unidad 5: introducción al estudio de la probabilidad

Escuela de Economía – UTPL Estadistica I Autor: Econ. Carlos Correa Granda UNIDAD 5: INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA PROBABILIDAD
Para el desarrollo de este capítulo, vaya revisando conjuntamente con esta guía el
capítulo 5 del texto básico, págs.139 a la 170.
5.1. INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos avanzado en nuestro estudio con las medidas que nos han permitido describir un conjunto de datos, estableciendo las medidas descriptivas para conclusiones sobre las principales características de dicho conjunto. Al definir a la Estadística, habíamos dicho que podemos identificar dos grandes campos de aplicación, la estadística descriptiva y la estadística inferencial. Con este tema de las probabilidades vamos a insertarnos ya en la inferencia estadística, pues se trata de que podemos establecer inferencias sobre determinados eventos que se puedan presentar o vivir. ¿Cuántas veces hemos utilizado la expresión “qué tan probable será esto o aquello”?. Posiblemente hemos contestado y lo hemos realizado en base a alguna información o algún conocimiento que tenemos del evento, pero no lo hemos cuantificado. Esta es la oportunidad para comprender de mejor manera este tema. 5.2. DEFINICIÓN: Vamos a leer el texto y reflexionemos acerca de lo que hemos venido entendiendo sobre lo que significa hablar de probabilidades. Puede ahora expresar una definición relativa a la misma. Si en su definición usted ha considerado que es la cuantificación de la posibilidad de que un evento ocurra, estamos en el mismo camino. Existen además algunos conceptos que es necesario precisar antes de continuar con el estudio que son el experimento, el resultado y el evento. Como se observa, podríamos decir que estos conceptos vienen a complementarse, de manera que el concepto más general es el experimento, luego el resultado que es lo que se obtiene al ejecutar el experimento y el evento que son el conjunto de uno o más resultados del experimento. Algo importante a tomarse en cuenta es que primero debemos definir con el experimento, el o los resultados posibles y los eventos que se pueden obtener. Revise el cuadro que consta en el texto, allí usted puede observar claramente la diferencia entre estos conceptos a través del ejemplo del: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento ‐ No comercial ‐ Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by‐nc‐sa/3.0/ec/). Escuella de Economía
a – UTPL Estaddistica I Autor: Econ. Carlos Correa G
Granda •
•
Lanzamieento de un daado Listado de los miemb
bros de una ju
unta directivva. c
ess que los reesultados van
n a variar en
ntre 0 y 1, cconsiderando
o al 0 Otro aspecto a considerar como
o la seguridad de no ocurrrencia del eevento y el 1 como la cerrteza de que el resultado
o se va a presentar. De m
manera generral para calcular la probaabilidad de o
ocurrencia dee un evento se consideran los resulttados favoraables y los resultados possibles, a través de la siguiente fórmula: E
DE PROBABILLIDAD 5.3. ENFOQUES D
Ahoraa bien, si ya hemos defin
nido también
n es importan
nte reconoceer el enfoquee de probabiilidad, desdee el punto dee vista objetivo y subjetivvo. Lea een el texto estos enfoquees y la clasifficación de laa probabilidaad, luego puede interpre
etar el siguieente cuadro:: PROBABILIDAD
OBJETTIVO
CLÁ
ÁSICA
SUBJETIVO
O
EMPÍRIC
CA
Al hablar de la probabilidad C
CLÁSICA, se d
deben distingguir dos tipo
os de eventoss: •
•
s aquelloss eventos que se caraccterizan porq
que la Mutuameente excluyeentes, que son presencia
a de uno imp
pide que otrro se presentte, por ejem
mplo en el lan
nzamiento d
de una moneda, la presencia
a del evento cara, impidee que el even
nto sello se p
presente al m
mismo tiempo. amente exha
austivos, implica que po
or lo menoss uno de loss eventos se debe Colectiva
presentarr. En el mism
mo ejemplo, se presenta cara o se preesenta sello. Para ampliar más sobre esstos temas, le recomie
endo que realice r
los eejercicios qu
ue se e
uestos en el texto básico
o, en la págin
na 146. encuentran propu
Esta obra ha sido licenciada con Creattive Commons Eccuador 3.0 de Reconocimiento ‐ N
No comercial ‐ Co
ompartir igual (h
http://creativecom
mmons.org/licen
nses/by‐nc‐sa/3.0
0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Estadistica I Autor: Econ. Carlos Correa Granda 5.4. REGLAS DE PROBABILIDAD Cuando existen dos o más eventos que se pueden presentar, es necesario trabajar con las reglas de adición o multiplicación, según sea el caso. 5.4.1. REGLAS DE ADICIÓN: Como leerá en el texto, va a encontrar dos tipos de reglas para la adición: •
La regla especial: P (A o B) = P(A) + P(B) y, •
La regla general: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) La regla especial se utiliza cuando existen eventos mutuamente excluyentes, en cambio la regla general de adición se emplea cuando los eventos son inclusivos, esto es, que se pueden presentar solos o también se pueden presentar al mismo tiempo. Por ejemplo si al lanzar un dado queremos encontrar la probabilidad de que el número extraído sea un 2 o un número par, se puede presentar al mismo tiempo los dos eventos porque el 2 es un número par. 5.4.2. REGLAS DE MULTIPLICACIÓN: De igual manera, las reglas de multiplicación se utilizan cuando existen dos o más eventos sobre los cuales se debe calcular la probabilidad. En este caso, como observará en el texto, los eventos se caracterizan por su dependencia e independencia. Hablamos de que un evento es independiente, cuando no depende de lo que haya sucedido antes, es decir, no recibe ninguna influencia de otro evento. También encontramos las reglas: •
especial: P(A y B) = P(A)P(B); y, •
general: P(A y B) = P(A) P(B|A) En el primer caso, la fórmula nos presenta la independencia de los eventos, puesto que encontramos la probabilidad conjunta de A y B a través del producto entre las dos probabilidades. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento ‐ No comercial ‐ Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by‐nc‐sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Estadistica I Autor: Econ. Carlos Correa Granda En el segundo caso, la fórmula nos indica que los eventos son dependientes, y por ello observamos que el segundo evento (B) depende de lo que ha sucedido antes, esto es, la presencia del evento A. El término P(B|A), se lee: “probabilidad de que se presente B, dado que se ha presentado A”, aquí hay que tener presente que no es un cociente (como a veces se confunde). En algunas ocasiones no se distingue, cuándo utilizar la regla de adición o cuándo aplicar la regla de multiplicación. Una forma de hacerlo es conociendo bien lo solicitado: •
•
Cuando se solicita establecer la probabilidad de que se presente, por ejemplo, el evento A o el evento B, la letra o nos está significando SUMA o ADICIÓN. Cuando se solicita establecer la probabilidad de que se presente, por ejemplo, el evento A y el evento B, la letra y nos está significando MULTIPLICACIÓN. Realice los ejercicios que se encuentran propuestos al finalizar cada uno de los temas explicados. Una vez que hemos comprendido estos temas, pasemos ahora a analizar la utilidad de los diagramas de árbol. 5.5. DIAGRAMAS DE ÁRBOL Cuando un experimento implica varias etapas, es conveniente realizar una representación gráfica, en donde, como a manera de un árbol, se van considerando las diferentes ramas que se desprenden del primer evento o la primera etapa. Vaya al texto y revise los pasos que se deben seguir para su construcción. Conviene que repase estos pasos. Escríbalos en su cuaderno de trabajo mediante un cuadro resumen. El diagrama de árbol le permite tener una mejor visualización de las probabilidades individuales en los eventos que se puedan presentar de manera conjunta. Recordaremos además que la suma de todas las probabilidades de todos los eventos que se presentaren debe darnos igual a 1. 5.6. ANÁLISIS COMBINATORIO: Cuando el número de posibles resultados resulta ser grande y no es posible establecerlo por simple observación o a través de un diagrama de árbol, es necesario recurrir al análisis de las permutaciones y combinaciones. 5.6.1. PERMUTACIÓN: Cuando se requiere identificar el número de resultados en donde es importante el orden en el que se pueden presentar los objetos, se utiliza las permutaciones. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento ‐ No comercial ‐ Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by‐nc‐sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Estadistica I Autor: Econ. Carlos Correa Granda Revise en el texto estos temas, allí verá que utilizamos el factorial de los números. Para calcular el número de permutaciones o las diferentes maneras en las que se pueden presentar los objetos, se debe utilizar la siguiente fórmula: n!
n‐r !
nPr
Por ejemplo, si tenemos el conjunto de letras: a, b, c, d, e y queremos conocer de cuántas maneras distintas podemos presentar de tres en tres estas letras, podríamos tener las siguientes formas: 5!
5‐3 !
5P3
5P3
5!
2!
5*4*3*2*1
2*1
5P3
5P3
120
2
5P3
60 Significa entonces que se pueden presentar de 60 maneras distintas estas cinco letras tomadas de 3 en 3; así pues, si tomamos el conjunto a,b,c, no será lo mismo al conjunto a,c,b o al conjunto c, a, b, etc. 5.6.2. COMBINACIONES A diferencia de las permutaciones, en las combinaciones no interesa el orden de los objetos, lo que interesa es que los objetos se presenten independientemente del orden. Para calcular el número de combinaciones, se utiliza la siguiente fórmula: nCr
n!
r! n‐r !
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento ‐ No comercial ‐ Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by‐nc‐sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Estadistica I Autor: Econ. Carlos Correa Granda Si continuamos con el ejemplo anterior, el número de combinaciones que se pueden realizar con las cinco letras tomadas de tres en tres, será: 5!
3! 5‐3 !
5C3
5!
3! 2 !
5C3
5C3
5*4*3*2*1
3*2*1 2*1
5C3
120
6 2
5C3
120
12
5C3
10 Significa entonces que podremos encontrar 10 formas de presentar las cinco letras tomadas de 3 en 3; así pues a, b, c es lo mismo si presentamos a, c, b, porque se presentan las mismas letras, o que c, a, b o que c, b, a. Algo importante a recordar es que por definición el factorial de 0, siempre es igual a 1. Para ejercitar estos temas y familiarizarse con el uso de las permutaciones y combinaciones, le sugiero que realice los ejercicios que constan al finalizar cada estos temas en la página 179 (ejercicios 39 a 46). Una vez que hemos concluido el análisis de los temas previstos para esta unidad, pasemos a establecer actividades que nos pueden ser de utilidad. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento ‐ No comercial ‐ Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by‐nc‐sa/3.0/ec/).