(-1/(1+x)^2),x,-1);
(%o0) done
(%o1) 0
Aunque no sea continua, podemos definir a trozos la función y representarla:
-->
f(x):=if x=-1 then e^(-0.25) else exp(-1/(1+x)^2);
!
−1
−0.25
(%o2) f (x) := ifx = −1thene
elseexp
2
(1 + x)
-->
wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$
11
(%t3)
Note que no se aprecia la discontinuidad, al ser sólo en un punto.
19
Ejercicio 33
Podemos componer funciones de la forma natural:
(%i1)
kill(all);
f(x):=abs(x);
g(x):=if x=-1 then e^(-0.25) else exp(-1/(1+x)^2);
g(f(x));
(%o0) done
(%o1) f (x) := |x|
(%o2) g (x) := ifx = −1thene−0.25 elseexp
(%o3) e
!
−1
(1 + x)
2
1
− (|x|+1)
2
La representamos y lo vemos:
(%i4)
wxplot2d([g(f(x))], [x,-5,5])$
(%t4)
20
Ejercicio 39
El método de la bisección está implementado en Maxima. Sin embargo, no se
permite al usuario controlar el número de iteraciones. El comando que se utiliza
es find root.
12
-->
find_root (x^3-3,x,0,4);
(%o5) 1.442249570307408
21
Ejercicio 43
De forma genérica, no es posible calcular lı́mites de sucesiones de funciones con
Maxima. Si lo intentamos en este ejercicio, resulta:
-->
kill(all);
f(n,x):=((1-x)^n)*sin(2*%pi/x);
limit(f(n,x),n,inf);
(%o0) done
2π
(%o1) f (n, x) := (1 − x) sin
x
2π
n
(%o2)
lim (1 − x) sin
n→∞
x
n
Sin embargo, vamos a representar las primeras funciones de la sucesión:
-->
wxplot2d([f(1,x),f(2,x),f(3,x),f(4,x)], [x,-1,1])$
plot2d : expression evaluates to non−numeric value somewhere in plotting range.plot2d :
expression evaluates to non−numeric value somewhere in plotting range.plot2d :
expression evaluates to non−numeric value somewhere in plotting range.plot2d :
expression evaluates to non − numeric value somewhere in plotting range.
(%t8)
22
Ejercicio 45
En este ejercicio, sı́ es posible calcular el lı́mite de la sucesión de funciones:
13
-->
kill(all);
f(n,x):=x/(2*n+1);
limit(f(n,x),n,inf);
(%o0) done
(%o1) f (n, x) :=
x
2n + 1
(%o2) 0
23
Ejercicio 50
Si intentamos calcular directamente el lı́mite, vemos que no es posible:
-->
kill(all);
f(n,x):=exp(-1/n^2)*x^n;
sum(f(n,x),n,1,inf);
(%o0) done
(%o1) f (n, x) := exp
(%o2)
∞
X
−1
n2
xn
1
e− n2 xn
n=1
Tampoco permite calcular el lı́mite si x=1 0 x=-1:
-->
(%o3)
sum(f(n,-1),n,1,inf);
∞
X
1
e− n2 (−1)
n
n=1
Pero sin embargo, sı́ podemos ayudar a determinar el radio de convergencia, con
el criterio del cociente:
-->
limit(exp(-1/n^2)/(exp(-1/(n-1)^2)),n,inf);
(%o4) 1
14