apuntes de física i

Gobierno del Estado de México
Secretaría de Educación, Cultura y Bienestar Social
Subsecretaría de Educación Media Superior y Superior
SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
APUNTES DE FÍSICA I
INGENIERIA INDUSTRIAL (NUEVO PLAN)
ELABORO: ING. VICENTE MARTEL GUZMAN
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TEMARIO
TEMAS
UNIDAD 1
CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
1.1.-Sistema internacional de unidades.
1.1.1.-conversión de unidades
1.2.-Movimiento rectilíneo.
1.2.1.-Desplazamiento, velocidad y aceleración.
1.2.2.-Movimiento uniforme y uniformemente acelerado.
1.2.3.-Movimiento relativo.
1.2.4.-Caída libre de los cuerpos.
1.3.-Movimiento curvilíneo.
1.3.1.-Componentes rectangulares de la velocidad y la
aceleración.
1.3.2.-Movimiento de proyectiles.
1.3.3.-Componentes tangencial y normal de la velocidad y la
aceleración.
1.3.4.-Movimiento circular uniforme y no uniforme.
1.4.- Movimiento de cuerpo rígido.
1.4.1.-traslación y rotación.
PAGINA.-30
CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
2.1.-Leyes de Newton.
2.1.1.-Enunciados y esquemas de visualización.
2.1.2.-Diagramas de cuerpo libre.
2.2.-Resolución de ecuaciones.
2.2.1.-Fuerzas constantes.
2.2.2.-Fuerzas de resistencia y fuerzas de fricción.
2.3.-Aplicaciones a movimiento rectilíneo.
2.4.-Aplicaciones a movimiento curvilíneo.
2.5.-Momento de una fuerza.
2.5.1.-Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo
rígido.
2.5.2.-Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.
TRABAJO, ENERGIA CINÉTICA Y CONSERVACIÓN DE
ENERGÍA. PAGINA.- 53
3.1.-Concepto de trabajo.
3.1.1.-Calculo del trabajo para diferentes fuerzas.
3.2.-Teorema del trabajo y la energía.
3.2.1.-Concepto de energía cinética.
3.2.2.-Aplicaciones.
3.3.-Potencia.
3.4.-Fuerzas conservativas y no conservativas.
3.4.1.-Concepto de energía potencial.
3.4.2.-Aplicaciones.
3.5.-Teorema de conservación de la energía mecánica.
3.5.1.-Demostración del teorema.
3.5.2.-Aplicaciones.
3.6.-Oscilaciones Armónicas.
PAGINA.-4
UNIDAD 2
UNIDAD 3
2
UNIDAD 4
INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA PARTICULA Y DEL
CUERPO RÍGIDO.
PAGINA.- 88
4.1.-Fuerzas en el plano y en el espacio.
4.2.-Equilibrio de una partícula.
4.3.- Momento de una fuerza.
4.3.1.-Respecto a un punto.
4.3.2.-Respecto a un eje.
4.3.3.-Momento de un par. Pares equivalentes. Suma de pares.
4.4.-Reacciones en apoyos y conexiones.
4.5.-Equilibrio de cuerpos rígidos.
INTRODUCCION
ESTOS APUNTES DE FÍSICA SE REALIZO CON LA FINALIDAD DE
PROPORCIONAR A LOS ALUMNOS DEL PRIMER SEMESTRE DE
INGENIERIA UN APOYO , Y UN RECURSO AUXILIAR EN EL APRENDIZAJE
DE ESTA MATERIA.
TAMBIEN SE PRETENDE PROPICIAR EL ESTUDIO INDEPENDIENTE, DE
TAL MANERA QUE CON EL AUXILIO DE ESTOS APUNTES.
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UNIDAD 1
CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
1.1.-Sistema internacional de unidades.
1.1.1.-Conversión de unidades.
OBJETIVO.El alumno aplicará las leyes que explican el movimiento de los cuerpos
utilizando los modelos de la partícula y cuerpo rígido en la solución de
problemas de ingeniería.
En este sistema, que será de uso universal cuando los Estados Unidos
completen su conversión actual, las unidades básicas son las de longitud de
masa y tiempo, y se les llama, respectivamente, metro(m), kilogramo(kg) y
segundo(s), las tres estan definidas arbitriamente, la unidad de fuerza es una
unidad derivada y se llama newton(N). Se define como la fuerza que comunica
una aceleración de 1 m/s².
PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.
Tab. 1.1
Los múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales del SI pueden
obtenerse mediante el uso de los prefijos definidos en la tabla anterior:
1 km= 1000m
1Mg = 1000kg
1mm= 0.0001m
1g= 0.001kg.
1kN = 1000N.
1min= 60s
1h= 60min=3600s
4
1ft=0.3048m
1mi=1.609km
1in=25.4mm
1lb=4.448 N
1.2.-Movimiento rectilíneo.
1.2.1.-Desplazamiento, velocidad y aceleración.
1.2.2.-Movimiento uniforme y uniformemente acelerado
Para iniciar el estudio de este tema, se requiere primero conocer el
comportamiento del movimiento dado. Este es exactamente el objetivo de esta
materia(CINEMATICA), trataremos simplemente de la descripción de los
movimientos, sin preocuparnos de sus causas o de los cambios observados en
tales movimientos. Así en la cinemática decimos que un automóvil se estaría
moviendo por ejemplo a 60 Km, que a partir de un instante dado, su velocidad
se aumento a hasta 80 Km. Y que recorrió cierta distancia en determinado
tiempo, que trato de describir una curva y patina etc., pero no nos
preocuparemos por saber la causa de cada uno de estos hechos. El estudio de
las causas de los cambio de un movimiento dado es objeto de la dinámica, y
constituye el tema propio de la mecánica.
Cuando observamos el movimiento de un objeto, notamos que es bastante
complejo, y encontraríamos dificultades para describirlo detalladamente. Se
hace necesario entonces, hacer algunas simplificaciones que nos facilitan este
estudio. Así prácticamente analizaremos y estudiaremos solo el movimiento de
un cuerpo como si fuera una partícula. Decimos que un cuerpo es una
partícula cuando sus dimensiones son muy pequeñas en comparación con las
demás. De esto se desprende que un mismo cuerpo puede, en ciertas
situaciones, tratarse como una partícula, mientras en otras, esto no es posible.
Por ejemplo si un automóvil de 3m de longitud se desplaza 15m, no podemos
considerar como una partícula, en dicho movimiento, pero, si el mismo
automóvil viaja de una ciudad a otra que esta a unos 200 Km., la longitud del
automóvil será despreciable comparada con la distancia recorrida y se podrá
tratar como, una partícula. Otro ejemplo: a pesar de que normalmente
consideramos a la tierra como un cuerpo de grandes dimensiones, esta podrá
tratarse como una partícula cuando estamos analizando el movimiento
alrededor del sol, pues el tamaño del radio de la tierra es despreciable frente a
la distancia que hay de la tierra al sol.
MOVIMIENTO UNIFORME RECTILÍNEO
Este movimiento, en donde la palabra uniforme significa que el valor de la
velocidad se mantiene invariable.
Para aclarar las ideas, supongamos que un automóvil viaja por una carretera
plana y recta y que su medidor indica siempre una velocidad de 40 km/h, como
sabemos esto significa que en I hora el automóvil recorrerá 40 Km, en dos
horas 80 Km. y en tres horas 120 Km., observe que tenemos:
40 km/1h =
80 km/2 h= 120 lm/ 3h = constante = 40 km/ h.
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con este ejemplo tratamos de mostrar que cuando un cuerpo se desplaza con
movimiento uniforme, el cociente entre la distancia d que dicho cuerpo recorre,
y el tiempo t empleado para ello, es constante, y el valor de esta constante
representa la velocidad del cuerpo, o en otros términos, la distancia recorrerá
es proporcional al tiempo empleado, entonces podemos escribir:
v= d/t
así, en el movimiento de velocidad constante, para encontrar la distancia
recorrida por el móvil, basta multiplicar el valor de su velocidad por el tiempo
durante el cual se mueve. Hace mucho tiempo sabemos que un automóvil a 75
km/h, en 3 horas recorre una distancia de 225 km/h. Es importante observar
que la formula d = v t puede emplearse también para calcular d cuando la
trayectoria es curva.
Aprovechemos ahora la oportunidad para aplicar esta formula, construyamos
una grafica velocidad x tiempo. Para una partícula que se mueve a velocidad
constante v, el grafico v x t tendría la forma que aparece en la siguiente figura:
Busquemos la información posible: en el instante inicial t = 0, esto es, cuando
comenzamos a contar el tiempo( comienzo de la observación del movimiento),
el automóvil poseía ya una velocidad v. A medida que tiempo pasa, el grafico
indica que la velocidad continua con el valor v, esto es, el cuerpo esta
movimiento uniforme. Pasado un tiempo t de movimiento, observe que este
producto corresponde al área que se haya bajo el grafico(área sombreada),
entonces, en un movimiento de velocidad constante , podemos calcular d, a
través de la formula d = v t o sea, determinando el área que queda bajo el
grafico, podrá utilizarse aun cuando el movimiento no sea uniforme.
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Ejemplo:
Un automóvil se mueve por una carretera de tal modo que el grafico o grafica v
x t es como la que se muestra a continuación:
Pag.42
a.- describa el movimiento del automóvil.
Según la grafica, el movimiento se observo durante un tiempo total de 4 h,
cuando se inicio la medicion del tiempo( t = 0), el automóvil ya estaba en
movimiento, a una velocidad de 10 km/h. Mantuvo esta velocidad durante 1
hora, en el instante t = 1 hora , el automóvil apretó el acelerador y aumento la
velocidad bruscamente a 30 km/h , en realidad no es posible un cambio
instantáneo en la velocidad , como aquí se supone. Sin embargo si el cambio
se hizo muy rápidamente, la situación real difiere muy poco de lo que aparece
en la grafica y no seria necesario tener en cuenta tal diferencia. A partir de
este instante, la grafica indica que el automóvil mantiene su velocidad de 30
km/h durante 2 horas, esto es, hasta el instante t = 3 h. En este instante, el
automovilista uso el freno y la velocidad disminuyo rápidamente a 20 km/h,
manteniéndose esta velocidad durante 1 h ( hasta el instante t = 4 h).
b.-¿cuál fue la distancia recorrida por el automóvil durante el tiempo de
observación?
Es evidente que el automóvil durante dicho movimiento no es uniforme, pues
el valor de su velocidad experimenta variaciones durante el recorrido. Por lo
tanto la formula d = vt no podría usarse para calcular d. Sin embargo, es
evidente que el movimiento puede dividirse en partes que no variaron en
velocidad, en cada una de las cuales se aplica la ecuación d =vt, asi donde
t=0 hasta t=1 h, en que la velocidad se mantuvo constante e igual a 10 km/h,
tendríamos una distancia recorrida d1, dada por:
d1= 10 km/h x 1 h
luego d1= 10 km
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De modo análogo, encontraremos las distancias d2, recorrida entre t= 1h y t=3h
y la distancia d3, recorrida entre t= 3h y t= 4 h:
d2= 30km/h x 2h luego d2 = 60 km
d3= 20km/h x 1 h
luego d3= 20 km
cada una de estas distancias recorridas corresponde a cierta area que se halla
bajo la grafica v x t como puede verse en la grafica. La distancia total buscada
sera dada por:
d = d10+ d2 0+d3
o
d= 90 km.
Hasta ahora solo hemos considerado la grafica v x t. otra grafica importante es
d x .t en el movimiento uniforme, la ecuación d = v t, donde v= constante, indica
que d α t ( la ecuación es del tipo Y = a X), esto es , la distancia recorrida por
un cuerpo que esta en movimiento uniforme es directamente proporcional al
tiempo del movimiento.
Entonces la grafica d x t, para el movimiento uniforme es una recta que pasa
por el origen, como se muestra en la figura:
Fig.iv-9
En el instante inicial tenemos d=0, y a medida que pasa el tiempo, la distancia
recorrida d, aumenta proporcionalmente a t. hasta el instante t1, el cuerpo
había recorrido la distancia d1, y hasta el instante t2, la distancia d2, mayor que
d1. Dado que el valor de v representa la constante de proporcionalidad entre d
y t, concluimos que la pendiente del grafico d x t será igual al valor de la
velocidad del cuerpo, entonces, considerando los puntos A y B de la figura
anterior podemos escribir:
V= Δd/ Δt
ó
v= d2-d1/t2-t1
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donde el Δd es la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo Δt.
VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y VELOCIDAD MEDIA.
Supongamos que el movimiento es variado de un automóvil, que la aguja
cambia constantemente de posición , indicando así una velocidad diferente en
cada instante. El valor de la velocidad del automóvil , en un instante dado, se
denomina velocidad instantánea. Indicaremos la manera de determinar
matemáticamente el valor de la velocidad en determinado tiempo. Para esto,
consideremos que un automóvil pasa por el punto A (ver la siguiente figura)
Fig.iv-13
en el instante t, a una velocidad instantánea v (lectura instantanea del medidor
de velocidad). Si dejamos correr un intervalo de tiempo Δt no muy peque ño, el
vehículo se desplazaría hacia B, recorriendo una distancia Δd. Si calculamos el
cociente Δd/Δt , verificaremos que este valor no coincide, en general con el
valor de la velocidad instantánea. Por lo tanto el cociente Δd/Δt nos da la
velocidad instantánea sólo cuando el movimiento es uniforme. Ahora bien,
supongase que, a partir del punto a, dejámos transcurrir un intervalo de tiempo
Δt, menor que el de la vez anterior, verificaríamos que con un valor menor Δt,
el cociente Δd/Δt estaría más próximo al valor de v. Considerando Δt cada
vez menor, Δd/Δt se aproximarían cada vez más a v, y concluimos: si varía
el movimiento, podemos escribir que la velocidad instantánea es dada por v=
Δd/Δt con la restricción de que Δt debe ser lo menor posible (Δt debe tender a
cero). Estas consideraciones se indican matemáticamente, de la siguiente
manera:
v = lim
Δd/Δt
Δ→0
v= dr/dt
v=ds/dt
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Cuando el movimiento es uniforme, la grafica d x t es rectilíneo. En caso
contrario el grafico d x t es curvo y su aspecto puede ser el mismo de la figura
siguiente:
iv-14
En la cual se representa la distancia de un automóvil al comienzo de la
carretera, en función del tiempo. De aquí se desprende que la distancia d varía
con el tiempo y que la velocidad no es constante puesto que la grafica no es
rectilínea. El valor de d alcanza su máximo y luego disminuye lo que significa
que el vehículo se detiene y después vuelve. Nuestro automóvil no mantiene
constante su velocidad y tiene un movimiento variado. Si quisiéramos saber el
valor de su velocidad en un instante dado T, podríamos obtenerlo gráficamente
del siguiente modo( ver la figura anterior), localizaríamos el punto en la grafica
correspondiente al instante pedido(punto P en la figura); luego trazaríamos la
tangente en la grafica en P; al escoger dos puntos cualesquiera C y D sobre la
tangente, calcularíamos la pendiente de esta tangente, esto es, obtendríamos
el cociente DE/CE( fig. anterior), pues bien el valor obtenido para la pendiente
de la tangente sería el valor de la velocidad del vehículo en el instante T.
tenemos pues el un método gráfico para determinar la velocidad instantánea de
un cuerpo cuando establecemos la grafica d x t.
V= pendiente de la tangente en la grafica d x t.
VELOCIDAD MEDIA
Siendo d la distancia recorrida por el cuerpo, en un movimiento cualquiera,
durante un tiempo t su velocidad media Vm, será:
Vm = d/t
Si suponemos que se ha hecho un viaje de 560km en 8h, la velocidad media,
en este viaje sería:
10
Vm= d/t = 560km/8h= 70 km/h
Podríamos decir que: desarrollamos un promedio de 70km/h, esto significa que
durante el recorrido, algunas veces se viajo a 70km/h, otras a una velocidad
inferior a 70km/h.
Ejemplo
El vehículo se mueve en línea recta de tal modo que durante un breve tiempo
su velocidad está definida por v =( 9t² + 2t)ft/s, estando t en segundos.
Calcule su posición y aceleración cuando t= 3s. cuando t=0, s=0.
pag
8
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Ejemplo:
Un automóvil recorre una distancia de 120 km y desarrolla en los primeros 60
km, una velocidad constante de 40km/h y, en los 60km/h, ¿cuál fue la velocidad
promedio en el recorrido total?
La distancia total recorrida fue de d=120km, necesitamos calcular el tiempo
total del viaje. En la primera parte del recorrido, se gasto un tiempo t1 de :
T1= d1/v1 = 60km/40 km/h = 1.5 h.
El teimpo gastado en la segunda parte fue:
T2= d2/v2= 60km/ 60km/h = 1 h
De esta manera, el tiempo total del viaje fue:
t = t1 + t2 = 1.5h + 1 h = 2.5h
la velocidad media del vehículo en el recorrido total fue entonces:
v = d/t =
120km/2.5h = 48 km/h.
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO.
Hasta ahora hemos encontrado, dos magnitudes relacionadas con el
movimiento v y d, muy importantes, ahora vamos a analizar la ACELERACIÓN,
Siempre que ocurre una variación en la velocidad, decimos que el movimiento
presenta aceleración . por lo tanto el concepto de aceleración se relaciona con
los cambios de velocidad. Si un automóvil se esta desplazando en línea recta y
en movimiento uniforme, su velocidad no esta variando y no presenta
aceleración. Consideremos por un momento, que el movimiento es rectilíneo,
como se observa en la siguiente figura:
12
iv-17
En la figura anterior se representa la velocidad v1 del cuerpo, en el instante t1 y
después de un intervalo de tiempo Δt, en el instante t2, verificamos que la
velocidad pasó a un valor v2 diferente de v1. por lo tanto, el cuerpo ostenta una
aceleración pues su velocidad sufrió una variación Δv= v2 – v1, el valor de la
aceleración del movimiento se define:
a= Δv/Δt
o
a = v2 – v1/ t2 – t1
esto es, la aceleración es el cociente entre la variación de la velocidad y el
tiempo empleado en experimentar esta variación . luego la aceleración es una
medida de rapidez con que la velocidad esta variando: cuando decimos que un
automóvil tiene una gran aceleración , se quiere decir que su velocidad varía
mucho en un intervalo de tiempo corto. Supongamos que la figura anterior
tuviéramos v1 = 10m/s y v2 = 70 m/s. teniendo en cuenta que Δt=12s, la
aceleración habría sido:
a= Δv/Δt = 70 m/s - 10 m/s
/ 12s = 60 m/s/s
este resultado indica que en cada 1s, la velocidad del cuerpo aumenta 5m/s.
generalmente estas unidades se expresan así:
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a= 5 m/s/s = 5 m/ s²
aùn si en la figura anterior el valor de v2 fuera menor que el de v1, tendríamos
que Δv<0 y también la aceleración sería negativa, por ejemplo, si v1 =36 m/s,
v2 = 6 m/s y Δv = 5s , se veria:
a=
Δv / Δt = 6m/s – 36m/s / 5s = -30m/s / 5s = -6m/s/s
indicando con lo cual que la velocidad estaba disminuyendo 6/ m/s en cada 1 s.
Cuando el valor de la velocidad aumenta , el movimiento se le llama retardado.
Un tipo muy sencillo para este movimiento variado es aquél en que un cuerpo
se desplaza en línea recta y sus velocidad varía uniformente en el tiempo. En
otras palabras la velocidad varía en cantidades iguales a intervalos de tiempo
iguales. Cuando acontece esto, la aceleración del movimiento es constante.
En la siguiente figura:
iv-18
indicaremos con Vo la velocidad inicial. Si un cuerpo posee una aceleración
constante, su velocidad aumentará o disminuirá uniformemente a partir del
valor Vo y alcanzará el valor V en el instante t, ver figura anterior. Suponiendo
que que V está aumentando, la grafica v X t tendrá el aspecto que aparece en
la figura siguiente:
iv-19
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La pendiente de esta gráfica es Δv / Δt y representa, por lo tanto, el valor de
la aceleración(constante) del movimiento. Como durante el intervalo de tiempo
t, la velocidad varió en Δv = V - Vo, tendremos:
a = V – Vo/ t
despejando tendremos :
V = Vo + at
con esta formula nos permite calcular el valor de la velocidad v que el cuerpo
tendrá en cualquier instante t, es la suma Vo con el producto at, representado
este producto el aumento que la velocidad experimento durante el tiempo t.
Hasta el instante t, el vehículo habrá recorrido una distancia d que podrá
determinarse si calculamos el área bajo el gráfico de la figura anterior,
tendremos :
d = Vot + ½ at²
esta es en consecuencia la ecuación que nos permite clacular la aceleración
del movimiento es constante:
v = Vo + at
y
d= Vot + ½ at²
son relaciones entre la velocidad y el tiempo y entre la distancia y el tiempo
o, como se dice generalmente ellas nos dan v y d en función de t . Podemos
obtener una relación entre v y d ( que no contenga t). útil en muchos casos, si
sacamos el valor t=( v-vo)/ a en la primera ecuación y lo sustituimos en la
segunda. Efectuando los cálculos algebraicos, obtenemos:
v² = vo² + 2 ad.
Esta formula nos permite calcular cuál será la velocidad y del cuerpo después
de haber recorrido una distancia d, en movimiento uniformemente variado, sin
que se conozca el tiempo t transcurrido. En otras palabras, ella nps da v en
función de d.
Si el cuerpo partiera de reposo, esto es, si en el instante t=0 tuvieramos vo=0,
las ecuaciones se simplificarían haciéndose:
v= at
d= ½ at²
y v²= 2 ad.
Ejemplo:
Un automovilista frenó en el instante en que llevaba una velocidad de 20m/s y
observó que en 5 s, bajo a 10 m/s. suponiendo constante la aceleración
producida por la frenada:
a.-¿cuál fue la aceleración del automóvil?
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A= Δv/Δt= 10m/s –20m/s/5s=-2m/s²
b.-Cuál era la velocidad del vehículo 3 s después que el automovilista frenó?
Como la aceleración del vehículo es constante, tendremos:
v= vo + at = 20m/s – 2 m/s² x 3s = 14 m/s
c.-¿Cuál sería la velocidad del vehículo después de recorrer una distancia d=
64 m, contada desde el instante en que el automovilista aplicó el freno?
Se debe usar la relación entre v y d, ya que no se dio el tiempo transcurrido.
Entonces:
v² = vo² + 2 ad = (20 m/s)² - 2x(2 m/s)² X 64m = 144 m²/ s²
luego :
v= 12m/s
d.- ¿cuánto tiempo habrá transcurrido desde el comienzo de la frenada, hasta
que el vehículo paró?
La ecuación v= vo + at nos dará este tiempo si hacemos v=0. así
0 = 20m/s – 2 m/s² x t donde3 t= 10s
e.- ¿cual es la distancia que recorrerá el vehículo desde t=0 hasta parar?
d = vot + ½ at² = 20 m/s x 10s – 1/2x 2 m/s²x 10s = 100m
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CAIDA LIBRE
Cuando soltamos una piedra desde cierta altura, observamos que cae con
velocidad creciente, esto es, que su movimiento es acelerado ( ver figura
siguiente).
iv-20
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Pero si lanzamos la misma piedra hacia arriba, su velocidad va disminuyendo
hasta perderse en el punto más alto o sea, que el movimiento de subida es
retardado. La caída de los cuerpos llamó la atención de los antiguos filósofos
quienes intentaron descubrir las características de este este movimiento. El
gran filósofo Aristóteles aproximadamente hace 300 años a.d.c. estableció que
al dejar caer simultáneamente dos cuerpos de diferente peso desde la misma
altura, el más pesado llegaría primero al suelo, esto es, que tendría mayor
velocidad durante su caída, en virtud de la enorme influencia del pensamiento
aristotélico durante la edad media , esta enseñanza perduró durante casi dos
mil años como un principio básico de la naturaleza. Refutaciones de peso en el
campo de la física y la astronomía, solamente surgieron con GalileoGalilei
quien, a pesar de que el principio fue orientado por su padre hacia el estudio de
la medicina, terminó por convertirse en uno de los mayores físicos de su época
y el precursor de la gran evolución de la evolución de la física, a partir del siglo
XVII.
Galileo llegó a la conclusión de que un cuerpo pesado y el cuerpo liviano,
deben de hacer iguales y llegar al suelo simultáneamente al dejarlos caer
desde una misma altura.
Ejemplo una persona lanza una pelota hacia y la recoge cuando vuelve al
punto de partida. ¿cuánto tiempo estuvo la pelota en el aire, sabiendo que
alcanzo una altura de 20m.
La solución de este y otros problemas semejantes se simplifica grandemente si
observamos que la pelota demora para subir el mismo tiempo que demora para
descender. Esto ocurre porque la aceleración tiene el mismo valor en la subida
que en descenso y, en ambos casos, la velocidad es nula en el punto mas alto.
El movimiento de descenso es exactamente al opuesto al de subida con la
pelota que recupera la velocidad pérdida en la subida( después al volver al
punto de partida, ella tendrá la misma velocidad con que fue lanzada).
Entonces, razonando sólo con el movimiento de descenso, tenemos vo= 0(la
pelota parte del reposo, pues su velocidad se anula en el punto mas alto) y la
distancia d= 20m de caída será dada por :
d = ½ g t²
donde t es el tiempo gastado en el descenso. Así
t = √ 2d/g
= √ 2 x 20m/9.8 m/ s² = 2s
el tiempo t es el tiempo estuvo la pelota en el aire fue de 2 x 2s= 4s.
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VECTOR VELOCIDAD Y VECTOR ACELERACIÓN
Al estudiar los movimientos curvilíneos no podemos olvidar que la velocidad y
la aceleración son magnitudes vectoriales y por ello analizaremos los vectores
v y a.
Supongamos que una partícula describa una trayectoria curvilínea, como se
muestra en la figura siguiente:
iv-27
Sabemos calcular el módulo de la velocidad de la partícula, que es dado por :
v= lím ∆d/∆t
∆t→0
donde ∆d es la distancia recorrida, a lo largo de la curva, en el tiempo ∆t.
Para definir el vector v, es preciso indicar su dirección y sentido. La dirección
de v es tangente a la trayectoria en cada punto de ésta y su sentido es aquél
en que la partícula se está moviendo. Por lo tanto, conociendo el vector v en un
instante dado se conoce el valor de la velocidad instantánea, la dirección
instantánea del movimiento(tangente de trayectoria) y el sentido del movimiento
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en ese instante. En la fig.anterior el vector v fue trazado en varios puntos de la
trayectoria .
En la figura siguiente:
iv-28
Representa una partícula que describe una curva y el módulo de su velocidad
permanece constante. Imaginese un automóvil que da una curva y cuyo
medidor de velocidad permanece invariable.
Al variar la dirección de la velocidad hay una aceleración característica así
como hay una aceleración característica cuando varía el módulo de la
velocidad. En este orden de ideas podemos afirma que el movimiento de la
figura anterior es acelerado.
Se define por la variación de la dirección del vector v, como aceleración
centrípeta, ac, porque ella está siempre dirigida hacia el centro de la curva(
centrípeta significa que apunta hacia el centro). El vector ac es siempre
perpendicular al vector v y generalmente también se llama aceleración
normal an(normal a la trayectoria). En la figura anterior se representa a el
vector ac en el instante en que la partícula pasa por la posición mostrada. Por
lo tanto, siempre que varía la dirección de la velocidad(trayectoria curva), habrá
una aceleración centrípeta de la partícula.
En la figura siguiente:
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iv-29
Suponemos que el automóvil entra en una curva con una velocidad cuyo
módulo está creciendo y por lo tanto se originará una aceleración centrípeta ac,
fuera de la aceleración total del cuerpo será la resultante de aT y ac. Esto es:
a=
aT
+ ac
obsérvese el vector a en la figura, en conclusión tenemos:
1.- ac estará presente siempre que varíe la dirección del vector v.
2.-aT estará presente siempre que varíe el módulo del vector v.
Si un cuerpo se desplaza en movimiento rectilíneo uniforme, no tendrá
aceleración centrípeta, porque la dirección de la velocidad no varía , ni tampoco
tendrá aceleración tangencial, puesto que tampoco lo cambia el valor de la
velocidad, entonces en el movimiento rectilíneo uniforme, la aceleración total es
nula, no posee ningún tipo de aceleración.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.
Cuando una partícula describe una trayectoria circular como la piedra que gira
en la punta de una cuerda, se dice que está en movimiento circular como se
muestra en la siguiente figura:
21
iv-30
Si además de esto, el módulo de la velocidad de la partícula permanece
constante, el movimiento es circular uniforme. Conforme se vio en el tema
anterior a pesar de que el módulo de la velocidad no esté variando, dicho
movimiento presenta una aceleración centrípeta, pues la dirección de v esta
variando continuamente, como se observa en la figura anterior, solamente será
nula la aceleración tangencial de la partícula, pues el módulo de la velocidad
no varía.
Al describir su movimiento, la partícula gasta un tiempo T para completar la
vuelta, este tiempo T se llama período del movimiento. Durante un período el
espacio recorrido por la partícula es la longitud de la circunferencia o se 2¶R,
donde R es el radio de la trayectoria. Por lo tanto, como el movimiento es
uniforme, el valor de la velocidad estará dado por :
V = 2¶R/T
En la figura siguiente:
Iv31
22
Se muestra la partícula en un instante dado t1 y en el instante t2 posterior. Se
observa que durante el intervalo de tiempo Δt = t2 – t1 la recta que va de la
partícula al centro de la circunferencia describe un ángulo ΔΘ o como se dice el
radio R que acompaña a la partícula en movimiento barre un cierto ángulo ΔΘ.
Se define la velocidad angular de la partícula, en su movimiento de rotación,
siendo:
ω = ΔΘ/ Δt
esto es ω es el cociente entre el ángulo descrito y el intervalo de tiempo
gastado es describir y el intervalo de velocidad angular es muy semejante a la
de la velocidad común v, si se considera sólo el ángulo descrito en vez de la
distancia recorrida. Para que no surja confusión entre v y ω la velocidad v se
llama velocidad lineal.
En la rotación es más acertado estudiar el movimiento empleando la velocidad
angular en vez de la velocidad lineal de la partícula . analizando la figura
siguiente:
Iv32
Se puede entender esta afirmación, en esta figura se muestra un cuerpo
extenso que gira alrededor de un eje que pasa por 0, considerando los dos
puntos A y B del cuerpo, notamos que mientras gira, esos puntos recorren
distancias diferentes en el mismo tiempo, por lo tanto las velocidades lineales
de A y B son diferentes ( vB > vA).
Sin embargo, ambos describen el mismo angulo ΔΘ en el mismo tiempo y por
lo tanto, ambos tienen una misma velocidad angular (ωA = ωB), en esta forma,
la velocidad angular de un cuerpo extenso en rotación, es la misma para todos
los puntos del cuerpo, en tanto que las velocidades lineales de los puntos mása
23
apartados del eje de rotación son mayores que las de los puntos más próximos
al eje. De esta manera es preferible describir la rotación en términos de ω y no
en términos de v.
Según la difinición ω, deducimos que se trata de una medida de la velocidad de
rotación del cuerpo. Si la velocidad angular es grande, la partícula debe
describir un ángulo grande en un intervalo de tiempo reducido; entonces la
partícula está girando rápidamente. En cuanto a la unidad de ω, los ángulos
pueden medirse en grados o en radianes como debió observarlo en cursos
anteriores, entonces la velocidad angular ω se miden en grado/s, o rad/s. decir
que una partícula está girando con una velocidad angular ω = 1 rad/s, quiere
decir que ella describe un angulo de 57.3° en cada segundo.
Si esperamos a que la partícula completara una vuelta, el, ángulo descrito sería
ΔΘ= 2¶rad y el tiempo transcurrido sería igual al período del movimiento; esto
es, Δt=T, asi que la velocidad angular ω = ΔΘ/Δt, será derivada de :
ω= 2¶/T
como la velocidad lineal viene de :
v= 2¶R/T = 2¶R/T
concluimos que:
v= ωR
observamos que esta formula sólo es válida si los ángulos han sido medidos
en radianes. Esta ecuación establece una relación entre
v, ω
y el radio R de la trayectoria y nos demuestre que la figura anterior, el valor de
v será tanto mayor cuanto mayor fuera R, esto es, cuando más alejada del eje
de rotación estuviera la partícula.
Podemos decir que la aceleración de una partícula que gira alrededor de un
punto como se observa en la siguiente figura
24
Iv33
El movimiento uniforme de la partícula no posee aceleración tangencial, pues el
módulo de la velocidad no varía, sin embargo como la dirección del vector v
varía continuamente, la partícula posee una aceleración centrípeta ac, en la
figura anterior se indica que los vectores v y ac en cuatro posiciones diferentes
de la partícula(observe que ac apunta siempre hacia el centro de la
circunferencia ), podemos decir que el valor de ac en el movimiento circular es
dado por :
ac = v²/R
entonces, tenemos ac α v² y ac α 1/R.
Ejemplo.
Una persona está situada en el ecuador terrestre; al considerar el movimiento
de rotación de la tierra esa persona estará en movimiento circular alrededor del
centro de la tierra( ver figura siguiente)
Iv34
25
a.-¿cuál es la velocidad angular de la persona?
Ella da una vuelta comp.`leta alrededor del eje de la tierra 24 h es decir que el
período de rotación es T = 24 h, luego:
ω = 2¶ / T = 2¶rad/24h
ó ω= ¶rad/12h
esta sería la velocidad angular en cualquier punto de la tierra, pues todos giran
en un ángulo de 2¶rad en 24h .
b.- ¿cuál es el valor de la velocidad lineal de la persona en el ecuador?.
La longitud del ecuador de la tierra es de 40000 km., por lo tanto, la persona
recorre esta distancia en 24 hr.entonces:
V= 40000/24h= 1.66 x 10³ km/h.
El valor v podría también encontrarse a partir de v= ωR =
¶rad/12hx6.37x10³=1.66 x 10³ km/h.
c.-¿cuál es el valor de la aceleración centrípeta de la persona en el ecuador?
El valor de ac, será ac= v²/R, conviene expresar v en m/s y R en m, para que la
respuesta se de en m/s², tenemos:
V= 1.66 x 10³ km/h= 463m/s
R=6.37 x 10³km= 6.37 x 10³x10³m.
Así:
ac = v²/ R = (463m/s)²/6.37x 10³x10³ de donde
ac= 0.034 m/s².
a pesar del valor de v, resulta un valor pequeño para ac, por cuanto el radio de
trayectoria es muy grande ( radio de la tierra).
COMPOSICIÓN DE VELOCIDADES
Cuando un avión vuela a 500lm/h y no hay aire, esa será la velocidad del avión,
un observador en la tierra mediría exactamente dicha velocidad. Pero si
comienza a soplar viento a cierta velocidad la situación se modifica. En este
caso, el avión tendría dos movimientos simultaneos: el que en relación con el
aire, le proporcionan sus motores y otro debido al movimiento del propio aire
que impulsa al avión. Situaciones como esta, que denotan simultáneamente
dos o mas velocidades en relación con el observador, se presentan
26
frecuentemente. Imagínese ahora un barco arrastrado por la corriente de un
río o a una persona que camina en un autobús que está en movimiento. Ambos
casos son semejantes al del avión en movimiento.
La pregunta básica en situaciones como éstas es la siguiente: para el
observador ¿ cuál es la velocidad con que se mueve el cuerpo que recibe
varias velocidades? teniendo en cuenta que la velocidad es una magnitud
vectorial, para el observador sería correcto pensar que el cuerpo se mueve con
una velocidad igual a la resultante de las diversas velocidades que lo impulsan.
Por lo tanto, para hallar la velocidad del avión en relación a la tierra, basta
sumar vectorialmente la velocidad del aviòn en el aire con la velocidad del aire
con relación a la tierra. Esta composición de velocidades podrá hacerse usando
cualquiera de los métodos ya estudiados.
Para hacer un análisis más detallado, consideremos el caso del barco que se
mueve en un río con una velocidad vB. Para una persona que estuviera en la
orilla, esta sería la velocidad con que el barco se mueve en la orilla, esta sería
la velocidad con que el barco se mueve si no hubiese corriente o en otras
palabras, la velocidad del barco con relación al agua, si vc es la velocidad de la
corriente, la velocidad del barco con relación a la tierra sería en cualquier caso.
V = VB
Suma vectorial
+
Vc
En esta forma, si el barco está en posición perpendicular a la orilla y va cruzar
el río, seguiría la trayectoria mostrada en la figura siguiente :
Iv35
Y el valor de su velocidad será:
V = √ v²B + v²c
Si el barco estuviera navegando río abajo su velocidad seria :
27
V = vB + vc
Es decir que sumando el valor de la velocidad del barco con el de la velocidad
de la corriente llegaría a su destino más pronto que si no hubiera habido
corriente.( ver figura siguiente).
Iv36
Si el barco estuviera navegando río arriba( ver la siguiente figura).
Iv36b
28
Tendremos v = VB - Vc que en este caso la velocidad del barco estaría
reducida por la corriente y el barco demoraría más tiempo para subir que para
bajar.
Ejemplo
Suponga que la figura siguiente:
Iv35
La velocidad del barco sea vB = 4m/s y que la velocidad de la corriente sea vc=
2 m/s,suponiendo que el río tenga un ancho de L=100m:
a.-¿cuánto tiempo gastará el barco para atravesar el río?
El tiempo de la travesía estaría determinado sólo por vB, no habiendo
influencia de vc, entonces:
T= L/vB = 100m/4m/s= 25s
Si no hubiese corriente, el barco demoraría también 25s para atravesar el río.
b.-¿cuál es la distancia, rio abajo, que recorrerá el barco arrastrado por la
corriente?
El movimiento río abajo no es efectuado por vB, sino que se determina por vc,
como el barco se mueve durante 25s, será arratstrado por el río durante este
tiempo con una velocidad de vc=2m/s, entonces la distancia pedida será:
d = vct= 2m/s x 25s = 50 m.
ejercicios
29
UNIDAD 2
CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
2.1.-Leyes de Newton.
2.1.1.-Enunciados y esquemas de visualización.
OBJETIVO.El alumno aplicara las leyes de Newton en la solución de problemas de
ingeniería.
Aproximadamente hace tres siglos, Isaac Newton, basado en sus propias
observaciones y las de otros formuló tres principios que son fundamentales en
las soluciones a las preguntas, de cómo se produce un movimiento que
parámetros intervienen en el movimiento, y en la solución de otros problemas
relacionados con los movimientos que se llaman “ leyes del Movimiento”, estas
fuerón establecidas de idealizaciones y abstracciones propias de los procesos
científicos en la descripción de la naturaleza, estas son las leyes de Newton:
PRIMERA LEY DE NEWTON, CONCEPTO DE FUERZA.
La primera de ley de Newton establece:
En ausencia de una fuerza, un cuerpo en reposos permanece en reposo y un
cuerpo en movimiento continúa moviéndose en línea recta y una velocidad
constante.
Se nota perfectamente, en este enunciado, la presencia de una palabra
importante: fuerza. Todos nosotros tenemos una idea del significado de fuerza.
Si, con nuestro esfuerza muscular, empujamos o arrastramos un objeto, le
estamos comunicando una fuerza; un resorte en el cual colgamos un objeto,
ejerce una fuerza sobre éste, el aire comprimido en un neumático ejerce fuerza
sobre el tren, etc. la unidad escogida convencionalmente entre los físicos es el
peso de un cuerpo patrón denominado “ kilogramo”, considerado en un lugar a
45º de latitud y al nivel de mar. La restricción exigida para el lugar es necesaria
porque el peso de un cuerpo varía ligeramente con la altura y latitud de los
lugares considerados, esta unidad se llama kilogramo- fuerza y su símbolo es
kgf. También se usa, en la medición de fuerza, una unidad denominada
newton, nombre dado en homenaje a Newton.
1 kgf = 9.8 N.
VECTOR FUERZA-EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA.
Si alguien le dice que ejerció una fuerza sobre un cuerpo y sólo la da el valor o
modulo de la fuerza, no alcanzará a saber todo sobre la fuerza ejercida, para
una especificación completa de una fuerza dada, estas tres características son
inherentes al concepto de fuerza. Así, la fuerza ejercida sobre un cuerpo podrá
representarse por un vector como se muestra en la siguiente figura:
30
Fig.v-7
Por lo pronto, para que las fuerzas puedan ser consideradas como magnitudes
vectoriales es necesario verificar si ellas se suman del mismo modo que los
desplazamientos, es decir si obedecen las reglas de suma de vectores. La
experiencia muestra que esto es verdadero pues, como lo muestra la siguiente
figura:
V8
Si dos fuerzas F1 y F2 estuvieron actuando sobre una aprticula se puede
concluir que tales fuerzas pueden sustituirse por una fuerza única la resultante
R, que se obtiene precisamente por la regla del paralelogramo, en otras
palabras, la experiencia demuestra que la fuerza R de la figura anterior ,al
actuar sola es equivalente a las fuerzas F1 y F2 cuando actúan en conjunto,
ellas podrán reemplazarse por su resultante, que se sacará mediante la suma
vectorial siguiente:
R = F1 + F2 +F3+……..o R = ∑F
Una fuerza R, al actuar sola, produce en la partícula el mismo efecto y la
misma modificación en su movimiento igual a la del sistema de fuerzas que
está representado, si ocurre que la resultante R es nula, es decir no existe
fuerza alguna que actúe sobre la partícula(1ª. Ley de newton),la que está en
31
reposo continuará en ese estado, y la que está en movimiento continuará su
movimiento rectilíneo uniforme.
Cuando una partícula está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme
decimos que está en equilibrio. Entonces es evidente que si queremos tener
una partícula en equilibrio, como se muestra en la siguiente figura:
V9
Debemos hacer que la resultante de las fuerzas que actuan sobre la partícula
sea nula. Esto es una consecuencia directa de la 1ª. Ley de Newton ,
analíticamente, esta condición de equilibrio se expresa de la manera siguiente:
R=0
ó
∑F=0
Consideremos un sistema de fuerzas en dos dimensiones, como el que se
muestra en la figura anterior y trazando los ejes Ox y Oy , sabemos que la
componente de la resultante en la dirección Ox y Rx, será dada por la suma
algebraica de las proyecciones de los vectores sumados sobre este eje será:
Rx = F1x + F2x + F3x +….. ó Rx = ∑Fx
Del mismo modo tendremos para Ry
Ry = F1y + F2y + F3y +….. ó Ry = ∑Fy
32
Si queremos tener la condicion en que una partícula está en equilibrio, como
R=0, deberemos tener Rx=0 y Ry=0, entonces, la condición de equilibrio de la
partícula puede expresarse por las relaciones:
∑ Fx=0 y
∑ Fy=0
recíprocamente, si tenemos una partícula en equilibrio podemos afirma que las
fuerzas actuantes tienen tales valores y direcciones que R=0, o que se han
cumplido las dos ecuaciones dadas, este hecho nos permite disponer de dos
ecuaciones para las fuerzas que actúan sobre la partícula y dterminar las dos
incógnitas del problema.
Ejemplo 1
El bloque de la figura siguiente
V10
Pesa 50 kgf y está sujeto al punto O, unido a las cuerdas oA(atada a la pared)
y OB(atada al techo). Determinar las tensiones de las cuerdas OA y OB
sabiendo que el conjunto está en equilibrio.
Cuando una cuerda o un cabo está estirado por la acción de esfuerzos
aplicados en sus extremidades ,decimos que está en tensión o compresión, el
valor de la tensión en la cuerda representa el valor de la fuerza que la estira o
del esfuerzo que hace para sostener algún peso, en la anterior la cuerda OA
tira del punto O hacia la izquierda y esta fuerza se representa por una tensión
T en dicha figura, en esta misma figura mostramos la tensión T ejercida por OB
sobre O, por otra parte, actúa en O el peso de 50kgf hacia abajo, como la
partícula O está en equilibrio concluimos que la resultante de las fuerzas que
actúan sobre ella es nula o si consideramos los ejes Ox y Oy sabemos que:
∑Fx =0
∑Fy =0
33
descomponiendo las fuerzas sobre Ox y Oy, obtenemos las dos ecuaciones
siguientes
∑Fx =0
ó
T2cos30 –T1 = 0
∑Fy =0
ó
T2 seno30-50kgf=0
es muy interesante que observemos que la primera ecuación nos muestra que
la fuerza T1 tira el punto O hacia la izquierda, pero es equilibrada por la
componente de T2 en dirección Ox(T2 cos30), la segunda ecuación nos
muestra que es la componente T2 seno30 la que está equilibrando al peso del
cuerpo suspendido.
Al resolver el sistema de ecuaciones encontramos que:
T1= 86.6 kgf. Y
T2= 100kgf.
Ejemplo 2
En la figura siguiente:
34
Un cuerpo cuyo p4eso es 10 kgf está sujeto al eje de una polea móvil(el eje es
móvil), esto es , puede subir o bajar libremente),la otra polea es fija(el eje esta
fijo en el techo)¿cuál es el valor de la fuerza Fque debemos ejercer para
sostener el peso en equilibrio?.
Podemos verificar experimentalmente que para equilibrar el peso de un objeto
con una polea fija, deberá ejercer, en la cuerda que pasa por la polea, una
fuerza igual al peso del objeto, generalmente una polea fija no altera el avlor de
la fuerza aplicada y sólo modifica su dirección o su sentido, entonces, la fuerza
que actúa en el hilo AB tiene el mismo valor de la fuerza aplicada por la mano
de la persona, así, en la polea móvil tenemos dos fuerzas que equilibran el
peso suspendido: las tensiones en los hilos AB y CD, estando éste sujeto al
techo. Por simetría, estas fuerzas deben tener el mismo valor F y para que
exista equilibrio debemos tener:
2F = 100kgf de donde F = 50 kgf.
TERCERA LEY DE NEWTON
Siempre que aparece una fuerza hay una interación de dos cuerpos y la fuerza
es solamente un aspecto de dicha interacción, si observamos que cuando un
cuerpo ejerce una fuerza sobre otro el segundo ejerce sobre el primero una
fuerza que tiene la misma dirección, el mismo módulo y sentido contrario a la
primera, es imposible, por consiguiente, la existencia de una fuerza única,
aislada, las dos fuerzas que aparecen en cada interación de dos cuerpos se
llama acción y reacción, pero no debe suponer que exista una diferencia en su
naturaleza o que una sea obligatoriamente la causa y que la otra sea el efecto.
Cualquiera de ellas podría considerarse indistintamente como la acción o la
reacción, esta propiedad fue estudiada por Newton, quien a raíz de esto
enunció su tercera ley :
Para cada acción existe una reacción igual y opuesta.
En otras palabras podríamos decir: si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un
cuerpo B, éste ejerce sobre A una fuerza del mismo módulo, de la misma
dirección y sentido contrario.
Para ilustrar la ley de acción y reacción, consideremos algunos ejemplos muy
comunes en nuestra vida diaria:
1.-si una persona empuja con su dedo verticalmente hacia abajo, la superficie
de una mesa, con una fuerza F la superficie de la mesa, con una fuerza F,la
superficie de la mesa empujará su dedo con una fuerza –F hacia arriba, la
fuerza –F se denominara reacción normal de la mesa.
2.-si un gancho está en una pared y una persona lo tira con una fuerza F,
sentirá que su brazo lo están tirando con una fuerza –F hacia la pared.
2.1.2.-Diagramas de cuerpo libre.
35
Es la representación mediante vectores a las fuerzas que intervienen en un
sistema equilibrado. Por ejemplo para representar o ilustrar a la primera de
Newton o tercera de Newton.
2.2.-Resolución de ecuaciones.
2.2.1.-Fuerzas constantes.
2.2.2.-Fuerzas de resistencia y fuerzas de fricción.
Al empujar un objeto con una fuerza pequeña, muchas veces no se mueve,
esto hecho es muy corriente y se puede concluir que si no sale del reposo, es
porque la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula.
Aparentemente, nuestro empujón es la única fuerza que actúa sobre él, pero
es la única fuerza no podría producir el resultado que observamos y nos vemos
obligados a afirma que la superficie donde el objeto se apoya debe ejercer una
fuerza igual y opuesta a nuestro empujón, entonces decimos que la fuerza se
debe al roce, podríamos empujar el objeto más fuertemente y producir la salida
de la posición de reposo, durante el movimiento, si dejamos de empujar el
objeto vuelve al reposo, lo que nos muestra que la fuerza de roce continuaba
actuando en sentido contrario al movimiento, pues si así no fuese, sin que
actúe una fuerza sobre el aparato, debería continuar el movimiento con
velocidad constante.
Et término roce, sin embargo, se refiere a fuerzas reales que se oponen a las
fuerzas aplicada, para entender mas claramente las características de las
fuerzas de roce, observamos lo que sucede cuando intentamos mover una caja
sobre una superficie horizontal.
Al principio la caja esta quieta, luego una fuerza horizontal actúa sobre ella y
cuando se empieza a empujar la caja sigue detenida porque el suelo ejerce
una sobre ella una fuerza de roce que equilibrada el empujón, al aumentarse
ligeramente el empujón la fuerza de roce crece y la caja permanece quieta, por
lo tanto la fuerza es variable y cuando la caja está quieta es igual al empujón,
finalmente con un mayor esfuerzo, la caja comienza a moverse, lo que indica
que el esfuerzo sobrepasó la fuerza de roce, entonces la fuerza de roce crece
hasta un valor máximo que no sobrepasa. Se observa que para mantener el
movimiento uniforme después de iniciado, debemos aplicar una fuerza un
menor que aquélla con que se inició el movimiento. Entonces, como es
necesario aplicar cierta fuerza para que se mantenga uniforme el movimiento
concluimos que las fuerzas de roce se manifiestan incluso durante el proceso
de movimiento.
Las fuerzas de roce que actúan cuando el cuerpo está quieto se llaman
fuerzas de roce estático fe,la mayor fuerza de roce estático o la fuerza de roce
estático máxima feMAX es aquella que actúa en el instante en que el
movimiento está casi empezando. Si empujamos el cuerpo con una fuerza un
poco mayor que el roce máximo, el movimiento se llama fuerza de roce cinético
fc, siendo posible concluir según el ejemplo citado que ésta es un poco menor
que la fuerza de roce estática máximo. Para dos superficies cualesquiera, se
demuestra experimentalmente que la fuerza de roce estática máxima entre
ellas es prácticamente independiente del área de contacto y es proporcional a
la fuerza normal que tiende a juntar las dos superficies;es decir, cuando mayor
es la compresión del cuerpo sobre la superficie, mayor será feMAX, entonces,
36
siendo N el valor de la reacción normal de la superficie sobre el bloque(que de
acuerdo a la 3ª ley de Newton , es igual a la compresión citada), tenemos
FeMAX α N ó feMAX = µeN
Siendo la constante de proporcionalidad µe denominada coeficiente de roce
estatico.
Las mismas verificaciones pueden efectuarse experimentalmente para el roce
cinético, se observa que las fuerzas de roce cinético son prácticamente
independiente de la velocidad. Si fc es la fuerza de roce cinético y N es la
fuerza normal, podemos escribir.
fc = µcN
donde µc se llama coeficiente de roce cinético: µeµc son relaciones entre dos
magnitudes de la misma especie y decimos que son constantes sin dimensión.
Usualmente para un par de superficies dadas, µe >µc.
Los valores tanto de µe como de µc dependen de la naturaleza de ambas
superficies en contacto, siendo mayores cuando las superficies son ásperas y
menores cuando las superficies son pulidas. La lubricación disminuye los
valores de µe y µcpara dos superficies dadas.
Cuando un objeto bajo la acción de una fuerza horizontal, se mueve sobre un
plano horizontal, la fuerza normal que lo comprime contra el plano es su peso,
ver la figura siguiente:
V17
FeMAX = µeP
fc=µcP
37
Ejemplo.
Ver la siguiente figura:
V18
El bloque de la figura anterior pesa 20kgf. Los coeficientes de roce entre las
superficies valen µe = 0.40 µc=0.20
a.- ejerciendo sobre el bloque de la figura anterior una fuerza F de 5 kgf,
verifiquemos que permanecen en reposo.¿cuál es la fuerza de roce estático fe
que está actuando sobre el bloque?
Como el bloque permaneció en equilibrio, concluímos que fe anuló a la fuerza F
y por lo tanto tenemos fe= 5 kgf.
b.-¿cuál debe ser el valor mínimo de F para que el bloque salga del reposo?
La fuerza de roce estatico máximo vale feMAX =µeN y como en este caso
N=P=20 kgf, tenemos.
FeMAX = µeN = 0.40 X 20kgf de donde feMAX = 8kgf
Para que se inicie el movimiento debemos vencer la fuerza feMAX. Por lo tanto
debemos ejercer la fuerza F de 8kgf( o un poco un poco mayor de 8 kgf)
c.-una vez que se inició el movimiento.¿cuál debe ser el valor de F para
mantener el bloque en movimiento uniforme?
Durante el movimiento, está actuando la fuerza de roce cinético que vale
Fc=µcN = 0.20 x 20kgf =4 kgf.
Por lo tanto, para que el movimiento sea rectilíneo y uniforme, la fuerza F
deberá ser exactamente igual y contraria a fc(1ª. Ley de Newton), esto es, la
fuerza debe ser de 4 kgf.
Ejemplo
38
Un bloque se coloca sobre un plano de inclinación variable Θ, ver figura
siguiente:
V19
Si se hace crecer Θ continuamente a partir de cero, se verifica que para cierto
valor de Θ, en bloque que estaba en reposo comienza a descender.
Demostrar que el valor Θ en que esto sucede es tal que tgθ = µe.
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: su peso P, la reacción normal N
del plano y la fuerza de roce estático fe, hagamos pasar los ejes Ox y Oy
representados en la figura por el bloque y proyectamos las fuerzas sobre estos
ejes. Para un ángulo un poco menor que Θ, el cuerpo estará todavía en
equilibrio y como el movimiento se está casi iniciando, la fuerza fe habrá
alcanzado su valor máximo feMAX, entonces, como el sistema está en
equilibrio, podemos escribir:
∑Fx = 0
ó
µeN – Psen θ = 0
esta ecuación nos dice que la fuerza de roce está equilibrado la componente
PsenΘ, del peso.
También
∑Fy = 0
N - Psen θ =0
Observe que, en este caso,la reacción norma no es igual al peso del cuerpo,
pues N=PcosΘ
Entonces µeN = P senΘ
Luego:
y
N = P cosΘ
µe = tg Θ
39
En conclusión, el bloque, independientemente de su peso, comienza a
descender en el plano inclinado cuando el ángulo de inclinación es tal que su
tangente es prácticamente igual al coeficiente de roce estático entre el bloque y
el plano.
.
2.4.-Aplicaciones a movimiento curvilíneo.
Anteriomente se analizó la cinemática del movimiento circular uniforme, esto
es, aunque el vector velocidad tuviera módulo constante, su dirección está
variando constantemente, pues la trayectoria es circular. Esta variación en la
dirección del vector velocidad implica la aparición de una aceleración que se
denomina aceleración que se denomina aceleración normal, aN o centripeta ac,
cuya dirección en cada punto, es la del radio de la trayectoria y apuntando
siempre de la curva siguiente:
vi-17
Su módulo:
ac = v²/R
donde v representa el valor de la velocidad del cuerpo y R es el radio de la
circunferencia que el móvil describe.
Para que el cuerpo tenga aceleración centrípeta, es necesario que actúe sobre
él una fuerza que produzca esta aceleración, esta fuerza, responsable de la
aceleración. Esta fuerza, responsable de la aceleración centrípeta Fc. Por la 2ª.
Ley de Newton, sabemos que una fuerza tiene la misma dirección y sentido
que la aceleración que produce. Entonces Fc, tal como ac, tiene dirección
radial y apunta al centro de la trayectoria, ver figura b:
40
vi-18
Siendo m la masa del cuerpo en movimiento, el módulo de Fc es :
Fc=mac
o Fc= m v²/R
Entonces, en todo movimiento circular actúa sobre el cuerpo una fuerza con las
características dadas arriba. Es esta fuerza centrípeta la que obliga al cuerpo a
cambiar continuamente la dirección de su velocidad dando origen a l a
aceleración centrípeta. La fuerza centrípeta podrá ser ejercida sobre el cuerpo
por medio de una cuerda estirada o a través de la atracción gravitacional entre
la tierra y el cuerpo(en l caso de satélites artificiales) o podrá ejercerse por un
campo magnético sobre una partícula cargada, como se verá cuando se
estudie electromagnetismo. Si esta fuerza dejase de actuar sobre el cuerpo, su
velocidad permanecería constante en dirección y el movimiento pasaría a ser
rectilíneo. Probablemente ya noto esto cuando una piedra que gira sujeta a un
hilo, se sigue moviendo según la tangente de la curva al romperse el filo
v-19
41
Es importante reconocer en cada problema, que fuerzas representan la fuerza
centrípeta que actúan sobre el cuerpo, esto es qué fuerzas son responsable
por el cambio de dirección de la velocidad. Para ello analicemos algunos
ejemplos :
Suponga que un cuerpo gira sobre una mesa horizontal lisa, sujeto a un clavo
por medio de un hilo(ver figura).
vi-20
Sobre el cuerpo actúan la tensión T del hilo la reacción N de la mesa y el peso
mg del cuerpo. Como N y mg son verticales, no tienen componentes en la
dirección radial, de modo que la resultante de las fuerzas en esa dirección se
representan por la tensión T. esta representa por lo tanto, la fuerza centrípeta
la tensión será determinada por la relación:
T = mv²/R
42
Si la masa del cuerpo es de 0.5 kg. Su velocidad de 5 m/s y el radio de la
trayectoria de 1m, la tensión en el hilo será:
T=0.5kg(5m/s)²/1m= 12.5N
El hilo estará ejerciendo constantemente sobre el cuerpo una fuerza de 12.5N,
perpendicular a su velocidad.
Ejemplo
Consideremos un cuerpo que gira en la cara interna de un aro vertical, de
forma circular, la siguiente figura:
vi-21
Muestra el cuerpo cuya masa es m, en varias posiciones, durante su
movimiento. En cualquiera caso, actúan sobre el cuerpo su peso mg y la
reacción normal N del aro(estamos suponiendo despreciable el roce),
consideramos siempre el sentido hacia dentro como positivo, en el punto (1),
mg y n son ambas verticales y del mismo sentido. Luego la resultante en la
dirección del radio(normal a la trayectoria) es N +mg, esta representa por la
fuerza centrípeta en el punto (1).tendríamos entonces para este punto:
N + mg= Fc
o
N + mg = mv²/R
43
En los punto (2) y (5) la fuerza centrípeta se represnta sólo por la reacción
normal N, ya que en estos puntos el peso del cuerpo no tienen componente
radial. Tendríamos entonces en (2) y (5):
N = m v²/R
Donde v representa la velocidad del cuerpo en estos puntos.
En el punto (3), la resultante(fuerza centrípeta) es Fc = N – mg, de donde
concluimos que:
N – mg = mv²/R
Donde v es la velocidad del cuerpo en el punto (3), creemos que al entender
bien estos ejemplos, podrá recocerse siempre la fuerza o las fuerzas que
representan la fuerza centrípeta, esto es aquellas fuerzas que son
responsables por el cambio en la dirección de la velocidad del cuerpo.¿ud.
está de acuerdo que en la posición(4) la fuerza centrípeta se representa por NmgcosΘ?.
2.5.-Momento de una fuerza.
Que es el momento?
Sabemos que las fuerzas transfieren energía y momento lineal , tofos hemos
tratado en alguna ocasión de abrir con cierta prisa una puesta pesada y
sabemos, intuitivamente, la forma en que las fuerzas transfieren momento
angular. Si se aplica una fuerza moderada F1 a la puerta de un almacen, ver
figura
9.17
44
Como siempre, en la orilla opuesta a sus goznes, la puerta acelera
rápidamente y se puede pasar de inmediato. Si equívocamente, se aplica una
fuerza F2 cerca de los goznes, la experiencia es dolorosa, aunque la fuerza F
se aplique en el lado correcto de la puerta, no esperamos que suceda algo,
excepto comprimir la puerta contra sus goznes, la estrategia es ejercer la
fuerza en dirección perpendicular a la puerta, a la distancia máxima de los
gones. El momento es el producto de la componente perpendicular de la fuerza
por la distancia, y es lo que hace que la puerta gire y nos deje el paso libre.la
fomula que no da esto es:
M = Fx d
f.- fuerza aplicada en N
d.- distancia en m.
Ejemplo:
Un péndulo está formado por una bola de masa M=0.50 kg. Colgada de una
varilla de longitud l= 0.5m y cuya masa es despreciable, cuando el péndulo
forma un ángulo θ con la vertical, ¿cuál es el momento que se ejerce alrededor
de punto de pivoteo?
30º
Diagrama de cuerpo libre:
O
Mg
45
M= l Mg seno θ = 0.50x0.50 x 9.8 x seno30º = 1.2 N.m
2.5.1.-Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo rígido.
Centro de gravedad y centro de masa.
Si alguien nos pide mantener en equilibrio un palo de golf horizontal sobre un
dedo, ya sabemos qué hacer. El palo no estará en equilibrio si el dedo se
coloca en el centro, así que recorremos el dedo hacia el extremo más pesado.
Al final se consigue ubicar el punto donde se equilibra el palo, su centro de
gravedad(CG), es relativamente fácil sostenerlo.
Todo objeto tiene un solo centro de gravedad, aunque en algunos casos se
requiere mucha destreza para localizarlo, como por ejemplo en una calabaza,
esta se puede soportarla teniendo cualquier orientación : con el rabo hacia
arriba , horizontal o con el dedo en el rabo etc. en este punto(CG) es donde se
centra el peso de la calabaza.
El centro de gravedad de un objeto es el punto único respecto al cual las
fuerzas de peso que actúan sobre el objeto causan momento cero,
independientemente de cómo esté orientado el objeto.
Centro de masa.
Cuando determinamos el centro de gravedad de la varilla aplicando el equilibrio
de pares, se eliminó de la ecuación el factor de g y quedó una relación entre
masas y distancias. Así, el centro de gravedad es la versión intuitiva de un
concepto más fundamental: CENTRO DE MASA(CM), podemos considerar que
el centro de gravedad de un objeto es la ubicación promedio de su peso. Su
centro de masa es la ubicación promedio de su masa.
CON EL CENTRO DE MASA EN EL ORIGEN,LA SUMA DE LA MASAS m DE
LAS PARTICULAS MULTIPLICADA POR SUS VECTORES DE POSICIÓN
0= ∑m rCM
ejemplo
cuatro nadadores, cuyas masa son 35kg., 41kg., 54kh., y 63kg se sientan en
las esquinas de una balsa cuadrada de 2 de lado¿dónde está el centro de
masa de ese grupo?(ver figura)
46
9.26
Modelo.- las partículas en este sistema son las cuatro personas. Como se
proporcionan sus posiciones en el plano hrozontal sin informarnos sus
tamaños, no podemos decir nada acerca de las posición vertical(z) de su CM.
Planteamiento.-trabajamos por separado con las componentes x y y de rCM
usando el sistema de coordenadas que vemos en la figura anterior.
xCM = ∑ m x/∑m
= 54kg(0m) +63kg(0m) + 35kg(2m) + 41kg(2m)/35+41+54+63=0.79m
yCM=54(0)+41(0)+63(2)+35(2)/193=1
análisis.- aún cuando los datos tenían dos cifras significativas, debemos dar las
respuestas sólo con una : xCM= 0.8 m, yCM= 1m. Los tamaños de las
personas y la exactitud con la que pueden sentarse en las esquinas de la balsa
“hacen que carezca de sentido una segunda cifra significativa”.
2.5.2.-Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.
Por el momento analizaremos en esta sección el equilibrio de un cuerpo
extenso, que no puede considerarse como una partícula, este cuerpo será
rígido, esto es, que no experimenta deformaciones, como una barra de heirro,
un pedazo de madera o una piedra. En realidad, ninguno de estos cuerpos es
perfectamente rígido, pero las deformaciones que ellos experimentan son en
general muy pequeñas y pueden despreciarse. Estamos pues idealizando una
situación y, como ya dijimos, es justamente estudiando el comportamiento
simple de cuerpos ideales como se logra comprender el comportamiento más
complejo de cuerpos reales(deformables).
Al analizar el caso de una partícula, obtenemos la condición de equilibrio
siguiente:
R=0 ó
∑ Fx=0
∑Fy=0
47
Trataremos ahora de determinar cuáles son las condiciones de equilibrio de un
cuerpo rígido. Podría suponerse desprevenidamente que un cuerpo rígido
estaría en equilibrio al tener ∑ Fx=0 y
∑Fy=0, como el caso de
partículas. Sin embargo, estas condiciones son necesarias, pero no son
suficientes. La razón es que, para una partícula el único movimiento posible es
el movimiento de translación, ver siguiente figura:
v-20ª
Pues el concepto de partícula implica que no es posible pensar en una
partícula que gire alrededor de un eje que pase por ella misma o, en otras
palabras teniendo en cuenta sus dimensiones insignificantes, prácticamente
Se desprecia su movimiento de rotación.además para un cuerpo rígido,
tenemos que considerar el movimiento de traslación y el movimiento de
rotación, ver la siguiente figura.
V20b
Observe que, si el cuerpo rígido tiene las condiciones :
∑ Fx=0
∑Fy=0
48
estamos asegurando sólo su equilibrio de translación, es necesario también
asegurar el equilibrio de rotación. Para ello hay que analizar el concepto de
momento de una fuerza(o, torque) y se descubrirá el equilibrio de rotación.
La siguiente figura muestra un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un
eje por O.
V21
Suponga que una fuerza F sea aplicada en el punto A. Como punto O está fijo,
dicha fuerza hará que el cuerpo gire alrededor de O. Si llamamos d a la
distancia(perpendicular) entre O y F de la figura o sea entre el eje de rotación y
la línea de acción de la fuerza F el momento(torque) de la fuerza F en relación
con el eje O será:
M=F.d
El concepto de momento es de gran importancia porque es una medida del
efecto de rotación que una fuerza produciría al ser aplicada sobre un cuerpo
rígido. de hecho por su experiencia diaria ud. sabe que el efecto de rotación de
una fuerza depende del valor de la fuerza y de la distancia de su línea de
acción al eje de rotación, recuerde por ejemplo que cuando cierra una puerta: si
ud. aplica una fuerza F en el punto medio de ella.ver la siguiente figura
V22
49
Le imprime cierta rotación, pero, si aplica la misma fuerza en un extremo(más
distante del eje de rotación),la puerta se cerrará con más facilidad pues ha
adquirido una rotación mayor. Para tratar de describir el fenómeno note que en
el segundo caso la distancia de la fuerza al eje de rotación en mayor, es decir
era mayor el momento aplicado a la puerta. Otro ejemplo:cuando se cambia la
rueda de un automóvil con una llave corta,ver la siguiente figura.
V23a
Y no puede soltar fácilmente las tuercas, sencillamente alargando el brazo de
la llave, o sea aumentando la distancia d de llave de la figura anterior, puede
lograrlo. La fuerza aplicada por la persona fue la misma en los dos casos, pero
al aumentar d lo que aumenta es el momento de la fuerza, esto es su momento
o torque o poder de rotación.
Supongamos, que una fuerza se aplique a un cuerpo rígido como la fuerza F1,
aplicada a la barra rigida de la siguiente figura:
V25
Tal fuerza posee un cierto momento que producirá una rotación de la barra en
sentido contrario a las manecillas del reloj, bajo, la acciòn solamente de F, la
barra tendría una rotación acelerada y no estaría en equilibrio de rotación. Si
50
deseamos dejar la barra en equilibrio de rotación habría que anular el momento
de F1 aplicando una fuerza F2 que tenga un momento del mismo valor que F1
y que produzca rotación contraria o sea el sentido de las manecillas del reloj,
generalmente se considera un momento positivo cuando tiende a producir
rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo viceversa, en
conclusión, para colocar a la barra de la figura anterior en equilibrio d rotación,
es preciso que la suma algebraica de los momentos de las fuerzas que actúan
en la barra sea nula, esto es, debemos hacer que ∑M=0. en estas condiciones
el cuerpo rígido no está girando o gira en rotación uniforme y por lo tanto, está
en equilibrio de rotación. Llegamos así a las condiciones necesarias para el
equilibrio de un cuerpo rígido:
∑ Fx=0
∑ Fy=0
∑ M=0
Recíprocamente, si tenemos un cuerpo rígido en equilibrio sabemos que las
fuerzas que sobre él actuan(ver la siguiente figura):
V26
Tienen valores y direcciones tales que se cumplen las tres ecuaciones arriba
indicadas. Como tenemos tres ecuaciones con las fuerzas actuantes, podemos
determinar el valor de tres incógnitas del problema(módulo o direcciones de las
fuerzas).
51
52
UNIDAD 3
TRABAJO, ENERGIA CINÉTICA Y CONSERVACIÓN DE
ENERGÍA.
3.1.-Concepto de trabajo.
3.1.1.-Calculo del trabajo para diferentes fuerzas.
3.2.-Teorema del trabajo y la energía.
OBJETIVO.El alumno aplicara los conceptos de trabajo y energía en la solución de
problemas de movimiento de los cuerpos.
Supongamos que un cuerpo se desplaza en línea recta sobre una mesa
horizontal sometido a la acción de una fuerza F aplicada al cuerpo de la
siguiente figura
viii-1
Se puede observar varias situaciones que la fuerza actúa en la dirección de la
velocidad o no, que la velocidad del cuerpo aumente, que se mantenga
constante o disminuya, lo cual depende de la dirección y del sentido de F y de
la existencia o no de otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo, etc. En todas
estas situaciones sin embargo, si la fuerza F desplaza un cuerpo en una
distancia d decimos que la fuerza F realiza un trabajo, el cual vamos a designar
por W y que está definido por la relación.
W=F cos Θ. d
53
Donde F representa el módulo de la fuerza, Θ es el ángulo que la dirección de
la fuerza F forma con la dirección del desplazamiento(fig b) y d es el módulo del
desplazamiento del cuerpo. Observe que hasta ahora hemos usado en la
definición magnitudes qye ya conocemos como magnitudes vectoriales(la
fuerza y el desplazamiento) y solo hacemos referencia a sus módulos, de modo
que el trabajo es por definición, una magnitud escalar.
El concepto vulgar que se tiene de trabajo es muy diferente de la definición de
trabajo que acabamos de dar, esto es, no coincide con el significado físico de
esta palabra. Es corriente escuchar a una persona decir que “he trabajado
mucho”, pero desde el punto de vista físico no ha realizado ningún trabajo. En
física para que se realice un trabajo sobre un cuerpo es necesario que este
cuerpo se desplace en la dirección de la fuerza que actúa sobre él o en la
dirección de una componente de esta fuerza. Si una persona sostiene un objeto
pesado haciendo una fuerza igual al peso del objeto para equilibrarlo y se
mantiene en esta posición por mucho tiempo, aunque se canse mucho n o
estará realizando trabajo, puesto que la fuerza ejercida por la persona no está
desplazando el objeto. Volvamos a la expresión:
W = F(cosΘ)d
Que define el trabajo. El producto F cos Θ, ver la siguiente figura.
viii-3
54
Es el valor de la componente Fd, de la fuerza F, en la dirección del
desplazamiento. Por lo tanto la ecuación que defina el trabajo, podrá, ser
escrita en la forma:
W = Fd.d
Esto es, el trabajo de una fuerza puede ser el producto de la componente de la
fuerza en la dirección del desplazamiento por el módulo de este
desplazamiento. Así, si una fuerza F actúa sobre un objeto que experimenta un
desplazamiento d, el trabajo de F dependerá de la dirección de F( o sea, del
valor de la componente de F en la dirección del desplazamiento) como se
muestra la expresión :
W = F(cos Θ)d. si Θ es nulo(figura a), esto es, si la fuerza act úa en la
dirección y sentido del desplazamiento, la expresión se simplifica: W=Fd, si Θ
es igual a 90º, es decir, si la fuerza actúa perpendicular a la dirección del
desplazamiento, su trabajo es nulo puesto que cos 90º =0. aún, si Θ está
comprendido entre 0º y 90º( 0º menor o igual Θ menor 90º), W será un número
positivo( puesto que en este caso, cos Θ es positivo)en tanto que, si Θ fuera
mayor que 90º, el trabajo realizado por la fuerza F sería negativo(fig. c),
tenemos Θ=180º y por lo tanto, el trabajo allí es negativo.
Si el módulo de F fuera medido en newtons y el desplazamiento en metros, el
trabajo será expresao en joules. Una fuerza de 1N que hiciera deslizar un
cuerpo i m en la dirección y sentido de la propia fuerza, ver la siguiente figura
viii-4
Se realizaría un trabajo de 1 joule esto es:
55
W = 1N X 1m = 1Nm = 1 loule = 1J.
El joule representa por lo tanto, la unidad de trabajo en el sistema MKS. El
trabajo de una fuerza sólo podrá ser calculado mediante la ecuación W=Fd.d, si
la fuerza que realiza el trabajo fuera constante. Sí a medida que un cuerpo se
desplaza, la fuerza F variara en módulo o en dirección, la componente Fd
sufrirá variaciones. Suponga entonces, que Fd varía de acuerdo con el grafico
indicado en la siguiente figura:
viii-5
Mientras el cuerpo se desplaza de A hasta pequeños desplazamientos durante
los cuales Fd permanece prácticamente constante. Cuando el cuerpo
experimenta uno de estos pequeños desplazamientos representado en la figura
anterior por Δd, el trabajo vale Fd.Δd. este trabajo, en la grafica anterior, est á
representado por el área rayada. El trabajo total realizado por la fuerza F desde
este punto A hasta punto B, será calculado por la suma de los trabajos
realizados en cada desplazamiento Δd. Estará entonces, representado en la
grafica anterior por el área total bajo la curva, desde el punto A hasta el punto
B. El trabajo de una fuerza variable será calculado a través del área bajo la
curva Fd X d.
Onserve que en la definición de trabajo no se ha tenido en cuenta el tiempo
transcurrido durante la realización del trabajo. Así, al arrastrar un cuerpo sobre
una superficie horizontal con una fuerza también horizontal de un módulo igual
a 10N, dando al cuerpo un desplazamiento de 7.5 m, habremos realizado un
trabajo:
W= 10N X 7.5m = 75 J.
Usted puede imaginar que una misma fuerza se puede aplicar a un cuerpo de
masa mayor en tal forma que adquiera una aceleración menor, gastando más
56
tiempo para desplazarse, o sea los mismos 7.5 m. A pesar de esto el trabajo
realizado por la fuerza aplicada será todavía 75J. En la vida práctica sin
embargo, la rapidez con que se realiza un trabajo puede ser de gran
importancia. Entre dos máquinas que realizan el mismo trabajo con la misma
perfección, preferimos siempre la más rápida. Para medir esta rapidez en la
realización de un trabajo, se define una magnitud de potencia P.
P=ΔW/Δt
Donde ΔW es el trabajo realizado por una fuerza y de Δt el intervalo de tiempo
en el cual se realiza el trabajo. La unidad de potencia en el sistema MKS es el
Watt, que representa 1joule/segundo, así si un trabajo ΔW = 75J se realiza en
un tiempo Δt= 5s, tendremos una potencia
P=75j/5s= 15 watts.
Cuando decimos que una máquina tiene una potencia de 15 watts, estamos
indicando que en cada segundo, puede realizar un trabajo de 15 joules.
Probablemente usted ha oído decir que cierta máquina hidroeléctrica es capaza
de generar 300 mil kilowatts.¿qué significado tiene esta expresión?.
Ejemplo:
¿cuál es el trabajo que debemos realizar para elevar con velocidad constante,
un cuerpo de masa m=10kg.hasta una altura h=3m. Tenga en cuenta que:
1.-el cuerpo es elevado verticalmente.
2.-el cuerpo es arrastrado sobre un plano inclinado, cuya longitud es de 5 m sin
roce, por una fuerza paralela al plano.
En el primer caso, ver figura a,debemos aplicar una fuerza F igual y contraria
al peso del cuerpo, luego:
F=mg= 10kg X 9.8 m/s² = 98N.
Fig.viii-6
57
Como el ángulo ebntre F y el desplazamiento es nulo, el trabajo que debemos
realizar será:
W= F X h = 98N X 3m = 294J.
En el Segundo caso(ver figura b) para arrastrar el cuerpo sobre el plano con
velocidad constante, será necesario aplicar una fuerza igual y contraria a la
componente mg( senΘ) del peso del cuerpo, esto es, debemos aploicar una
fuerza
F= mg(senΘ)
Pero:
SenΘ= h/AB= 3m/5m = 0.6
Entonces:
F= 10kg X 9.8 m/s² X 0.60 = 58.8N
Observe que para elevar verticalmente el cuerpo debíamos ejercer una fuerza
de 98 N, en tanto que usando el plano inclinado conseguimos elevarlo
58
empleando una fuerza de apenas 58.8 N el trabajó que debemos realizar
ahora.
W= F X AB
Pues nuevamente es nulo el ángulo de la fuerza con el desplazamiento del
cuerpo:
Así:
W= 58.8 N X 5 m= 294J.
Se trata del mismo trabajo que realizamos para elevar el cuerpo verticalmente.
El plano inclinado nos permite aplicar una fuerza menor, pero debemos recorrer
una distancia mayor hasta alcanzar la altura h. De esta manera, se deberá
realizar el mismo trabajo en ascenso vertical que a lo largo de un plano
inclinado.
.
3.2.1.-Concepto de energía cinética.
3.2.2.-Aplicaciones.
Dentro de los conceptos que hemos tocado en el estudio de la Física, el de
energía es uno de los más importantes, aunque es difícil de definir, en pocas
palabras, su concepto es bastante familiar y con frecuencia lo empleamos en el
lenguaje cotidiano. Es corriente escuchar frases como éstas:”va a faltar energía
eléctrica”, “ dentro de algunos años estaremos consumiendo energía atómica,
el enfermo está recuperando sus energías, etc. frases que usted comprende, a
pesar de no saber a fondo el significado de la palabra energía.
Algunas personas acostumbran a introducir el concepto diciendo que la
energía representa ” la capacidad para realizar un trabajo”. Estamos de
acuerdo en que esto constituye por lo menos, un principio en el estudio de la
energía, como estamos haciendo ahora, un cuerpo o un sistema cualquiera
tendría energía cuando pudiera realizar un trabajo. La energía que encierra el
sistema seria medida por el trabajo que el sistema es capaza de realizar. Si por
ejemplo ud. dispone de una batería de automóvil puede conectarla a un motor
eléctrico y éste podría levantar cierto peso.. una batería por lo tanto es un
sistema que posee energía, pues realizar un trabajo al levantar el peso. Si la
batería se usara continuamente hasta descargarla en su totalidad.
Es evidente que si la energía de un sistema se mide por el trabajo que él
pueda realizar, también debe ser una magnitud escalar y como el trabajo,
medirse por el sistema MKS, en joules.
Suponga ahora, que un cuerpo de masa m, se estuviera moviendo con
velocidad v, como se indica en la figura siguiente(a)
59
viii-8ª
si este cuerpo en movimiento estuviese ligado con una polea y una cuerda a
otro cuerpo(ver figura b).
viii-8b
Aquél podrá levantarlo a cierta altura hasta que su velocidad se anule. El
cuerpo en movimiento capaz de realizar un trabajo, posee por lo tanto cierta
cantidad de energía. Esta energía, que un cuerpo posee en virtud de su
movimiento se denomina energía cinética. Representaremos la energía
cinética de un cuerpo por Ec. La energía cinética, estando íntimamente
relacionada con el movimiento del cuerpo, es una forma de energía mecánica.
Procuraremos analizar más detalladamente la energía cinética de un cuerpo y
de obtener una expresión matemática que nos permita calcular su valor
Para llegar a este resultado, analizaremos primero algunos hechos importantes
relacionados con la figura siguiente:
viii-9
60
En esta figura representamos una partícula de masa m, que pasa por el punto
A con la velocidad VA. Supongamos que la partícula está bajo la acción de
varias fuerzas que combinadas, forman una resultante R, constante, que actúa
paralelamente a la dirección del movimiento. Sobre la partícula pueden actuar
su peso, la reacción normal de la superficie, fuerzas de roce o fuerzas ejercidas
por cuerdas que jala una persona. Estas fuerzas son las que originan la
resultante R. Bajo la acción de R , la partícula tendrá un movimiento variado
desplazándose una distancia d y alcanzará el punto B con una velocidad VB.
Durante este desplazamiento el trabajo realizado por la resultante R, que
representamos por WAB sera:
WAB= R . d
Si designamos por a a la aceleración que R imprime a la partícula, tendremos
R = ma, y como usted ya se enteró, la velocidades VB y VA están relacionadas
por la eceuación:
VB² = VA²
+
2ad.
De donde concluimos que :
d= VB²
- VA²/2ª
al uasar este valor de d y la expresión para R dada por la segunda ley de
Newton, se usarán en la relacion WAB= R . d, obtendremos:
WAB = ½mv²B
- ½ mv²A
La relacion anterior nos permite calcular el trabajo total realizado sobre la
partícula desde el punto A hasta el punto B, si conocemos la masa de la
partícula y sus velocidades en A y B. Aunque se haya obtenidos esta relación,
suponiendo que R fuese constante y el movimiento fuese rectilíneo resulta
verdadera en cualquier caso, aun cuando las fuerzas que actúan sobre la
partícula varían a lo largo de la trayectoria y esta trayectoria forma una curva
complicada, la ecuación:
WAB = ½mv²B
- ½ mv²A
61
Es una consecuencia importante de la segunda ley de Newton, observe que el
trabajo total WAB, sólo depende de las velocidades vA y vB( y evidente el valor
de m), aunque nada sepamos de la resultante R o de la trayectoria de la
partícula.
Veamos ahora cómo estos resultados se relacionan con la energía cinética de
un cuerpo. Imaginemos que un cuerpo de masa m se mueve con la velocidad
v , como se muestra en la siguiente figura:
viii-10ª
Este cuerpo posee por lo tanto, cierta energía cinética Ec, suponga que
mediante un proceso cualquiera, el cuerpo llegue al reposo. Imagínese, por
ejemplo que sujetamos a él un segundo cuerpo como se muestra en la
siguiente figura:
viii-10b
O que chocó con un resorte y lo comprimió. En ambos casos, el cuerpo en
movimiento realiza trabajo y termina por alcanzar el reposo. El trabajo se
realiza en virtud de la energía cinética Ec que el cuerpo poseía y como alcanza
el reposo, toda su energía cinética es utilizada en la realización del trabajo. Por
lo tanto, si conseguimos calcular este trabajo realizado por el cuerpo,
estaremos calculando la energía cinética que poseía en el instante en que
estaba moviéndose con velocidad v. Considerando el punto donde el cuerpo
alcanzá el reposo como el punto B, podemos calcular el trabajo total efectuado
por el cuerpo. Tendremos evidentemente, la expresión obtenida anteriormente:
62
WAB = ½mv²B - ½mv²A = 0 - ½mv²
donde
WAB = - ½mv².
Este es el trabajo total realizado sobre el cuerpo hasta que se detiene. Podría
representar el trabajo hecho, por la fuerza ejercida por el cuerpo suspendido y
atado a él o por la fuerza ejercida por el resorte que lo frenó. Si tenemos en
mente ahora la tercera ley de Newton, notaremos que en cuanto el cuerpo era
frenado, reaccionaba sobre el agente retardador( el resorte por ejemplo) con
una fuerza igual y contraria. Entonces a medida que iba deteniéndose, el
cuerpo realizba un trabajo del mismo valor, pero de signo contrario al trabajo
realizado sobre él, esto es, el cuerpo realizó un trabajo hasta detenerse:
WAB =
½mv²
Siendo éste el trabajo que el cuerpo puede realizar en virtud de su movimiento,
representa exactamente su energía cinética. Concluimos que si un cuerpo de
masa m se está moviendo con la velocidad v, posee una energía cinética Ec,
dada por:
Wc =
½mv²
En consecuencia la energía cinética del cuerpo depende sólo de su masa y del
módulo de su velocidad. Si por ejemplo, la masa de un cuerpo en moviento es
m= 2 kg y se mueve con la velocidad V= 8 m/s, su energía cinética vale :
Wc =
½mv² =
½2kg(8m/s)²
Esto significa que el cuerpo sería capaz de realizar un trabajo de 64 J, si por un
motivo cualquiera, fuera llevado a reposo.
Una vez encontrada la expresión para la energía cinética de un cuerpo,
volvamos a la relacion:
WAB = ½mvB² - ½mvA²
Uno se da cuenta entonces, de que
½mv²A representa la energía cinética
que el cuerpo poseía al pasar por el punto A y ½mv²B es la enería cinética
con la que alcanza el punto B. Si representamos por EcB y EcA esas energías,
podemos escribir:
WAB = EcB - EcA
Esta expresión que relaciona el trabajo realizado sobre un cuerpo con su
energía cinética, es muy importante y usualmente se denomina “ teorema del
63
trabajo-energía “, que significa propiamente: “ el trabajo realizado por la
resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una particula”.
La variación de la energía cinética de la partícula, será representada por
ΔEc= EcB – EcA, de modo que :
WAB= -Δec
Ejemplo:
Una partícula de masa m= 2kg en moviento, que pasa por un punto A de su
trayectoria con unna velocidad vA = 3 m/s y posteriormente por el punto B con
una velocidad vB = 4 m/s.
a.-Cual es la energía cinética de la partícula en el punto A y en el punto B?.
EcA =
½mv²A =
½2kg(2m/s)²
EcA= 9J.
Y en el punto B
EcB=
½mv² =
½2kg(am/s)²
b.-cuál es el trabajo realizado sobre la partícula por la resultante de las fuerzas
que actúan sobre ella?, por el teorema trabajo-energía cinética sabemos que
este trabajo es igual a la variación de la energía cinética, esto es:
WAB= EcB – EcA = 16J – 9J = 7 J
3.3.-Potencia.
Al ver que un trineo es tirado por un caballo, en dicho trineo lleva un pasajero
por un camino nevado, tal vez nos gustaria saber con que rapidez puede
realizar esta tarea, la rapidez con que un caballo, una persona o un motor
efectúan trabajo se llama potencia. Los aparatos prácticos para efectuar
trabajo se limitan, con frecuencia, mucho más por la cantidad máxima de
potencia que pueden desarrollar que por el trabajo total que pueden efectuar.
Una persona que suba escaleras corriendo a toda velocidad produce más
potencia que un caballo de tiro, pero sólo por un minuto, más o menos. La
misma persona, al escalar las montañas, produce mucho menor potencia que
cuando corre escaleras arriba, pero puede caminar todo el día y gasta más
energía que en un minuto de correr escaleras arriba.
64
La unidad de potencia se llama watt( y su símbolo es W) en honor de James
Watt(1736-1819), ingeniero inglés que invento la primera máquina de vapor
verdaderamente práctica.
La potencia entregada por un sistema es la rapidez con la que el sistema
efectúa un trabajo:
P= dW/dt
Un watt es la potencia producida por un aparato 1 joule de trabajo en un
Segundo:
1W = 1 J/s
el caballo de fuerza.
Originalmente, James Watt definió una unidad de potencia que llamó horse
power, caballo de fuerza, que debía ser la potencia producida por un caballo
normal en plena faena. 1 caballo de fuerza equivale a subir 550lb a una rapidez
constante de 1 pie por segundo. También:
1 h.p.= 746w
en realidad, esta es mucho más potencia que la que puede producir un caballo
normal durante un largo periodo. O los caballos de Watt eran fenomenales, o
midió la potencia que pudieron desarrollar por un tiempo muy corto.
Ejemplo
Si un caballo efectua 9.9 x 10000j de trabajo al jalar un trineo 250 m en 2.2
min.¿qué potencia promedio produce?
P= W/Δt = 9.9x10000/2.2(60)= 750J/s= 0.75W
3.4.-Fuerzas conservativas y no conservativas.
3.4.1.-Concepto de energía potencial.
3.4.2.-Aplicaciones.
Las fuerzas de gravedad y de resorte tienen una propiedad especial que nos
permite relacionarlas con la energía potencial, esa propiedad esta mencionada
en las dos primeras propiedades de la energía potencial que se aplican al
resorte, y cualquier fuerza que la tenga se llama conservativa:
Una fuerza es conservativa si el trabajo que efectúa sobre una partícula
depende sólo de las posiciones inicial y final de la partícula.
Por lo general, una fuerza conservativa es función sólo de la posición, y no de
la velocidad ni del tiempo. La fuerza de un resorte es conservativa, porque el
65
trabajo efectuado por un resorte sólo depende de sus estados de comprensión
inicial y final. Las fuerzas gravitacionales son conservativas , porque el trabajo
efectuado por la gravedad sólo depende de las altura inicial y final de la
partícula . un ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de fricción. El
trabajo que efectúa sobre una partícula depende de la longitud total de la
trayectoria entre sus posiciones inicial y final, además de otro factores, como la
pendiente de la trayectoria o del material sobre el cual se efectúa el
deslizamiento.
ENERGÌA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Un cuerpo en movimiento posee energía, como se vió anteriormente,
trataremos ahora de mostrar que un cuerpo también puede tener energía en
virtud de su posición, aun cuando estuviera en reposo. De hecho,
consideremos una partícula que se encuentra a una cierta altura h sobre la
superficie de la tierra,ver la siguiente figura:
viii-11
Si la soltamos, caerá ganando velocidad y, al alcanzar el suelo, podrá realizar
el trabajo de comprimir un resorte, o por medio de un dispositivo adecuado
podrá levantar un cuerpo hasta cierta altura. Evidentemente en última
instancia, estos trabajo fueron realizados debido a que la partícula había
adquirido energía cinética cuando descendía, pero ella la adquirio porque se
encontraba a la altura h, la partícula poseía una cierta cantidad de energía
almacenada, que se transformo en energía potencial. Representamos la
energía potencial por Ep. En el ejemplo citado, la energía potencial de un
cuerpo tiene su origen en la atracción gravitacional entre el cuerpo y la tierra y
se denomina energía potencial gravitacional.
Para colocar un cuerpo a la altura h, debemos realizar trabajo sobre él y este
trabajo se almacenará bajo la forma de energía potencial Ep, del cuerpo.
Estamos pues en condiciones de calcular el valor de Ep, computando el trabajo
que debe ser realizados sobre el cuerpo para colocarlo a dicha altura, ver la
siguiente figura:
66
viii-13a
La fuerza F que se ejercerá sobre el cuerpo en este desplazamiento, debe ser
igual y de sentido contrario a su peso. El trabajo que realizará esta fuerza al
desplazar el cuerpo hasta la altura h, es evidentemente.
Como F = mg, vemos que :
W = mgh
En consecuencia esta es la expresión que nos da la energía potencial
gravitacional que un cuerpo de masa posee a la altura, esto es:
Ep = mgh
Ejemplo
Un cuerpo de masa m= 50 kg encuentrá en el punto A, a una altura h= 10m
encima de un nivel horizontal. El cuerpo se transporta siguiendo el camino
mostrado en la siguiente figura, hasta el punto B, donde hB= 5m.
viii-21
Tenemos:
EpA= mghA = 50kg x 9.8m/s² x 10m = 4.9 x 10³J
EpB = mghB = 50kg x 9.8m/s² x 5m = 2.45 x 10³J.
67
El trabajo realizado por el peso estará dado por:
WAB= EpA – EpB = 4.9 x 10³J – 2.45 x 10 10³j 0 2.45 x 10³J.
En cualquier trayectoria que lleve el cuerpo de A a B, su peso realizaría un
trabajo de 2.45 x 10³ J. Si una partícula retornase de A y B pero por otra
trayectoria, tendríamos:
WBA= EpB – EpA = 2.45 x 10³J – 4.9 x 10³J = - 2.45 x 10³J
En ese caso, el peso realizaría un trabajo igual al anterior pero de signo
contrario.
Supongamos que el nivel de la figura siguiente:
viii-21
Estuviese 3 m encima de la superficie de la tierra. Hagamos nuestros cálculos
considerando como nivel horizontal la propia superficie terrestre. Los valores de
Ep en A y B serán naturalmente diferentes pues se refiere al nuevo nivel, esto
es:
E´pA = mgh´A = 50kg x 9.8m/s² X (10 + 3)m = 6.37 x 10³J
E´pB= mgh´B = 50kg x 9.8m/s² X (5 + 3)m = 3.92 x 10³J
68
El trabajo del peso, con este Nuevo nivel será:
WAB= E´pA - E´pB = 6.37 x 10³ - 3.92 x 10³ = 2.45 x 10³J
3.5.-Teorema de conservación de la energía mecánica.
3.5.1.-Demostración del teorema.
3.5.2.-Aplicaciones.
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA
Como ya tuvimos la oportunidad de indicárselo otro ejemplo de energía
potencial es aquella que posee un cuerpo sujeto a un resorte comprimido, ver
las siguientes dos figuras;
viii-22ª,b
Para colocar el cuerpo en la posición de la figura a anterior, tenemos que
realizar cierto trabajo al comprimir el resorte. Este trabajo ha sido almacenado
en forma de energía potencial. Podemos calcular la energía del resorte
comprimido o estirado, si calculamos el trabajo que debemos realizar para
deformarlo. Sabemos que el peso de una partícula es una fuerza prácticamente
constante y dada por mg, de modo que no era difícil calcular el trabajo que
debía ser hecho para elevar la partícula a una altura h una vez vencido el
peso. Como no conocemos la fuerza que debemos vencer para comprimir o
69
estirar un resorte, debemos primero tratar de estudiarla, para calcular después
el trabajo que debemos realizar para deformar el resorte.
El comportamiento de la fuerza ejercida por un resorte deformado puede ser
determinado experimentalmente. Suponga que un cuerpo está sujeto al
extremo de un resorte como se ve en la figura a siguiente:
viii-23
Esta situación, el resorte no esta deformado y no ejerce ninguna fuerza sobre
el cuerpo. Si ud. comprime o estira el resorte como se observa en la figura b
anterior, éste ejercerá una fuerza F sobre el cuerpo. Designamos por X la
deformación del resorte. Es evidente que la fuerza F que el resorte efectúa
sobre el cuerpo, es igual y de sentido contrario a la fuerza que el cuerpo debe
efectuar sobre el resorte, para mantenerlo deformado. No es difícil darse
cuenta de que cuanto mayor sea la deformación X, mayor deberá ser la
fuerza F. Entonces la fuerza que se debe hacer para deformar un resorte no es
constante, sino que crece con la deformación. La experiencia nos demuestra
que, al medir diversos valores de F, capaces de producir en el resorte diversas
deformaciones X, y trazando un grafico F X X con estos valores, obtenemos
una recta como se muestra en la figura siguiente:
70
viii-24
La experiencia nos demuestra que, la fuerza con la cual un resorte resiste la
deformación es proporcional a esta deformación. Este resultado se conoce
como LEY DE HOOKE, pues Robert Hooke un científico inglés, quien observó
por primera vez esta propiedad de los resortes. En realidad esta ley sólo es
verdadera si las deformaciones no son muy grandes, pues cuando exceden
cierto límite, las fuerzas dejan de ser proporcionales a las deformaciones no
son muy grandes, pues cuando exceden cierto límites, las fuerzas dejan de ser
proporcionales a las deformaciones. Llamamos a este límite, límite de
elasticidad del resorte. Cuando las deformaciones son inferiores a este límite,
el resorte vuelve a su tamaño normal cuando deja de actuar la fuerza
deformadora. Al ser sobrepasado el límite de elasticidad, un resorte no vuelve a
su tamaño normal cuando dejan de actuar las fuerzas deformadoras: habrá
adquirido deformaciones permanentes.
La constante de proporcionalidad de k, entre la fuerza y la deformación se
denomina constante de elasticidad del resorte, esto es, el valor de k es propio
de cada resorte. Es evidente que su valor es igual a la pendiente del gráfico de
la figura anterior.
Entonces para deformar un resorte, tenemos que realizar un trabajo contra una
fuerza variable, proporcional al desplazamiento y sabemos que este trabajo
podrá calcularse a tráves del área mostrada en la siguiente figura:
viii-25
71
Esta área es ( área de un triangulo).
½ x BASE x ALTURA
el trabajo que debemos efectuar para comprimir o estirar un resorte, dándole
una deformación X, será:
W = ½.X . kX
o
W=½k X²
Y consecuentemente, la energía potencial elástica de un resorte de constante
elástica k, que presenta una deformación X, será medida por esta expresión,
Ep = ½kX² energía potencial.
Si hacemos una gráfica Ep X X, éste tendrá la forma de una curva como la de
la siguiente figura:
viii-26
Pues Ep varía con el cuadrado de X.
Si un cuerpo ligado a un resorte deformado es desplazado de un punto A a un
punto B de la siguiente figura:
72
viii-27
El trabajo WAB de la fuerza que el resorte hace sobre el cuerpo en este
desplazamiento, es igual a la diferencia entre la energía potencial elástica del
sistema, resorte- cuerpo en el punto A, EpA y su energía potencial elástica en
B, EpB es :
WAB= ½kX²A - ½kX²
o
WAB= EpA – EpB
Mejor dicho, el trabajo de la fuerza elástica tampoco depende de la trayectoria
que el cuerpo sigue para ir de A hasta B.
Por lo tanto ka fuerza gravitacional(peso del cuerpo) y la fuerza
elástica(ejercida por un resorte), tienen comportamiento semejante cuando son
analizadas desde el punto de vista del trabajo y la energía. Ambas realizan un
trabajo entre dos puntos que depende sólo de la posición inicial y final del
cuerpo en que actúan, independientemente del camino seguido por el cuerpo.
Ambas se encuentran íntimamente relacionadas con una energía potencial,
esto es una energía de posición de tal modo que el trabajo realizado entre dos
puntos A y B será:
WAB = EpA – EpB.
Sólo se debe tener en cuenta que tratándose de una fuerza gravitacional, la
energía potencial será dada por Ep= mgh, y para la energía potencial elástica,
se tiene Ep = (½)kX²
Ejemplo.
73
La gráfica anterior muestra la variación de la fuerza elástica de un resorte en
función de su deformación.
a.-¿cuál es la constante elástica del resorte?.
Sabemos que F = kX y la constante elástica del resorte se obtiene a trvés de la
pendiente de la gráfica F X X.
Así:
K= 15N/0.030 = 500 N/m.
b.-¿cuál es el trabajo realizado por la fuerza elástica cuando el resorte empuja
un cuerpo de la posición A donde su deformación es de 0.030m, a la posición B
con deformación de 0.02m?.
este trabajo como ya sabemos, puede calcularse a través del área rayada del
gráfico anterior, que será la suma del area de un rectángulo con la de un
triángulo, a saber:
WAB= 10 x 0.010 + 5x 0.010/2 = 0.125j
Otra manera de calcular ester trabajo sería por la diferencia entre las energías
potenciales elásticas entre dos puntos. Siendo Ep= (½)kX², tendremos para
una deformación 0.030m:
EpA = ½kX²A = ½ X 500 x n/m x (0.030)² = 0.225J
Y para la deformación 0.020m:
EpB = ½kX²B = ½ X 500 x n/m x (0.020)² = 0.100J
Luego:
WAB= EpA – EpB= 0.125J
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA
Los resultados encontrados en las secciones anteriores sobre trabajo y energía
pueden analizarse en conjunto y nos conducirán a conclusiones muy
importantes. En esta sección se verá cómo llegamos al PRINCIPIO DE LA
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA y habrá oportunidad de usarlo, en varios
caos, encontrado soluciones para varios problemas que si fuesen abordados
de otra manera, serían de difícil solución. El principio de conservación de la
energía se basa en dos puntos básicos de la física y es un auxiliar poderoso
para abordar diversos problemas.
Sabemos que el trabajo del peso y de la fuerza elástica son independientes de
la trayectoria y son dados por WAB= EpA – EpB. El peso y la fuerza elástica no
son las únicas fuerzas que tiene esta propiedad. Las fuerzas cuyo trabajo es
independiente del camino son denominadas fuerzas conservativas. El
peso, la fuerza elástica y la fuerza electrostática son fuerzas conservativas.
Una característica importante de una fuerza conservativa consiste en que
74
siempre tenemos asociada a ella una energía potencial Ep tal, que el trabajo
realizado por la fuerza desde A hasta B, por cualquier camino que llegue a
estos puntos, es independiente de la trayectoria y esta dado por:
WAB= EpA – EpB.
La expresión para la energía potencial será, como ya dijimos, diferentes para
cada fuerza: para el peso se tiene Ep = mgh, para la fuerza elástica se tiene
Ep= (½)kX².
Mas adelante se aprenderá a determinar la expresión para la energía potencial
electrostática. Sin embargo lo que de hecho interesa es que existe siempre una
energía potencial asociada a una fuerza conservativa.
La reacción normal ejercida por una superficie puede ser considerada como
una fuerza conservativa. De hecho, cualquiera que sea la trayectoria que lleva
al cuerpo de A hasta B, esta fuerza realiza siempre un trabajo nulo, ver la
siguiente figura:
viii-29
Pues ella es siempre perpendicular al desplazamiento del cuerpo.
Fuerzas cuyo trabajo depende del camino, son denominadas FUERZAS
DISIPATIVAS. Para tales fuerzas no existe energía potencial y su trabajo debe
ser calculados a partir del conocimiento de la fuerza en cada punto de la
trayectoria seguida por el cuerpo. Trayectorias diferentes que conduzcan al
cuerpo A a B, implicarán en general trabajos diferentes realizados por la fuerza
disipativa. Un ejemplo típico de fuerza disipativa es una fuerza de roce. Si se
desplaza un cuerpo realiza un trabajo que dependerá del camino por el cuerpo.
Por lo tanto, no podemos encontrar una energía potencial relacionada con una
fuerza de roce.
75
Suponga, entonces, que una partícula se desplaza de A a B, siguiendo una
trayectoria cualquiera y que sobre la partícula actúan sólo fuerza conservativas,
ver la siguiente figura:
viii-30
El trabajo realizado por estas fuerzas es:
WAB= EpA – EpB.
Por otro lado este trabajo se relaciona con la variación de energía cinética de la
partícula, de la siguiente manera:
WAB= EcB – EcA
Como vimos anterior(TEOREMA DEL TRABAJO-ENERGIA CINÉTICA).
Podemos entonces igualar las dos expresiones para WAB.
EpA – EpB = EcB – EcA
Que puede escribirse
EpA + EcA = EpB + EcB
Esta relación nos permite llegar a una conclusión: la suma de la energía
potencial y de la energías en el punto B. Como los puntos A y B son
indeterminados, podemos decir que el acierto es verdad para cualquier punto.
Entonces, si una partícula se desliza sólo bajo la acción de fuerzas
conservativas, su energía cinética más su energía potencial permanece
constante. Esta suma que representamos por E, se llama ENERGIA
MECANICA TOTAL de la partícula, esto es,
Ec + Ep = E
De la misma manera, si la energía potencial de la partícula disminuye, su
energía cinética deberá aumentar, de modo que su suma queda invariable. A
la inversa, cuando la energía Ep aumenta, la Ec forzosamente disminuye. En
76
otras palabras solemos decir que BAJO LA ACCION DE FUERZAS
CONSERVATIVAS, LA ENERGIA MECANICA TOTAL DE UNA PARTICULA,
se conserva. El nombre FUERZAS CONSERVATIVAS SE ORIGINA
EXACTAMENTE DE LA SIGUIENTE PROPIEDAD: ESTAS FUERZAS
ACTÚAN DE TAL MANERA QUE CONSERVAN LA ENERGIA MECANICA DE
LA PARTICULA, suministrándole Ep cuando Ec disminuye, y dándole Ec
cuando Ep disminuye. Sin embargo, si en el desplazamiento de A y B de la
figura anterior.
Estuviese presente una fuerza disipativa(una fuerza de roce, por ejemplo) la
ENERGIA MECANICA NO SE CONSERVARIA. Si midiéramos las energías
mecánicas de la partícula en A y en B, observaríamos que EA > EB, es decir
que, en el trayecto de A a B, bajo la acción de fuerza de roce, hubo una
disipación de energía mecánica. El trabajo de la fuerza de roce habría
provocado esta desaparición de energía mecánica. Ocurre que al examinar el
cuerpo después del desplazamiento notamos todo lo contrario de lo que ocuría
cuando actuaban sobre el cuerpo solamente fuerzas conservativas esto es, que
se habría calentado.
Es probable que otras personas entre ellas algunos físicos anteriores a
Rumford y Joule, también se hubieran dado cuenta de estos hechos, pero
fueron justamente estos dos científicos quienes por primera vez intentarón
darles alguna interpretación. El trabajo de la fuerza de roce habría provocado
un calentamiento de la partícula o durante el desplazamiento, parte de la
energía mecánica se habría transformado en calor , calentando el cuerpo y la
superficie sobre la cual se desliza. Si medimos la cantidad de calor que
aparece tanto en el cuerpo como en la superficie, constatamos que representa
una cantidad de energía equivalente a la energía mecánica que el cuerpo
perdió. Entonces cuando actúa la fuerza de roce, lo que ocurre es la
transformación de la energía mecánica en energía térmica. Es solo el cambio
de una forma de energía en otra.
En verdad, encontraremos siempre este resultado. Si cierta cantidad de
determinado tipo de energía desaparece, siempre es posible verificar la
aparición de otro tipo de energía en cantidades equivalentes a la energía
disipada. Del mismo modo, si hiciéramos aparecer cierto tipo de energía,
verificamos que esto sólo es posible si desaparece una cantidad equivalente de
energía de otro tipo. La energía mecánica podrá transformarse en energía
mecánica, fuera de esto, no podemos crear ni destruir ninguna cantidad de
energía. Este es esencialmente el contenido del principio de conservación de la
energía que puede enunciarse asÍ:
LA ENERGIA PUEDE SER TRANSFORMADA DE UNA FORMA EN OTRA
PERO NO PUEDE SER CREADA NI DESTRUIDA; LA ENERGIA TOTAL ES
CONSTANTE.
Ejemplo.
Si un cuerpo se lanza hacia arriba con velocidad inicial Vo, ¿qué altura alcanza
el cuerpo?
Suponiendo despreciable la resistencia del aire, la única fuerza que actúa
sobre el cuerpo es su peso mg. Siendo esta una fuerza conservativa el
movimiento se realiza de tal modo que la energía mecánica permanece
77
constante: a medida que el cuerpo sube su energía cinética disminuye pero
adquiere energía potencial en una cantidad equivalente a la energía cinética
que pierde. Designando A el punto donde el cuerpo tenía la velocidad Vo(
punto donde el cuerpo tenía la velocidad Vo( punto donde el cuerpo abandona
La mano de la persona que lo lanzó) y por B el punto más alto de la
trayectoria, ver la siguiente figura.
viii-31
Podemos escribir :
EcA + EpA = EcB + EpB
Si consideramos el nivel de energía potencial en A, se verá
EcA =½mVo²
EpA = 0
Y EcB=0
EpB = mgh
78
Donde h representa la altura del punto B relativa al nivel A.
Entonces
½mVo²
= mgh
de donde:
h = Vo²/2g
ejemplo:
un cuerpo de masa m se desplaza, sin roce, a lo largo de la superficie irregular
indicada en la siguiente figura:
viii-33
. si el cuerpo parte del reposo del punto A, calcule su velocidad al alcanzar el
punto más bajo de la superficie(punto B).
Como no hay roce, actúan sólo la reacción normal N de la superficie y el peso
mg del cuerpo y como ambas son fuerzas conservativas tenemos:
EcA + EpA = EcB + EpB
Se escoge un nivel horizontal en B y como EcA = 0 se verá:
mgh = ½ mv²
79
donde v representa la velocidad del cuerpo al llegar a B. Esta expresión nos
dice simplemente que la energía potencial en A se transforma integramente en
energía cinética en B. De la que obtenemos:
v = √ 2 gh
esta velocidad es la misma que la que el cuerpo adquiririá si cayese
verticalmente de una altura h.
Ejemplo.
En la figura siguiente:
viii-33
Vemos un bloque de masa m apoyado en una superficie horizontal lisa,
adosado a un resorte de constante elástica K, deformado en x(comprimido en x
en relación a su extensión normal y mantenido en esta situación por medio de
una cuerda amarrada a él. Al quemarse la cuerda, el resorte se extiende,
empujando al bloque.
a.- describa el movimiento del bloque.
El resorte al extenderse empuja el bloque con una fuerza variable pues ya
sabemos que la fuerza elástica del resorte es proporcional a su deformación y
ésta disminuye a medida que el resorte se extiende. Entonces el bloque
adquiere una aceleración variable y su movimiento es acelerado, pero no es
uniformemente variado. La energía potencial del resorte se transfiere al bloque,
que adquiere energía cinética, pero la energía total del sistema bloque- resorte
permanece constante pues no están actuando fuerzas disipativas. Cuando el
resorte alcanza su extensión normal en B, su energía potencial se anula y el
bloque habrá adquirido una energía cinética igual a la energía potencial que el
resorte poseía en la situación A. Al alcanzar la situación B, el resorte queda en
reposo y el bloque se aleja hacia la izquierda con la velocidad v que adquirió
durante el movimiento.
80
b.-¿cuál es la velocidad del bloque cuando abandona el resorte?
Ya dijimos que la energía mecánica se conserva ya que la única fuerza
actuante o sea, la fuerza elástica del resorte, es conservativa( la reacción
normal del plano y el peso del bloque se equilibran).
Entonces:
EcA + EpA = EcB + EpB
Pero EcA =0, pues en A, el bloque y el resorte están en reposo, como:
EpA = (½) kX²,
EcB= (½)mv²
y EpB = 0
Será:
½ KX² = ½mv²
donde V(√k/m)X
ejemplo
un cuerpo de masa m= 2kg se desliza a lo largo de una vía en forma de arco
de circunferencia, de radio R= 8m. El cuerpo parte de reposo en el punto A y
llagea a B con una velocidad VB = 12 m/s.¿cuál es el trabajo realizado por la
fuerza de roce sobre el cuerpo?( ver la siguiente figura)
viii-34
Notemos inicialmente, que debe haber roce entre el bloque y la vía. De hecho
en el punto A la energía mecánica EA del bloque se representa por su energía
potencial, ya que VA = 0. así:
EA= mgR = 2kg X 9.8 m/s² X 8m = 157J
81
(estamos midiendo Ep en relación al nivel horizontal en B). Al llegar a B, la
energía mecánica será dada por la energía cinética en este punto, pues ahí es
nula la energía potencial del bloque, luego:
EB= ½mvB² = ½ X 2 kg X (12 m/s)² = 144J
Por lo tanto, al deslizarse el bloque a lo largo de la vía la energía mecánica
no se conserva, pasandp del valor inicial 157J, al valor fenal de 144J. En otras
palabras, la energía potencial que el cuerpo perdió, no se transformo
integramente en energía cinética. Esto indica la presencia de roce(fuerza
disipativa) actuando sobre el bloque y transformando su energía mecánica en
calor. La variación de la energía del cuerpo fue:
∆E = EB – EA = 144J – 157J = - 13J
lo cual significa que la energía del bloque disminuyó en 13J, que por el roce
fueron transformados en calor: el trabajo de la fuerza de roce habrá sido
exactamente iguañ a esta variación de la mecánica del cuerpo.
3.6.-Oscilaciones Armónicas.
EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
Si se amarra un cuerpo al extremo de un resorte y luego dse desplaza de modo
que el resorte se estire o se encoja, éste ejercerá sobre el cuerpo una fuerza
F, cuyo modulo es proporcional a la deformación X y siempre está dirigido al
punto O, ver figura siguiente:
viii-35
Que representa la posición de equilibrio del cuerpo. Si después de deformar el
resorte soltamos el cuerpo, éste se moverá bajo la acción de dciha fuerza. Es
este el movimiento que pretendemos estudiar ahora. Para eso representamos
82
por m la masa del cuerpo y consideramos la recta sobre la cual se mueve como
el eje OX, ver la siguiente figura:
viii-36
donde O continúa representado la posición de equilibrio, esto, es, la posición
en la cual F=0. los valores de X serán considerados positivos cuando el cuerpo
esté a la derecha de O y negativo en caso contrario. Con estas convenciones
podemos decir que el cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza dada por:
F= -kx(donde K = constante).
Es decir, una fuerza proporcional a X y de signo contrario al de X, pues F está
dirigida al punto O; es una fuerza restauradora. Cuando un cuerpo se mueve
bajo la acción de una fuerza de esta naturaleza, decimos que su movimiento es
un movimiento armónico simple. El movimiento armónico simple ocurre
comúnmente en la naturaleza pues, por lo menos en pequeñas deformaciones
de cuerpos elásticos, aparecen fuerzas restauradoras del tipo F= -kx que
originan aquel movimiento podemos determinar su aceleración. Se encontrara
evidentemente por :
a =- (k/m)X
Por lo tanto la aceleración tampoco es constante y de la misma manera que la
fuerza, es proporcional a X y siempre dirigida al punto O. En es forma, si
intentamos determinar matemáticamente la velocidad y la posición del cuerpo
en función del tiempo, encontraríamos un problema complicado. Procuraremos
entonces analizar sólo cualitativamente el movimiento.
Como uno puede darse cuenta, si deformamos un resorte hasta el punto B, ver
la figura anterior, damos al cuerpo un desplazamiento inicial A y lo soltamos,
será acelerado por la fuerza F aumentando su velocidad a medida que se
aproxima a O o sea cuando X disminuye. Al alcanzar el punto O, la fuerza que
actúa sobre el cuerpo se anula y consecuentemente también se anula su
aceleración. De otra parte y debido a la energía adquirida, el cuerpo
sobrepasará el punto O, siendo su posición x relativa a este punto y dada por
un signo negativo. La fuerza F al cambiar de sentido(siempre dirigida al punto
O), comenzará a reducir la velocidad del cuerpo terminando por llevarlo a
83
reposo en el punto B´(ver la figura anterior), simétrico de B en relación a O. En
B la fuerza restauradora alcanza su nivel máximo produciéndose así en ese
punto el mayor de la aceleración de cuerpo. Partiendo del reposo en B´el
cuerpo se acelera nuevamente, repitiéndose las características del movimiento.
Tenemos por lo tanto un movimiento oscilatorio entre B y B´, esto es , entre las
posiciones X= ±A, en la figura siguiente mostramos los graficos de la posición(
o elongación) X de la velocidad v y de la aceleración a del cuerpo en función
del tiempo
viii-37
Analicemos estos graficos y comprobemos que corresponden a la descripción
del movimiento que acabamos de hacer.
La distancia A indicada en la siguiente figura.
84
viii-36
representa el mayor valor de la elongación X, esta se denomina AMPLITUD
del movimiento. Por lo tanto la amplitud es la distancia del punto medio O hasta
la extremidad(B o B´) de la trayectoria. Cuando el cuerpo, partiendo de B, va
hasta B´y retoma a B, decimos que realizó UNA OSCILACIÓN COMPLETA O
UN CICLO. El número de ciclos que ocurren por unidad de tiempo es la
frecuencia f del movimiento. El tiempo empleado para efectuar un ciclo
representa el período T del movimiento. No es difícil darse cuenta de que f=
1/T, de modo que si un cuerpo oscila con período grande, su frecuencia es
pequeña y un pequeño valor del período corresponde a una frecuencia
elevada. Así, si un cuerpo oscila con frecuencia f=10 oscilaciones por segundo,
el tiempo de una oscilación o sea el período del movimiento será:
T = 1/10 = 0.10 s.
Así pues, por medio de un desarrollo matemático que no se pretende dar en
nuestro curso, se concluye que el periodo de un oscilador armónico simple
puede calcularse por la expresión:
T = 2¶ √ m/n.
Donde m es la masa del oscilador y K es la constante elástica del resorte en el
cual el cuerpo está oscilando. Observe que el período disminuye con el
crecimiento de k, esto es para resortes duros(constante elástica elevada) el
período de la oscilación es pequeño(o la frecuencia es elevada) y aun cuando
el período crezca con el crecimiento de m, esto es de dos masas que oscilan
sucesivamente sujetas a un mismo resorte, la mayor de ellas tendrá mayor
período de oscilación. Es importante notar que el período de vibración no
depende de la amplitud con la cual el cuerpo oscila, pues en la fórmula
obtenida esta magnitud no figura. Todos estos hechos se confirman
experimentalmente, como se podrá constatar si se realizan los experimentos.
El movimiento armónico simple se efectúa solamente bajo la acción de la
fuerza restauradora F=-kX. Siendo ésta una fuerza conservativa, la energía
mecánica del oscilador se conserva, lo que significa que durante el movimiento
tenemos sólo transformaciones de energía potencial.
Ep= (½)jX²
85
En energía cinética Ec= (½)mv² y viceversa. La energía total se obtiene
sumando estas dos energías en cualquier instante del movimiento. Siendo E
la energía total, tenemos.
E= Ep + Ec= ½kX² + ½mv²
En los puntos X = ± A, esto es en los extremos de la trayectoria, la energía
cinética del cuerpo se anula y su energía potencial vale Ep= ½kA² . luego este
valor de Ep representa la energía total del movimiento, es decir:
E= ½kA²
La energía total depende de la constante k y del cuadrado de la amplitud. Si se
duplica la amplitud de oscilación del cuerpo, su energia será cuatro veces
mayor. De esta manera el oscilador armónico se mueve en tal forma que:
½kX²
+
½mv²
=
½kA²
la relación anterior nos permite calcular la velocidad v que el oscilador posee
en cualquier posición X , siempre que se conosca k, m y A para este
oscilador.
Si hay roce en el movimiento, la energía total del oscilador disminuirá continua.
La amplitud del movimiento no será constante, pues va disminuyendo en
cada ciclo hasta que el oscilador se detenga, habiéndose disipado su energía
por el roce. Cuando esto ocurre el movimiento es AMORTIGUADO, el gráfico X
y t para este caso, sería como el que se muestra en la siguiente figura:
viii-38
Consideremos ahora un péndulo simple, como el que se muestra en la
siguiente figura:
86
El péndulo simple consiste en una partícula de masa m, sujeta al extremo de
un hilo de masa despreciable y de largo L que oscila en un plano vertical. El
cuerpo se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de su peso mg
y de la tensión T de la cuerda. En una posición cualquiera, el hilo forma un
ángulo Θ con la vertical. Representamos por X el largo del arco de cincuferncia
mostrado en la figura anterior. La fuerza restauradora, esto es, la fuerza que
tiende a llevar al cuerpo a la posición de equilibrio, es:
F = -mgsenΘ
Que representa la componente del peso en la dirección tangente a la
trayectoria.
Si examinamos solamente las pequeñas oscilaciones del péndulo no siendo
muy grande el mayor valor del ángulo Θ el arco de circunferencia X será
prácticamente un segmento de la recta horizontal; así tendremos, dentro de
esta aproximación:
SenΘ = X/L
Entonces la fuerza restauradora estará por :
F= -(mg/L)X
Esta ecuación demuestra que para pequeñas oscilaciones de un péndulo
simple, la masa suspendida ejecuta un movimiento armónico simple, pues la
fuerza restauradora es proporcional a X. La constante k de este movimiento es
K= mg/L
El período del péndulo podrá ser determinado si llevamos este avlor de k a la
expresión :
87
T= 2¶ √ m/k.
T= 2¶ √ L/g
.
UNIDAD 4
INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA PARTICULA Y DEL
CUERPO RÍGIDO.
4.1.-Fuerzas en el plano y en el espacio.
OBJETIVO.El alumno aplicara el concepto de equilibrio de una partícula en la
solución de problemas prácticos.
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y, generalmente, está
caracterizada por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección. Sin
embargo, las fuerzas que actúan sobre una partícula dada tienen el mismo
punto de aplicación. Por lo tanto, cada una de las fuerzas consideradas en este
temas estarán completamente definidas por su magnitud y su dirección.
La magnitud de una fuerza está considerada por un cierto número de unidades,
por ejemplo newton, libras. La dirección de una fuerza está determinada por la
línea de acción y el sentido de la fuerza. La línea de acción es la línea recta
infinita a lo largo de la cual actúa la fuerza, está caracterizada por el ángulo
que forma con respecto a un eje fijo.
10 lb.
10 lb
88
DESCOMPOSICIÓN DE UN FUERZA EN SUS COMPONENTES
Se ha visto que dos o más fuerzas que están actuando sobre una particula
pueden ser reemplazadas por una fuerza que tienen el mismo efecto sobre
dicha partícula. Por el contrario, una fuerza F que está actuando sobre una
partícula puede ser reemplazada por dos o más fuerzas que , en conjunto,
tienen el mismo efecto que F. Estas fuerzas reciben el nombre de componentes
de la fuerza original F el proceso de sustituirlas en lugar de F se denomina
descomposición de la fuerzas F en sus componentes.
EJEMPLO
Las dos fuerzas, P y Q que actúan sobre el perno A. Determine su resultante.
Pag.20
89
EJEMPLO
Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas
ejercidas por lo remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del
eje del lanchón, determine: a.- la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo
que α=45º, b).- el valor de α tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima.
SOLUCION.
PAG.21
90
Problemas propuestos
91
FUERZAS EN EL ESPACIO
...............................................................................................................................
.....................................................................................
92
FUERZAS EN EL ESPACIO
Considérese una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de
coordenadas rectangulares x, y, z. Para definir la dirección de F, podemos
trazar el plano vertical OBAC que contiene a F y que se muestra en la siguiente
figura:
2.30
93
Este plano pasa a través del eje vertical y; su orientación está definida por el
ángulo ø que forma con el plano xy, mientras que la dirección de F dentro del
plano está definida por el angulo θy que F forma con el eje y. La fuerza F
puede descomponerse en una componente vertical Fy y una componente
horizontal Fh, esta operación, mostrada en la figura anterior b, se realiza en el
plano OBAC de acuerdo con las reglas desarrolladas. Las componentes
escalares correspondientes son:
Fy=Fcos θy
Fh=Fsen θy
Pero Fh puede descomponerse en sus dos componentes rectangulares Fx y
Fz a lo largo de los ejes x y z, respectivamente. Esta operación, mostrada en la
figura anterior en C se realiza en el plano xz. De esta manera, obtenemos las
expresiones siguientes para las componentes escalares correspondientes:
Fx=FhcosØ=Fsen θycosØ
Fz=FhsenØ=Fsen θysenØ
La fuerza F se ha descompuesto en tres componentes vectoriales
rectangulares Fx, Fy , Fz, dirigida a lo largo de los tres ejes coordenados.
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triangulos OAB y OCD de la figura
anterior, escribimos
F²= (OA)² = (OB)² + (BA)² = F²y + F²h
94
Eliminando F²h de estas dos ecuaciones y resolviendo para F obtenemos la
siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes rectangulares
escalares:
F = √ (F²x + F²y + F²z)
También podemos decir que :
Fx=Fcos θx
Fxi
Fy=Fcos θy
Fyj
Fz=Fcos θz.
Fzk
Ejemplo
Una fuerza de 500N forma angulos de 60, 45 y 120º con los ejes x, y z.
Respectivamente, encuentrese las componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza.
Sustituyendo valores tenemos:
Fx=500cos 60= 250N
Fy=500cos45==354N
Fz=500cos120= - 250N.
4.2.-Equilibrio de una partícula.
En la práctica un problema de ingeniería mecánica se deriva de una situación
física real. Un esquema que muestra las condiciones físicas del problema se
conoce como DIAGRAMA ESPACIAL.
Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a
problemas concernientes al equilibrio de una partícula. Esto se hace
escogiendo que muestre a esta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella.
Dicho diagrama se conoce como DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Por ejemplo, considérese el embalaje de madera de 75 kg mostrado en el
diagrama espacial de la figura siguiente:
95
. 2.29
Este descansaba entre dos edificios y ahora es levantado hacia la plataforma
de un camión que lo quitará de ahí. El embalaje está soportado por un cable
vertical, unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios
en B y C. Se desea determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y AC.
Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que
muestre a la particula en equilibrio. Puesto que estamos interesados en las
tensiones en las cuerdas, el diagrama de cuerpo libre debe incluir al menos a
una de ellas y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo
libre para este problema. El diagrama de cuerpo libre para este problema. El
diagrama de cuerpo libre del punto A se muestra en la figura anterior en b. Esta
muestra al punto A y a las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las
dos cuerdas. La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual
al peso W del anterior. Recordando la siguiente formula.
W = mg( 75kg)(9.81m/s²)
E indicamos este valor en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas
por las dos cuerdas no se conocen, pero como son iguales en magnitud a la
tensión en la cuerda AB y en la cuerda AC, las representamos por TAB y TAC y
las dibujamos hacia fuera de A en las direcciones mostradas por el diagrama
espacial. No se incluyen otros detalles en el diagrama de cuerpo libre.
Puesto que el punto A está en equilibrio, la tres fuerzas que actuan sobre él
deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola. Este
triángulo de fuerzas ha sido dibujado en la figura anterior en c. Los valores
TAB y TAC de las tensiones en las cuerdas pueden encontrarse gráficamente
si el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse por trigonometría. Si se
escoge el último método de solución, se usan la ley de los senos, escribimos.
96
TAB/sen 60º= TAC/sen40º= 736N/sen80º
TAB= 647N
TAC= 480N
Cuando una partícula está en equilibrio bajo tres fuerzas, el problema puede
siempre resolverse dibujando un triángulo de fuerzas. Cuando una partícula
está en equilibrio bajo más de tres fuerzas, el problema puede resolverse
gráficamente dibujando un polígono de fuerzas. Si se desea una solución
analítica, se deben resolver las ecuaciones de equilibrio:
∑ Fx=0
∑ Fy=0
estas ecuaciones pueden resolverse para no más de dos incógnitas; en forma
semejante, el triangulo de fuerzas usado en el caso de equilibrio bajo tres
fuerzas puede resolverse para dos incógnitas.
Los tipo más comunes de problemas son aquellos donde las dos incógnitas
representan 1).- las dos componentes( o la magnitud y dirección) de una sola
fuerza, 2).-la magnitud de las dos fuerzas cada una de dirección conocida.
También se encuentran problemas que requieren la determinación del valor
máximo o mínimo de la magnitud de una fuerza ..
EJEMPLO
En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb es
soportado por un cable. Se ata una cuerda al cable A y se tira para centrar al
automóvil sobre la posición deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de
2º, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30º. ¿ cuál es la
tensión en la cuerda?.
97
EJEMPLO
Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de
arrastre que puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un
modelo del casco propuesto en un canal de prueba y se usan tres cables para
mantener su proa en el eje del centro del canal. Las lecturas de los
dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es de 40 lb en el
cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determinese la fuerza de arrastre ejercida
sobre el casco y la tensión en el cable AC.
98
PROBLEMAS PROPUESTOS
99
4.3.- Momento de una fuerza.
4.3.1.-Respecto a un punto.
4.3.2.-Respecto a un eje.
4.3.3.-Momento de un par. Pares equivalentes. Suma de pares.
Consideremos una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido, como se
muestra en la siguiente figura:
Fig.663.12
100
Como sabemos, la fuerza F está representada por un vector que define su
magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo
rígido depende también de su punto de aplicación A. La posición de A puede
establecerse en forma conveniente por el vector r que une al punto fijo de
referencia O con A, a este vector se le conoce como el VECTOR DE
POSICIÓN de A. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado
en la figura anterior a.
Definiremos el MOMENTO DE F ALREDEDOR DE O como el producto
vectorial de r y F.
Mo = r X F
El momento Mo debe ser perpendicular al plano que contiene al punto O y a la
fuerza F. El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que
alinearia al vector r con el vector F. Esta rotación sería en CONTRA DE LA
MANECILLAS DEL RELOJ para un observador localizado en la punta de Mo.
Otra forma de definir el sentido de Mo se logra por la regla de la mano derecha:
cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos se curven en
el sentido de la rotación que F impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje
fijo dirigido a lo largo de la línea de acción de Mo; su dedo pulgar indicará el
sentido del momento Mo.
Finalmente, representando por θ al ángulo entre las líneas de acción del
vector de posición r y de la fuerza F, encontramos que la magnitud del
momento de F con respecto a O es:
Mo= rFsen θ = Fd.
Ejemplo
Una fuerza de 800N actúa sobre un soporte como se indica en la figura.
Determinar el momento de la fuerza con respecto a B.
Pag.71
101
PROBLEMAS PROPUESTOS
PAG73
102
4.4.-Reacciones en apoyos y conexiones.
4.5.-Equilibrio de cuerpos rígidos.
Cuando la fuerza y el par son ambos iguales a cero, las fuerzas externas forman un
sistema equivalente nulo y se dice que el cuerpo rígido está EQUILIBRIO.
Por consiguiente, las condiciones necesarias y suficiente para el equilibrio de un cuerpo
pueden obtenerse haciendo R y M. Iguales a cero.
∑F = 0
∑Mo= ∑(r X F)=0
descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares,
podemos expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un
cuerpo rígido por medio de la ecuaciones escalares siguientes:
∑Fx=0
∑Fy=0
∑Rz=0
∑Mx=0
∑My=0
∑Mz=0
las ecuaciones obtenidas pueden usarse para determinar las fuerzas desconocidas
aplicadas a cuerpos rígidos o las reacciones desconocidas que ejercen sobre éste sus
apoyos. Notamos que las ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las
fuerzas externas en las direcciones x,y,z están equilibradas.
103
REACCIONES EN LOS APOYOS Y CONEXIONES DE UNA ESTRUCTURA
BIDIMENSIONAL
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden dividirse en tres
grupos, correspondientes a tres tipos de apoyos o conexiones.
1.-reacciones equivalentes a una fuerza con línea de acción conocida. Algunos
soportes y conexiones que causan reacciones de este grupo son: patines,
rodamientos,balancines, superficies sin fricción, eslabones, y cables cortos, collarines
sobre barras sin fricción y pernos en ranuras lisas.
2.- reacciones equivalentes a una fuerza de dirección desconocida. Entre los apoyos
y conexiones que producen reacciones de este grupo se encuentran: pernos lisos en
orificios ajustados, articulaciones y superficies rugosas.
3.-reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones son producidas
por soportes fijos que impiden cualquier movimiento del cuerpo inmovilizándolo por
completo.
REACCIONES EN LOS APOYOS Y CONEXIONES.
FIG.4.1
104
EJEMPLO
Una grúa tiene una masa de 1000 kg y se emplea para levantar una carga de 2400 kg. Se
mantiene en su lugar por un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la
grúa se localiza en G. Determinese las componentes de las reacciones en A y B,
105
EJEMPLO
Se aplican tres cargas a una viga en la forma indicada. La viga está apoyada en un
rodamiento en A y en un perno liso en B. Despreciando el peso de la viga, determinese
las reacciones en A y B cuando P= 15 kips.
106
PROBLEMAS PROPUESTOS.
107
PAG. 139
108
BIBLIOGRAFÍA
FÍSICA VOL.1
AUTOR:SUSAN M. LEA
JOHN ROBERT BURKE.
EDIT.- INTERNACIONAL THOMSON.
DINAMICA
AUTOR:-JERRY H. GINSBERG
JOSEPH GENIN.
EDIT.-INTERAMERICANA.
MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS
AUTOR.- FERDINAND P. BEER.
E. RUSSELL JOHNSTON JR.
EDIT.- MC.GRAW HILL.
DINAMICA.
AUTOR.- FERDINAND P. BEER.
E. RUSSELL JOHNTON JR.
EDIT.-MC. GRAW HILL.7
109