MATEMÁTICAS PARA C.S. II.- Aplicación de derivadas.Soluciones 05/06 ……………….…………………………………………………………………………… 1º.-Dada la función f ( x) = 2 x 3 − 21x 2 + 36 x + 24 , encontrar: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento b) Los intervalos de concavidad positiva y de concavidad negativa c) Los puntos de máximo de y de mínimo d) Los puntos de inflexión de la función e) Los valores máximo y mínimo de la función Solución: ⎧x = 1 a) f '( x) = 6 x 2 − 42 x + 36 ⇒ 6 x 2 − 42 x + 36 = 0 ⇔ x 2 − 7 x + 6 = 0 ⇒ ⎨ ⎩x = 6 - de ( −∞;1) → f ′( x ) > 0 ⇒ f ( x) es creciente de (1; 6) → f ′( x ) < 0 ⇒ f ( x ) es decreciente de (6; ∞ ) → f ′( x ) > 0 → f ( x ) es creciente b) f ′′( x) = 12 x − 42 ⇒ 12 x − 42 = 0 ⇒ x = - 7 2 7⎞ ⎛ de ⎜ −∞; ⎟ → f ′′( x) < 0 ⇒ concavidad negativa 2⎠ ⎝ ⎛7 ⎞ de ⎜ ; ∞ ⎟ → f ′′( x) > 0 ⇒ concavidad positiva ⎝2 ⎠ c) En x = 1 la función pasa de creciente a decreciente, luego en dicha abscisa hay un máximo En x = 6 la función pasa de decreciente a creciente, luego en dicha abscisa hay un mínimo 7 la función pasa de concavidad negativa a concavidad positiva, luego en 2 dicha abscisa hay un punto de inflexión. e) El valor máximo de la función es f (1) = 2(1)3 − 21(1) 2 + 36(1) + 24 = 41 d) En x = El valor mínimo de la función es f (6) = 2(6)3 − 21(6) 2 + 36(6) + 24 = −84 Página 1 de 2 MATEMÁTICAS PARA C.S. II.- Aplicación de derivadas.Soluciones 05/06 ……………….…………………………………………………………………………… 2º.-Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de internet. Se ha realizado en estudio que determina que si la tarifa fuera de 36 € podrían conseguirse 4800 contratos. Sin embargo, por cada euro menos en la tarifa, el número de contratos previstos anteriormente se incrementaría en 150. Se pide: a) Expresar el ingreso previsto como una función de una variable. Explicar el significado de la variable utilizada. b) ¿Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el ingreso máximo? ¿Cuál es éste y con cuántos abonados se conseguiría? Solución: a) *Tomamos como variable,” x ”, el número de veces que disminuimos un euro de los 36€ Los ingresos se obtendrán multiplicando el nº de contratos por el valor de cada contrato: - Número de contratos: 4800 + 150x - Valor del contrato: 36 − x De donde la función buscada es: I ( x) = (4800 + 150 x )(36 − x ) (1) * Si llamásemos “ x ” al precio de la tarifa, en euros, la función sería: I ( x) = x (4800 + 150(36 − x )) (2) b) Trabajando con la función (1) I ′( x ) = 600 − 300 x → 600 − 300 x = 0 ⇒ x = 2 Como I ′′( x ) = −300 , luego la función es siempre de concavidad negativa, por ello en punto x = 2 hay un máximo para la función Por ello la tarifa debería ser 36-2=34 € para obtener un ingreso máximo. Este ingreso sería: I (2) = (4800 + 150·2)(36 − 2) = 173400 € que se consigue con 4800 + 2·150 = 5100 contratos. Página 2 de 2