Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen de Campos Electromagnéticos. 2o de Industriales. Julio-2007
PROBLEMA 1
Para analizar en qué forma se carga un material aislante de permitividad al ponerse en contacto con un
conductor cargado y luego separarse, se realizan experimentos con una lámina del aislante de superficie S y
grosor d y se mide la diferencia de potencial entre sus dos caras. Se proponen dos modelos de electrificación
(ver figura):
1. La carga libre Q transferida desde el conductor queda depositada en la superficie de contacto, creando
una densidad superficial.
2. La carga Q se distribuye uniformemente en el dieléctrico creando una densidad volumétrica.
El área S es muy grande, ası́ que la superficie puede considerarse infinita. Se pide:
(a) Hallar las densidades de carga libre y de polarización, ası́ como el campo eléctrico en todo el espacio,
para cada uno de los dos modelos propuestos (2.0 ptos.)
(b) Hallar la diferencia de potencial entre ambas caras del dieléctrico para cada modelo. A la vista de
las dos fórmulas, ¿puede discernirse qué modelo es el correcto a partir de las medidas de diferencia de
potencial? ( 0.5 ptos.)
Q
Q
S
S
ε
ε
d
Modelo 1
d
Modelo 2
SOLUCIÓN
Apartado a)
Modelo 1.- Si la carga Q se deposita en la superficie de contacto, de área S,la densidad superficial será
simplemente
ρfS = Q/S.
La presencia de la capa de dieléctrico obliga a plantear el cálculo de los campos a partir del vector despla Usaremos la ley de Gauss en presencia de dieléctricos, en forma integral,
zamiento D.
SG
· dS
= q (f ) ,
D
(1)
donde SG es una superficie gaussiana adecuada a la geometrı́a del problema y q (f ) es la carga libre encerrada
por dicha superficie. Por la simetrı́a traslacional del problema, el vector desplazamiento es puramente vertical
= D(z)uz . Si tenemos en cuenta que las fuentes
e independiente de las coordenadas horizontales, es decir, D
de este campo son exclusivamente las cargas libres, podemos admitir simetrı́a especular respecto del plano
cargado, es decir, D(−z) = −D(z). La superficie gaussiana se toma con dos tapas planas, paralelas y
equidistantes a la superficie cargada. El área de las tapas la denominaremos S . El flujo a través de la
superficie lateral es nulo por la orientación del campo. La fórmula anterior conduce entonces a
D(z)S − D(−z)S = 2D(z)S = ρfS S →
D(z) =
ρfS
Q
=
.
2
2S
(2)
En cambio, el campo eléctrico no presenta simetrı́a especular por la presencia de la capa dieléctrica y de las
= E
obtenemos
cargas de polarización asociadas, que son también fuentes para él. Usando la relación D
finalmente
=
E
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Q
uz
z>0
2S0
Q
uz −d < z < 0 .
−
2S
Q
uz
z < −d
−
2S0
Las cargas superficiales de polarización (las únicas que aparecen por ser homogéneo el dieléctrico) se obtienen
y ρP = P · n. El resultado es
a posteriori mediante las fórmulas P = ( − 0 )E
S
ρPS z=0
=−
− 0 Q
,
2S
ρPS z=−d
=
− 0 Q
.
2S
Modelo 2.- Si la carga se distribuye uniformemente en la capa dieléctrica, la densidad volumétrica será
Q
.
Sd
ρf =
Los campos se obtienen de la misma forma, con la particularidad de que ahora el campo eléctrico también
presenta simetrı́a especular respecto de un origen de la coordenada z elegido en el plano medio de la capa
dieléctrica. Además, cuando |z| < d/2 la carga libre encerrada al aplicar la ley de Gauss para dieléctricos
no incluye la carga total. En ese caso el cálculo da
2D(z)S = 2zS ρf
→
D(z) =
Qz
Sd
(|z| < d/2).
(3)
El resultado es
=
E
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Q
uz
z > d/2
2S0
Qz
uz
−d/2 < z < d/2 .
S
Q
uz
z < −d/2
−
2S0
Finalmente, debemos calcular las cargas de polarización en volumen y en superficie. En volumen usamos
· P = −dP/dz. El resultado es
ρP = −∇
ρp = −
− 0 Q
.
Sd
Se trata de una densidad volumétrica uniforme y negativa. En cambio las densidades superficiales son
positivas, e iguales por simetrı́a. Su valor es
ρPS z=±d/2
=
− 0 Q
.
2S
Podemos comprobar que la carga total de polarización de la capa dieléctrica resulta cero, como debe ser.
Apartado b)
En el primer modelo la diferencia de potencial es simplemente el campo en el interior del dieléctrico por el
grosor de la capa, es decir
· dr = Q d.
(4)
E
2S
En cambio, la misma integración para el segundo modelo da cero, como cabı́a esperar de la simetrı́a del
problema. En conclusión, la medida de la diferencia de potencial permite determinar si la carga libre se ha
difundido uniformemente o no.
V (0) − V (−d) = −
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PROBLEMA 2
Problema 2.- (2.5 ptos.) Un hilo rectilı́neo de gran longitud está formado por dos materiales conductores
dispuestos coaxialmente: uno, que constituye el núcleo de radio R1 , tiene conductividad σ1 ; el otro, que lo
recubre hasta un radio R2 , tiene conductividad σ2 . Si sabemos que el hilo es recorrido por una corriente
continua de intensidad I, se pide hallar:
(a) La densidad de corriente y el campo eléctrico en cualquier punto del hilo
(1.5 ptos.)
(b) El campo magnético en cualquier punto del espacio, tanto dentro como fuera del hilo.
(1.0 ptos.)
R1
σ1 R2
σ2
SOLUCIÓN
Apartado a)
La corriente de intensidad total I se distribuye de manera no uniforme en la sección del hilo, puesto que
existen dos medios de distinta conductividad. Las ecuaciones que rigen los regı́menes estacionarios de
corriente son
· j = 0,
×E
= 0,
∇
∇
(1)
sujetas a la condición jn = 0 en la superficie cilı́ndrica de radio R2 , que constituye la frontera con el medio
exterior no conductor.
Proponemos una distribución volumétrica de corriente de la forma
j = j(r)uz ,
(2)
donde hemos usado coordenadas cilı́ndricas con eje z según el eje de simetrı́a del hilo, con orientación positiva
en el sentido de la corriente. La forma propuesta satisface la simetrı́a del problema frente a traslaciones en
la dirección z y frente a giros en el ángulo φ. Además, se satisface automáticamente la condición de contorno
· j = 0.
jn = 0 en r = R2 . También se satisface automáticamente la ecuación ∇
El campo eléctrico se escribe de forma análoga, puesto que la conductividad es sólo función de r:
= j/σ(r) = E(r)uz .
E
De la ecuación sobre el campo eléctrico se deduce
ur
1 ∂/∂r
r Er
(3)
ruφ
uz ∂/∂φ ∂/∂z = 0
rEφ
Ez →
∂Ez
= 0.
∂r
(4)
Por tanto, E(r) es en realidad una constante, que llamaremos E0 y que debemos relacionar con la intensidad
de corriente I. Se trata pues de un campo eléctrico uniforme en todo el hilo. En cambio, la densidad de
corriente no es uniforme, sino que toma valores distintos en cada medio:
j =
σ1 E0 uz 0 < r < R1
.
σ2 E0 uz R1 < r < R2
(5)
Imponemos ahora que la corriente total vale I, es decir,
I=
S
= πR2 σ1 E0 + π(R2 − R2 )σ2 E0 .
j · dS
1
2
1
(6)
De aquı́ obtenemos
I/π
,
σ1 R12 + σ2 (R22 − R12 )
E0 =
que junto con (5) determina la densidad de corriente en cada punto del hilo.
Apartado b)
El campo magnético se obtiene de la ley de Ampère en forma integral,
γ
· dr = μ0 I(S),
B
donde γ es una lı́nea cerrada de integración, S es cualquier superficie que se apoye en dicha lı́nea e I(S) la
intensidad de corriente que atraviesa la superficie S.
= B(r)uφ ,
La distribución hallada en el apartado a) es poloidal y da lugar a un campo magnético toroidal B
es decir, con lı́neas de campo circulares con centro en puntos del eje. Tomamos γ como una lı́nea de campo
cualquiera y la circulación se calcula fácilmente. La ley de Ampère conduce a
2πrB(r) = μ0 I(r),
donde I(r) toma distintos valores según el radio de γ.
0 < r < R1 , R1 < r < R2 y r > R2 . El resultado final es
=
B
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
En particular debemos distinguir tres casos:
μ0 I
σ1 r
2
2π σ1 R1 +σ2 (R22 − R12 )
2
σ1 R1 r 2 − R12
μ0 I
+
σ2
2
2πr
2πr
σ1 R1 + σ2 (R22 − R12 )
μ0 I
2πr
0 < r < R1
R1 < r < R2 .
r > R2