Departamento de Ingenierı́a Matemática MA1002-6 / Cálculo Diferencial e Integral Semestre Primavera 2014 Formulario Curvas Rn Profesor: Raúl Uribe S. Auxiliares: Patricio Santis T. Noviembre de 2014 Parametrizaciones importantes Coordenadas Polares → − r (ρ, θ) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ)) ρ ∈ [0, +∞[, θ ∈ [0, 2π[ ρ ∈ [0, +∞[, θ ∈ [0, 2π[, Coordenadas Cilı́ndricas → − r (ρ, θ, z) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ), z(ρ, θ)) z∈R Coordenadas Esféricas → − r (r, φ, θ) = (r sin(φ) cos(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(φ)) r ∈ [0, +∞[, φ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π[ − Sea la curva en Rn parametrizada por → r (t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)), se define la norma euclidiana como: p − ||→ r (t)|| = x1 (t)2 + x2 (t)2 + ... + xn (t)2 Se definen los siguientes conceptos para curvas en Rn : Longitud de una curva Γ entre t0 y tf Z tf L= t0 → d− r (τ ) dt dτ Vectores unitarios Tangente (T̂ ), Normal (N̂ ) y Binormal (B̂) T̂ = → d− r (t) dt − d→ r (t) dt dT̂ (t) N̂ = dt dT̂ (t) dt Curvatura (κ), Torsión (τ ) y Radio de Curvatura (R) dT̂ (t) −N̂ · ddtB̂ dt κ(t) = τ (t) = → → d− d− r (t) r (t) dt dt 1 B̂ = T̂ × N̂ R(t) = 1 κ(t) Otra forma de calcular algunos vectores: → − − r (t)0 × → r (t)00 B̂ = → − → − 0 || r (t) × r (t)00 || − − ||→ r (t)0 × → r (t)00 || κ= − ||→ r (t)0 ||3 − − − (→ r (t)0 × → r (t)00 ) × → r (t)0 → − → − → − 0 00 ||( r (t) × r (t) ) × r (t)0 || − − − (→ r (t)0 × → r (t)00 ) · → r (t)000 τ= − − ||→ r (t)0 × → r (t)00 ||2 N̂ = − Para encontrar la parametrización en longitud de arco σ(s) de una curva parametrizada por → r (t): Z t → d− r (τ ) i) Calcular la longitud de arco s = s(t) = dt dτ , ası́ se obtiene s en función de t. a ii) Despejar t en función de s. No siempre se va a poder despejar. − − iii) Reemplazar el valor de t en la parametrización → r (t(s)) = → σ (s) Para la parametrización en longitud de arco se tiene: Vectores unitarios Tangente (T̂ ), Normal (N̂ ) y Binormal (B̂) − d→ σ T̂ = ds N̂ = dT̂ (s) ds dT̂ (s) ds B̂ = T̂ × N̂ Curvatura (κ), Torsión (τ ) y Radio de Curvatura (R) ! dT̂ d B̂ κ(t) = τ (t) = −N̂ (s) · ds ds R(s) = 1 κ(s) Fórmulas de Frenet dT̂ = κN̂ ds dN̂ = −κT̂ + τ B̂ ds dB̂ = −τ N̂ ds Integral sobre una curva Z Z b f dl = Γ a → d− r (t) → − dt f ( r (t)) dt − − Para calcular masa de un cuerpo de densidad ρ(x, y, z) se tiene que f (→ r (t)) = ρ(→ r (t)) → Z b d− r (t) → − M= ρ( r (t)) dt dt a Centro de masa → Z b d− 1 r → − dt XG = xr · ρ( r ) M a dt 1 YG = M Z a b → d− r → − dt yr · ρ( r ) dt 2 1 ZG = M Z a b → d− r → − dt zr · ρ( r ) dt Cálculo Vectorial T̂ · N̂ = T̂ · B̂ = N̂ · B̂ = 0 (Vectores perpendiculares) T̂ · T̂ = N̂ · N̂ = B̂ · B̂ = 1 T̂ × T̂ = N̂ × N̂ = B̂ × B̂ = 0 T̂ × N̂ = B̂, N̂ × B̂ = T̂ , B̂ × T̂ = N̂ y1 x1 → − → − Sea x = x2 y y = y2 , se define el producto interno como: y3 x3 → − − x ·→ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 y el producto cruz: x 2 y3 − x 3 y2 → − − x ×→ y = x 3 y1 − x 1 y3 x 1 y2 − x 2 y1 Cada fracaso enseña al hombre algo que necesitaba aprender. 3