Febrero de 2010 - Universidad de Alcalá

I. T. Telecomunicaciones
Soluciones al examen de Fı́sica–Febrero 2010
Universidad de Alcalá
Departamento de Fı́sica
P1) Un conductor rectilı́neo y muy largo de radio R = 2 mm, cuyo eje de simetrı́a coincide
con el eje Z de cierto sistema de referencia, transporta una corriente de densidad ~j = j0 (1 −
exp{−(r/R)2 }) ~k, siendo r la distancia al eje y j0 = 6 × 105 A/m2 .
a) Calcule la intensidad de la corriente a través de la sección completa de conductor;
b) calcule el valor del campo magnético B generado a una distancia r = 3 mm del eje;
c) ¿En qué dirección(es) y sentido(s) debe moverse una carga situada en ~r = (3~i + 2~k) mm para
que la fuerza magnética sea máxima?
d) Determine el módulo de dicha fuerza máxima si la carga tiene un valor de q = 1.6 × 10−19 C
y lleva una velocidad de 106 m/s.
Nota: El área elemental de una corona circular de radio r y anchura dr vale dS = 2πr dr.
Solución:
a) Determinamos la intensidad calculando el flujo del vector densidad de corriente eléctrica ~j a
través de una sección circular de conductor de radio r:
Z r
j0 (1 − exp{−(r/R)2 })2π r dr
I(r) =
0
2
R2
r
+
(exp{−(r/R)2 } − 1)
= 2πj0
2
2
A través de la sección completa de conductor, r = R:
I(r = R) = πR2 j0 exp{−1} → I(r = R) = 2.77 A
b) Utilizando la ley de Ampere se obtiene,
B(r) =
µ0 Ienc
2πr
Si r = 3 mm, la corriente encerrada vale I(r = R) = 2.77 A, por lo que
B(r = 3 mm) = 1.85 × 10−4 T
~ = B(r = 3 mm) ~j. Como
c) En el punto de vector posición ~r = 3~i + 2~k tendremos B
~
F~ = q (~v ∧ B)
~ son perpendiculares. Por tanto, ~v debe estar contenida en el plano
la fuerza será máxima si ~v y B
XZ:
~v = vx~i + vz~k
siendo vx y vz cualesquiera valores.
d) La fuerza máxima será entonces
Fmax = qv0 B(r = 3 mm) → Fmax = 2.96 × 10−17 N
P2) La figura muestra 3 superficies conductoras huecas y
concéntricas, de radios R1 = 1 cm, R2 = 1.5 cm y R3 = 3 cm
(ignórese su espesor), cargadas inicialmente con cargas Q1 = −3
µC, Q2 = +5 µC y Q3 = −5 µC. Determine el número de electrones que se transfieren a o desde masa si se conecta a Tierra
a) la superficie exterior;
b) la superficie intermedia;
c) la superficie interna.
Nota: Carga del electrón, qe = −1.6 × 10−19 C
Solución:
a) El potencial debido a una superficie esférica conductora de radio R, cargada con carga Q, vale
Q
si r > R
r
Q
φ(r) = K si r < R
R
φ(r) = K
Si la superficie exterior se une a masa, y llamamos Q′3 la carga que tiene una vez alcanzado el
equilibrio, su potencial (que será nulo) tendrá la expresión:
φ(R3 ) = K
Q1 + Q2 + Q′3
= 0 → Q′3 = −(Q1 + Q2 ) → Q′3 = −2 µC
R3
y la ganancia de carga de dicha superficie será
∆Q3 = Q′3 − Q3 = 3 µC
es decir, la esfera pierde −3 µC, que pasan a Tierra, lo que equivale al siguiente número de
electrones:
N3 =
3 × 10−6
→ N3 = 1.88 × 1013
1.6 × 10−19
b) Si la superficie intermedia se une a masa, y llamamos Q′2 la carga que tiene una vez alcanzado
el equilibrio, su potencial (que será nulo) tendrá la expresión:
Q1 + Q′2 Q3
R2
φ(R2 ) = K
+
Q3 → Q′2 = 5.5 µC
= 0 → Q′2 = −Q1 −
R2
R3
R3
y la ganancia de carga de dicha superficie será
∆Q2 = Q′2 − Q2 = 0.5 µC
es decir, la esfera pierde −0.5 µC, que pasan a Tierra, lo que equivale al siguiente número de
electrones:
N2 =
0.5 × 10−6
→ N2 = 0.31 × 1013
1.6 × 10−19
c) Si la superficie interna se une a masa, y llamamos Q′1 la carga que tiene una vez alcanzado el
equilibrio, su potencial (que será nulo) tendrá la expresión:
′
R1
5
R1
Q1 Q2 Q3
+
+
Q3 → Q′1 = − µC
= 0 → Q′1 = − Q2 −
φ(R1 ) = K
R1
R2
R3
R2
R3
3
y la ganancia de carga de dicha superficie será
∆Q1 = Q′1 − Q1 =
4
µC
3
es decir, la esfera pierde −4/3 µC, que pasan a Tierra desde la esfera, lo que equivale al siguiente
número de electrones:
N1 =
4
3
× 10−6
→ N1 = 8.33 × 1012
1.6 × 10−19
P3) Una varilla conductora de longitud a = 30 cm rota alrededor de uno de sus extremos (punto O de la figura) con velocidad
angular w = 100π rad/s. Su otro extremo se mueve en contacto
con un rail conductor circular fijo de radio a. El circuito se cierra
mediante un conductor rectilı́neo con una pila de φ = 1.5 V in~
tercalada. El dispositivo está situado en el seno de un campo B
uniforme y constante, perpendicular al plano del rail, y de módulo
B = 0.1 T. La resistencia del circuito es R = 20 Ω. Se pide
a) El valor y sentido de la intensidad en el circuito;
b) la fuerza magnética sobre la varilla, dibujando su dirección y
sentido sobre la figura;
c) ¿Cuál debiera ser la velocidad angular w para que la intensidad en el circuito fuera nula?
Nota: Ignore todo efecto de rozamiento mecánico. El área elemental de un sector circular elemental
de ángulo dθ y radio a vale dS = 12 a2 dθ.
Solución:
a) Para resolver este problema debemos tener en cuenta la presencia de dos fem en el circuito: la
de la pila (φ0 ) y la inducida en el circuito debido a la variación de flujo de campo magnético (φ):
φ0 + φ = IR
~ tendrá sentido saliente del plano del papel, dS
~
Recorriendo el circuito en sentido antihorario, dS
~
y B serán entonces paralelos, y tendremos:
φ=−
dS
d(BS)
= −B
dt
dt
y como dS = 1/2a2 dθ, entonces dS/dt = 1/2a2 w por lo que
1
φ = − a2 Bw
2
La intensidad será entonces
I=
φ0 − 12 a2 Bw
→ I = 4.3 mA
R
que, como sale positiva, tendrá sentido antihorario (el mismo sentido que hemos realizado en el
circuito).
b) La fuerza sobre la varilla será
~ = I ~l ∧ B
~
F
y estará contenida en el plano del papel, perpendicular a la varilla y dirigida según el sentido de
giro. El módulo de la fuerza vale
F = IaB → F = 1.29 × 10−4 N
c) Para que la intensidad sea nula, las fem de la pila y la inducida deben cancelarse:
2φ0
1000
1
rad/s
φ0 + φ = 0 → φ0 = a2 Bw → w = 2 → w =
2
a B
3
~ r ) = C(x2~i − y 2~j + 2z 2~k),
T1) Dado el campo vectorial G(~
a) ¿es conservativo?
b) ¿es solenoidal?
c) calcule la circulación a lo largo de una circunferencia completa con centro en el origen, radio
R, y contenida en el plano z = 0.
Solución:
~ ∧G
~ es nulo en todos los puntos del campo,
a) Puede comprobarse que el rotacional del campo ∇
por lo que el campo es conservativo.
b) Calculamos la divergencia del campo:
~G
~ = C(2x − 2y + 4z) 6= 0
∇
y como no es nulo en todos los puntos, el campo no es solenoidal.
c) Como el campo es conservativo, su circulación a lo largo de cualquier curva cerrada es nula.
T2) La figura muestra un bloque de material dieléctrico sin carga
neta y de permitividad relativa ǫr , y una superficie gaussiana
cilı́ndrica de radio R. En el interior del dieléctrico el campo
eléctrico (debido a cargas libres fuera de la figura) es uniforme,
de módulo E, y tiene la dirección y sentido mostrados.
a) Determine la densidad superficial de carga de polarización en
la superficie superior del dieléctrico.
b) ¿Cuál es el flujo del desplazamiento eléctrico a través de la superficie gaussiana?
c) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a través de la superficie gaussiana?
Nota: exprese todas las respuestas en función de ǫ0 , ǫr , E, y R.
Solución:
a) Determinamos la densidad superficial de carga de polarización en la superficie superior del
dieléctrico a través de
σ ′ = P~ ~n
~ es el vector polarización y ~n es el vector unitario dirigido hacia fuera del
donde P~ = ǫ0 (ǫr − 1)E
dieléctrico (hacia arriba en la figura). Por tanto,
σ ′ = −ǫ0 (ǫr − 1)E
~ es igual a la carga libre encerrada por la superficie
b) El flujo del vector desplazamiento eléctrico D
gaussiana, que es nula en nuestro caso. Por tanto,
I
~ =0
~ dS
D
S
~ es igual a la carga total encerrada (libre + polarización)
c) El flujo del vector campo eléctrico E
por la superficie gaussiana dividida por ǫ0 , que en nuestro caso es igual a la carga de polarización
dentro de la superficie gaussiana. Por tanto,
I
S
~ = −(ǫr − 1)π R2 E
~ dS
E
T3) La figura muestra un circuito con una fuente de tensión φ0
y dos condensadores idénticos de capacidad C0 . Se introduce una
oblea de material dieléctrico, de permitividad relativa ǫr = 2, entre
las placas de uno de los dos condensadores planos manteniendo
conectada la fuente. Para este condensador plano, determine cómo
han variado (si aumentan, disminuyen o no cambian) las siguientes
cantidades:
a) la capacidad;
b) la carga libre en sus armaduras;
c) la diferencia de potencial entre sus armaduras;
d) la energı́a electrostática almacenada.
Solución:
a) Evidentemente la capacidad aumenta en un factor 2 al introducir el dieléctrico:
C ′ = 2C0
b) Inicialmente, el potencial de la fuente cae en partes iguales en ambos condensadores, ya que
estos son idénticos. Para cada uno de ellos,
1
C0 φ0
2
Q0 =
Una vez introducido el dieléctrico, las cargas en ambos condensadores deben ser iguales pero de
valor distinto al inicial, Q′ , y las caı́das de tensión serán Q′ /C0 y Q′ /(2C0 ) para los condensadores
superior e inferior, respectivamente. Por tanto,
Q′
2
Q′
+
= φ0 → Q′ = C0 φ0
C0 2C0
3
por lo que la carga en el condensador inferior ha aumentado en un factor 4/3.
c) A partir del resultado anterior se deduce que, para el condensador inferior, la nueva diferencia
de potencial vale
φ′ =
φ0
3
por lo que ha disminuido en un factor 2/3, ya que antes la tensión entre sus extremos era φ0 /2.
d) En la situación inicial, la energı́a electrostática almacenada vale
1
U0 = C0
2
φ0
2
2
1
= C0 φ20
8
2
=
Una vez introducido el dieléctrico, tendremos:
1
U = 2C0
2
′
por lo que ha disminuido en un factor 8/9.
φ0
3
1
C0 φ20
9
T4) La figura muestra 3 fuerzas constantes aplicadas a un cuerpo
de masa m que se desplaza sobre una superficie sin rozamiento hacia
la izquierda. Durante el desplazamiento desde una posición inicial
hasta otra separada una distancia d de la primera,
a) determine el trabajo neto realizado sobre el cuerpo por el conjunto
de fuerzas;
b) determine la velocidad inicial v0 del cuerpo si al final tiene una
velocidad vf ;
c) razone si la energı́a cinética del cuerpo aumenta o disminuye para
el caso F2 = 1.5F1 y θ = 45◦ .
Solución:
~3 no realiza trabajo ya que es perpendicular al desplazamiento. La fuerza F
~1 realiza
a) La fuerza F
~
un trabajo W1 = F1 d, y F2 realiza un trabajo W2 = −F2 d cos θ. El trabajo neto será la suma de
los trabajos individuales:
W = (F1 − F2 cos θ)d
b) El trabajo neto, según el teorema de las fuerzas vivas, se invierte en variar la enegı́a cinética
del cuerpo:
1
2W
W = m(vf2 − v02 ) → v02 = vf2 −
→ v0 =
2
m
r
vf2 −
2d(F1 − F2 cos θ)
m
c) Para el caso F2 = 1.5F1 y θ = 45◦ , el trabajo neto vale
√
W = (F1 − F2 cos θ)d = F1 d(1 − 3 2/4) = −0.06F1 d < 0
y por tanto la energı́a cinética del cuerpo disminuye.
T5) La Luna tiene una masa ML = 7.34 × 1022 kg, un radio RL = 1740 km, y está a una distancia
d = 3.84 × 108 m de la Tierra.
a) Determine a qué distancia de la Tierra, y sobre la recta que une Tierra y Luna, está el punto
en el que las dos fuerzas gravitatorias ejercidas por Tierra y Luna sobre un cuerpo se cancelan;
b) determine la velocidad mı́nima que debe tener un cuerpo en la superficie de la Luna para que
llegue a la Tierra, si en la Luna es lanzado en dirección a la Tierra.
Nota: Masa de la Tierra, MT = 6×1024 kg; constante de la gravitación universal, G = 6.67×10−11
Nm2 /kg2 .
Solución:
a) Sobre un punto situado a una distancia rE del centro de la Tierra, la fuerza ejercida por ésta
vale en módulo
FT = G
MT m
2
rE
Dicho punto está a una distancia d − rE del centro de la Luna, por lo que ésta ejercerá una fuerza
sobre el cuerpo de módulo
FT = G
ML m
(d − rE )2
Igualando ambas fuerzas y despejando rE se obtiene la ecuación de segundo grado
2
rE
−
MT d2
2dMT
rE +
=0
MT − ML
MT − ML
que resolviendo resulta en
rE = 3.44 × 108 m
es decir, a una distancia de 4 × 107 m del centro de la Luna, equivalente a unos 23 radios lunares.
b) El cuerpo debe tener velocidad suficiente para alcanzar el punto anterior de equilibrio, ya
que una vez sobrepasado la fuerza gravitatoria terrestre será mayor que la debida a la Luna y se
encargará de acelerar el cuerpo hasta su superficie. Tomando origen de energı́as en el punto de
equilibrio, la energı́a potencial debida a la Tierra si el cuerpo está a una distancia r de su centro
vale
1
1
−
UT = −GMT m
r rE
y la debida a la Luna vale
UL = −GML m
1
1
−
d − r d − rE
Cuando el cuerpo está en r = rE la energı́a total es nula (tanto la cinética como la potencial).
Cuando el cuerpo está en la superficie de la Luna, r = d − RL y por tanto
1
1
1
1
1
0 = mv02 − GMT m
−
−
− GML m
2
d − RL rE
RL d − r E
Despejando v0 y operando se encuentra
v0 = 2.27 km/s