Splines cúbicos

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Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Splines cúbicos
Julio Setién
2005
Convergencia
Datos de la interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
I
Partición del intervalo
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
I
Condiciones de interpolación
xi x 0 . . . x n
yi y 0 . . . y n
Convergencia
Datos de la interpolación
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
I
Partición del intervalo
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
I
I
Condiciones de interpolación
xi x 0 . . . x n
yi y 0 . . . y n
Notación hi = xi+1 − xi i = 0, . . . , n − 1
Convergencia
Definición general
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la partición ∆ si
S(x) ∈ C m−1 ([a, b])
S(x)|[xi ,xi+1 ] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Definición general
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la partición ∆ si
S(x) ∈ C m−1 ([a, b])
S(x)|[xi ,xi+1 ] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1
Observaciones inmediatas:
1. S 0 (x) es un splin de orden m − 1 en [a, b] referido a la
partición ∆
2. Número de parámetros (m + 1)n
3. Número de condiciones de continuidad m(n − 1)
4. Dimensión esperable n + m
5. Condiciones de interpolación n + 1
6. Hay que añadir m − 1 adicionales
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Definición
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos
Convergencia
Definición
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos
A veces llamados interpolación por curvas suaves
Convergencia
Definición
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos
A veces llamados interpolación por curvas suaves
Minimizan un funcional relacionado con la curvatura
Convergencia
Definición
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Caso más habitual, m = 3 o splines cúbicos
A veces llamados interpolación por curvas suaves
Minimizan un funcional relacionado con la curvatura
Definición: S(x) es un splin cúbico referido a la partición ∆ si
S(x) ∈ C 2 ([a, b])
S(x)|[xi ,xi+1 ] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
7. Hay que añadir 2 adicionales,
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas
7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas
7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0
7.2 Dar los valores de S 0 (a), S 0 (b)
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas
7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0
7.2 Dar los valores de S 0 (a), S 0 (b)
7.3 Periódicos
8
< S(a) = S(b) Es una precondición
S 0 (a) = S 0 (b)
: 00
S (a) = S 00 (b)
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Observaciones
1. S 0 (x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la partición
∆
2. S 00 (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición
∆
3. Número de parámetros 4n
4. Número de condiciones de continuidad 3(n − 1)
5. Dimensión esperable n + 3
6. Condiciones de interpolación n + 1
7. Hay que añadir 2 adicionales,tı́picas
7.1 Naturales S 00 (a) = S 00 (b) = 0
7.2 Dar los valores de S 0 (a), S 0 (b)
7.3 Periódicos
8
< S(a) = S(b) Es una precondición
S 0 (a) = S 0 (b)
: 00
S (a) = S 00 (b)
7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3 ([x0 , x2 ]) y S(x) ∈ C 3 ([xn−2 , xn ])
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Consejos
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Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones que
involucre a todos los parámetros
Consejos
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones que
involucre a todos los parámetros
Hay demasiados
Consejos
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones que
involucre a todos los parámetros
Hay demasiados
Hay que afrontarlo de otra manera
Un punto de partida fácil
00
S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Un punto de partida fácil
Julio Setién
00
S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆
Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos
S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
x − xi+1
x − xi
+ Mi+1
hi
hi
donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
i = 0, . . . , n − 1
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Un punto de partida fácil
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00
S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆
Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos
S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
x − xi+1
x − xi
+ Mi+1
hi
hi
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
i = 0, . . . , n − 1
donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n serán nuestras incógnitas
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Un punto de partida fácil
Julio Setién
00
S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆
Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos
S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
x − xi+1
x − xi
+ Mi+1
hi
hi
+Ai
i = 0, . . . , n − 1
(x − xi+1 )2
(x − xi )2
+ Mi+1
+
2hi
2hi
i = 0, . . . , n − 1
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n serán nuestras incógnitas
Integramos dos veces en cada subintervalo, añadiendo las
constantes de integración a nuestro gusto
S 0 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
General
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Un punto de partida fácil
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00
S (x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la partición ∆
Conocemos su expresión en función de sus valores en los nodos
S 00 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
x − xi+1
x − xi
+ Mi+1
hi
hi
+Ai
S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
i = 0, . . . , n − 1
(x − xi+1 )2
(x − xi )2
+ Mi+1
+
2hi
2hi
i = 0, . . . , n − 1
(x − xi+1 )3
(x − xi )3
+ Mi+1
+
6hi
6hi
+Ai (x − xi ) + Bi
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
donde Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n serán nuestras incógnitas
Integramos dos veces en cada subintervalo, añadiendo las
constantes de integración a nuestro gusto
S 0 (x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
General
i = 0, . . . , n − 1
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Condiciones de interpolación
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General
S(xi+ )
= yi
i = 0, . . . , n − 1
S(xi− )
= yi
i = 1, . . . , n
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Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Condiciones de interpolación
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General
S(xi+ )
= yi
i = 0, . . . , n − 1
S(xi− )
= yi
i = 1, . . . , n
(x − xi+1 )3
(x − xi )3
+ Mi+1
+
6hi
6hi
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Condiciones de interpolación
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General
S(xi+ )
= yi
i = 0, . . . , n − 1
S(xi− )
= yi
i = 1, . . . , n
(x − xi+1 )3
(x − xi )3
+ Mi+1
+
6hi
6hi
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
(x − xi−1 )3
(x − xi )3
+ Mi
+
6hi−1
6hi−1
+Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1
i = 1, . . . , n
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Condiciones de interpolación
Julio Setién
General
S(xi+ )
= yi
i = 0, . . . , n − 1
S(xi− )
= yi
i = 1, . . . , n
(x − xi+1 )3
(x − xi )3
+ Mi+1
+
6hi
6hi
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
(x − xi−1 )3
(x − xi )3
+ Mi
+
6hi−1
6hi−1
+Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1
i = 1, . . . , n
Bi = yi − Mi hi2 /6 i = 0, . . . , n − 1
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Condiciones de interpolación
Julio Setién
General
S(xi+ )
= yi
i = 0, . . . , n − 1
S(xi− )
= yi
i = 1, . . . , n
(x − xi+1 )3
(x − xi )3
+ Mi+1
+
6hi
6hi
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
(x − xi−1 )3
(x − xi )3
+ Mi
+
6hi−1
6hi−1
+Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1
i = 1, . . . , n
Bi = yi − Mi hi2 /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =
yi − yi−1
Mi − Mi−1
−
hi−1
hi−1
6
i = 1, . . . , n
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Condiciones de interpolación
Julio Setién
General
S(xi+ )
= yi
i = 0, . . . , n − 1
S(xi− )
= yi
i = 1, . . . , n
(x − xi+1 )3
(x − xi )3
+ Mi+1
+
6hi
6hi
+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1
S(x)|[xi ,xi+1 ] = −Mi
S(x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
(x − xi−1 )3
(x − xi )3
+ Mi
+
6hi−1
6hi−1
+Ai−1 (x − xi−1 ) + Bi−1
i = 1, . . . , n
Bi = yi − Mi hi2 /6 i = 0, . . . , n − 1
Ai−1 =
Ai =
yi − yi−1
Mi − Mi−1
−
hi−1
hi−1
6
yi+1 − yi
Mi+1 − Mi
−
hi
hi
6
i = 1, . . . , n
i = 0, . . . , n − 1
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Continuidad en los nodos interiores
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Como antes hicimos
Curvatura
Convergencia
S(xi+ ) = yi
i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi
i = 1, . . . , n
Splines cúbicos
Continuidad en los nodos interiores
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Como antes hicimos
Curvatura
Convergencia
S(xi+ ) = yi
i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi
i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodos
interiores
S(xi+ ) = S(xi− ) i = 1, . . . , n − 1
Splines cúbicos
Continuidad en los nodos interiores
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Como antes hicimos
Curvatura
Convergencia
S(xi+ ) = yi
i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi
i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodos
interiores
S(xi+ ) = S(xi− ) i = 1, . . . , n − 1
Por construcción, son polinomios de grado menor o igual a 3 en
cada subintervalo y la derivada segunda es continua.
Splines cúbicos
Continuidad en los nodos interiores
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Como antes hicimos
Curvatura
Convergencia
S(xi+ ) = yi
i = 0, . . . , n − 1 S(xi− ) = yi
i = 1, . . . , n
Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodos
interiores
S(xi+ ) = S(xi− ) i = 1, . . . , n − 1
Por construcción, son polinomios de grado menor o igual a 3 en
cada subintervalo y la derivada segunda es continua.
Sólo falta
Continuidad de la derivada en los nodos
interiores
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
0
S (x)|[xi ,xi+1 ]
(x − xi+1 )2
(x − xi )2
= −Mi
+ Mi+1
+
2hi
2hi
yi+1 − yi
Mi+1 − Mi
+
−
hi
hi
6
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
i = 0, . . . , n − 1
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodos
interiores
Splines cúbicos
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General
Splines cúbicos
0
S (x)|[xi ,xi+1 ]
(x − xi+1 )2
(x − xi )2
= −Mi
+ Mi+1
+
2hi
2hi
yi+1 − yi
Mi+1 − Mi
+
−
hi
hi
6
S 0 (x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
+
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
i = 0, . . . , n − 1
(x − xi )2
(x − xi−1 )2
+ Mi
+
2hi−1
2hi−1
yi − yi−1
Mi − Mi−1
−
hi−1
hi−1
6
i = 1, . . . , n
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodos
interiores
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
0
S (x)|[xi ,xi+1 ]
(x − xi+1 )2
(x − xi )2
= −Mi
+ Mi+1
+
2hi
2hi
yi+1 − yi
Mi+1 − Mi
+
−
hi
hi
6
S 0 (x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
+
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
i = 0, . . . , n − 1
(x − xi )2
(x − xi−1 )2
+ Mi
+
2hi−1
2hi−1
yi − yi−1
Mi − Mi−1
−
hi−1
hi−1
6
i = 1, . . . , n
S 0 (xi+ ) = S 0 (xi− ) i = 1, . . . , n − 1
Convergencia
Continuidad de la derivada en los nodos
interiores
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
0
S (x)|[xi ,xi+1 ]
(x − xi+1 )2
(x − xi )2
= −Mi
+ Mi+1
+
2hi
2hi
yi+1 − yi
Mi+1 − Mi
+
−
hi
hi
6
S 0 (x)|[xi−1 ,xi ] = −Mi−1
+
Curvatura
i = 0, . . . , n − 1
(x − xi )2
(x − xi−1 )2
+ Mi
+
2hi−1
2hi−1
yi − yi−1
Mi − Mi−1
−
hi−1
hi−1
6
i = 1, . . . , n
S 0 (xi+ ) = S 0 (xi− ) i = 1, . . . , n − 1
−Mi
= Mi
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
hi
yi+1 − yi
Mi+1 − Mi
−
+
hi =
2
hi
6
hi−1
yi − yi−1
Mi − Mi−1
+
−
hi−1
2
hi−1
6
Convergencia
Sistema que garantiza que es un splin cúbico de
interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1
yi+1 − yi
yi − yi−1
= 6(
−
)
hi
hi−1
i = 1, . . . , n − 1
(1)
Sistema que garantiza que es un splin cúbico de
interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1
yi+1 − yi
yi − yi−1
= 6(
−
)
hi
hi−1
i = 1, . . . , n − 1
Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas
(1)
Sistema que garantiza que es un splin cúbico de
interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1
yi+1 − yi
yi − yi−1
= 6(
−
)
hi
hi−1
i = 1, . . . , n − 1
Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas
Tiene tres incógnitas por ecuación
(1)
Sistema que garantiza que es un splin cúbico de
interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1
yi+1 − yi
yi − yi−1
= 6(
−
)
hi
hi−1
i = 1, . . . , n − 1
Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas
Tiene tres incógnitas por ecuación
Hay n − 1 ecuaciones
(1)
Sistema que garantiza que es un splin cúbico de
interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1
yi+1 − yi
yi − yi−1
= 6(
−
)
hi
hi−1
i = 1, . . . , n − 1
Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas
Tiene tres incógnitas por ecuación
Hay n − 1 ecuaciones
Hay n + 1 incógnitas
(1)
Sistema que garantiza que es un splin cúbico de
interpolación
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
hi−1 Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hi Mi+1
yi+1 − yi
yi − yi−1
= 6(
−
)
hi
hi−1
i = 1, . . . , n − 1
Recordar que Mi = S 00 (xi ) i = 0, . . . , n son las incógnitas
Tiene tres incógnitas por ecuación
Hay n − 1 ecuaciones
Hay n + 1 incógnitas
Necesitamos añadir dos condiciones
(1)
Splines cúbicos naturales
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 00 (a) = S 00 (b) = 0
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos naturales
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 00 (a) = S 00 (b) = 0
Luego M0 = Mn = 0
Matriz del sistema


2(h0 + h1 )
h1
0
... ...

h1
2(h1 + h2 )
h2
0 ... 




0
h
2(h
+
h
)
h
.
.
.
2
2
3
3


..
..
..
.. ..
.
.
.
.
.
Tridiagonal
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos naturales
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 00 (a) = S 00 (b) = 0
Luego M0 = Mn = 0
Matriz del sistema


2(h0 + h1 )
h1
0
... ...

h1
2(h1 + h2 )
h2
0 ... 




0
h
2(h
+
h
)
h
.
.
.
2
2
3
3


..
..
..
.. ..
.
.
.
.
.
Tridiagonal
Diagonal dominante
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos naturales
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 00 (a) = S 00 (b) = 0
Luego M0 = Mn = 0
Matriz del sistema


2(h0 + h1 )
h1
0
... ...

h1
2(h1 + h2 )
h2
0 ... 




0
h
2(h
+
h
)
h
.
.
.
2
2
3
3


..
..
..
.. ..
.
.
.
.
.
Tridiagonal
Diagonal dominante
(existencia y unicidad de soluciones)
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos naturales
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 00 (a) = S 00 (b) = 0
Luego M0 = Mn = 0
Matriz del sistema


2(h0 + h1 )
h1
0
... ...

h1
2(h1 + h2 )
h2
0 ... 




0
h
2(h
+
h
)
h
.
.
.
2
2
3
3


..
..
..
.. ..
.
.
.
.
.
Tridiagonal
Diagonal dominante
(existencia y unicidad de soluciones)
(inmediata de resolver, lineal en n)
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos naturales
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 00 (a) = S 00 (b) = 0
Luego M0 = Mn = 0
Matriz del sistema


2(h0 + h1 )
h1
0
... ...

h1
2(h1 + h2 )
h2
0 ... 




0
h
2(h
+
h
)
h
.
.
.
2
2
3
3


..
..
..
.. ..
.
.
.
.
.
Tridiagonal
Diagonal dominante
(existencia y unicidad de soluciones)
(inmediata de resolver, lineal en n)
Con otras condiciones da un resultado similar
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Escritura final
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Escritura final
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
αi = S(xi+ ) = yi
Splines cúbicos
Escritura final
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
αi = S(xi+ ) = yi
βi = S 0 (xi+ ) =
yi+1 − yi
− Mi hi /3 − Mi+1 hi /6
hi
Splines cúbicos
Escritura final
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
αi = S(xi+ ) = yi
βi = S 0 (xi+ ) =
yi+1 − yi
− Mi hi /3 − Mi+1 hi /6
hi
γi = S 00 (xi+ )/2 = Mi /2
Splines cúbicos
Escritura final
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Un splin cúbico en cada intervalo [xi , xi+1 ] se escribe
αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )3
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
αi = S(xi+ ) = yi
βi = S 0 (xi+ ) =
yi+1 − yi
− Mi hi /3 − Mi+1 hi /6
hi
γi = S 00 (xi+ )/2 = Mi /2
δi = S 000 (xi+ )/6 =
Mi+1 − Mi
6hi
Con otras condiciones
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 0 (a) = S 0 (x0+ ) =
y1 − y0
− M0 h0 /3 − M1 h0 /6
h0
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 0 (a) = S 0 (x0+ ) =
S 0 (b) = S 0 (xn− ) =
y1 − y0
− M0 h0 /3 − M1 h0 /6
h0
yn − yn−1
+ Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6
hn−1
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 0 (a) = S 0 (x0+ ) =
S 0 (b) = S 0 (xn− ) =
y1 − y0
− M0 h0 /3 − M1 h0 /6
h0
yn − yn−1
+ Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6
hn−1
Interpolación de derivadas
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 0 (a) = S 0 (x0+ ) =
S 0 (b) = S 0 (xn− ) =
y1 − y0
− M0 h0 /3 − M1 h0 /6
h0
yn − yn−1
+ Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6
hn−1
Interpolación de derivadas Añadir estas ecuaciones al principio y
final del sistema (1)
Periódicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Con otras condiciones
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
S 0 (a) = S 0 (x0+ ) =
S 0 (b) = S 0 (xn− ) =
y1 − y0
− M0 h0 /3 − M1 h0 /6
h0
yn − yn−1
+ Mn hn−1 /3 + Mn−1 hn−1 /6
hn−1
Interpolación de derivadas Añadir estas ecuaciones al principio y
final del sistema (1)
Periódicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Se
añaden a (1)
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimización
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Curvatura de una función en un punto
|f 00 (x)|
κ(x) =
(1 + f 0 (x)2 )3/2
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Propiedad de minimización
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Curvatura de una función en un punto
|f 00 (x)|
κ(x) =
(1 + f 0 (x)2 )3/2
Si fijamos una serie de valores en los nodos de una partición, o
sea, damos los puntos (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) entonces, de entre
todas las funciones f ∈ C 2 ([a, b]) que pasan por esos puntos
f (xi ) = yi i = 0, . . . , n el splin cúbico natural es la más suave
en el sentido
Z
Z
b
b
S 00 (x)2 dx ≤
a
f 00 (x)2 dx
a
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimización II
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
De entre todas las funciones periódicas de periodo b − a que
toman unos valores prefijados en unos nodos dados, la más suave
en el sentido anterior es el splin cúbico periódico que interpola
esos valores
Curvatura
Convergencia
Propiedad de minimización II
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
De entre todas las funciones periódicas de periodo b − a que
toman unos valores prefijados en unos nodos dados, la más suave
en el sentido anterior es el splin cúbico periódico que interpola
esos valores
Si lo que fijamos son los valores en los nodos y, además, la
derivada en los dos extremos, el splin que interpola esos valores y
esas derivadas es la más suave en el sentido anterior de todas las
funciones que pasan por esos puntos y su derivada toma esos
valores en los extremos
Curvatura
Convergencia
Propiedad de convergencia
Con cualquier clase de splines que interpolemos una función
continua, si vamos aumentando de manera razonable el número
de nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergerá a la
función
Splines cúbicos
Julio Setién
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
Splines cúbicos
Propiedad de convergencia
Julio Setién
Con cualquier clase de splines que interpolemos una función
continua, si vamos aumentando de manera razonable el número
de nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergerá a la
funciónUn ejemplo
General
Splines cúbicos
Construcción de los
splines cúbicos de
interpolación
Curvatura
Convergencia
∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
||∆|| = max{hi , i = 0, . . . , n − 1}
r (∆) = min{hi , i = 0, . . . , n − 1}
f ∈ C 4 ([a, b]) |f 4) (x)| ≤ L ∀x ∈ [a, b]
S∆ (x) interpola a f en los nodos y, además, interpola a su
derivada en los extremos del intervalo.
Entonces, existen constantes Ck ≤ 2 que no dependen de ∆ tales
que ∀x ∈ [a, b]
k)
|f k) (x) − S∆ (x)| ≤ Ck L(||∆||/r (∆))||∆||4−k
k = 0, 1, 2, 3
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