Gu´ıa - Funciones de Varias Variables (II)

Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Fı́sica
Cálculo (Contador público y auditor)
Mayo de 2015
Guı́a - Funciones de Varias Variables (II)
Regla de la cadena
1. En los siguientes problemas, obtenga las derivadas que se señalan apliacando la regla de la
cadena.
∂z ∂z
(a) z = 5x + 3y, x = 2r + 3s, y = r − 2s;
,
.
∂r ∂s
√
(b) z = ex+y , x = t2 + 3, y = t3 ; dz/dt.
(c) w = 3x2 y + xyz − 4y 2 z 3 , x = 2r − 3s, y = 6r + s, z = r − s;
∂w ∂w
,
.
∂r ∂s
∂z ∂z
,
.
(d) z = x2 + 3xy + 7y 3 , x = r2 − 2s, y = 5s2 ;
∂r ∂s
√
(e) z = 8x + y, x = t2 + 3t + 4, y = t3 + 4; dz/t.
(f) w = ln(x2 + y 2 + z 2 ), x = 2 − 3t, y = t2 + 3, z = 4 − t; dw/dt.
∂w
.
(g) w = x2 + xyz + y 3 z 2 , x = r − s2 , y = rs, z = 2r − 5s;
∂s
∂w
(h) w = exyz , x = r2 s3 , y = r − s, z = rs2 ;
.
∂r
∂y
(i) y = x2 − 7x + 5, x = 15rs + 2s2 t2 ;
∂r
∂y
(j) y = 4 − x2 , x = 2r + 3s − 4t;
∂t
2. Para un fabricante de cámaras fotográficas y pelı́culas el costo total C de fabricar qC cámaras
y qF unidades de pelı́culas, está dado por
C = 30qC + 0.015qC qF + qF + 900
La funciones de demanda para las cámaras y para las pelı́culas están dadas por
qC =
9000
√
pC pF
y qF = 2000 − pC − 400pF
en donde pC es el precio por cámara y pF es el precio por unidad de pelı́cula. Encontrar
la tyasa de variación del costo total con respecto al precio de la cámara cuando pC = 50 y
pF = 2.
3. La producción de trigo W , en un año dado, depende del promedio de temperatura T y
la cantidad de lluvia anual R. Los expertos estiman que el promedio de temperatura está
subiendo a razón de 0.15 ◦ C/año y la lluvia está decreciendo a razón de 0.1 cm/año. También
∂W
estiman que, a los niveles actuales de producción, ∂W
∂T = −2 y ∂R = 8.
Estime la actual razón de cambio de la producción de trigo, dW/dt.
Máximos y mı́nimos
1. Localice los puntos crı́ticos de las funciones. Determine, mediante la prueba de la segunda
derivada, si cada punto crı́tico corresponde a un máximo relativo, a un mı́nimo relativo, o a
niguno de ellos.
(a) f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy + 5x − 3y + 1
(b) f (x, y) = x2 − 4x + 2y 2 + 4y + 7
(c) f (x, y) = x3 + y 3 − xy
(d) f (x, y) = y 2 − x2
(e) f (x, y) = x2 + 3y 2 + 4x − 9y + 3
(f) f (x, y) = 2x3 − 6xy + 3y 2
(g) f (x, y) = xye−(x
2 +y 2 )/2
2. Un minorista vende dos productos que se hacen competencia, y cuyos precios son p1 y p2 .
Encontrar p1 y p2 de forma que los ingresos sean máximos, siendo
I = 500p1 + 800p2 + 1, 5p1 p2 − 1, 5p21 − p22
Resp: p1 = 1760/3 y p2 = 840
3. Sea P una función de producción dada por
P = f (l, k) = 0.54l2 − 0.02l3 + 1.89k 2 − 0.09k 3 ,
en donde l y k son las cantidades de mano de obra y capital, respectivamente, y P es la
cantidad de productos que se fabrican. Calcular los valores de l y k que maximizan P.
4. Un fabricante de alimentos produce dos tipos de golosinas, A y B, cuyos costos promedio de
producción son constantes $2 y $3 (dólares) por libra, respectivamente. Las cantidades qA ,
qB (en libras de A y B) que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de
demanda conjuntas
qA = 400(pB − pA ) y
qB = 400(9 + pA − 2pB )
en donde pA y pB son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente.
Determinar los precios de venta que maximizan las utilidades P =(utilidad por libra)+(libras
vendidas) del fabricante.
Resp: El fabricante debe vender la golosina A a $5.50 por libra y la golosina B a $6.00 por
libra.
5. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y unidades del modelo B
se aproxima mediante el modelo
P (x, y) = 8x + 10y − (0, 001)(x2 + xy + y 2 ) − 10000
Hallar el nivel de producción que reporta un beneficio máximo.
Resp: El nivel de producción de x = 2000 unidades y y = 4000 unidades conduce a un
beneficio máximo.
6. En cierto proceso automatizado de manufactura, se utilizan las máquinas M y N durante m
y n horas, respectivamente. Si la producción diaria Q es función de m y n, es decir,
Q = 4.5m + 5n − 0.5m2 − n2 − 0.25mn
Determinar los valores de m y n que maximizan Q.
7. Una empresa fabrica dos tipos de zapatillas, para correr y para baloncesto. El ingreso total
de x1 unidades para correr y x2 unidades para baloncesto es R = −5x21 − 8x22 − 2x1 x2 +
42x1 + 102x2 , donde x1 y x2 están en miles de unidades. Hallar las x1 y x2 que maximizan
el ingreso.
8. El único almacén de comestibles de una pequeña comunidad rural vende dos marcas de jugo
de naranja helado: una marca local, que obtiene a un costo de $300 por lata, y una marca
nacional, muy conocida, que obtiene a un costo de $400 la lata. El vendedor calcula que si
la marca local se vende a x pesos la lata y la marca nacional se vende a y pesos la lata, cada
dı́a venderá aproximadamente 70 − 5x + 4y latas de la marca local y 80 + 6x − 7y latas de
la marca nacional. ¿Qué precio deberı́a fijar el vendedor a cada marca para maximizar las
utilidades obtenida de la venta del jugo?
Resp: x = 53 e y = 55
9. Una tienda al por menor vende dos tipos de cortadoras de césped, los precios son p1 y p2 .
Hallar las p1 y p2 que maximicen el ingreso total, donde R = 515p1 + 805p2 + 1.5p1 p2 −
1.5p21 − p22 .
10. Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32000 cm3 . Encuentre las dimensiones
que hagan mı́nima la cantidad de cartón utilizado.
Resp: x = 40, y = 40 y z = 20
11. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producción de x1 unidades en el lugar
1 es C1 = 0.02x21 + 4x1 + 500 y el costo de producción de x2 unidades en el lugar 2 es
C2 = 0.05x22 + 4x2 + 275.
Las velas se venden a $15 por unidad. Hallar la cantidad que debe producirse en cada lugar
para aumentar el máximo el beneficio P = 15(x1 + x2 ) − C1 − C2 .
12. Piense en un experimento en el que un sujeto desarrolla una tarea mientras está expuesto a dos
estı́mulos diferentes (por ejemplo, sonido y luz). Ante niveles bajo de estı́mulo, el desempeño
del sujeto puede mejorar, pero a medida que los estı́mulos aumentan se convierten en una
distracción y el desempeño comienza a desmejorar. Si en cierto experimento en el que se
aplican x unidades del estı́mulo A e y unidades del estı́mulo B, el desempeño de un sujeto se
mide por la función
2
2
f (x, y) = C + xye1−x −y
donde C es una constante positiva, ¿cuántas unidades de cada estı́mulo provocan el máximo
desempeño?
√
√
Resp: x = 2/2 e y = 2/2
Multiplicadores de Lagrange
1. Determine, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos crı́ticos de la
funciones sujetas a las restricciones dadas.
(a) f (x, y) = x2 − y 2 ; x2 + y 2 = 1
Resp: f (±1, 0) = 1 es el valor máximo y f (0, ±1) = −1 es el valor mı́nimo de f.
(b) f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y 2 = 13
Resp: f (2, 3) = 26 es el valor máximo y f (−2, −3) = −26 es el valor mı́nimo de f.
(c) f (x, y, z) = xyz; x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6.
p
p
√
√
√
√
Resp:√f ( 2, ±1,
2/3)
=
2/
3
,
f
(−
2,
±1,
−
2/3)
=
2/
p
p
√
√
√ 3 son los valores máximos
y f (− 2, ±1, 2/3) = −2/ 3 , f ( 2, ±1, − 2/3) = −2/ 3 son los valores mı́nimos
de f.
(d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ;
(e) f (x, y, z) = x + 2y;
x4 + y 4 + z 4 = 1.
y 2 + z 2 = 4;
x + y + z = 1.
(f) f (x, y, z) = 3x − y − 3z; x2 + 2z 2 = 1; x + y − z = 0.
√
√
√
√
√
√
√
Resp:
√ f ( 6/3, 6/2, 6/6) = 2 6 es el valor máximo y f (− 6/3, − 6/2, − 6/6) =
−2 6 es el valor mı́nimo de f.
(g) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + . . . + xn ; x21 + x22 + . . . + x2n = 1
√
√
√
√
√
√
√
Resp: f (1/ n, 1/ n, 1/ n) = n es el valor máximo y f (−1/ n, −1/ n, −1/ n) =
√
− n es el valor mı́nimo de f.
2. Hállese las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo sujeto a la restricción de
que la suma de la longitud y el perı́metro transversal no excedan de 108 pulgadas. (Maximizar
V = xyz sujeto a la restricción x + 2y + 2z = 108.)
3. Para surtir un pedido de 100 unidades de su producto, una empresa desea distribuir la
producción entre sus dos plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por
c = f (q1 , q2 ) = 0.1q12 + 7q1 + 15q2 + 1000
en donde q1 y q2 son los números de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente.
¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?.
Resp: f (40, 60) = 2340
4. La función de producción de una empresa esta dada por
f (l, k) = 12l + 20k − l2 − 2k 2 .
El costo para la compañia es de 4 y 8, por unidad de l y k, respectivamente. Si la empresa
desea que el costo total de los insumos se 88, calcule la máxima producción posible, sujeta a
esta restricción presupuestal.
Resp: f (8, 7) = 74
5. La función de produción de Cobb-Douglas para un fabricante concreto viene dada por
f (x, y) = 100x3/4 y 1/4
donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) e y las unidades de capital
(a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $50000. Calcular el
nivel máximo de producción para esta fabricante.
Resp: f (250, 50) ≈ 16719 unidades producidas.
6. Una sonda espacial con forma de elipsoide
4x2 + y 2 + 4z 2 = 16
entra en la atmósfera de la Tierra y su superficie comienza a calentarse. Después de una
hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es
T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600.
Determine el punto más caliente sobre la superficie de la sonda.
Resp: (±4/3, −4/3, −4/3)
7. En economı́a, la utilidad de las cantidades x e y de dos bienes G1 y G2 en ocasiones se mide
mediante una función U (x, y). Por ejemplo, G1 y G2 podrı́an ser dos sustancias quı́micas
requeridas por una compañia farmacéutica y U (x, y) la ganancia al fabricar un producto cuya
sı́ntesis requiere diversas cantidades de las sustancias, dependiendo del proceso utilizado. Si
G1 cuesta a dólares, entonces los administradores de la compañia quieren maximizar U (x, y)
dado que ax + by = c. Entonces, necesitan resolver un problema tı́pico de multiplicadores de
Lagrange.
Suponga que
U (x, y) = xy + 2x
y la ecuación ax + by = c se simplifica como
2x + y = 30.
Determine el valor máximo de U y los valores correspondientes de x e y sujetos a esta última
restricción.
Resp: U (8, 14) = $128
8. Usted debe construir un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para minimizar
la interferencia, requiere colocarlo donde el campo magnético del planeta es más débil. El
planeta es esférico, con un radio de 6 unidades.Con base en un sistema de coordenadas cuyo
origen es el centro del planeta, la fuerza del campo magnético está dada por M (x, y, z) =
6x − y 2 + xz + 60. ¿Dónde debe colocar el radiotelescopio?
9. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de metal es T (x, y) = 4x2 − 4xy + y 2 . Una
hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 con centro en el
origen. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mı́nima encontradas por la hormiga?
Resp: Mı́nimo 0◦ y máximo 125◦ .
10. A un editor le han asignado 60000 dólares para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo
libro. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en
promoción, se venderán aproximadamente f (x, y) = 20x3/2 y ejemplares del libro. ¿Cuánto
dinero deberı́a asignar el editor a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas?
Resp: f (36, 24) = 103680