Aplicación de teoría de grafos a redes con elementos autónomos

Utiliza matemáticas
Aplicación de teoría de grafos a
redes con elementos autónomos
Nombre: Marta
Apellidos: Vega Bayo
email: marta.vega@edu.uah.es
Modalidad: Universidad
Estudios cursados en la UAH:
Grado en Ingeniería en Tecnologías
de las Telecomunicaciones (Escuela
Politécnica Superior)
Índice
Introducción ..................................................................................................................................................... 3
Dificultades de redes con elementos autónomos ............................................................................................. 4
Introducción a la teoría de grafos ..................................................................................................................... 5
Plan de evacuación........................................................................................................................................... 7
Diferentes divisiones del grafo ......................................................................................................................... 9
División simétrica.......................................................................................................................................... 9
División por distancia de nodos ................................................................................................................... 10
División por reparto de peones ................................................................................................................... 12
División por comunidades ........................................................................................................................... 13
Experimentos ................................................................................................................................................. 14
Clasificación de escenarios ............................................................................................................................ 15
Densidad del grafo ...................................................................................................................................... 15
Centralidad ................................................................................................................................................. 16
Análisis de resultados..................................................................................................................................... 18
Comparación de los distintos planes ........................................................................................................... 18
Comparación de los planes en los distintos tipos de escenarios ................................................................... 19
Conclusiones y trabajo futuro ........................................................................................................................ 21
Referencias .................................................................................................................................................... 22
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Introducción
Tsumanis, terremotos o accidentes en centrales nucleares son ejemplos de catástrofes que pueden hacer
necesaria la evacuación de grandes ciudades. En estas situaciones, la existencia de planes de evacuación y
gestión de tráfico adecuados permiten reducir las consecuencias (en cuanto a daños humanas) derivadas de
estas situaciones.
El diseño de técnicas de evacuación para estas situaciones plantea múltiples dificultades. El principal problema
es la necesidad de implementar un plan de evacuación que sea aceptado y seguido por los ciudadanos, ya que
en última instancia son éstos quienes toman las decisiones, y lo hacen en general en situaciones de gran
intensidad emocional (pánico) donde no puede esperarse un comportamiento racional óptimo. El segundo
problema planteado en las evacuaciones es el gran tamaño y densidad de población de las ciudades implicadas,
así como las congestiones y atascos que pueden originarse en el proceso.
¿Puede la teoría de grafos contribuir a reducir los daños en la evacuación de grades ciudades? El siguiente
documento pretende demostrar que efectivamente la teoría de grafos puede mejorar estas situaciones. La
teoría de grafos puede ser empleada para automatizar la generación de planes de evacuación que tengan en
cuenta la capacidad de decisión de las personas, que se adapten a cada ciudad en concreto y a cada instante.
La idea propuesta es modelar las calles y vías de transporte mediante un grafo. Una vez se dispone del grafo, el
diseño de técnicas de evacuación planteado consiste en dividir el sistema a evacuar en varios subsistemas
interconectados que evolucionen de forma independiente. Los individuos pertenecientes a un subsistema
serán quienes decidan si existen o no puntos de entrada al subsistema, así como la posible ubicación de estos
puntos. De este modo, cuando se produzca un conflicto entre dos individuos de un subsistema al intentar
acceder a un mismo punto, se les habrá dado un motivo para aceptar el plan de evacuación y ceder el paso: la
garantía de que esa espera no les obligará a sufrir futuros conflictos, ya que pueden colocar las puertas de
entrada a su subsistema de forma que esto no suceda.
La modelización de las ciudades a evacuar mediante grafos permite, por un lado realizar divisiones del sistema
que exploten las propiedades del grafo y, por otro lado, clasificar las ciudades en función de las métricas del
grafo para poder aplicar en cada caso el método de división que mejor se adapte.
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Dificultades de redes con
elementos autónomos
Muchos de los sistemas empleados actualmente, tales como tales como sistemas de comunicaciones, redes
eléctricas o infraestructuras de transporte, puede ser modelados como redes: conjuntos de nodos
interconectados. La falta de mecanismos que consigan soluciones optimas para los problemas de estos
sistemas da lugar a ineficiencias tales como infrautilización de recursos, retardos o atascos.
Unos sistemas de especial complejidad son las redes en las cuales existen elementos autónomos con capacidad
de decisión, y en las cuales, además, puede cambiar de forma dinámica la estructura de la red y los elementos
que forman parte del sistema. En estas redes hay un objetivo global al mismo tiempo que cada uno de los
elementos autónomos tiene unos intereses y objetivos particulares.
Las técnicas de optimización permiten alcanzar soluciones a nivel global en sistemas de gran tamaño, en
general empleando esquemas de tipo "divide y vencerás" (divide and conquer, D&C). Sin embargo, estas
estrategias tienden a fallar en sistemas donde existen elementos autónomos, ya que pueden tomar acciones
que entren en conflicto con la solución óptima si creen que esto les favorece. Por otro lado, las técnicas de
negociación son aplicables a sistemas con elementos autónomos e intereses particulares, pero presentan
graves problemas de eficiencia al aumentar la complejidad y tamaño de la red.
La evacuación de una ciudad puede ser modelada como una red con elementos autónomos, ya que se trata de
una infraestructura de transporte en la que existen a elementos con capacidad de decisión, los automóviles. En
un plan de evacuación, cada automóvil intentará salir lo antes posible, mientras que el objetivo a nivel social es
que la ciudad quede evacuada en el menor tiempo posible. Este sistema cambia de forma dinámica, ya que
cambia con el tiempo la ubicación de los automóviles y los puntos de congestión. Por tanto, la solución que se
proponga para este sistema deberá tener en cuenta este dinamismo y adaptarse a la situación en cada
instante.
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Introducción a la teoría de
grafos
En la técnica de evacuación planteada, uso de grafos para el modelado y representación de las redes puede
facilitar la adaptación del paradigma propuesto a diferentes dominios y aplicaciones. Además, creemos que la
estructura de red del problema juega un papel primordial en el proceso, y por ello se va a emplear teoría de
grafos para intentar derivar técnicas de división adecuadas para cada escenario o familia de escenarios
concreta. Por ello, se va a comenzar con una breve introducción a la teoría de grafos que facilite la
comprensión de conceptos empleados posteriormente en el documento.
La teoría de grafos es una rama de la Topología aplicable a campos tan diversos como la química, la biología, la
sociología o la teoría de redes.
DEFINICIÓN DE GRAFO
Se denomina grafo G al par de conjuntos V(G) y E(G), donde
V(G) es un conjunto de vértices o nodos y E(G) es un
conjunto de aristas, pares de elementos de V(G). La figura 1
muestra a modo de ejemplo un grafo G formado por el
conjunto de nodos V(G)={,u,v,w,z} y por el conjunto de
aristas E(G)={(u,w), (w,v), (w,x), (w,w), (v,x), (v,x)}.
Fig 1: ejemplo de grafo
Se dice que dos nodos son adyacentes si el grafo contiene al menos una arista que los une. Del mismo modo,
dos aristas son adyacentes si poseen un vértice en común.
El grado de un vértice v, denominado g(v), es el número de aristas de un grafo que inciden en v. Los vértices de
grado 0 reciben el nombre de vértices aislados, mientras que los de grado 1 se denominan vértices terminal o
extremo.
Un lazo es una arista que tiene tanto como origen como por destino un nodo v, y contribuye de manera doble
al grado de v. En el ejemplo de la figura 1, la arista ww se trata de un lazo.
Un subgrafo de un grafo G es grafo cuyos vértices y aristas pertenecen a V(G) y E(G) respectivamente.
CLASIFICACIÓN DE GRAFOS
Un grafo simple es aquel en el que todo par de nodos está unido por, a lo
sumo, una arista.
Se denomina digrafo D o grafo orientado, a un grafo formado por un
conjunto de nodos V(D) y un conjunto de arcos o aristas orientadas A(D).
Fig 2:digrafo
5
Un grafo completo es un grafo en el que todos los pares de nodos son
adyacentes estando conectados por una única arista. El número de arístas de
un grafo de este tipo de n vértices es por tanto n(n-1)/2.
Fig 3:Grafo completo
Un grafo regular es aquel cuyos nodos tienen todos el mismo grado. El grafo
de la figura 3 es un grafo completo y regular.
Un grafo es bipartito si su conjunto de vértices V(G) puede expresarse
como dos subconjuntos V1 y V2 de modo que todos las aristas de
grafo unen nodos de conjuntos diferentes. El ejemplo de la figura 4 se
trata de un grafo bipartito cuyos nodos podrían dividirse en los
conjuntos V1={1,2} y V2={3,4,5}
Fig 4:grafo bipartito
Se dice que un grafo es conexo si todos sus vértices estás conectados a
través de alguna secuencia de aristas del grafo.
Fig 5:Grafo inconexo
Se denomina trayectoria a un grafo cuyas aristas forman una secuencia
en la
que todos los nodos a excepción del primero y del último son diferentes. Una trayectoria en la que el primer y
último vértice, y , coinciden se denomina circuito.
Fig 6:Trayectoria
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Plan de evacuación
En las redes con estructura dinámica y elementos autónomos resulta especialmente complejo alcanzar
soluciones eficientes, ya que ni las técnicas de optimización ni las de negociación se adaptan a las necesidades
de estos sistemas. Por ello, es para este tipo de sistemas para los que se plantea un nuevo enfoque de división
que tenga en cuenta la capacidad de decisión de los elementos autónomos y proporcione a los participantes
incentivos para aceptar las soluciones. La idea consiste en dividir el sistema total en subsistemas
interconectados, mundos, de forma que cada mundo pueda evolucionar de forma independiente y que los
éstos se comuniquen e interactúen entre sí para establecer las interconexiones entre mundos. De este modo
resulta eficiente la negociación ya que se produce sólo entre mundos. Además, añade a cada uno de los
elementos autónomos un nuevo interés, la cooperación en el mundo para alcanzar la negociación entre
mundos, lo cual favorece el alcance de una solución global optima.
Como ejemplo que permita clarificar la idea anterior y su aplicación a
los planes de evacuación se plantea el escenario de la evacuación de
un tablero de ajedrez. Este escenario consiste en un tablero con
obstáculos y una casilla de salida; a este tablero se añaden peones con
capacidad de decisión que intentarán llegar a la salida por el camino
más corto, moviéndose una posición en horizontal o vertical,
produciéndose conflictos si dos peones intentan acceder a una casilla
al mismo tiempo. En caso de conflicto, aleatoriamente se da el
derecho de paso a uno de los peones implicados, mientras que el resto
deciden aceptar o no la espera en función de la probabilidad de
futuras esperas. Si alguno de los peones no acepta la solución, se
Fig 7:Escenario del tablero de ajedrez
produce un choque y todos los implicados en él quedan parados. En
este escenario, el objetivo a nivel global es que el tablero quede vacio en el menor tiempo posible, mientras
que el objetivo particular de cada peón será salir del tablero en un tiempo mínimo.
Aplicando el paradigma propuesto al
problema de la evacuación del tablero de
ajedrez, el escenario queda dividido en
varias
regiones,
"mundos",
interconectados entre sí por una serie de
puertas. Para establecer estas puertas,
los peones de cada una de las regiones
cooperan para restringir las entradas
permitidas a su mundo, de modo que
ninguno de los peones que ya están en él
pueda verse perjudicado por los de fuera.
Fig 8:División del tablero del enfoque propuesto
Además, negocian la elección de la
puerta de salida, eligiéndose, de entre las opciones que permitan los mundos adyacentes, la salida que
convenga a más peones. De este modo, cuando se produzca un conflicto entre peones dentro de un mundo, los
peones tendrán un incentivo para decidir ceder el paso a otro peón: la garantía de que esa espera no les
obligará a sufrir futuros conflictos, ya que pueden colocar las puertas de entrada a su mundo de forma que
esto no suceda.
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Una vez generados los mundos y establecidas las puertas de estos, los peones se mueven hacia la salida de su
mundo. En caso de que los obstáculos impidan a un peón alcanzar la salida de su mundo, se considera que éste
se moverá por el tablero completo, ignorando los mundos creados, aunque no los obstáculos. El proceso de
división del sistema, negociación de interconexiones y movimiento de peones se repite hasta que no quedan
peones en el escenario.
La teoría de grafos puede ser aplicada para modelizar y
generalizar el escenario descrito. El tablero de ajedrez y los
obstáculos de éste se pueden representar como un grafo en
el que cada nodo simboliza una de las casillas sin obstáculos
del tablero, mientras que las aristas conectan las casillas sin
obstáculos adyacentes en horizontal y vertical. Los peones,
dibujados en verde en el ejemplo de la figura 9, se sitúan en
los nodos y se desplazan a través del grafo hacia la salida.
Los grafos generados de este modo son grafos simples no
orientados.
Fig 9:Representación del tablero mediante un grafo
La modelización del sistema mediante un grafo permite la aplicación directa del paradigma propuesto a otro
tipo de red, así como el empleo de las propiedades de grafos para la clasificación de escenarios o la
implementación de diferentes divisiones del sistema, como se explica en el siguiente apartado.
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Diferentes divisiones de la
red
En el paradigma propuesto, la división del sistema completo para generar mundos puede realizarse atendiendo
a múltiples criterios. A continuación se plantean cuatro criterios de división del sistema diferentes. La primera
división del tablero planteada consiste en dividir éste de forma simétrica. En las siguientes divisiones se aplica
la teoría de grafos para realizar la división de forma más genérica, de modo que pueda ser aplicable a otras
redes y de manera que se pueda explotar la estructura del grafo. La segunda división planteada se basa en
generar los mundos agrupando nodos con distancias semejantes a la salida. En la tercera se generan los
mundos de modo que los peones queden repartidos entre estos. Por último, se plantea la división del grafo en
comunidades para la formación de los mundos.
DIVISIÓN SIMÉTRICA
La primera división del tablero planteada consiste en obtener el menor cuadrado que contiene a todos los
peones y a la salida, y, a continuación, dividir dicho cuadrado en cuatro partes iguales.
En primer lugar hay que reducir el tablero y obtener el menor
cuadrado, para lo cual se asigna como propiedad de cada nodo sus
coordenada en el tablero. A continuación se obtiene la posición
del peón más alejado de la salida en el sentido de la coordenada Y,
y la posición de los dos peones más alejados entre sí en el sentido
X. Con estas posiciones se obtienen las medidas X e Y del tablero
mínimo. Como además se desea que el tablero reducido sea
cuadrado y de medida par, se toma el número par inmediato
superior de la mayor medida antes obtenida como medida del
cuadrado final.
Fig 10:Mínimo cuadrado del tablero
La figura 10 muestra en color morado el mínimo tablero cuadrado que contiene todos los peones en un
escenario de ejemplo.
Una vez obtenido el mínimo tablero cuadrado, se divide este en cuatro partes iguales, a partir de cada una de
las cuales se forma un mundo. La siguiente imagen muestra la división del escenario ejemplo con éste método:
Grafo completo
Grafo dividido
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DIVISIÓN POR DISTANCIA DE NODOS
En teoría de grafos, la distancia entre dos nodos es el número mínimo de aristas que es necesario recorre para
unir dos vértices. La división del tablero planteada ahora consiste en formar los mundos agrupando los nodos
con distancias a la salida semejante.
En cada iteración del algoritmo se comienza reduciendo el grafo para obtener grafo con el mínimo número de
nodos que contiene a todos los peones y a la salida. Para realizar esta reducción del tablero se obtiene la
distancia a la salida del nodo más alejado. A continuación, se eliminan todos aquellos nodos cuya distancia a la
salida sea mayor, ya que estos nodos no van a ser empleados por los peones en sus movimientos. La siguiente
imagen muestra un ejemplo de la reducción del tablero y permite comprobar cómo son eliminados los nodos
cuya distancia a la salida es mayor de 11, ya que ésta es la distancia de los peones más alejados.
Grafo completo
Grafo reducido
Una vez reducido el grafo, se divide este en tres secciones o conjuntos de mundos: una primera sección que
contiene la salida del tablero; un segundo conjunto de mundos que no contienen la salida pero que son
adyacentes al mundo que la contiene; y un tercer conjunto de mundos que se encuentran separados de mundo
con la salida por un mundo del segundo grupo. Con la división en tres secciones se pretende limitar a tres el
número máximo de mundos que un peón se verá obligado a atravesar en su camino hacia la salida. La primera
sección está formada por los nodos cuya distancia a la salida esté comprendida entre 0 y 1/3 de la distancia
máxima, es decir, cuya distancia a la salida sea menor o igual que 1/3 de la distancia máxima del grafo. La
segunda sección está formada por los nodos cuya distancia es mayor de 1/3 y menor o igual que 2/3.
Finalmente, la tercera sección se forma con los nodos restantes, nodos a distancia mayor que 2/3.La siguiente
imagen muestra las secciones formadas:
Grafo completo
Secciones del grafo
A partir de la primera sección se genera el primer mundo. A continuación, se procede a dividir las secciones dos
y tres en varios mundos, ya que estas secciones pueden tener componentes inconexos o ser muy extensas, en
cuyo caso una única salida beneficiaría a unos pocos peones, pero podría estar muy alejada o incluso aislada
de otros. Para realizar la división, se comienza obteniendo los componentes no comunicados de los grafos de
cada sección, para tratarlos de forma independiente. En este ejemplo, tanto la sección dos como la tres están
formadas por dos componentes.
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Una vez obtenidos los componentes, para cada uno de ellos se
calcula la máxima distancia de sus nodos. Si esta distancia es menor
que dos veces la distancia empleada en la generación de la sección
(1/3 de la distancia máxima), se trata de un componente pequeño,
por lo que se genera directamente un mundo a partir de él. De este
modo se genera en el ejemplo de la figura 11 un mundo en ambas
secciones.
Fig 11:Caso 1 de división de sección
Por el contrario, si la distancia es mayor, se procede a analizar el
componente para tratar de dividirlo. En primer lugar, se obtiene
los nodos que conectan el componente con la sección anterior. Si
existe un único nodo de conexión del componente con la sección
anterior, no se divide el componente sino que se genera
directamente un mundo a partir de él, ya que dividirlo supondría
aislar de la salida a la mitad de los nodos. La figura 12 permite
observar la formación del segundo mundo de la sección dos con
este criterio.
Fig 12: Caso 2 de división de sección
Si el componente tiene más de un nodo de conexión, se divide el
componente en dos mundos de modo que ambos posean al
menos un nodo de conexión. Para ello se obtienen los dos nodos
de conexión más alejados entre sí, nodos marcados en amarillo en
el ejemplo de la figura 3. Cada uno de esos nodos se asigna a un
mundo, y los dos mundos se van creando añadiendo paso a paso
los nodos vecinos hasta que todos los nodos estén asignados a
uno de los mundos. Esto hace que se esté dividiendo el
componente en dos mundos de igual distancia. La figura 13
muestra la división del componente mayor de la sección tres en
dos mundos con este método, así como los nodos de inicio y el sentido Fig 13: Caso 3 de división de sección
de expansión desde éstos para la formación de los mundos.
El resultado final de la división del grafo en mundos siguiendo éste criterio en el ejemplo planteado es el
siguiente:
Grafo completo
Grafo dividido en mundos
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DIVISIÓN POR REPARTO DE PEONES
El tercer método de división del tablero propuesto consiste en dividir el tablero en 5 mundos de modo que los
peones queden repartidos equitativamente entre estos.
En cada iteración se comienza reduciendo el tablero del mismo modo que se realizaba en la división por
distancias. Una vez obtenido el grafo reducido, se divide éste en tres secciones, cada una de las cuales
contendrá 1/5, 2/5 y 2/5 de los peones respectivamente. Las secciones dos y tres serán posteriormente
divididas en dos mitades, con lo que finalmente se tendrán 5 mundos con 1/5 de los peones cada uno de ellos.
La primera sección, que dará lugar a un mundo, se obtiene partiendo de la salida total y expandiéndose hacia
sus vecinos hasta alcanzar a 1/5 de todos los peones. A continuación, se determinan los nodos "frontera", es
decir, los nodos no pertenecientes a la sección 1 pero adyacentes a esta. A partir de estos nodos "frontera" se
va a formar la sección 2 expandiéndose hasta alcanzar a 2/5 de
los peones. Finalmente, los nodos restantes forman la tercera
sección, que contendrá 2/5 de todos los peones. Si al formar las
secciones 1 y 2 en un paso se alcanzase y superase la cantidad de
peones correspondiente a la sección para el reparto equitativo,
todos esos peones serían asignados a la sección, haciendo que en
esos caso el reparto no sea estrictamente igual.
La figura 14 muestra un ejemplo de la división de un grafo en
secciones, marcadas en morado. Se pueden observan además
Fig 14:Formación de las tres secciones
los nodos de inicio de formación de las secciones 1 y 2 , los
cuales son la salida total y los nodos "frontera" respectivamente, y el sentido de expansión desde estos para la
formación de las secciones. Por el motivo antes explicado, las secciones 1 y 2 poseen más de 1/5 y 2/5 de los
peones.
Una vez obtenidas las secciones, se forma el primer mundo y se
procede a dividir secciones. Para ello, al igual que el método anterior,
se obtienen los componentes del grafo que forma la sección. Si el
número de peones de un componente es menor que la mitad de los
peones de la sección, se forma directamente un mundo a partir de ese
componente. Esto es los que ocurre en la sección 3, la cual está
formada por 5 secciones, todas ellas con menos de la mitad de los
peones de la sección.
Fig 15: División de la sección a partir de sus componentes aislados
Por el contrario, si un componente posee más peones y el número de nodos de conexión con la sección
anterior es mayor de uno, se divide el componente en dos mitades de modo que los peones queden repartidos
equitativamente. Para ello, al igual que el método anterior, se obtienen los nodos de "frontera" más alejados
entre sí y se comienza la expansión desde estos. En esta ocasión, a
diferencia del otro método, la expansión continua hasta que uno de
los mundos que se están formando contenga la mitad de los nodos del
componente. El resto de nodos son asignados al otro mundo si están
conectados a él, o pasan a formar un tercer mundo en caso contrario.
La figura 16 muestra la división de la sección a partir de los dos nodos
frontera más alejados hasta que el mundo de la parte inferior
izquierda alcanza a más de cuatro peones.
Fig 16:División de una sección en dos mitades
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La división final del tablero en mundos con el método de reparto equitativo de peones se puede observar en la
siguiente imagen:
Grafo completo
Grafo dividido en mundos
DIVISIÓN POR COMUNIDADES
En teoría de grafos una comunidad es un conjunto de nodos muy conectados entre sí pero con pocas
conexiones con los nodos no pertenecientes a la comunidad.
Existen múltiples algoritmos en teoría de grafos para la detección de comunidades, clasificados en tres grupos:
algoritmos aglomerativos, algortimos de división y algoritmos de maximización de modularidad. Entre los
algoritmos aglomerativos se encuentra el algoritmo "hierarquical clustering", basado en agrupar
progresivamente los nodos con mayor número de conexiones entre sí. Entre los algoritmos de división se
encuentra el algoritmo de mínimo número de cortes y el propuesto por Girvan_Newman. El de mínimo número
de cortes genera las comunidades de modo que se minimicen las conexiones entre ellas, mientras que el de
Girvan_Newman elimina progresivamente las aristas con mayor centralidad de intermediación hasta generar
subgrafos aislados. Los algoritmos basados en maximización de modularidad, como el algoritmo Louvain,
buscan la partición del grafo con mayor modularidad, medida de un grafo que relaciona la cantidad de
conexiones dentro de una comunidad con la cantidad de conexiones existentes entre nodos de diferentes
comunidades.
La división de nuestro tablero de ajedrez planteada ahora consiste en generar tantos mundos como
comunidades se generen en el grafo. En cada iteración del algoritmo, al igual que se hacía en la división
anterior, se reduce el tablero para obtener el mínimo grafo que contiene a todos los peones. A continuación,
empleando el algoritmo Louvain, se obtiene la partición del grafo con mayor modularidad. A partir de cada uno
de los conjuntos de nodos obtenidos en la partición se genera un mundo.
A continuación se muestra un ejemplo de división del tablero aplicando este método:
Grafo completo
Grafo dividido en mundos
En la imagen se puede comprobar que se han eliminado los nodos situados una distancia mayor que 13,
distancia del peón más alejado. Además se observan los seis mundos generados a partir de la partición con
mayor modularidad.
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Experimentos
Escenarios de los experimentos
Los cuatro métodos de división del sistema anteriormente explicados, sí como el método de solución sin aplicar
ningún tipo de control ni división, van a ser probados en tableros de ajedrez de 8x8 con 8,12,16 o 20
obstáculos y 8, 12, 16 ó 20 peones. De cada tipo de escenario se van a generar 50 grafos, los cuales van a ser
resueltos 50 veces cada uno.
Tiempo de evacuación
El tiempo de evacuación es el tiempo que tarda el último peón en abandonar el tablero, es decir el tiempo que
tarda el tablero en quedar vacio. Este tiempo va a ser empleado como criterio de comparación de los
diferentes métodos de evacuación diseñados.
Se van a calcular las pérdidas de un método de solución para un escenario concreto como el incremento,
expresado en porcentaje, del tiempo de evacuación obtenido con respecto al tiempo ideal de la mejor solución
posible.
Análisis de la varianza: anova
Para comparar si k grupos de muestras tomados pertenecen a
poblaciones diferentes existen varias posibilidades. Una posibilidad es
comparar dos a dos las distribuciones de todos los pares de grupos, lo
cual, en el caso de k grupos haría necesarias
comparaciones. Otra
posibilidad es aplicar el análisis de la varianza, anova, para comparar
simultáneamente todos los grupos.
Anova
permite
contrastar
la
hipótesis
nula,
, de que las medias de todos los grupos son
iguales, frente a la hipótesis
de que al menos alguna de las medias es diferente al resto. Esto se realiza
comparando la variabilidad que existe dentro del grupo con la que hay entre grupos.
[3]Para poder aplicar ANOVA deben cumplirse los siguientes tres requisitos:



Independencia de las k muestras
Normalidad de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones analizadas
Homocedasticidad, es decir, homogeneidad en las varianzas de los distintos grupos
El análisis ANOVA va a ser empleado para comprobar si los resultados de los distintos planes de evacuación son
diferentes y para determinar si las propiedades de los grafos influyen en los tiempos de evacuación y en el
funcionamiento de cada uno de los planes de evacuación.
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Clasificación de escenarios
Creemos que la estructura de red del problema juega un papel primordial en el enfoque de división. Por ello,
en este apartado se van a clasificar los escenarios en función de las propiedades de los grafos para poder
después analizar el comportamiento de los diferentes métodos de solución propuestos en cada tipo de
escenario.
En primer criterio de clasificación de los escenarios va a ser la densidad de sus grafos. A continuación se va a
plantear la clasificación en función de la centralidad de los nodos, medida de la importancia de éstos dentro del
grafo.
DENSIDAD DEL GRAFO
La densidad de un grafo es la relación entre el número el número de aristas del grafo y el número de aristas
máximo, el cual es el número de aristas de un grafo completo con el mismo número de nodos.
Se denomina grafo disperso a aquel cuya densidad tiene un valor pequeño, mientras que los grafos densos son
aquellos que poseen gran número de aristas.
En los grafos de los tableros de ajedrez generados , la densidad será menor cuanto mayor sea el número de
obstáculos ya que añadir un obstáculo supone no solo eliminar 4 aristas, sino también eliminar un nodo. En
concreto, los grafos empleados en los experimentos tienen densidades comprendidas entre 0.0493 y 0.0796.
Para clasificarlos escenarios en función de la densidad de los grafos, se ha dividido el rango anterior en cuatro
intervalos equiespaciados, repartiéndose así los escenarios en cuatro conjuntos según el valor de su densidad.
Para determinar si la densidad del grafo es un factor influyente en los tiempos de evacuación, se va realizar el
análisis de anova. Se va a partir de los tiempos de evacuación obtenidos en los experimentos lo los diferentes
planes de evacuación para los 16 tipos de tableros de ajedrez distintos. Estos datos se van a agrupar en k=4
poblaciones en función de la densidad del grafo empleado en cada experimento. El p-valor obtenido en el
análisis anova es 1.9507e-073, lo cual implica que la hipótesis nula no es correcta y que por tanto la densidad
del grafo es un factor influyente en los resultados. La siguiente gráfica muestra las pérdidas de los tiempos de
evacuación en escenarios con diferentes densidades:
Influencia de la densidad del grafo
0.0720 < D <0.0796
Densidad del grafo
0.0644 < D < 0.0720
0.0569 < D < 0.0644
0.0493 < D < 0.0569
-20
0
20
40
60
80
100
120
Pérdidas(%)
La grafica permite observar que cuantos mayor es la densidad, o lo que es lo mismo, mayor número de
obstáculos, menores son las pérdidas.
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CENTRALIDAD
En teoría de grafos, la centralidad es una medida de la importancia relativa de un nodo dentro del grafo. Esta
importancia no es una propiedad intrínseca del nodo, si no que viene determinada por la posición de éste en el
grafo.
Existen múltiples métricas que permiten determinar la centralidad de un nodo. Estas métricas se clasifican en
dos grupos: métricas radiales y mediales. En las métricas radiales el nodo en cuestión es origen o destino de
caminos generados con un cierto criterio, y la métrica de centralidad determina la cantidad de caminos
existentes (métrica de volumen) o la longitud de estos (métrica de longitud). Sin embargo, en las métricas
mediales se emplea para determinar la centralidad de los nodos la cantidad de caminos que atraviesan dicho
nodo.
Algunas de las métricas de centralidad más importantes son la centralidad de grado, de cercanía, de
proximidad y de vector propio.
Métricas de centralidad:
Centralidad de grado
La centralidad de grado es una medida radial de volumen que se calcula
como el número de aristas incidentes en el vértice. Esta medida da una
idea de la conectividad de un nodo.
La figura 17 muestra la escala de centralidad de grado de los nodos de un
grafo, en una escala en la que mayor oscuridad significa mayor
Fig 17: Centralida de grado de los nodos
centralidad.
Centralidad de cercanía:
La centralidad de cercanía es una métrica radial de longitud calculada
como la inversa del valor medio de las distancias mínimas desde ese
nodo al resto de nodos del grafo. Por tanto, cuanto mayor sea la
distancia media menor será la centralidad del nodo y viceversa.
Fig 18: Centralidad de cercanía de los nodos
Centralidad de intermediación:
La centralidad de intermediación es una medida de centralidad medial que viene dada por la fracción de
caminos más cortos entre nodos del grafo que atraviesan el nodo en cuestión. Se calcula mediante la siguiente
ecuación:
donde
es el conjunto de nodos del grafo,
es el número de
caminos más cortos existentes en el grafo entre los nodos y , y
es la cantidad de esos caminos en los que
actúa de
puente.
Fig 19: Centralidad de intermediación de los nodos
La figura 19 muestra la escala de centralidad de intermediación de los nodos.
16
Centralidad de vector propio:
Otra medida de centralidad radial de volumen es la centralidad de
vector propio. Esta métrica mide la influencia de un nodo en el grafo de
modo que esta centralidad será elevada si un nodo está conectado a
muchos nodos, los cuales están a su vez conectados a muchos nodos.
Fig 20: Centralidad de vector propio de los nodos
Clasificación de grafos en función de su centralidad:
En este apartado se propone la clasificación de los grafos empleados en el escenario del tablero de ajedrez
según su centralidad. Para ello, se ha calculado la entropía de la centralidad de sus nodos.
Asignando a cada nodo un valor, su centralidad, se obtiene una función de los nodos del grafo
función es transformada en una función de probabilidad
. Esta
, ya que esta función cumple que la
suma de probabilidades es igual a uno. A partir de esta función probabilidad creada se calcula la entropía.
Por tanto, la entropía de información de un grafo parametrizado se calcula como
[1]
Cuanto mayor sea la entropía mayor será la diferencia de centralidad de sus nodos.
Partiendo de los tiempos de evacuación del problema de evacuación mediante la solución descentralizada y
mediante los cuatro técnicas de división propuestas, se ha realizado el análisis de la varianza empleando como
criterio de clasificación de los resultados la entropía de centralidad de grado del grafo empleado, la entropía de
centralidad de cercanía, la entropía de centralidad de intermediación y la entropía de centralidad de vector
propio. En los cuatro casos se han obtenido p-valores muy pequeños y pérdidas mayores en los escenarios de
mayor entropía, es decir, en los menos homogéneos.
A continuación se muestra el resultado del análisis empleando como criterio de clasificación de los grafos la
entropía de centralidad de intermediación:
Influencia de la entropía del grafo
1.5734 < E < 1.6674
Entropía del grafo
1.4794 < E < 1.5734
1.3854 < E <1.4794
1.2914 < E <1.3854
20
40
60
80
Pérdidas(%)
100
120
140
Esto significa que los escenarios con peores tiempos de evacuación son aquellos que tienen mayor entropía de
intermediación, lo cual implica que los nodos de su grafo presentan mayores diferencias de centralidad.
17
Análisis de resultados
A continuación se van a analizar los resultados obtenidos al solucionar el problema de evacuación del tablero
de ajedrez mediante diferentes métodos. La primera solución analizada es la solución descentralizada en la que
los peones se mueven libremente por el tablero completo. Los siguientes métodos analizados consisten en
aplicar el enfoque de división y meta-negociación empleando los 4 criterios de división del escenario
anteriormente explicados. Estos 5 métodos de solución del problema de evacuación van a ser comparados con
mejor solución posible, solución que se obtendría si todos los peones tomasen su ruta más corta y aceptasen la
espera en caso de conflicto.
COMPARACIÓN DE LOS DISTINTOS PLANES
Para poder determinar si los resultados obtenidos con los diferentes métodos son significativamente
diferentes, se va a aplicar el análisis de la varianza, anovan. El análisis de anova permite saber si un criterio
genera conjuntos significativamente diferentes dentro de una población, comparando la varianza dentro del
conjunto con la varianza de toda la población.
Realizando el análisis de anova con las pérdidas de los tiempos de evacuación y criterio para generación de
grupos el métodos de evacuación empleado, el p-valor obtenido es 0. Esto indica que los tiempos de
evacuación dependen de la técnica de evacuación empleada. La siguiente gráfica muestra el valor medio de las
pérdidas para cada uno de los métodos empleados y los intervalos de confianza al 95% de estos valores:
Comparación de los distintos enfoques
Referencia
Enfoque empleado
División simétrica
División por distancias
División por nº de peones
División por comunidades
60
70
80
90
100
110
Pérdidas(%)
120
130
140
150
160
La gráfica anterior permite comprobar que la aplicación del enfoque planteado proporciona importantes
mejoras en la solución del problema, ya que las pérdidas en los tiempos de evacuación son reducidas del 160%
al 60%. El mejor método de solución del problema de evacuación propuesto es el método de la división
simétrica, seguido por el de la división por comunidades. La obtención de buenos resultados en el método de
división por comunidades concuerda con los resultados obtenidos en la clasificación de grafos en función de la
entropía de centralidad de intermediación, ya que en el análisis anterior se obtuvo que los grafos con menores
pérdidas eran los de menor entropía (es decir, los más homogéneos) y este método de división se basa en la
eliminación de los nodos con mayor centralidad de intermediación.
18
COMPARACIÓN DE LOS PLANES EN LOS DISTINTOS
TIPOS DE ESCENARIO
A continuación se va a analizar el funcionamiento de los diferentes planes de evacuación en cada tipo de
escenario, clasificando los escenarios en función de la densidad de sus grafos y de la entropía de centralidad de
sus nodos.
Influencia de la densidad en cada plan de evacuación:
La siguiente gráfica muestra las pérdidas en los tiempos de
evacuación de los diferentes planes de evacuación propuestos en
escenarios con grafos de diferentes densidades, donde los planes y
entropías indicados son los mostrados en la tabla de la derecha:
Plan 5
Plan 4
Plan 3
Plan 2
Plan 1
Densidad 3
Densidad 2
Densidad 1
Densidad 0
Plan de división simétrica
Plan de división por comunidades
Plan de división por reparto de peones
Plan de división por distancia
Referencia, plan sin división
0.0720 < D< 0.0796
0.0644 < D < 0.0720
0.0569 < D < 0.0644
0.0493 < D < 0.0569
Influencia de la entropía de centralidad de intermediación en los distintos planes de evacuación
Plan=5,Densidad=3
Plan=4,Densidad=3
Plan de evacuación y entropía de centralidad de intermediación
Plan=3,Densidad=3
Plan=2,Densidad=3
Plan=1,Densidad=3
Plan=5,Densidad=2
Plan=4,Densidad=2
Plan=3,Densidad=2
Plan=2,Densidad=2
Plan=1,Densidad=2
Plan=5,Densidad=1
Plan=4,Densidad=1
Plan=3,Densidad=1
Plan=2,Densidad=1
Plan=1,Densidad=1
Plan=5,Densidad=0
Plan=4,Densidad=0
Plan=3,Densidad=0
Plan=2,Densidad=0
Plan=1,Densidad=0
-50
0
50
100
150
200
Pérdidas(%)
La gráfica anterior muestra, en primer lugar, que las diferencias entre unos planes de evacuación u otros son
mayores en los escenarios con menores densidades (escenarios con menos obstáculos). Además se observa
que es en estos escenarios de baja densidad en los que los beneficios de los planes diseñados en comparación
con la solución si aplicar divisiones es mayor, llegando a superar el 100% de diferencia. En el conjunto de
escenarios generado existen pocos grafos de densidad mayor de 0.0644, lo cuál es el motivo que se estén
obteniendo intervalos de confianza tan amplios y hace que los resultados obtenidos para densidades elevadas
no sean significativos
Por otro lado, analizando los resultados del método de división simétrico (plan 5) se observa que este método
no se ve influenciado por la densidad del grafo, lo cual es razonable ya que la división no tiene en cuenta el
grafo.
Por último, la gráfica muestra que el método de división basado en reparto equitativo de peones (plan 3), en
los grafos de baja densidad introduce mejoras de hasta el 50% en comparación con la solución de referencia,
mientras que en los escenarios de baja densidad proporciona las mismas pérdidas. Esto muestra la
importancia de realizar un análisis previo de las propiedades del grafo antes de aplicar un método de
evacuación.
19
Influencia de la entropía de centralidad en cada plan de evacuación:
La siguiente gráfica muestra las pérdidas en los tiempos de
evacuación de los diferentes planes de evacuación propuestos en
escenarios con grafos de diferentes entropías de centralidad de
intermediación, donde los planes y entropías indicados son los
mostrados en la tabla de la derecha:
Plan 5
Plan 4
Plan 3
Plan 2
Plan 1
Entropía 3
Entropía 2
Entropía 1
Entropía 0
Plan de división simétrica
Plan de división por comunidades
Plan de división por reparto de peones
Plan de división por distancia
Referencia, plan sin división
1.5734 < E < 1.6674
1.4794 < E < 1.5734
1.3854 < E < 1.4794
1.2914 < E < 1.3854
Influencia de la entropía de centralidad de intermediación en los distintos planes de evacuación
Plan=5,Entropía=3
Plan=4,Entropía=3
Plan de evacuación y entropía de centralidad de intermediación
Plan=3,Entropía=3
Plan=2,Entropía=3
Plan=1,Entropía=3
Plan=5,Entropía=2
Plan=4,Entropía=2
Plan=3,Entropía=2
Plan=2,Entropía=2
Plan=1,Entropía=2
Plan=5,Entropía=1
Plan=4,Entropía=1
Plan=3,Entropía=1
Plan=2,Entropía=1
Plan=1,Entropía=1
Plan=5,Entropía=0
Plan=4,Entropía=0
Plan=3,Entropía=0
Plan=2,Entropía=0
Plan=1,Entropía=0
-50
0
50
100
Pérdidas(%)
150
200
250
La grafica muestra que los beneficios de los planes de evacuación diseñados en comparación con la solución sin
realizar divisiones son mayores en los escenarios con grafos de mayor entropía de centralidad de
intermediación, grafos en los que además se obtienen las mayores pérdidas.
En la gráfica se observa también que la entropía de centralidad de intermediación afecta especialmente al los
planes de división por distancias y división por reparto equitativo de peones, mientras que la división simétrica
y la división por comunidades se ven menos afectados.
20
Conclusiones y trabajo
futuro
Muchos de los sistemas empleados actualmente, tales como tales como sistemas de comunicaciones, redes
eléctricas o infraestructuras de transporte, puede ser modelados como redes: conjuntos de nodos
interconectados. Unos sistemas de especial complejidad son las redes en las cuales existen elementos
autónomos con capacidad de decisión, y en las cuales, además, puede cambiar de forma dinámica la
estructura de la red y los elementos que forman parte del sistema. En estas redes hay un objetivo global al
mismo tiempo que cada uno de los elementos autónomos tiene unos intereses y objetivos particulares.
El plan de evacuación de una ciudad es un ejemplo de sistema con elementos autónomos y estructura
dinámica. Para automatizar el diseño de planes de evacuación se ha propuesto emplear la teoría de grafos para
modelar las vías de transporte y estructura de la ciudad como un grafo.
Una vez se dispone del grafo, la técnicas de evacuación diseñada consiste en dividir el sistema a evacuar en
varios subsistemas interconectados que evolucionen de forma independiente. Los individuos pertenecientes a
un subsistema serán quienes decidan si existen o no puntos de entrada al subsistema, así como la posible
ubicación de estos puntos. De este modo, cuando se produzca un conflicto entre dos individuos de un
subsistema al intentar acceder a un mismo punto, se les habrá dado un motivo para aceptar el plan de
evacuación y ceder el paso: la garantía de que esa espera no les obligará a sufrir futuros conflictos, ya que
pueden colocar las puertas de entrada a su subsistema de forma que esto no suceda. Los experimentos
realizados han permitido comprobar que este plan de evacuación permite reducir el tiempo de evacuación
hasta casi un 100% en comparación con el tiempo que se obtiene sin aplicar ningún plan de evacuación.
La aplicación de la teoría de grafos ha permitido además diseñar divisiones del sistema que tienen en cuenta la
estructura del grafo y que son aplicables a redes y sistemas generales. Además ha permitido clasificar los
escenarios en función de las propiedades de los grafos. Por último, se ha mostrado la necesidad de realizar un
análisis previo de las propiedades y estructura de grafo antes de aplicar un método de evacuación, ya que los
diferentes planes de evacuación no proporciona los mismos beneficios en grafos con diferentes propiedades.
En la línea del trabajo realizado quedaría realizar experimentos con grafos de mayor tamaño y con grafos
aleatorios, ya que los experimentos mostrados en este documento han sido realizados con unos escenarios
muy concretos. La realización de experimentos con otros grafos permitiría determinar la influencia de
propiedades de los grafos como el número de nodos o el diámetro del grafo. Por otro lado, sería el trabajo
comenzado con este documento continuaría aplicando los planes de evacuación diseñados a grafos de
ciudades reales.
21
Referencias
[1] Mowshowitz, A., & Dehmer, M. (2012). Entropy and the complexity of graphs revisited. Entropy, 14(3), 559570.
[2] Dehmer, M., & Popovscaia, M. (2010). Towards structural network analysis.Buletinul Academiei de Stiinte a
Republicii Moldova, 1(62), 3-22.
[3] www.uv.es/montes/biomecanica/2004/anova
[4]YYLiu, JJ Slotine, AL Barabási-Nature,2011. Controllability of complex networks
22