la transformada continua y discreta de fourier

LA TRANSFORMADA CONTINUA
Y DISCRETA DE FOURIER
CATEDRA DE SEÑALES Y SISTEMAS
AÑO 2004
Práctico de Cátedra “CATEDRA DE SEÑALES Y SISTEMAS”
Departamento de Electrotecnia
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE
1
PROBLEMAS
1.
1.
1
Problemas
Considere una señal continua x(t) con transformada de Fourier X(jω). Suponga que se
dan los siguientes hechos:
a)
x(t) es real y no negativa.
b) =−1 {(1 + jω)X(jω)} = Ae−2t u(t), donde A es independiente de t.
c)
R∞
2
−∞ |X(jω)| dω
= 2π
Determine una expresión de forma cerrada para x(t).
2.
Considere un sistema LTI causal con respuesta en frecuencia
H(jω) =
1
jω + 3
para una entrada en particular x(t), se observa que este sistema produce la salida
y(t) = e−3t u(t) − e−4t u(t)
Determine x(t).
3. Calcule la convolución de cada uno de los siguientes pares de señales x(t) y h(t) mediante
el cálculo de X(jω) y H(jω), usando la propiedad de convolución y haciendo la transformación inversa.
x(t) = te−2t u(t), h(t) = e−4t u(t)
x(t) = te−2t u(t), h(t) = te−4t u(t)
x(t) = et u(t),
h(t) = et u(−t)
4. La entrada y la salida de un sistema LTI causal están relacionadas por la ecuación diferencial
dy(t)
d2 y(t)
+6
+ 8y(t) = 2x(t)
2
dt
dt
a)
Encuentre la respuesta de este sistema al implulso.
1
PROBLEMAS
2
b)
¿Cuál es la respuesta de este sistema si x(t) = te−2t u(t)?
c)
Repita la parte (a) para el sistema LTI causal descrito por la ecuación.
d2 y(t) √ dy(t)
d2 x(t)
+
2
+
y(t)
=
2
− 2x(t)
dt2
dt
dt2
5. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la entrada
x(t) = [e−t + e−3t ]u(t)
es
y(t) = [2e−t − 2e−4t ]u(t)
a)
Encuentre la respuesta en frecuencia de este sistema.
b)
Determine la respuesta del sistema al impulso.
c)
Encuentre la ecuación diferencial que relaciona la entrada y la salida de este sistema
6. Utilice las propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto, junto con el
hecho de que
X(ej0 ) =
∞
X
x[n]
n=−∞
para determinar el valor numérico de
A=
∞
X
n=0
n
n
1
2
Respuesta: A=2
7. Considere un sistema LTI S causal y estable cuya entrada x[n] y salida y[n] estén relacionadas mediante la ecuación a diferencias de segundo orden
1
1
y[n] − y[n − 1] − y[n − 2] = x[n]
6
6
a)
Determine la respuesta en frecuencia H(ejω ) del sistema S
b)
Determine la respuesta al impulso h[n] del sistema S.
1
PROBLEMAS
8.
3
Considere un sistema que consiste en la cascada de dos sistemas LTI con respuestas en
frecuencia
H1 (ejω ) =
2 − e−jω
1 + 12 e−jω
y
H2 (ejω ) =
1
1−
1 −jω
2e
+ 14 e−j2ω
a)
Encuentre la ecuación de diferencias que describe al sistema completo.
b)
Determine la respuesta al impulso del sistema completo
9. Se nos ha dado un sistema lineal, invariante en el tiempo, causal, discreto, cuya entrada
se denota mediante x[n] y salida se denota con y[n]. Este sistema esta especificado por el
siguiente par de ecuaciones a diferencias, que involucran una señal intermedia w[n]:
1
1
2
y[n] + y[n − 1] + w[n] + w[n − 1] =
x[n]
4
2
3
5
5
y[n] + y[n − 1] + 2w[n] − 2w[n − 1] = − x[n]
4
3
10.
a)
Determine la respuesta en frecuencia y la respuesta a la muestra unitaria del sistema.
b)
Encuentre una sola ecuación de diferencias que relacione a x[n] con y[n] para el
sistema.
sea que X(ejω ) que denota la transformada de Fourier de la señal x[n] representada a
continuación en la siguiente tabla de datos:
n
x[n]
-3
-1
-2
0
-1
1
0
2
1
1
2
0
3
1
4
2
5
1
6
0
7
-1
Realice los siguientes cálculos sin evaluar explı́citamente X(ejω ):
a) Evalúe X(ej0 ).
b)
Encuentre 6 X(ejω ).
c) Evalúe
Rπ
−π
X(ejω )dω
d)
Encuentre X(ejπ ).
e)
Determine y dibuje la señal cuya transformada de Fourier es <e {x(jω)}
f)
Evalúe
1)
Rπ
|X(ejω )|2 dω
2)
Rπ
) 2
| X(e
dω | dω
−π
−π
jω