Tableaux para la Lhgica de Primer Orden

Tableaux para la Lógica de Primer Orden
Mara Manzano
USAL
Curso 2009-2010
Mara Manzano (USAL)
Tableaux LPO
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Introducción
Hemos visto los tableaux para la lógica proposicional. Extenderemos este
cálculo a la lógica de primer orden. Hay que añadir algunas reglas para
cuanti…cadores y para la identidad.
Los tableaux en LPO sirven para:
1
Establecer la insatisfacibilidad de una fórmula o conjunto de
fórmulas. Al acabar el tableau, si todas las ramas están cerradas
sabemos que carece de modelo.
2
Sin embargo, no sirve para establecer la satisfacibilidad: un árbol
abierto no vale para nada. La lógica de primer orden es indecidible
3
Establecer la validez de una fórmula; se demuestra que su negación
es insatisfacible.
4
Para demostrar consecuencia a partir de hipótesis; probamos que el
conjunto formado por las hipótesis y la negación de la conclusión es
insatisfacible.
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Nuevas reglas de tableaux para la lógica de predicados
Sea L un lenguaje con un número in…nito de constantes, y sea A una
L-fórmula (se añaden si es preciso constantes nuevas a las que llamamos
parámetros).
Se conservan las reglas de la lógica proposicional.
γ-reglas:
1. Si t es un término y x una variable, entonces de 8xA(x ) podemos
deducir A(t ).
2. Si t es un término y x una variable, de :9xA(x ) podemos deducir
:A(t ).
δ-reglas: sea x una variable.
1. De 9xA(x ) podemos deducir A(c ) para cualquier constante c 2 L que
no haya sido usada aún en la rama.
2. De :8xA(x ) podemos deducir :A(c ) para cualquier constante c 2 L
que no haya sido usada aún en la rama.
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Ejemplo I
Example
Este es un tableau para 8x 9yPxy .
1. 8x 9yPxy
2. 9yPcy
3. Pcd
γ1
δ2
Notas
La línea 2 se obtuvo de la línea 1 usando la γ-regla ‘de 8xA(x ) se
deduce A(t ) para cualquier término cerrado t’. Aquí, A(x ) era
‘9yPxy ’. Decidimos que t fuese una constante, c. (Podríamos haber
usado cualquier otro término cerrado.)
La línea 3 se obtuvo de la línea 2 aplicando la δ-regla ‘de 9yA(y ) se
deduce A(c ) donde c es una constante nueva’. Aquí, A(y ) era Pcy .
Usamos la constante nueva d. No podíamos haber usado c porque ya
había sido previamente usada en la rama (línea 2).
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Ejemplo II
Example
Otro tableau para 8x 9yPxy
Podríamos haber seguido aplicando las reglas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8x 9yPxy
9yPcy
Pcd
9yPdy
9yPfcady
Pde
Pfcadb
γ1
δ2
γ1
γ1
δ4
δ5
Notas. Aquí hemos introducido d, e y b como parámetros de PAR en las
líneas 3, 6 y 7, mientras que c y fcad son términos de LPAR .
Paramos cuando todas las ramas están cerradas, pero si una rama no se
cierra no sabemos si es que no puede cerrarse o que no hemos acertado
con el parámetro adecuado.
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Los tableaux sirven para demostrar teoremas
Procedimiento refutativo
El cálculo de tablea es de naturaleza refutativa, se basa en la búsqueda
de un contraejemplo. Por ello negamos la conclusión de lo que queremos
demostrar y explicitamos la contradicción que de ello se deriva.
Como en LP, de…nimos el concepto de prueba, tanto de teoremas lógicos,
como de teoremas a partir de hipótesis. En particular:
1
2
Sea A una sentencia. Escribimos ` A si existe un tableau cerrado
para :A.
Sea A una sentencia y Γ un conjunto de sentencias. Escribimos Γ ` A
si existe un tableau cerrado para Γ [ f:Ag. Esto es, una refutación
de Γ [ f:Ag.
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Estrategias de aplicación
1
Aplicar antes las reglas proposicionales que las de primer orden.
2
y para las primeras usad las estrategias conocidas. Primero las reglas
α que las β y entre ellas siempre primero las que cierren ramas. En
otro caso, la fórmula más compleja.
3
Entre las reglas con cuanti…cadores aplicar antes las reglas δ que las
γ.
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Otro ejemplo
Example
Probamos ` 9xPx ! :8x :Px.
1. :(9xPx ! :8x :Px )
9xPx
::8x :Px
Pc
8x :Px
:Pc
cerrado(4,6)
2.
3.
4.
5.
6.
α1
α1
δ2
α3
γ5
Observamos
9xPx ! :8x :Px es obviamente válida.
Las antiguas reglas proposicionales también se usan.
Ha resultado mejor usar las δ reglas antes que las γ reglas, puesto
que tienen restricciones.
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Reglas de tableaux para la igualdad
Regla 1 (re‡exividad)
Podemos introducir t = t en una rama, en
cualquier momento, para cualquier término cerrado t de LPAR .
Regla 2 (reemplazamiento)
Si A(x ) es una fórmula y t, τ son
términos cerrados de LPAR , entonces de A(t ) y τ = t (o bien t = τ)
podemos deducir A(τ ).
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Ejemplo con igualdad
Example
Probamos ` 8x 8y (x = y ! y = x ).
1. :8x 8y (x = y ! y = x )
2. :8y (c = y ! y = c )δ1
3. :(c = d ! d = c ) δ2
4. c = d
α3
5. :(d = c )
α3
6. c = c
=
7. d = c
=(4,6)
cerrado(6,7)
La línea 7 se obtuvo sustituyendo c por d en la línea 6, usando la línea 4
(c = d) y la regla 2 de la igualdad. Vamos a ver cómo hemos aplicado la
regla 2 a partir de las líneas 4 y 6 en la 7.
Los términos que se intercambian son c por d
La fórmula sobre la que se aplica la regla es c = c
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Corrección y completud
Completud + corrección = equivalencia entre consecuencia sintáctica y
semántica.
La completud la plantearon Post y Hilbert, para LPO la probó Gödel,
1930. La prueba más usada es la de Henkin de 1949. La demostración
para tableaux es algo distinta, Smullyan.
Figure: Leon Henkin
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Corrección y completud
Perspectiva lógica I
1
2
La noción semántica de verdad selecciona al conjunto VAL de las
sentencias válidas, las que son verdaderas en todos los modelos
— tanto en la lógica proposicional como en la de primer orden.
Y la sintáctica al conjunto TEO de los teoremas lógicos.
¿Coinciden esos conjuntos?
Semántica
Cálculo
VAL
TEO
Figure: Dos métodos de selección
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Corrección y completud
Perspectiva lógica II
Demostrar que
VAL
TEO
es el objetivo del teorema de completud, que
TEO
VAL
lo es del de correción. Para cálculos correctos y completos el diagrama
aparece como muestra la …gura .
Las zonas rayadas están
vacías
VAL
TEO
Figure: Cálculo correcto y completo
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Corrección y completud
Teorema de corrección
Theorem
Adecuación del cálculo de tableaux de primer orden
Si hay un tableau cerrado para un conjunto de fórmulas ∆, entonces ∆ es
insatisfacible. (∆ es …nito.)
Theorem
Corrección del cálculo de tableaux
Si Γ `tab A, entonces Γ j= A, para cada conjunto …nito Γ y cada fórmula
A.
Corollary
Si `tab C , entonces j= C .
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Corrección y completud
Teorema de completud
Theorem
Teorema de su…ciencia del método de tableaux para primer orden
Si ∆ es insatisfacible, entonces hay un tableau para ∆ cerrado. (∆ es
…nito.)
Theorem
Completud del cálculo de tableaux para lógica de primer orden
Si Γ j= C , entonces Γ `tab C (Para Γ …nito.)
Corollary
Γ j= C syss Γ `tab C .
Corollary
j= C syss `tab C .
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