Problema 20

20.- Una empresa chocolatera produce dos tipos de bombones: Rellenos de licor o
rellenos de almendras. Para el proceso productivo utiliza como materias primas: cacao,
azúcar, almendras y licor de cereza. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de cada
materia prima que requiere 1 kilogramo de cada clase de bombón y la disponibilidad
máxima de las materias primas en kilogramos y/o litros:
Rellenos de licor
R. de almendras
Disponibilidad
Cacao
2
2
300
Azúcar
3
4
500
Almendras
0
0.5
40
Licor
0.33
0
25
Dadas estas condiciones, el empresario nos plantea los siguientes deseos, según
niveles de importancia:
Primero: Desea que el coste de la producción no supere el presupuesto diario de
1500 u.m., siendo el precio al que el empresario paga cada kg. de materia prima el
siguiente:
Cacao Azúcar Almendras Licor
2
1
5
4
Precio
Y además cada kg. de bombones (ambos tipos) tiene añadido un coste adicional
de 2 u.m. por otros gastos.
Segundo: Obtener un beneficio, como mínimo, de 500 u.m., sabiendo que cada
kg de bombones de licor genera un beneficio unitario de 5 u.m. y cada kg de bombones
de almendras de 2.5 u.m.
Tercero: Debido a necesidades de demanda, la producción de bombones de licor
no debe superar al de la producción de bombones rellenos de almendras.
a) Formule el modelo apropiado a los deseos de la empresa, e indique el problema a
resolver en cada nivel.
b) Defina el concepto de solución eficiente y el de solución satisfactoria y explíquelos
brevemente.
c) ¿Diría que producir 65 kgs. diarios de bombones de licor y 70 kgs. diarios de
bombones de almendras es una solución de este problema?
Solución:
a) Denominamos x1 a los kg. de bombones rellenos de licor, y x2 a los kg. de
bombones rellenos de almendras. Según las cantidades de cada materia prima que
requiere 1 kilogramo de cada clase de bombón y la disponibilidad máxima de las
materias primas en kilogramos y/o litros, tenemos las siguientes restricciones:
2x1 + 2x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 500
½ x2 ≤ 40
1/3x1
≤ 25
Primer nivel de prioridad: Desea que el coste de la producción no supere el presupuesto
diario de 1500 u.m., siendo el precio al que el empresario paga cada kg. de materia
prima el siguiente:
Cacao Azúcar Almendras Licor
2
1
5
4
Precio
Y además cada kg. de bombones (ambos tipos) tiene añadido un coste adicional
de 2 u.m. por otros gastos.
Coste de producción = 2 (2x1 + 2x2) + (3x1 + 4x2) + 5 ( ½ x2) + 4 (1/3x1) + 2x1 + 2x2 =
= 4x1 + 4x2 + 3x1 + 4x2 + 5/2x1 + 4/3x2 + 2x1 + 2 x2 = 9x1 + 4/3x1 + 10x2 +5/2x2 =
=
31
25
x1 +
x2
3
2
La meta será:
31
25
x1 +
x 2 ≤ 1500
3
2
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
31
25
x1 +
x 2 + n1 – p1 = 1500
3
2
la variable no deseada es p1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = p1
Segundo nivel de prioridad: Obtener un beneficio, como mínimo, de 500 u.m., sabiendo
que cada kg de bombones de licor genera un beneficio unitario de 5 u.m. y cada kg de
bombones de almendras de 2.5 u.m.La meta será:
5x1 + 2.5x2 ≥ 500
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
5x1 + 2.5x2 + n2 – p2 = 500
la variable no deseada es n2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = n2
Tercer nivel de prioridad: Debido a necesidades de demanda, la producción de
bombones de licor no debe superar al de la producción de bombones rellenos de
almendras. La meta será:
x1 ≤ x2
Æ
x1 – x2 ≤ 0
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
x1 – x2 + n3 – p3 = 0
la variable no deseada es p3, y la función de realización será: h3(n3, p3) = p3
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { p1, n2, p3 }
s.a.
2x1 + 2x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 500
½ x2 ≤ 40
≤ 25
1/3x1
31
25
x1 +
x 2 + n1 – p1 = 1500
3
2
5x1 + 2.5x2 + n2 – p2 = 500
x1 – x2 + n3 – p3 = 0
x1, x2, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2, 3
Nivel 1:
Min p1
s.a.
2x1 + 2x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 500
½ x2 ≤ 40
≤ 25
1/3x1
31
25
x1 +
x 2 + n1 – p1 = 1500
3
2
x1, x2, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min n2
s.a.
2x1 + 2x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 500
½ x2 ≤ 40
≤ 25
1/3x1
31
25
x1 +
x 2 + n1 – p1 = 1500
3
2
p1 = 0
5x1 + 2.5x2 + n2 – p2 = 500
x1, x2, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
Nivel 3:
Min p3
s.a.
2x1 + 2x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 500
½ x2 ≤ 40
≤ 25
1/3x1
31
25
x1 +
x 2 + n1 – p1 = 1500
3
2
p1 = 0
5x1 + 2.5x2 + n2 – p2 = 500
n2 = 0
x1 – x2 + n3 – p3 = 0
x1, x2, x3, n1, p1, n2, p2 , n3, p3 ≥ 0
c) Para que el punto (65, 70) sea solución satisfactoria, debe verificar todas las
restricciones del problema y además satisfacer las metas. Comprobémoslo,
sustituyéndolas en dicho punto.
Restricciones del problema:
130 + 140 = 270 ≤ 300
195 + 280 = 475 ≤ 500
32.5 ≤ 40
23.3 ≤ 25
Primera meta:
671.67 + 875 = 1546.67 ≥ 1500
Debería ser ≤ .
Puesto que se ha comprobado que el punto (65, 70) no satisface la 1ª meta, podemos
afirmar que no es una solución satisfactoria.