matemáticas 3º eso - Mauricio Contreras

6.
Sorteos y
Simulación
Matemáticas 3º ESO
1. Frecuencia y probabilidad
2. Sorteos
3. Esperanza matemática
4. Simulación
5. Probabilidad geométrica
198
Sorteos y simulación
1. Frecuencia y probabilidad
 FRECUENCIA ABSOLUTA
La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número total de veces que aparece este
valor o dato en dicha estadística.
1) Hemos preparado una encuesta para cada uno de los alumnos de tu clase. La pregunta
formulada ha sido: ¿cuántos hermanos sois en tu familia?. Estas son las respuestas que hemos
obtenido:
2
3
3
2
2
3
3
1
1
2
2
3
1
1
4
2
2
3
4
2
1
2
4
2
5
Construye la tabla de frecuencia absolutas.
Cuando existen muchos valores diferentes de la variable estadística, es más comodo
agrupar los datos en intervalos o clases. El punto medio de cada intervalo se llama marca
de clase y se calcula como la semisuma de los extremos del intervalo.
Para construir intervalos o clases, calcularemos la diferencia entre el valor más grande y el
más pequeño (rango o recorrido de la variable). Para calcular la amplitud o anchura de cada
intervalo se divide el recorrido por el número de intervalos que se desean crear.
En los intervalos incluimos el número inferior pero no el superior, excepto el último que
incluye los dos extremos.
2) En una clínica se ha analizado la albúmina circulante, medida en gramos, en 30 hombres de
edades comprendidas entre 25 y 35 años y hemos obtenido los siguientes datos:
110
109
132
126
142
138
124
130
124
120
140
127
123
139
116
105
122
145
121
114
115
125
144
131
139
125
123
137
133
112
Agrupa los datos en cinco intervalos y construye la tabla de frecuencias absolutas, mostrando
una columna con las marcas de clase.
199
Matemáticas 3º ESO
3) Hemos lanzado al aire 4 monedas 20 veces y hemos anotado el número de caras en cada
lanzamiento. Los resultados obtenidos son:
3
4
2
2
1
1
1
0
2
3
0
3
2
2
2
1
3
1
1
2
Haz el recuento y la correspondiente tabla estadística.
4) Los pesos de 30 alumnos de tu clase, en kg, son:
48
57
48
52
50
60
55
53
59
57
54
53
60
45
60
54
64
47
65
59
69
60
57
57
62
66
70
62
59
55
Construye la correspondiente tabla estadística con las marcas de clase, utilizando cinco intervalos
de igual amplitud.
 FRECUENCIAS RELATIVAS Y FRECUENCIAS ACUMULADAS
La frecuencia absoluta acumulada, F, de un valor x es la suma de todas las frecuencias
absolutas correspondientes a los valores anteriores a x y su propia frecuencia absoluta. F
= f 1 + f 2 + f 3 + ... + f i
La frecuencia relativa f
de un valor x es igual a su frecuencia absoluta partido por el
f
fr 
número total de datos o pruebas.
N
r
La frecuencia relativa puede expresarse en forma de porcentaje (basta multiplicarla por
100).
200
Sorteos y simulación
La frecuencia relativa acumulada Fra de un dato x es la suma de las frecuencias relativas
correspondientes a todos los valores anteriores a x y su propia frecuencia relativa.
Fra  fr1  fr2  fr3  ... fri
Por ejemplo, para la siguiente tabla estadística, correspondiente a las notas que obtuvieron
32 alumnos de una clase de 3º de ESO en Matemáticas:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f
2
2
3
5
7
5
3
2
2
1
la correspondiente tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas es la siguiente:
Nota
x
frec.
absoluta
f
f. a.
acumulada
F
1
2
2
0’06
6
0’06
2
2
4
0’06
6
0’12
3
3
7
0’09
9
0’22
4
5
12
0’16
16
0’37
5
7
19
0’22
22
0’59
6
5
24
0’16
16
0’75
7
3
27
0’09
9
0’84
8
2
29
0’06
6
0’91
9
2
31
0’06
6
0’97
10
1
32
0’03
3
1
frec. relativa porcentaje
fr
%
f. r.
acumulada
Fra
1) Construye, para cada una de las actividades del problema anterior, una tabla estadística en la
que figuren marca de clase o valores de la variable, frecuencias absolutas y relativas y
frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
2) Comprueba en las tablas estadísticas anteriores que:
a) La frecuencia absoluta está comprendida entre 0 y el número total de pruebas, N.
b) La frecuencia relativa está comprendida entre 0 y 1.
c) La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número total de datos o pruebas.
d) La última frecuencia relativa acumulada es igual a 1.
201
Matemáticas 3º ESO
 DENSIDAD DE POBLACIÓN
2
La densidad de población, en habitantes por km , de las provincias españolas, en el año 1996, era de:
50
184
22
141
141
226
10
41
54
99
60
59
63
23
21
201
43
24
597
598
48
13
83
89
158
12
29
50
110
32
83
88
13
23
208
345
10
25
65
532
48
34
193
52
105
136
24
29
31
21
3620 3742
En ocasiones no resulta útil usar intervalos de la misma amplitud, como ocurre en este caso. Utiliza
los intervalos  0, 20 ,  20, 40,  40, 80, 80, 160 , 160, 3800 y elabora la tabla estadística completa,
incluyendo marcas de clase y frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
 FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
Fenómenos o experimentos deterministas son aquellos que, realizados en las mismas
circunstancias, sólo tienen un resultado posible.
Fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin
que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la
realización del experimento.
1) Analiza si los siguientes fenómenos son deterministas o aleatorios e indica los posibles resultados
que pueden aparecer en cada caso. ¿Cuál de ellos crees que aparecerá con más frecuencia?.
202

Las características heredadas en el nacimiento: sexo, color de la piel, la altura de los
adultos, el peso de los adultos.

El tiempo que hará el 24 de Junio.

La hora a la que amanecerá el 14 de Julio.

Las creencias religiosas de una persona elegida al azar.

Lanzar una moneda al aire.

El número de hijos de una familia.

Lanzar dos dados.

Lanzar una piedra al vacío y medir su aceleración.

Abrir un libro al azar y anotar el número de la página de la izquierda.

Número obtenido al girar una ruleta.

El número de accidentes de tráfico durante un fin de semana.

Medir la longitud de una circunferencia de 3 metros de radio.

Extraer dos cartas de una baraja española.
Sorteos y simulación
2) Busca tres ejemplos de fenómenos deterministas y otros tres de fenómenos aleatorios. Analiza y
describe todos los resultados posibles que puedan suceder.
 SUCESOS
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un
fenómeno o experimento aleatorio. Se representa por E. Los resultados posibles del
experimento se llaman sucesos elementales.
Suceso es un subconjunto del espacio muestral E.
Suceso seguro es el que siempre se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está
formado por todos los resultados posibles del experimento y coincide con el espacio
muestral E.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por .
Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado
cúbico, el espacio muestral es: E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Podemos considerar algunos
sucesos asociados a este espacio muestral:
A = Salir par = 2, 4, 6
C = Salir número primo = 2, 3, 5
F = Salir número mayor que 7 = 
B = Salir impar = 1, 3, 5
D = Salir número menor que 3 = 1, 2
G = Salir número menor que 8 = E
1) Tenemos una bolsa con nueve bolas numeradas del 1al 9. Realizamos el experimento que
consiste en sacar una bola de la bolsa, anotar el número y devolverla a la bolsa. Halla el espacio
muestral y construye los siguientes sucesos: A=obtener número impar, B=obtener número
primo, C=obtener número mayor que 6.
203
Matemáticas 3º ESO
2) Hemos observado la distribución por sexo de los hijos en las familias compuestas de cuatro hijos.
Halla el espacio muestral. Sean los sucesos: A=el hijo mayor es varón, B=los dos hijos
menores son hembras, C=los dos hijos mayores son de diferente sexo. ¿Cuáles son los
sucesos elementales de A, B y C?.
3) En una encuesta realizada entre los alumnos del Instituto que cursan 3º ESO, se les pregunta por
los siguientes datos: sexo (hombre o mujer), idioma (francés o inglés) y religión o ética. Forma el
espacio muestral.
4) Dos amigos A y B juegan unas partidas de ping-pong y deciden que el ganador será aquél que
gane dos partidas seguidas o tres alternativas. Halla el espacio muestral. Si decidiesen que el
ganador va a ser aquél que gane dos partidas consecutivas, ¿cuál sería el espacio muestral?.
 OPERACIONES CON SUCESOS
Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de dichos sucesos y lo representamos por
AB, al suceso que ocurre cuando ocurren A y B al mismo tiempo. Sus sucesos
elementales son los comunes a A y B.
Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de dichos sucesos y lo representamos por AB,
al suceso que ocurre cuando ocurre A, ocurre B o bien ocurren A y B al mismo tiempo. Sus
sucesos elementales son los que pertenecen a A, a B o a AB.
Dos sucesos A y B son compatibles si AB  . Dos sucesos A y B son incompatibles si
AB = .
204
Sorteos y simulación
Dado un suceso A, llamamos suceso contrario de A al suceso que se verifica cuando no se
verifica A. Se representa por A, por A' o por A c .
La unión de dos sucesos contrarios es el suceso seguro: A  A  E .
La intersección de dos sucesos contrarios es el suceso imposible:
El contrario del suceso seguro es el suceso imposible:
E.
El contrario del suceso imposible es el suceso seguro:
E.
AB=  .
Ejemplos.- En el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado cúbico cuyo espacio
muestral es E=1, 2, 3, 4, 5, 6, consideramos los sucesos: A=salir impar=1, 3, 5,
B=salir mayor que 2=3, 4, 5, 6. El suceso unión es: AB=salir impar o mayor que
2=1, 3, 4, 5, 6. El suceso intersección es: AB=salir impar y mayor que 2=3, 5. Los
sucesos A y B son compatibles. El suceso contrario de A es A  salir par  2, 4, 6. El
suceso contrario de B es B  salir menor o igualque 2  1, 2 .
1) Realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico y anotar el resultado. Para cada
una de las parejas siguientes de sucesos, halla su unión y su intersección y estudia si son
compatibles o incompatibles:
a) A=salir par y B=salir número primo.
b) E=salir impar y F=salir múltiplo de 3
c) M=salir menor que 7 y N=salir número primo
2) Consideramos el experimento aleatorio que consiste en sacar una carta de una baraja española y
anotar el resultado. Sean los sucesos: A=salir copas, B=salir caballo, C=salir as o rey de
copas. Expresa en lenguaje cotidiano el significado de los siguientes sucesos:
a) AB, AC, BC
b) AB, AC, BC
c) A, B, C .
205
Matemáticas 3º ESO
3) Tenemos una bolsa con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento que
consiste en sacar una bola de la bolsa, anotar el número y devolverla a la bolsa. Consideramos
los siguientes sucesos: A=salir número primo y B=salir un número cuadrado.
a) Calcula los sucesos AB y AB.
b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
c) Halla los sucesos contrarios de A y B.
4) Lanzamos tres monedas del mismo tipo y observamos los resultados obtenidos. Halla el espacio
muestral. Construye los sucesos A=salir una cara y B=salir alguna cara. Halla AB y AB.
Halla los sucesos contrarios de A y B.
 ROJO Y AZUL
En el experimento aleatorio de lanzar dos dados (rojo y azul) y anotar los resultados obtenidos,
consideramos los sucesos A=la suma es un número primo y B=la suma es un múltiplo de 3.
a) Halla el espacio muestral y los sucesos elementales correspondientes a A y B.
b) Halla los sucesos AB y AB. Los sucesos A y B, ¿son incompatibles?.
c) Enuncia y forma los sucesos contrarios de A y B.
206
Sorteos y simulación
 DADO Y MONEDAS
1) Con un dado cúbico realiza 120 lanzamientos anotando los resultados. Considera los sucesos:
A=sale puntuación par, B=sale puntuación impar, C=sale número primo.
Calcula f r  A, f r  B, f r  C, f r  A  B, f r  A  C, f r  A  C , f r  A  C, f r  B  C, f r  B  C . Extrae
conclusiones.
2) Disponemos de dos monedas del mismo tipo. Las lanzamos al aire y anotamos el número de
caras obtenidas. Realiza esta experiencia 100 veces. Considera los sucesos A=ninguna cara,
B=una cara y C=Por lo menos una cara.
Calcula f r  A, f r  B, f r  C, f r  A  B, f r  A  C, f r  A  C , f r  A  C, f r  B  C, f r  B  C .
¿Cuáles son tus conclusiones?.
Si dos sucesos A y B son incompatibles, entonces f r  A  B  f r  A  f r  B .
Si dos sucesos A y B son compatibles, entonces f r  A  B  f r  A  f r  B  f r  A  B
 ASIGNA PALABRAS
1) Asigna las palabras improbable, posible o seguro, según convenga, a las siguientes situaciones:
a) Que un equipo de la División de Honor de baloncesto gane algún encuentro de la temporada
regular.
b) Que Juan coja un catarro este invierno.
c) Que el día 12 de diciembre haga buen tiempo.
d) Obtener un doble uno al lanzar dos dados.
e) Que se descubra un remedio para el cáncer.
f)
Que en clase haya dos compañeros que cumplan años el mismo día.
2) Busca un suceso de cada uno de los siguientes tipos:
a) casi seguro
b) poco probable
c) muy probable
d) casi imposible
e) medianamente probable
f) imposible
207
Matemáticas 3º ESO
 ASIGNA NÚMEROS
Asigna un número entre 0 y 1 a cada una de las siguientes expresiones, según el grado de posibilidad
que consideres que implican:
Dudoso
Muy probable
Posibilidad razonable
Quizás
Alta posibilidad
Es posible que
Casi seguro
Es seguro que
Casualmente
Poca posibilidad
Podría ser
Incierto
 APUESTAS
a) Después de obtener cinco “caras” en cinco lanzamientos consecutivos de una moneda,
¿apostarías por “cara” en el siguiente lanzamiento?.
b) ¿Apostarías mil pesetas contra mil a que el próximo recién nacido en una clínica será zurdo?.
 TRIÁNGULOS AL AZAR
Lanzamos tres dados icosaédricos y tomaremos los resultados que muestren como las medidas de
tres segmentos.
¿A qué apuestas?
a) Con esos tres segmentos se podrá construir un triángulo.
b) Con esos tres segmentos no se podrá construir un triángulo.
208
Sorteos y simulación
 UN PRISMA TRIANGULAR DE MADERA
No todos los dados son regulares. Aquí tienes uno que no lo es.
1) ¿Hay equiprobabilidad entre las caras?. El dado ¿muestra algún sesgo?.
2) Al lanzar este prisma triangular, ¿qué es más fácil, obtener una cara triangular o una
rectangular?. Suponiendo que un jugador apuesta por rectángulo y su contrario por triángulo, ¿en
qué proporción deben hacerse las apuestas para que el juego sea equitativo?.
Para verificar tu conjetura, puedes efectuar una tanda de 20 lanzamientos del dado, anotando los
resultados de cada lanzamiento. ¿Cuándo sale rectángulo?. ¿Cuándo sale triángulo?. ¿Qué
criterio eliges para decidir si sale una cosa u otra?.
Recoge la información obtenida en tu clase en una tabla como la siguiente:
CARA
RECUENTO
FRECUENCIA
¿De qué crees que depende el hecho de que salga triángulo o rectángulo?. Si piensas que en
todo este asunto tiene que ver el área de cada cara, compara las áreas de triángulo y rectángulo.
¿Cómo puedes hacerlo?.
3) ¿Qué ocurre si se varían las dimensiones del prisma?.
4) ¿Se puede construir un dado prismático en que la cara triangular tenga igual probabilidad de salir
que la rectangular?. ¿Y de que tenga doble probabilidad?.
209
Matemáticas 3º ESO
 PRISMAS DE MADERA
Se admiten apuestas: Lanzamos un dado prismático que consta de dos cuadrados y cuatro
rectángulos. Pero disponemos de dos tipos de estos dados: uno con cuadrados pequeños y otro con
cuadrados más grandes:
En cada uno de los dados anteriores, ¿qué es más fácil, que salga cuadrado o que salga rectángulo?.
¿En qué proporción deberían hacerse las apuestas en cada dado para que el juego sea equitativo?.
Para verificar tus conjeturas, efectúa con cada dado una tanda de 20 lanzamientos, anotando los
resultados de cada lanzamiento. Recoge la información obtenida en tu clase en dos tablas como las
que siguen:
CARA
RECUENTO
FRECUENCIA
RECUENTO
FRECUENCIA
cuadrado
pequeño
rectángulo
CARA
cuadrado
grande
rectángulo
¿Qué conclusiones obtienes?.
Compara en cada dado las áreas de “cuadrado” y “rectángulo”. ¿Cómo puedes hacerlo?. ¿De qué
depende, pues, la frecuencia de “cuadrado” o de “rectángulo”?.
210
Sorteos y simulación
 DADO PRISMÁTICO
Al lanzar un dado prismático, es razonable pensar que la probabilidad de obtener una cara es
proporcional a su superficie; pero, imaginemos por un momento que cambiamos el prisma triangular
por este otro casi cilíndrico:
1) ¿Qué es más fácil que caiga sobre una de las caras laterales o sobre una de las bases?. Efectúa
50 lanzamientos, anota los resultados, recoge la información obtenida en tu clase y comprueba tu
conjetura.
Observa que al lanzar este dado es muy probable que caiga sobre una de las caras
laterales. Sin embargo, la superficie de esa cara es muy pequeña.
Entonces, cuando hablamos de superficie, ¿a qué superficie nos referimos, a la de la cara
que queda en contacto con el suelo o a la de la proyección del prisma sobre éste?.
1) ¿Es posible diseñar dos dados prismáticos que tengan la misma superficie lateral y la misma
superficie en las bases y que exhiban comportamientos aleatorios distintos?.
 DADOS POLIÉDRICOS
En el mercado existen muchos tipos de dados. Aquí tienes unos cuantos:
ICOSAEDRO
DODECAEDRO
TETRAEDRO
PRISMA
TRIANGULAR
OCTAEDRO
CUBO
PRISMAS DE BASE CUADRADA
211
Matemáticas 3º ESO
a) Observa detenidamente cómo están distribuidos los puntos y números en las caras de cada dado.
¿Observas algo interesante?. ¿Por qué crees que se han construido de esa forma?.
b) En cada uno de los dados anteriores, cuenta el número de caras, vértices y aristas. ¿Cómo
puedes hacerlo?.
c) ¿Cuántas veces has de lanzar un dado cúbico para obtener un 6?. ¿Y un octaedro?. ¿Y un
dodecaedro?.
Para averiguarlo, puedes realizar la siguiente experiencia: lanza cada uno de los dados anteriores
hasta que te salga un 6 y cuenta el número de lanzamientos que has necesitado. Repite esta
experiencia 10 veces. La información obtenida en tu clase, puedes recogerla en esta tabla:
DADO
CUBO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
Nº DE LANZAMIENTOS
RECUENTO
1
2
3
4
5
6
7
más de 7 ( )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
más de 10 ( )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
más de 13 ( )
Halla la media aritmética en cada caso. ¿Qué conclusiones obtienes?.
212
FRECUENCIA
Sorteos y simulación
 ESTABILIDAD DE LAS FRECUENCIAS
Seguramente ya sabes que:
a) Si lanzas una moneda muchas veces (cuantas más mejor), la frecuencia (relativa) que esperas
para la aparición de “cara” (éxito) es 1 / 2.
b) Si lanzas un dado muchas veces, la frecuencia relativa que esperas para la aparición de un “seis”
(éxito) es 1/6.
c) Si extraes, devolviendo después de la extracción, una bola de la urna adjunta, la frecuencia
relativa que esperas para la aparición de una bola “negra” (éxito) es 4/10.
En cada caso, repite la experiencia 10 veces, anotando la frecuencia relativa de éxito. Recoge la
información obtenida en tu clase y dibuja la gráfica que dé la frecuencia relativa del de éxito según el
número de pruebas:
Comprueba que, en cada caso, la frecuencia relativa obtenida se acerca cada vez más a la esperada.
Al efectuar un gran número de pruebas de un experimento aleatorio, se observa que las
frecuencias relativas de un suceso A se acercan cada vez más y más a un cierto número,
estabilizándose en torno a él. Este número se llama probabilidad del suceso A y se
representa por p(A). Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números.
 DIAGRAMAS
a) Lanza una moneda dos veces y anota el número de éxitos (éxito=cara). Repítelo 50 veces.
b) Lanza un dado seis veces y anota el número de éxitos (éxito=seis). Repítelo 50 veces.
c) Extrae una bola de la urna adjunta, diez veces, y anota el número de éxitos (éxito=bola negra).
Repítelo 50 veces.
213
Matemáticas 3º ESO
Agrupa los resultados en cada caso y dibuja el diagrama de rectángulos correspondiente. Comenta
los resultados.
Al efectuar un gran número de pruebas de un experimento aleatorio, se observa que los
diagramas de rectángulos se acercan cada vez más y más a la distribución esperada.
 CHINCHETAS
Se lanza una chincheta al aire. Puede caer con la punta hacia arriba o tocando el suelo. ¿A cuál de
las dos posibilidades apostarías?.
Para fundamentar un poco tus opiniones, efectúa 30 lanzamientos de una chincheta y anota los
resultados. La información obtenida en tu clase puedes recogerla en una tabla como la siguiente:
RESULTADOS
RECUENTO
FRECUENCIAS
¿Qué conclusiones obtienes?.
¿Qué probabilidad asignarías a cada uno de los resultados?.
Hay ocasiones en que la experiencia que se va a realizar tiene unas condiciones de simetría
tales que es posible conocer, antes de efectuar ninguna prueba, cuál será la probabilidad de
un suceso. Posteriormente, la experimentación dará unos resultados que confirmarán la
conjetura previamente formulada. La probabilidad asignada al suceso antes de la
experimentación se llama probabilidad a priori.
Pero hay otras ocasiones en las que no tenemos ninguna referencia a priori. Entonces sólo
la experimentación dará unos resultados que serán tanto más fiables, cuanto mayor sea el
número de pruebas realizadas. En este caso, la probabilidad asignada al suceso coincide
con su frecuencia relativa (para un elevado número de pruebas) y se llama probabilidad a
posteriori.
214
Sorteos y simulación
 CUATRO LETRAS
¿Qué valor asignas a la probabilidad de que elegida al azar una palabra de un libro, tenga cuatro
letras?.
Utiliza la experimentación repetidas veces, de la frecuencia relativa y de la ley de los grandes
números.
 LEY DE LAPLACE
En algunos experimentos aleatorios, podemos suponer que, por las condiciones de simetría,
todos los sucesos elementales son equiprobables. En estos casos, la probabilidad de cada
suceso elemental es:
p(suceso elemental) =
1
nº de sucesos elementales de E
Si los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de cualquier suceso
A es:
p(A) =
nº de sucesos elementales de A nº de casos favorables al suceso A

nº total de sucesos elementales
nº de casos posibles
Esta fórmula se conoce como ley de probabilidad de Laplace.
1) En el experimento aleatorio de lanzar cuatro monedas diferentes, calcula la probabilidad de cada
uno de los siguientes sucesos:
A=obtener dos caras, B=obtener al menos una cruz, C=obtener tres caras.
2) De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Sacar una bola roja;
b) Sacar una bola verde;
c) Sacar una bola roja o verde;
d) Sacar una bola no roja.
3) Calcula la probabilidad de tener cuatro hijas en las familias formadas por cuatro hijos.
215
Matemáticas 3º ESO
 SUMA DE PUNTOS
Lanzamos dos dados cúbicos de diferente color y anotamos la suma de los puntos obtenidos. Calcula
la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener suma igual a tres.
b) Obtener suma igual a seis.
c) Obtener suma mayor o igual a diez.
 DOS MONEDAS
Lanzamos al aire dos monedas y observamos los resultados obtenidos. Consideramos los siguientes
sucesos: A=salir una cara, B=salir alguna cara y C=no salir cara.
Calcula pA , pB, pC, pA  B, pA  C, pA  C, pA  C, pB  C, pB  C .
Extrae conclusiones.
Si dos sucesos A y B son incompatibles, entonces pA  B  pA   pB .
Si dos sucesos A y B son compatibles, entonces pA  B  pA   pB  pA  B
 BARAJA
Extraemos una carta de una baraja española.
a) Halla la probabilidad de que la carta extraída sea sota o caballo.
b) Halla la probabilidad de que la carta extraída sea una copa o una sota.
c) Halla la probabilidad de que la carta extraída sea una copa o el as de bastos.
216
Sorteos y simulación
 SUCESOS CONTRARIOS
Aplicando la regla de Laplace, puedes comprobar que:
La probabilidad del suceso seguro es igual a 1:
p(E)=1
La probabilidad del suceso imposible es igual a 0:
p()=0
Si A y A son sucesos contrarios, entonces se cumple que


 
p A  A  p A  p A  p E  1
Por lo tanto se cumple que: “la suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios es
igual a la unidad”.
 
 
p A  p A  1  p A  1  p A
Luego: “la probabilidad de un suceso es igual a uno menos la probabilidad del suceso
contrario”, fórmula que es muy útil en el cálculo de probabilidades.
1) Halla la probabilidad de no sacar ningún oro al extraer una carta de la baraja.
2) Halla la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de cinco monedas.
3) ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un cuatro cuando lanzamos un dado cúbico?.
4) Lanzamos tres dados. Calcula la probabilidad de obtener por lo menos un cuatro.
 AL MENOS UN SEIS
a) Se dice que es ventajoso apostar por “al menos un seis en 4 lanzamientos de un dado cúbico”
una cantidad igual contra otra igual. ¿Estás tú de acuerdo?.
b) Intenta descubrir a cuántos lanzamientos de un dado octaédrico es ventajoso apostar por la
obtención de al menos un seis.
217
Matemáticas 3º ESO
 DOBLE SEIS
¿A partir de cuántos lanzamientos de dos dados cúbicos es ventajoso apostar por la aparición de “al
menos un doble seis”?.
Vamos a lanzar tres dados cúbicos. ¿Es justo que el que apuesta por la aparición de “suma de puntos
10”, ponga el mismo dinero que el que apuesta por la aparición de “suma de puntos 9”?.
 LA PARTIDA INTERRUMPIDA
Dos jugadores A y B han apostado 32 monedas cada uno en un juego de “cara” y “cruz”, en el que el
primero que gane cinco veces se quedará con las 64 monedas. Cuando A va ganando por 4 a 3 a B,
la partida se interrumpe por causas ajenas a ellos y ya no será reanudada. ¿Cuál es el reparto más
justo del dinero?.
 EXPERIMENTOS COMPUESTOS
1) Lanzamos un dado tres veces. Calcula la probabilidad de obtener las tres veces un 6.
2) Extraemos consecutivamente con devolución, dos cartas de una baraja española. Calcula la
probabilidad de que ambas sean sotas.
3) En una bolsa tenemos 10 bolas amarillas, 12 bolas rojas y 13 verdes. Extraemos tres bolas.
Calcula la probabilidad de que las tres sean verdes: a) reemplazando las bolas extraídas; b) sin
reemplazarlas.
Sea A=sale bola verde en la 1º extracción y B=sale bola verde en la 2º extracción. Si las
extracciones se hacen sin devolución, la probabilidad de B sabiendo que ha ocurrido A no
es la misma que si las extracciones se hacen con devolución.
El suceso “ocurre B sabiendo que ha ocurrido A” se llama suceso B condicionado por A y se
representa por B/A. Su probabilidad se llama probabilidad condicionada y se representa por
p(B/A) y se lee “probabilidad de B condicionado por A”.
218
Sorteos y simulación
4) Se extraen dos bolas, con devolución, de una urna que contiene 2 bolas blancas, 4 rojas y 6
negras. Calcula la probabilidad de que:
a) las dos sean rojas.
b) las dos sean negras.
c) ninguna sea roja.
5) Resuelve la actividad del apartado (4) suponiendo que las extracciones se efectúan sin
devolución.
 UN JUEGO
En las caras de un dado figuran los números 1, 2 y 3; en dos caras el 1, el 2 en otras dos y en las dos
restantes el 3. ¿Todas las caras son igualmente probables?.
Realizamos el siguiente juego: tiramos el dado; si sale 3, ganamos; si sale 1 ó 2, continuamos
jugando hasta repetir el resultado de la primera tirada, en cuyo caso ganamos, o hasta obtener 3 y
entonces perdemos. ¿Qué probabilidades tenemos de ganar?.
En la resolución ayúdate de un diagrama de árbol, escribiendo las jugadas en las que
ganas.
 DADO Y RULETA
Un juego de azar consiste en lanzar un dado y hacer girar una ruleta como la de la figura. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener la misma cifra en el dado y en la ruleta.
b) Sacar un 4 con el dado.
c) Obtener una suma de puntos inferior a 5.
d) Sacar un 5 con el dado y una suma de puntos inferior a 5.
e) No sacar un cuatro con el dado.
219
Matemáticas 3º ESO
 TRES RULETAS
Este es un juego para dos jugadores.
El primer jugador elige una ruleta. El segundo elige una de las dos que quedan. Cada jugador hace
girar su ruleta y gana quien obtenga mayor puntuación.
¿Qué jugador prefieres ser, el primero o el segundo?. ¿Hay una ruleta que sea la mejor de las tres?.
 OTRAS TRES RULETAS
Disponemos de tres ruletas, A, B y C; cada una de ellas dividida en 32 sectores iguales, con distintos
puntos:
A: 7 sectores con la cifra 6 y 25 sectores con la cifra 3.
B: 16 sectores con la cifra 5 y 16 sectores con la cifra 2.
C: 25 sectores con la cifra 4 y 7 sectores con la cifra 1.
Dos jugadores escogen una ruleta cada uno. Gana quien obtenga mayor puntuación con su ruleta.
¿Quién tiene ventaja al elegir ruleta, el primero o el segundo?.
220
Sorteos y simulación
 LA TRAVESÍA DEL RÍO
Es un juego para dos jugadores. Material: 12 fichas de cada color para cada jugador. Dos dados
cúbicos.
Cada jugador tiene 12 fichas que sitúa en su lado del río. En cada casilla, puede poner tantas fichas
como quiera.
Los jugadores van lanzando los dos dados por turno. Si la suma de los números obtenidos coincide
con el número de una casilla en la que tiene colocadas fichas, puede pasar una de esas fichas al otro
lado del río. Gana el primer jugador que pasa al otro lado todas sus fichas.
Juega varias partidas con un compañero y analiza el juego. ¿Cuál es la mejor manera de distribuir las
fichas?. ¿Qué estrategia utilizarías para ganar?.
 EL DADO
Es un juego para dos jugadores. Cada jugador, por turno, lanza el dado tantas veces como quiera o
hasta que le sale un 1. Si ha obtenido un 1, su puntuación en esa ronda es igual a cero. Si no, es la
suma de los puntos obtenidos en todos los lanzamientos.
Por ejemplo, si un jugador lanza el dado tres veces seguidas obteniendo un 3, un 5 y un 2, y después
del tercer lanzamiento decide parar, su puntuación en esa ronda será 3 + 5 + 2 = 10. Pero si al
lanzar el dado obtiene 3, 5 y 1, tiene que parar obligatoriamente y su puntuación en la ronda será
igual a cero.
Se van acumulando las puntuaciones de las sucesivas rondas y gana el primero que alcanza o
supera los 100 puntos.
Después de haber jugado un poco, elige una estrategia para jugar, explícala y pruébala realizando
una estadística.
221
Matemáticas 3º ESO
 IRREVERSIBILIDAD
En el cielo hay millones y millones de estrellas. En un pequeño volumen de gas hay millones y
millones de moléculas... Cada una de ellas está en un instante determinado en un lugar... ¿Volverán
a ocupar, todas a la vez, el mismo lugar alguna vez?.
Es una pregunta nada fácil. Para poder fundamentar un poco nuestras opiniones, te proponemos la
resolución de un problema similar, pero con números mucho más pequeños.
Dispones de dos cartas con una A dibujada en una de las caras, y una B en la otra.
1)
Toma dos cartas y colócalas así:
A
B
Lanza una moneda al aire por cada carta. Si sale cara, coloca la carta correspondiente de forma
que muestre el lado A; si sale cruz, el B.
¿Puedes dar una estimación del número de tiradas que tendrías que realizar para volver a la
configuración de partida AB ?.
2) Haz lo mismo con 4, 6 y 8 cartas, partiendo respectivamente de las configuraciones:
¿Depende la espera (para volver a la configuración inicial) del número inicial de cartas?. ¿Mucho
o poco?.
 ABUNDANCIA DE VOCALES
La palabra “abundancia” tiene 5 vocales y 5 consonantes; la palabra “vocales” tiene 3 vocales y 4
consonantes. Nuestro alfabeto consta de 5 vocales y 23 consonantes; la relación 5: 23 entre vocales
y consonantes está lejos de cumplirse en las dos palabras anteriores, 1 : 1 y 3 : 4, respectivamente.
Si eliges al azar varios textos, de cinco líneas cada uno, por ejemplo, la proporción de vocales y
consonantes variará seguramente de uno a otro. Por eso será más natural hacer conjeturas del tipo
“la proporción de vocales en cualquier texto oscila entre el 60% y el 70%”.
Vas a elegir otro texto al azar. ¿En qué intervalo apostarías que está el porcentaje de vocales?. ¿En
el 20%30%?, ¿en el 30%40%?...
222
Sorteos y simulación
 DADOS
Se dispone de dados de tres clases:
Dados rojos R de 2 cm. de arista con puntas redondas.
Dados de madera M. Cubos blancos de 3 cm. marcados por los propios estudiantes.
Dados blancos B trucados.
La propuesta es: ¿Qué dado utilizarías para sortear con otro compañero, quién sale en un juego,
sabiendo que el juego es tal, que el que sale, tiene más posibilidades de ganar?.
Efectúa, con ayuda de tus compañeros de grupo, 60 tiradas de cada tipo de dado, anota los
resultados y recoge la información de tu clase en las siguientes tablas:
R
1
2
3
4
5
6
Total
Grupo 1
grupo 2
grupo 3
grupo 4
60
60
60
60
M
1
2
3
4
5
6
Total
grupo 1
grupo 2
grupo 3
grupo 4
60
60
60
60
B
1
2
3
4
5
6
Total
grupo 1
grupo 2
grupo 3
grupo 4
60
60
60
60
...
TOTALES
..................
...
TOTALES
..................
...
TOTALES
..................
A la vista de los resultados, ¿qué dado utilizarías en el sorteo?.
223
Matemáticas 3º ESO
 LENGUAS
Se trata de comparar dos párrafos, tomados al azar, de al menos dos lenguas distintas:
a) ¿En qué proporción aparecen las vocales y consonantes?
b) ¿En qué proporción aparece cada vocal?
c) ¿Cuál es la longitud media de las palabras?.
Recoge la información obtenida en tu clase y analiza los datos disponibles. ¿Qué conclusiones se
pueden extraer de este estudio?.
2. Sorteos
 VIAJE ALA NIEVE
Tres amigas deciden apuntarse a un “viaje a la nieve” organizado en su instituto, pero cuando van a
realizar la inscripción, ya sólo quedan dos plazas disponibles. Para decidir quién será la que no haga
el viaje, acuerdan realizar un sorteo y se plantean varias posibilidades:
A) Cada una elige un papelito por turno, entre tres, aparentemente iguales. Sin embargo, uno de
ellos es más largo que los otros dos, que sí son iguales. Se quedará sin excursión la que elija el
más largo.
B) A cada una de las amigas se le asigna uno de los posibles resultados del lanzamiento simultáneo
de dos monedas: dos caras, dos cruces, o una cara y una cruz. El resultado obtenido al lanzar
una vez dos monedas, decidirá cuál de las tres queda sin viaje.
C) Cada una de ellas elige un número (distinto) del 1 al 6. Se lanzará un dado cúbico hasta obtener
uno de los tres números seleccionados. La amiga que hubiera elegido el número obtenido,
quedará excluida del viaje.
Si fueras una de las protagonistas de esta situación, ¿te daría lo mismo realizar el sorteo por
cualquiera de los tres procedimientos?. ¿Cuál preferirías?. ¿Por qué?.
Efectúa 10 sorteos de cada tipo, con ayuda de tus compañeros, anota los resultados y recoge la
información obtenida en tu clase en las siguientes tablas:
SORTEO A
grupo 1
grupo 2
grupo 3
............
224
a
b
c
TOTALES
Sorteos y simulación
SORTEO B
grupo 1
grupo 2
grupo 3
............
a
b
c
TOTALES
SORTEO C
grupo 1
grupo 2
grupo 3
............
a
b
c
TOTALES
A la vista de los resultados, ¿qué procedimiento utilizarías para efectuar el sorteo?.
 ¿UN SORTEO EQUITATIVO?
Cuatro amigas van a realizar un trabajo para el que sólo se admite que consten legalmente tres
personas. Para decidir quién será la que no conste, acuerdan realizar un sorteo:
“Cada una elige un papelito, por turno, de entre cuatro, aparentemente iguales. Sin embargo, uno es
más largo que los otros tres, que sí son iguales. Quedará sin constar la que elija el más largo”.
Se entabla una discusión sobre el orden de extracción. Una piensa que la primera tiene más ventaja,
porque tiene más posibilidades de elegir; pero otra piensa que la última está en desventaja, porque va
obligada, para ella ya no hay azar; otra que no importa el orden...
¿Qué piensas tú?.
 DADOS Y RULETAS
1) Realizar un sorteo entre seis personas con un dado cúbico es cosa fácil, pero ¿qué podemos
hacer si sólo disponemos de un dado dodecaédrico?.
225
Matemáticas 3º ESO
2) ¿Cuál de estas ruletas es mejor para realizar un sorteo entre tres personas?
3) Toma un dado regular cualquiera y numera sus caras al azar con 0 y 1. Construye una ruleta
equivalente a ese dado.
Observa que la misma distribución de 0 y 1 en un dado puede tener asociadas distintas
ruletas equivalentes. Así, tres 0 y nueve 1 sobre las caras de un dado dodecaédrico
puede dar lugar a cada una de las siguientes ruletas:
Al mismo tiempo, distribuciones de ceros y unos sobre dados diferentes pueden dar
lugar a ruletas equivalentes:
Observa en las actividades anteriores la equivalencia entre sorteos aleatorios,
probabilidades, porcentajes y fracciones, así como la utilidad de la analogía como
estrategia para la resolución de problemas.
226
Sorteos y simulación
 SORTEOS EQUIVALENTES
a) Utilizando ruletas, dados, bolas de diferentes colores, urnas u otros materiales, ¿cómo se pueden
realizar sorteos entre dos personas equivalentes al lanzamiento de una moneda?.
b) ¿Qué urnas son equivalentes a las siguientes ruletas?
c) ¿Qué urnas y qué ruletas son equivalentes a estos dados?
 ENTRE PERSONAS
a) ¿Cómo se puede efectuar un sorteo entre 2, 3, 4, ... , n personas, de forma que todas ellas
tengan las mismas posibilidades de salir elegidas?. ¿Qué dados o ruletas serían los más
adecuados en cada caso?
b) ¿Cómo sortearías un premio entre 40 personas?. ¿Y cinco premios distintos entre las mismas
personas?.
c) ¿Cómo se puede efectuar un sorteo entre 3 personas, teniendo una de ellas el doble de
posibilidades que las otras dos?.
227
Matemáticas 3º ESO
 NÚMEROS ALEATORIOS
Cuando se necesita realizar sorteos, no es necesario acudir a monedas, dados, ruletas o
cualquier otro aparato. Existe un método universal para realizar sorteos: el método de Monte
Carlo. Te lo explicamos:
En el año 1947 se construyó un ingenio electrónico que generaba los dígitos de manera
equivalente a una ruleta con diez sectores iguales, numerados del cero al nueve.
Se generaron hasta un millón de cifras, que aparecieron en 1955 en un libro titulado “Un
millón de dígitos al azar”. En la siguiente tabla tienes reproducida una página, con los dígitos
agrupados de 5 en 5, para hacer más fácil la lectura.
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS
69934
76466
62502
39780
23916
27100
36698
89673
23794
93362
94904
26513
62514
48978
16704
11832
61199
95860
12133
79159
21291
54188
46650
12871
32167
62071
38480
48427
37281
78621
89472
22419
29786
26817
42656
34619
07043
21903
28597
11140
84347
16340
43241
17441
72299
01511
87950
72762
35323
10689
04282
50658
39767
62422
40603
35930
97760
30799
61413
90517
41360
46848
38863
16719
14997
32506
92762
69796
79965
57120
37607
95744
45978
72058
96422
84715
12384
87256
73582
42997
76959
42824
52732
48856
33686
73312
26683
03838
63025
52496
49120
85396
65570
72136
53668
48755
54967
30596
55044
18430
66060
94210
02899
77411
61349
26790
16741
66671
39386
66937
11211
39945
18211
10516
01785
37601
82632
37884
73785
64901
08559
94095
13341
50498
61441
35296
76269
27795
05622
77646
61282
40915
74207
91949
02285
25160
91090
82826
36051
86665
62519
60619
37744
56047
72759
30725
24823
12162
45462
14210
18426
75959
79686
55362
90654
22719
39031
26273
21499
50659
95880
74507
03876
74826
02898
Los números de la tabla pueden leerse en cualquier orden, verticalmente, horizontalmente,
en diagonal, etc. Con la tabla de números aleatorios se puede simular cualquier sorteo. Por
ejemplo:


228
El lanzamiento de una moneda es equivalente a leer los números de la tabla. Si leemos
un número par, convenimos que ha salido cara; si leemos un número impar, ha salido
cruz.
Para sortear cinco premios entre 50 personas, hay que tomar tiras de dos cifras de la
tabla, por ejemplo, 69, 93, 41, 18, 32, 89, 47, 20. Se eliminan los números que pasan de
50.
Sorteos y simulación
a) Utiliza la tabla de números aleatorios para simular 50 lanzamientos de una moneda. Cuenta el
número de caras y el número de cruces obtenidas y compara tus resultados con los de tus
compañeros.
Habrás observado que el número de caras está muy igualado con el número de cruces. Lo
que indica que los números de la tabla, con el convenio que has establecido, se comportan
como una moneda real.
b) Utiliza la tabla de números aleatorios para simular 36 lanzamientos de un dado cúbico. Cuenta
después el número de veces que aparece cada cara.
Si unes tu información a la de tus compañeros, observarás que todas las caras tienden a
aparecer el mismo número de veces (una sexta parte del total de lanzamientos); lo que
también ocurre en un dado cúbico real.
c) Utiliza la tabla de números aleatorios para simular 15 lanzamientos de un dado de hacer quinielas
(tiene tres 1, dos X y un 2). Cuenta después el número de 1, X y 2 y une tu información a la de tus
compañeros. La proporción de 1, X y 2 obtenida, ¿coincide con la que existe en el dado real?.
d) Utiliza la tabla de números aleatorios para simular un sorteo de 10 premios entre 150 personas.
3. Esperanza matemática
 ¿ES JUSTO EL JUEGO?
Una ruleta está dividida en 12 sectores iguales. Considera tres sectores de tal ruleta: el A, que incluye
los sectores numerados del 1 al 9; el B, los numerados con 10 y 11; el C, el numerado con el 12.
Te proponen el siguiente juego: si la aguja señala uno de los sectores de A, entonces pagas 50 ptas;
si señala uno de los sectores de B, ganas 100 ptas. y si marca el sector C ganas 200.
¿Te conviene jugar?. ¿Cuánto esperas ganar o perder en 60 jugadas?.
229
Matemáticas 3º ESO
Utiliza un dado dodecaédrico para simular la ruleta. Efectúa 30 simulaciones del juego con ayuda de
tus compañeros de grupo y recoge los resultados de la clase en una tabla como la siguiente:
Pierde
50
Gana
100
Gana
200
Grupo 1
Grupo 2
.............
Total
Utiliza esta tabla para calcular la ganancia media y extraer conclusiones.
Dada una tabla de probabilidades como la siguiente:
Valores
Frecuencia
x1
f1
x2
f2
x3
f3
x4
f4
...
...
xn
f n
Total
N
podemos construir una tabla de probabilidades como la siguiente:
Valores
Probabilidad
x1
p1
x2
p2
x3
p3
x4
p4
...
...
xn
pn
fi
para cada valor de i. Entonces, la esperanza matemática de los valores x i se
N
calcula por la fórmula:
donde p i 
E(x) = x1  p1  x2  p2  x3  p3  x4  p4  ... xn  pn
o bien por esta otra:
230
x  f  x  f  x3  f3  x 4  f4  ... xn  fn
E(x) = 1 1 2 2
N
Sorteos y simulación
 CALIFICACIONES
Un alumno que tiene en una evaluación un 4 de nota, se imagina que el profesor le propone el
siguiente juego:
En una urna se meten 10 bolas, 4 con la nota 5, 4 con la nota 3 y 2 con un 8. Se extrae una bola y la
nota que indique será la evaluación.
¿Le convendría jugar?.
 TORNEO DE AJEDREZ
A una jugadora de ajedrez se le propone jugar, en un torneo, contra otro jugador al que se le supone
el mismo grado de habilidad. El torneo es a tres partidas. Por cada partida ganada reciben 50000
ptas. ¿Cuál es la ganancia que puede esperar?. Si asistir al torneo le cuesta 40000 ptas, ¿le conviene
participar?.
4. Simulación
 LA COLA DEL CINE
Delante de la taquilla de un cine hay una cola de 10 personas, 5 de las cuales tienen una moneda de
500 ptas, mientras que las 5 restantes tienen cada una de ellas un billete de 1000 ptas. Una entrada
vale 500 ptas, y al abrirse la taquilla no había dinero en la caja.
No sabemos cuál es la distribución en la cola de las personas con moneda o billete, y podrían darse
varias posibilidades. ¿Qué probabilidad asignarías al hecho de que nadie tenga que esperar por falta
de cambio?.
231
Matemáticas 3º ESO
Algunos problemas de probabilidad son tan difíciles que es mejor resolverlos
experimentalmente. Como la experimentación real es muchas veces imposible se recurre a
la simulación. El problema consiste entonces en encontrar la forma adecuada de simular la
situación propuesta, es decir, encontrar el modelo que la represente por analogía.
Elegido un procedimiento, se procede a experimentar el proceso, obteniendo una cantidad
suficiente de datos. A continuación se recogen en una tabla los resultados obtenidos en las
simulaciones realizadas y se utilizan estos datos para asignar una probabilidad al suceso
estudiado. La probabilidad asignada al suceso será la frecuencia relativa correspondiente.
¿Cómo puedes simular este problema utilizando un dado o una ruleta decimal?. ¿Y con una
moneda?. ¿Y con una bolsa con diez bolas?.
Con ayuda de tus compañeros de grupo, efectúa 30 simulaciones y recoge la información de toda la
clase en una tabla como la siguiente. Extrae conclusiones de la tabla.
SIN ESPERA
CON ESPERA
TOTAL
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
.............
Totales
 EL ROSCÓN DE REYES
Un grupo de 10 amigos celebran la noche de Reyes cenando en un restaurante que ofrece un menú
de 3000 ptas. e incluye el típico roscón de postre.
Al servirles el postre, el camarero les comenta que, precisamente, la pastelería que les suministra
tiene la costumbre de mezclar con la pasta de cada roscón diez “sorpresas” diferentes; pero, como la
mezcla se hace antes de darle forma, éstas pueden quedar distribuidas de cualquier manera.
232
Sorteos y simulación
Como la distribución de las sorpresas es aleatoria, el grupo de amigos decide jugarse la factura del
restaurante de la siguiente forma: el roscón se partirá en diez trozos iguales y cada uno pondrá tres
mil pesetas por cada regalo que encuentre en su parte.
¿Es fácil que uno de ellos tenga que pagar la cena de todo el grupo?. ¿Y que cada uno tenga que
pagar exactamente su parte?. ¿Cuál es el número, que consideras más probable, de amigos a los
que les saldrá gratis la cena?.
¿Cómo puedes simular este problema utilizando un dado o una ruleta decimal?. ¿Y con una tabla de
números aleatorios?. ¿Y con la calculadora?. ¿Y con una bolsa opaca que contenga diez bolas o
papeles numerados?.
 LA LOTO
La combinación ganadora en la lotería primitiva es una secuencia de seis números obtenidos
mediante extracciones sucesivas de una urna que contiene 49 bolas numeradas del 1 al 49.
Un posible resultado sería 6-8-13-20-21-35 y en él aparecen dos números consecutivos, el 20 y el 21.
¿Qué crees que es más frecuente en las combinaciones ganadoras:
a) que contengan números consecutivos, o
b) que no aparezcan números consecutivos?.
Simula este problema utilizando la tabla de números aleatorios.
233
Matemáticas 3º ESO
 PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS
Hay quien preferiría celebrar su “nocumpleaños” porque es mucho más frecuente que el
cumpleaños. Pero justamente por ser menos frecuente, el día del cumpleaños suele ser motivo de
alegría.
¿Es muy difícil acertar el día del año que ha nacido una persona?. ¿En qué proporción deberían
hacerse las apuestas de acertar contra no acertar para que fuera justo el juego?.
¿Y si apostamos a que dos personas elegidas al azar celebran su cumpleaños el mismo día?.
¿Cuántas personas debe haber reunidas, como mínimo, para que sea ventajoso apostar a que al
menos dos de ellas celebran el cumpleaños el mismo día?.
Para responder esta última cuestión puede serte útil la tabla de números aleatorios.
 PRIMOS Y DIVISORES
3
5
1
1
5
2
7
2
5
2 7
7 2
5 1
1
5
3
2
3
2
1
7
3
5
3
2
7
1
1
5
3 7 1
1 5 1
2
3
5 2 3
2 3 1
5 3 3
2
3 7 3
5 2 1 7
9
Organización: por parejas. Cada jugador, alternativamente, lanza dos veces un dado cúbico con el
que compondrá un número (por ejemplo, el 24).
El jugador situará una ficha en una casilla desocupada que contenga un divisor de 24 (por ejemplo, el
2), con lo que quedará un cociente de 12. Podrá seguir poniendo fichas en los divisores de los
sucesivos cocientes que vaya encontrando. Si no encuentra más divisores, le toca el turno al otro
jugador.
234
Sorteos y simulación
Si el número inicial es primo y el jugador lo descubre tirará de nuevo, pero si no lo hace pasará el
turno al otro jugador. Si por el contrario, dice que es primo, pero no lo es, el otro jugador tendrá la
posibilidad de poner en su tablero las fichas de los divisores que descubra y a continuación coger el
turno.
Gana quién primero llene una fila y una columna.
 NÚMEROS PRIMOS
Vamos a sortear cuatro dígitos. El número obtenido por los dígitos colocados por orden de salida es
un número menor que 10000. Si este número es primo, entonces gana el jugador A; si no lo es, gana
el B. ¿En qué proporción deben efectuarse las apuestas para que sea justo el juego?.
Para sortear los cuatro dígitos puedes hacer uso de la tabla de números aleatorios; para ver si el
número obtenido es primo puedes consultar la tabla de números primos de la siguiente página.
Efectúa 20 sorteos y compara tus resultados con los de tus compañeros. ¿Qué conclusiones
obtienes?. ¿Era previsible el resultado?.
5. Probabilidad geométrica
 LLUVIA ALEATORIA
¿Cómo elegirías al azar una casilla de la trama 2  2 ?.
Pon un punto en la casilla elegida. Si realizas este proceso 100 veces, ¿cuántos puntos esperas que
correspondan a cada casilla?. Repite la simulación 100 veces y comprueba tu conjetura.
Si la trama consta de más cuadrados y sorteas entre ellos 100 puntos, ¿cuántos esperas que
correspondan a cada uno de ellos?.
235
Matemáticas 3º ESO
¿Y en tres cuadrados de esta trama?.
Si tuvieras que apostar por tres de ellos, ¿por cuáles apostarías?.
Al sortear 100 puntos en esta figura, ¿qué proporción de puntos crees que corresponderá al cuadrado
inscrito?.
Si tuvieras que sortear puntos en esta figura, decidir qué puntos caen dentro del círculo y qué puntos
caen fuera de él no es tan fácil. ¿Cómo lo harías?. Si sortemos 100 puntos, ¿cómo crees que se
repartirán?.
 UNA DIANA
En una feria, un niño lanza dardos al azar sobre la diana indicada en la siguiente figura:
Utilizando los números aleatorios, halla el número de dardos que esperas que caigan en cada una de
las tres zonas indicadas si efectúa 50 lanzamientos.
236