Números complejos y ceros complejos 20 de septiembre de 2009 Exprese los siguientes números complejos en la forma x + iy donde x y y son números reales. −1 1. (−1 + 3i) Sea z = −1 + 3i. Entonces z −1 = z 2 (−1) + 32 = −1 − 3i 1 3 =− + − i. 1+9 10 10 2. (1 + i) (1 − i) (1 + i) (1 − i) = 12 − i2 = 1 − (−1) =1+1 = 2. 3. (1 + i) (2 − i) (1 + i) (2 − i) = 1 (2 − i) + i (2 − i) = 2 − i + 2i − i2 =2+1+i = 3 + i. 4. (i − 1) (2 − i) (i − 1) (2 − i) = i (2 − i) + (−1) (2 − i) = 2i − i2 − 2 + i = 1 − 2 + 3i = −1 + 3i. 5. Pruebe que si z, w son números complejos, entonces zw = z w, z + w = z + w, 1 z=z Supongamos que z = x + iy, w = u + iv, donde x, y, u, v son números reales. Entonces zw = (x + iy) (u + iv) = x (u + iv) + iy (u + iv) = xu + ixv + iyu + i2 yv = xu − yv + (xv + yu) i, por tanto, zw = xu − yv − (xv + yu) i. Por otro lado, z w = (x − iy) (u − iv) = x (u − iv) + (−iy) (u − iv) = xu − ixv − iyu + i2 yv = xu − yv − (xv + yu) i Ası́, zw = z w. Ya que z + w = x + iy + u + iv = x + u + i (y + v) , entonces z + w = x + u − i (y + v) = x + u − iy − iv = x − iy + u − iv = z + w. Finalmente, como z = x + yi, entonces z = x − iy = x + (−y) i. Por tanto, z = x − (−y) i = x + yi = z. 6. Pruebe que para cualquier número complejo z = x + iy, con x, y reales, tenemos Im (z) ≤ |Im (z)| ≤ |z| , p donde Im (z) = y y |z| = x2 + y 2 . Si z = x + iy, entonces Im (z) = y. Ya que y 2 ≤ x2 + y 2 , tomamos raı́z cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener p |y| ≤ x2 + y 2 . Pero y ≤ |y|, y por tanto y ≤ |y| ≤ p x2 + y 2 , y usando las definiciones, Im (z) ≤ |Im (z)| ≤ |z| . 2 7. Evalúe i41 y escriba el resultado en la forma a + bi. Ya que i41 = i40 i y 40 = 4 · 10, afirmamos que i41 = 1 · i = i. Esto es ası́ ya que i40 = i4·10 = i2 2·10 = (−1) 2·10 10 2 = (−1) = 110 = 1. 8. Encuentre todas las soluciones de la ecuación 3x2 −5x+4 = 0 y expréselas en la forma a + bi. Utilizamos la fórmula cuadrática: a = 3, b = −5, c = 4. Entonces el discriminante D es 2 D = b2 − 4ac = (−5) − 4 · 3 · 4 = 25 − 48 = 25 − 25 − 23 = 23. Por tanto, √ √ √ − (−5) ± −23 5 ± 23i −b ± D = = . x= 2a 2·3 6 Las soluciones son 5 + 6 √ 23 i y 6 5 − 6 √ 23 i. 6 Factorize el polinomio completamente y encuentre todos los ceros. Establezca la multiplicidad de cada cero. 9. x3 + 1 x3 + 1 = (x + 1) x2 − x + 1 . Utilizamos la fórmula cuadrática para el segundo factor, b = −1, a = 1, c = 1. Entonces el discriminante D es 2 D = b2 − 4ac = (−1) − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = −3. Por tanto, √ √ √ −b ± D − (−1) ± −3 1 ± 3i x= = = . 2a 2·1 2 Por tanto, √ ! √ ! 1 3 1 3 x + 1 = (x + 1) x − + x− − . 2 2 2 2 3 Los ceros son √−1, con multiplicidad 1, y los complejos conjugados √ 3 3 1 1 2 + 2 i, 2 − 2 i, con multiplicidad 1. 3 10. x4 − 16 x4 − 16 = x2 − 4 x2 + 4 = (x − 2) (x + 2) x2 − (−4) = (x − 2) (x + 2) (x − 2i) (x + 2i) . Los ceros −2, 2, 2i, −2i, todos ellos con multiplicidad 1. 11. 3x3 − x2 + 243x − 81 Los posibles ceros racionales del polinomio son 1 ± , ±1, ±3, ±9, ±27, ±81. 3 Para empezar, evaluamos en x = 1, 3 − 1 + 243 − 81 = 164 > 0, y en x = −1, −3 − 1 − 243 − 81 < 0. Ası́, si el polinomio tiene un cero racional, uno de ellos es 31 o − 13 . Evaluando en x = 13 , 3 2 1 1 1 1 1 − + 243 − 81 = − + 81 − 81 3 3 3 3 9 9 = 0. Por tanto, 31 es un cero del polinomio. Aplicando división sintética, o división de polinomios, obtenemos 1 3x2 + 243 3x3 − x2 + 243x − 81 = x − 3 1 =3 x− x2 + 81 3 1 =3 x− x2 − (−81) 3 1 =3 x− (x + 9i) (x − 9i) . 3 Los ceros son 31 , −9i, 9i, todos ellos con multiplicidad 1. 12. x4 + 8x2 + 16 2 x4 + 8x2 + 16 = x2 + 4 2 = x2 − (−4) = ((x − 2i) (x + 2i)) 2 2 2 = (x − 2i) (x + 2i) . Los ceros son −2i y 2i, cada uno de ellos con multiplicidad 2. 4 Encuentre un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas. 13. P tiene grado 3, y ceros 2, 7i, −7i. Sea P (x) = (x − 2) (x − 7i) (x + 7i) . Entonces, P (x) = (x − 2) x2 + 49 = x3 − 2x2 + 49x − 98. 14. P tiene grado 4, y ceros i, −5i. Ya que P tiene coeficientes enteros, −i y 5i también son ceros de P . Por tanto, P (x) = (x − i) (x + i) (x − 5i) (x + 5) = x2 + 1 x2 + 25 = x4 + 26x2 + 25. 15. P tiene grado 3, ceros 2, i y P (1) = 4. Suponga que P (x) = a (x − 2) (x + i) (x − i) . Entonces P (x) = a (x − 2) x2 + 1 = a x3 − 2x2 + x − 2 . Aplicamos ahora la condición P (1) = a (1 − 2 + 1 − 2) = −2a = 4. Por tanto, a = −2, y el polinomio resulta ser P (x) = −2x3 + 4x2 − 2x + 4. 5