Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización 1.7 Mecanismos microscópicos de dispersión (defectos, fonones, electrón-electrón). Dependencia de la resistividad con la temperatura. I Mecanismos de dispersión: Discusión cualitativa I Desarrollo formal: interacción electrón-fonón y deducción de la curva universal de Debye-Bloch. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Variación de la resistividad con T. Mecanismos de dispersión No hay dispersión en un cristal ideal para los electrones Bloch. I Desviaciones de la periodicidad ideal: Defectos y fonones (fluctuaciones térmicas de los iones). I Efectos de interacción electrón-electrón: fallo de la aprox. de e− independientes ¿Cuales son los mecanismos dominantes? ρ(T ) = 1 m∗ 1 = σ ne2 τ τ contiene toda la dependencia en T I T : Dominan los fonones de energía maxima (ρ ∼ T ) I T intermedia: fonones de baja energía (ρ ∼ T 5 ) (hay desviaciones en muchos materiales). I T defectos (ρ ∼ cte) y int. electrón-electrón (ρ ∼ T 2 , sólo se observa si la concentración de defectos es baja). Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Variación de la resistividad con la temperatura: defectos. Defectos: vacantes, impurezas (substitucionales o intersticiales): Centros de dispersión localizados y distribuidos al azar por el cristal ⇒ dispersión elástica (conserva la energía) e independiente de T. Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización ¿Cómo se combinan estos mecanismos?: Regla de Matthiesen. 1 1 1 1 = + + + ··· τ τ1 τ2 τ3 donde los τj son los tiempos de relajación para cada uno de los diferentes procesos de dispersión (scattering) (dispersión por defectos, emisión y absorción de fonones, etc) El mecanismo de dispersión con τj más pequeño es el que domina, por lo que podemos identificar regiones de temperatura en la que uno de los mecanismos es el dominante y olvidarnos del resto. ¿Cuando falla esta aproximación? I El resultado de un proceso de dispersion influye en el resultado de otro. I Uno o mas de los τj depende fuertemente de k̄. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Variación de la resistividad con T: interacción electrón-electrón. En general, poco relevante, porque hay pocos estados accesibles: I Los estados inicial y final tienen energías y momentos cercanos a εF y kF I Se tienen que conservar la energía y el momento Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Variación de la resistividad con T: interacción electrón-electrón (II) E1 + E2 = E3 + E4 > 2EF , y (E1 − EF ) + (E2 − EF ) > 0 k̄1 − k̄3 = k̄2 − k̄4 Sólo una fracción ∼ kB T /EF de los electrones puede dispersar con el electron en E1 y k T 2 sólo una fracción ∼ kB T /EF de los estados finales son accesibles ⇒ τ1 ∝ EB . F Se convierte en importante cuando: I I La superficie de Fermi es complicada, por lo que la conservación de energía y momento es posible para un conjunto mas amplio de procesos de dispersión. La densidad de estados al nivel de Fermi es muy grande, incrementando sustancialmente el número de estados iniciales y finales accesibles. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Variación de la resistividad con T: Curva universal de Debye-Bloch. ρ(T ) = A T ΘD 5 Z 0 ΘD /T (ex x 5 dx − 1)(1 − e−x ) ΘD ≡ Temperatura de Debye kB ΘD = ~ωD con ωD ≡ frecuencia del fonón de energía más alta si suponemos una relación de dispersión lineal ω = vs k en toda la zona (Modelo de Debye de los fonones) resistividad dominada por la absorción y emisión de fonones ¿Cuáles son la energía y momento caracteristico de esos fonones, y cuantos hay? Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Curvas de dispersión para los fonones del Silicio Mec. de dispersión Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Modelo de Debye. Densidad de estados de fonones. Comparison of the Debye model and more realistic phonon dispersion curves. I The upper part of the figure shows the acoustic and optic modes of a crystal with a simple diatomic basis, plotted as mode energy versus q (only one of each of the three possible acoustic and optic branches is shown, for clarity). In the Debye model, these are approximated by a straight line. I The lower part of the figure shows the effective volumes of integration used in counting modes. In the Debye model, this is done by integrating over a sphere in k-space of diameter ωD /vs , whereas the correct volume of integration, encompassing the natural symmetry of the crystal and the k-space periodicity of the phonon modes is the Brillouin zone. In the diatomic crystal, the sphere must be of the same volume as the first two Brillouin zones in order to encompass the correct number of states. I Note that a simple cubic lattice has been assumed, so that cross-section of the first Brillouin zone is square. ω = vs k , vs ≡ velocidad del sonido dn dn dk = = Hω 2 dω dk dω El número de modos totales 3Nl (N = número de celdas unidad, l = número de átomos en la celda) satisface: Z ωD 3 HωD 9Nl 3Nl = dωHω 2 = ⇒ g(ω) = 3 ω 2 3 ωD 0 Densidad de estados g(ω) ≡ Los fonones son bosones !! fBE (ω) = 1 (Estadística de Bose-Einstein) e~ω/kB T − 1 Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Modelo de Debye. Número de fonones y energía media. ωD Z Nph = 0 ωD Z Uph = 0 Z x2 kB T 3 ΘD /T dx x ~ e −1 e −1 0 Z ~ω kB T 3 ΘD /T x3 2 dx x = 3 kB T dω 3 ω ~ω/k T B −1 ~ e −1 ωD ωD e 0 dω 9Nl ωD3 9Nl ω 2 1 ~ω/kB T = 9Nl ωD3 9Nl • T ΘD (podemos llevar las integrales a infinito) Z x2 kB T 3 ∞ dx x ~ e −1 0 Z 9Nl kB T 3 ∞ x3 = k T dx x 3 B ~ e −1 ωD 0 Nph = Uph 9Nl ωD3 ⇒ Nph ∼ T 3 ⇒ Uph /Nph ∼ kB T • T ΘD (podemos aproximar ex ∼ 1 + x) Z 9 kB T 3 ΘD /T T xdx = Nl ⇒ Nph ∼ T ~ 2 ΘD 0 3 Z Θ /T D 9Nl kB T 2 2 kB T x dx = 3NlkB T ⇒ Uph /Nph = kB ΘD = ~ 3 ωD3 0 Nph = Uph 9Nl ωD3 (para T ΘD la distribución es muy diferente de la radiación de cuerpo negro (fotones), ya que en el caso de fonones hay una frecuencia de corte: ωD ) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dispersión electrón-fonón: ¿emisión o absorción?. ε(k̄0 ) − ε(k̄) = ±~ω(q̄), k̄0 = k̄ + q̄ I I I energía típica del fonon en T ~ω ∼ kB T ⇒ Esperamos que un electrón sea dispersado por absorber un fonon de energia ∼ kB T . Los estados vacios para los e− se encuentran en εF − kB T y los estados llenos más energéticos están en εF + kB T ⇒ un electrón sólo puede emitir un fonon con energía ∼ kB T (Est. Fermi-Dirac: no hay estados accesibles con energías mayores !!) Las probabilidades de absorber o emitir un fonon de energía ∼ kB T tienen la misma dependencia con la temperatura: los dos procesos están controlados por la densidad de fonones a esa energía Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión ¿Porqué es importante el momento de los fonones?. Mecanismos que controlan τσ y τκ Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dispersión electrón-fonón: Energía y momento frente a T. • T ΘD : Los fonones tienen una energía media ∼ kB ΘD que corresponde a estados con momento grande q ∼ 1/a. La absorción o emisión de un fonón es capaz de llevar un electron hasta el otro lado de la superficie de Fermi ⇒ 1 1 ≈ ∝ Nph (con~ω ∼ kB T ) ∼ T τσ τκ • T ΘD : los fonones tienen energías ~ω ∼ kB T kB ΘD ⇒ q kF . La dispersión inelastica por un solo fonón cambia la 1 energía del electron en ∼ kB T : ⇒ ∝ Nph ∼ T 3 . τκ Sin embargo, un sólo proceso de dispersión no puede llevar al electrón al otro lado de la superficie de Fermi ⇒ τσ τκ . Para tener en cuenta que se necesitan muchos procesos de dispersión para eliminar el exceso de velocidad “hacia delante” del electrón, la probabilidad de dispersión incluye una función peso (1 − cosθ) con el ángulo de dispersión 1 − cosθ ≈ θ2 q2 ω2 ≈ ≈ ∝ T2 2 2kF 2kF2 vs2 En este caso τσ ∝ T −5 y τκ ∝ T −3 : No se cumple la Ley de Wiedemann-Franz Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Desviaciones del comportamiento σ ∝ T −5 para T ΘD . Esta relación se cumple exactamente en muy pocos materiales. Las desviaciones tienen que ver con dos razones fundamentales: 1. Procesos "umklapp": la periodicidad del espacio k̄ permite que fonones de momento pequeño dispersen electrones sobre la superficie de Fermi hacia estados vacios con energía ∼ εF en una zona de Brillouin adyacente donde los estados pueden tener una velocidad casi opuesta a la del estado inicial. Conservación del momento: k̄0 = k̄ + q̄ + Ḡ, Ḡ ≡ vector de la red recíproca. 2. Superficies de Fermi de geometría complicada dentro de la primera zona de Brillouin, en las que fonones de momento pequeño pueden conectar secciones de esa superficie con velocidade características muy diferentes. Ambos efectos dan lugar a una probabilidad de dispersión aproximadamente exponencial τ −1 ∝ e−ΘF /T , donde ΘF es una temperatura característica que depende de la geometría de la superficie de Fermi. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dependencia con T de las conductividades eléctrica y térmica (Resumen). Temperatura (dispersion) tiempo de relajación κ σ Número de Lorenz κ (L = σT ) T muy baja τκ ≈ τσ κ∝T L = L0 (impurezas) ∼ const σ ∼ const (L0 = T ∼ ΘD /10 (fonones) τκ ∝ T −3 τσ ∝ T −5 → e−ΘF /T κ ∝ T −2 σ ∝ T −5 → e−ΘF /T L < L0 T ≥ ΘD (fonones) τκ ≈ τσ ∝ T −1 κ ∼ const σ ∝ T −1 L = L0 2 π 2 kB 3 e2 ) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Transporte con H̄ Efectos termoeléctricos Mec. de dispersión Cuantización Mecanismos de dispersión. Probabilidades de transición W (k̄, k̄0 ) ∂g(r̄, k̄, t) ∂t =− col ∂g(r̄, k̄, t) ∂t | {z (1) + out } ∂g(r̄, k̄, t) ∂t | {z (2) in } (1) e− ’s que estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt pero no han llegado a r̄, k̄ porque han sido ~ desviados por las colisiones. (2) e− ’s que no estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt pero han llegado a r̄, k̄ porque han sido ~ desviados por las colisiones. Para calcular (1) y (2) necesitamos conocer las probabilidades de transición W (k̄, k̄0 ) asociadas a los diferentes mecanismos de dispersion (defectos, fonones): ∂g(r̄, k̄, t) ∂t Z = −V ZB col d k̄0 W (k̄, k̄0 ) 1 − g(k̄0 ) g(k̄)+V (2π)3 (hemos reemplazado X k̄0 ∂g(r̄, k̄, t) ∂t Z =V col ZB Z Z −→ V ZB ZB d k̄0 W (k̄0 , k̄)g(k̄0 ) 1 − g(k̄) (2π)3 d k̄0 ) (2π)3 d k̄0 W (k̄0 , k̄)g(k̄0 ) 1 − g(k̄) − W (k̄, k̄0 ) 1 − g(k̄0 ) g(k̄) 3 (2π) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dispersión por defectos (I). Defectos: vacantes, impurezas (substitucionales o intersticiales): Centros de dispersión localizados y distribuidos al azar por el cristal ⇒ dispersión elástica (conserva la energía) e independiente de T. W (k̄, k̄0 ) se calcula con T. de perturbaciones dependiente del tiempo (Regla de oro de Fermi) W (k̄, k̄0 ) = X 2 2π δ(ε(k̄) − ε(k̄0 )) hk̄|Uimp |k̄0 i con Uimp (r̄) = U(r̄ − R̄imp ) ~ R̄imp ( R̄imp ≡ posiciones de los defectos (impurezas) en el cristal) Suponiendo el caso más sencillo |k̄i = √1 V eık̄·r̄ y definiendo q̄ = k̄0 − k̄ 2 2 Z Z d r̄ X X 1 2 hk̄|Uimp |k̄0 i = eıq̄·r̄ eıq̄·R̄imp d r̄ eıq̄·r̄ U(r̄) U(r̄ − R̄imp ) = 2 V V R̄imp R̄imp Z Transf. Fourier: U(q̄) = d r̄ eıq̄·r̄ U(r̄), U(r̄) = 1 (2π)3 Z d q̄ e−ıq̄·r̄ U(q̄) 2π 1 1 W (k̄, k̄0 ) = |U(q̄)|2 Simp (q̄)Nimp δ(ε(k̄) − ε(k̄0 )) con Simp (q̄) = ~ V2 Nimp 2 X ıq̄·R̄imp e R̄imp Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dispersión por defectos (II). S(q̄) ≡ Factor de Estructura estatico (aparece en la T. de dispersión en sólidos y liquidos) I Para una Red de Bravais: S(q̄) = 1 Nceldas 2 X eıq̄·R̄α = δq̄,{Ḡ} R̄ α Sólo es diferente de cero si q̄ es un vector de la red reciproca. Difracción de rayos X: picos en q̄ ∈ Ḡ I Está relacionado con la función de correlación de dos partículas n2 (r̄1 , r̄2 ) ≡ probabilidad de que si una partícula esta en r̄1 haya otra en r̄2 . Z 0 V 1 d r̄d r̄0 n2 (r̄ + r̄0 , r̄)eıq̄·r̄ S(q̄) = 1 + n2 (q̄), n2 (q̄) = N V n2 (q̄) para Red de Bravais: Picos en q̄ ∈ Ḡ asociados a las N(N-1) coincidencias en posiciones cuando r̄1 y r̄2 están en puntos de la red Si los defectos (impurezas) están distribuidos al azar y la concentración es pequeña (separación entre ellas grande con respecto a las distancias interatómicas) =⇒ Simp (q̄) ∼ 1 (no hay coherencia !!) W (k̄, k̄0 ) = 2π nimp |U(q̄)|2 δ(ε(k̄) − ε(k̄0 )) ~ V Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización ¿Cómo podemos relacionar W (k̄, k̄0 ) con τ (k̄)?. Si U(r̄) es hermítico (i.e. real, invariante bajo inversión) =⇒ W (k̄, k̄0 ) = W (k̄0 , k̄) =⇒ ∂g(r̄, k̄, t) ∂t Z =V ZB col d k̄0 W (k̄, k̄0 ) g(k̄0 ) − g(k̄) (2π)3 ¿Cómo se relaciona esta expresión con la aproximación del tiempo de relajación? Z g(k̄) − f (k̄) d k̄0 ∂g(r̄, k̄, t) =− W (k̄, k̄0 ) g(k̄0 ) − g(k̄) =V 3 ∂t (2π) τ ( k̄) ZB col En general, no podemos encontrar un τ (k̄) que satisfaga esa ecuación !! Existe solución si suponemos (1) τ =cte y (2) ε(k̄ isotropo ⇒ g(k̄) = f (k̄) + Ā · k̄ , ∂f que incluye el caso de Ē uniforme: gn (k̄) = fn (k̄) + − ∂ε τn (k̄)eĒ · v̄n (k̄); si estamos cerca de los extremos de banda v̄n (k̄) = m~k̄∗ . Z Ā · k̄ d k̄0 ∂g =− = −Ā · V (k̄ − k̄0 )W (k̄, k̄0 ) 3 ∂t col τ ZB (2π) 1 =V τ Z ZB d k̄0 0 1 − k̂ · k̂ W (k̄, k̄0 ) (2π)3 τ : integral sobre los procesos de scattering, pesados por el factor 1 − k̂ · k̂ 0 ⇒ los que más contribuyen son los que cambian significativamente la direccion. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Dispersión por defectos (III). Combinando este resultado con nuestra expresion para W (k̄, k̄0 ) para los defectos: d k̄0 1 − k̂ · k̂ 0 |U(q̄)|2 δ(ε(k̄) − ε(k̄0 )) 3 ZB (2π) 2 2 2 Los e− relevantes son los cercanos a εF y como ε(k̄) ∝ k̄ ⇒ k̄ = k̄0 y 2 podemos tomar k̄ = kF y hacer la integral angular: 1 2π = nimp τ ~ Z 1 2π 2 = nimp 2 τ ~ vF kF2 2kF Z dq q 3 |U(q)|2 0 y la resistividad asociada a los defectos viene dada por ρ= m∗ 2π 2 m∗ = nimp 2 ne τ ne2 ~2 vF kF2 2kF Z dq q 3 |U(q)|2 0 independiente de T y proporcional a la concentración de impurezas. Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dispersión por fonones. Hamiltoniano para electrones e iones. Ĥ = = T̂n + T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn M X α=1 − NX Ne M e ,M X ~2 ~2 2 1X e2 ∇2α + − ∇i + U(r̄i − R̄α ) + + V̂nn 2Mα 2m 2 |r̄i − r̄j | i=1 i,α=1 i6=j Si suponemos que todos los electrones son de valencia: U(r̄i − R̄α ) = M 1 X Zα Zβ e2 Zα e 2 , V̂nn = 2 α6=β |R̄α − R̄β | |r̄i − R̄α | En general U(r̄i − R̄α ): potencial nuclear apantallado por los electrones de core. Hasta ahora hemos usado la aproximación de Born-Oppenheimer: Mα m y las fuerzas son las mismas =⇒ La dinamica de los electrones (más rápidos) y los iones pueden desacoplarse (Aproximación adiabática). h i Ĥe [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i = T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn |ψ(r̄i , [R̄α ])i = EGS [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i h i Ĥn |Ψ(R̄α )i = T̂n + EGS [R̄α ] |Ψ(R̄α )i = En |Ψ(R̄α )i I I Los electrones ven los iones como centros de fuerza inmoviles. Los nucleos ven el "valor medio" de las interacciones con los electrones, por lo que los grados de libertad electronicos desaparecen de su ecuacion. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Dispersión por fonones. Interacción electrón-fonón. • aproximación de Born-Oppenheimer: h i Ĥe [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i = T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn |ψ(r̄i , [R̄α ])i = EGS [R̄α ]|ψ(r̄i , [R̄α ])i h i Ĥn |Ψ(R̄α )i = T̂n + EGS [R̄α ] |Ψ(R̄α )i = En |Ψ(R̄α )i Hemos supuesto además que: • Los iones están fijos en la configuración de equilibrio R̄0nτ (α ≡ nτ donde n recorre las celdas (los puntos) de la Red de Bravais y τ los átomos dentro de la celda unidad) Estas ecuaciones nos han permitido estudiar por separado: I la estructura de bandas para los electrones en el potencial periódico definido por 0 R̄nτ h i 0 0 Ĥe [R̄0nτ ]|ψ(r̄i , [R̄0nτ ])i = T̂e + V̂ne + V̂ee + V̂nn |ψ(r̄i , [R̄0nτ ])i 0 I los modos normales de oscilación alrededor de R̄ nτ para el sistema de iones (fonones). Ahora vamos a dejar que estos dos sistemas energía: se comuniquen e intercambien Los electrones ven la red en movimiento R̄nτ = R̄0nτ + ūnτ (t) como una perturbación del potencial periódico que podemos interpretar en terminos de la dispersión entre electrones y fonones Desarrollamos V̂ne alrededor de las posiciones de equilibrio R̄0nτ . V̂ne = X i,n,τ U(r̄i − R̄0nτ ) − X i,n,τ 0 ∇r̄i U(r̄i − R̄nτ )R̄0 · ūnτ (t) + · · · = V̂ne + Ĥel−ph + · · · nτ Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Hamiltoniano electrón-fonón (I). Ĥel−ph = − X ∇r̄i U(r̄i − R̄nτ )R̄0 · ūnτ (t) nτ i,n,τ Podemos tratarlo como: (1) un potencial dependiente del tiempo y que causa transiciones entre los estados electrónicos o (2) describirlo como la dispersión de los electrones por la absorción y emisión de fonones. Los desplazamientos de los iones se pueden reescribir en terminos de los modos normales (fonones): X X 0 1 Qs,q̄ (t)ēsτ (q̄)eıq̄·R̄n = ūnτ (t) = √ NMτ s,q̄ s,q̄ I s 0 ~ ēs (q̄)eıq̄·R̄n âs+ (−q̄) + âs (q̄) 2NMτ ωs (q̄) τ âs+ (q̄) y âs (q̄) son los operadores de creación y destrucción de fonones con frequencia ωs (q̄) y un patron de desplazamientos atómicos definido por los autovectores ēsτ (q̄). (Los operadores incluyen la dependencia temporal!!) I s nos indica la rama (acústica o optica que a su vez pueden ser longitudinal o transversal,...). Recordar que para un sólido con Nbase átomos en la celda unidad primitiva (τ = 1, · · · , Nbase ) tenemos 3 × Nbase ramas. I N ≡ numero de celdas unidad en el cristal. Mτ ≡ masa del átomo τ en la celda unidad. Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Hamiltoniano electrón-fonón (II). • Podemos reescribir el termino del gradiente usando la transf. Fourier del potencial X 0 0 q̄0 U(q̄0 )eıq̄ ·(r̄i −R̄nτ ) ∇r̄i U(r̄i − R̄nτ )R̄0 = ı nτ i,q̄0 • Usamos la expresión de la transf. de Fourier de la densidad electrónica en términos de los operadores de creación y destrucción de electrones con momento k̄ (suponemos una única banda, caso general: añadir una suma en bandas) X X 0 + ĉ ĉk̄+ eıq̄ ·r̄i = q̄0 k̄ i k̄ • Realizamos la suma sobre los sitios de red X X 0 0 eı(q̄−q̄ )·R̄nτ = N δq̄−q̄0 ,Ḡ n Ḡ y podemos reescribir la interacción electrón-fonón como: X Ĥel−ph = − Mq̄−Ḡ âs+ (−q̄) + âs (q̄) ĉ + ĉ k̄+q̄−Ḡ k̄ s,k̄,q̄,Ḡ con el elemento de matriz (r̄τ ≡ posición del átomo τ dentro de la celda unidad) s X N~ Mq̄−Ḡ = −ı (q̄ − Ḡ) · ēsτ (q̄)eı(q̄−Ḡ)·r̄τ U(q̄ − Ḡ) 2M ωs (q̄) τ τ Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Hamiltoniano electrón-fonón (III). Ĥel−ph = − X Mq̄−Ḡ âs+ (−q̄) + âs (q̄) ĉ + ĉ k̄+q̄−Ḡ k̄ s,k̄,q̄,Ḡ Absorción y emisión: Conservación de energía y momento (procesos normales y umklapp) ε(k̄0 ) − ε(k̄) = ±~ω(q̄), k̄0 = k̄ + q̄ − Ḡ Para fonones LA (longitudinal acústico), los más relevantes para el transporte: s ~ Mq̄ = −ıD |q̄|1/2 , ωLA (q̄) = vs |q̄| 2NMτ vs P vs ≡ velocidad del sonido, M = τ Mτ ≡ masa total de la celda unidad D ≡ potencial de deformación: desplazamiento de las bandas cuando doblamos el volumen de la celda unidad (∆V /V = 1) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Resistividad eléctrica debida a la interacción electrón-fonon (I) ¿Cuales son los procesos relevantes? P (nos restringimos a una sola rama de fonones (en general s ) y procesos normales) ∂g(r̄, k̄, t) ∂t = col o Xn W e,q̄ (k̄ + q̄, k̄) + W a,−q̄ (k̄ + q̄, k̄) − W a,q̄ (k̄, k̄ + q̄) − W e,−q̄ (k̄, k̄ + q̄) q̄ Calculamos las probabilidades de transición usando la regla de oro de Fermi W e,−q̄ (k̄, k̄ + q̄) = 2 2π + + hfinal|Mq̄ â− q̄ ĉk̄+q̄ ĉk̄ |iniciali δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ ) ~ |iniciali = |nk̄+q̄ , nk̄ , N−q̄ , Nq̄ i, |finali = |nk̄+q̄ + 1, nk̄ − 1, N−q̄ + 1, Nq̄ i + ĉk̄ |iniciali 6= 0 sólo si nk̄ = 1, y ĉk̄+ |iniciali 6= 0 si 1 − nk̄+q̄ = 1 q̄ W e,−q̄ (k̄, k̄+q̄) = Wq̄0 (1−nk̄+q̄ )nk̄ (N−q̄ +1)δ(ε(k̄+q̄)−ε(k̄)+~ωq̄ ), con Wq̄0 = 2π 2 Mq̄ ~ Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Resistividad eléctrica debida a la interacción electrón-fonon (II) Procedemos de manera analoga con los otros procesos. Teniendo en cuenta que la distribución de portadores no tiene porque ser la de equilibrio por la presencia de campos externos, reemplazamos nk̄ por gk̄ ∂g(r̄, k̄, t) ∂t = X + (1 − gk̄ )gk̄+q̄ (Nq̄ + 1)δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ ) col Wq̄0 { q̄ − (1 − gk̄+q̄ )gk̄ Nq̄ δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) − ~ωq̄ ) + (1 − gk̄ )gk̄+q̄ N−q̄ δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) − ~ωq̄ ) − (1 − gk̄+q̄ )gk̄ (N−q̄ + 1)δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ ) } Resolvemos la ec. de Boltzmann bajo una serie de aproximaciones que nos permiten una solución analítica • (A) aproximación de Bloch: Nq̄ = N−q̄ = Nq̄0 (la distribución de fonones es la de equilibrio térmico; no se ve afectada por la int. con los electrones) o Xn ∂g(r̄, k̄, t) = Wk̄+q̄,k̄ gk̄+q̄ (1 − gk̄ ) − Wk̄,k̄+q̄ gk̄ (1 − gk̄+q̄ ) ∂t col q̄ h i Wk̄,k̄+q̄ = Wq̄0 (Nq̄0 + 1)δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) + ~ωq̄ ) + Nq̄0 δ(ε(k̄ + q̄) − ε(k̄) − ~ωq̄ ) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Resistividad eléctrica debida a la interacción electrón-fonon (III) • (B) Principio de microreversibilidad: Zq̄ (k̄, k̄0 ) es simétrica con Zq̄ (k̄, k̄0 ) = Wq̄ (k̄, k̄0 )fk̄ (1 − fk̄0 ), Zq̄ (k̄, k̄0 ) = Zq̄ (k̄0 , k̄), Wq̄ (k̄, k̄0 ) ≡ Wk̄,k̄+q̄ (la interacción con los fonones da una contribución nula cuando estamos en el equilibrio térmico (gk̄ = fk̄ ) ) • (C) Aproximación de electrones isótropos: (1) τ =cte y (2) ε(k̄) isótropo ⇒ g(k̄) = f (k̄) + Ā · k̄ (la misma aprox. que hicimos en el estudio de los defectos) • (D) Suponemos para la distribución de fonones un modelo de Debye Tras un cálculo largo y complicado (ver los detalles en P. Philips, Advanced Solid State Physics) recuperamos la curva universal de Debye-Bloch (kB ΘD = ~ωD = ~vs qD ): 1 = α0 τ α0 = T ΘD 5 J5 ΘD T m∗ Z 2 kB5 , 3 7 24π ~ vs6 n2 nion Mg 2 (εF ) y Z J5 (y ) = 0 =⇒ ρ = ρ0 = m∗ = ρ0 ne2 τ T ΘD 5 J5 ΘD T m∗ α0 , g(εF ) ≡ densidad de estados en εF ne2 x 5 dx =− x (e − 1)(1 − e−x ) Z 0 y ∂ 1 x 5 dx ∂x ex − 1