Algebra Guia de Estudio

GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS PARA LOS
ALUMNOS DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA,
AGROALIMENTACIÓN Y ADMINISTRACIÓN
DEL POLITÉCNICO DE LOS LLANOS
Elaborado por:
Prof. Esp. Freddy J. Alvarez P
FEBRERO 2009
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.1→ Los términos algebraicos son expresiones formadas por constantes y/o variables.
Por ejemplo: 12, 6x, 89 x 3 y, – 4 w 2
Los coeficientes numéricos son 12, 6, 89 y –4 respectivamente.
1.2→ Un polinomio es la suma de uno o más términos algebraicos cuyas variables tiene
exponentes enteros.
Un polinomio con un término se llama monomio: a b 3, 5/6 x, 3x 3yz
Un polinomio con dos términos se llama binomio: – 5x 3 + 7y; 3/2 + 5x
Un polinomio con tres términos se llama trinomio: 3mn + 6n – 8 m 2 n
1.3→Grado de un polinomio: es igual al grado del término que tenga el grado mayor en
el polinomio:
* 7 x 5 es un monomio de grado 5
* 4 x 2 w − w8 x
es un binomio de grado 9 porque la suma de los exponentes de las
variables es 9
* – 5 x3 y12 w2 es un monomio de grado 17 porque la suma de los exponentes de las
variables es 17
* 2 x8 y 2 − 5 xy
es un binomio de grado 10 porque el grado máximo del binomio es 10
* 12 x 2 y 4 − 7 x 7 y + 2 x9 y 2 + 1 es un polinomio de grado 11
A las expresiones como P(x) = 7 x 3 + 2 x − 5 x 2 − 5 se les llama: Funciones Polinomiales.
donde la letra x dentro del paréntesis representa a la variable del polinomio.
1.4→SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las
otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes.
El orden de los sumandos no altera la suma.
1.4.1→ Términos semejantes: son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a la
misma potencia.
Al sumar y restar los términos semejantes, se suman (restan) sus coeficientes numéricos
y se conservan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.
1.4.2→ Suma de monomios:
Ejemplos:
1. Sumar 8m, 7m, 17m
= 8m + 7m + 17m = 32m
1
3
1
3
4
2. Sumar
a con
a
= a+ a= a =2a
2
2
2
2
2
3. Sumar –8x + 7xy con 9x –2 xy
= –8x + 9 x + 7xy –2xy = x + 5xy
3
3
4. Sumar 4 mb, – mb con 6 xz, – mb = 4mb –mb – mb + 6xz
2
2
3
3
= 3mb – mb + 6xz = mb + 6 xz
2
2
1.4.3→ Suma de polinomios:
Se agrupan los términos semejantes.
Ejemplos:
Hallar la suma de:
1. (2s + 3b)+(7b – c)+( – 4s +8c) = 2s + 3 b + 7b –c – 4s + 8 c
= 2s – 4 s + 3b + 7 b – c + 8 c
= – 2 s + 10 b + 7 c
2. 5p + q + r,
3 r– 6 q – 2 p,
p–8r+5q
También se puede realizar así: 5p + q + r
–2p – 6 q + 3 r
p +5q – 8r
–––––––––––––––––––––––
4p + 0 q – 4 r
3. m 2 + 4m, − 5m + 6m2
4.
1 2 2
x + x y,
2
3
= m2 + 6m2 + 4m − 5m =
7m2 − m
1
1
1 2 1 2 2
1
x y + y2 =
x + y + xy + xy
2
4
2
4
3
2
1 2 1 2
4+3
) xy
=
x + y +(
2
4
6
1 2 1 2 7
=
x + y + xy
2
4
6
1.5→RESTA DE POLINOMIOS:
1.5.1→ Resta de monomios:
Ejemplos:
1. 8 x 3 − 5 x 3 = 3 x 3
2. De 2b
restar 7 b
3. De 15z
= 2 b – 7b = –5b
restar – 9z
restar − 12 x 2 w4
4. De 9 x 2 w4
5. Restar
= 15z – ( – 9 z ) = 15 z + 9z = 24 z
6 xw
de
= 9x2w4 – ( – 12x2w4)
= 9x2w4 + 12x2w4
= 21x2w4
= 9 xw – ( 6 xw ) = 3 xw
9 xw
1.5.2→ Resta de Polinomios
Ejemplo:
1. Re star 4sw3 + 5s3w2 ) de 8s3w2 + 2sw3 − s 7
= 4 sw3 + 5s3w2 ) − 8s3w2 + 2 sw3 − s 7 )
(
(
(
(
)
4 sw3 + 5s3w2 − 8s3w2 − 2sw3 + s 7
= 2 sw3 − 3s3w2 + s 7
=
Ejercicios :
1. ( 5 x + 6 y − 2 ) + ( − 2 y + 7 x + 9
2.
)
(13x + 8 y ) + 17 y
 5z

 7y

3. De  + 4 y  Re sta  −
− 5z 
 2

 2

4.
5.
( 5x + 6 y − 2 ) − ( − 2 y + 7 x + 9 )
( 2a − 6 ) − ( 3a − 4a 3 − 10 )
6. Re sta 2 ym + 3 z de − 5 ym + 2 z
1.6→MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
1.6.1→ Multiplicación de monomios: Se multiplican los factores numéricos y después se
multiplica los factores variables.
Ejemplos: Multiplicar
* . 8 x3 5 x 2 y ) = 40 x5 y
(
(
* 7 xw2 z 2 − 2wz 4 ) = − 14 xw3 z 6
* 2ab ) − 4a3b ) 6a 7 zb3 ) = − 48a11b5 z
(
(
(
1.6.2→ Multiplicación de un Polinomio por un monomio:
Se utiliza la propiedad distributiva y se multiplica cada uno de los términos del polinomio
por el monomio y si hay términos semejantes se reúnen.
Ejemplo:
* 8 x 3 ( 4 x y + 2 z 4 x ) = 8 x 3 ( 4 x y) + 8 x 3 ( 2 z 4 x) = 32 x 4 y + 16 x 4 z 4
* − 3s 6 w 4 s 3 w 2 + 2rw3 − 3s 7 ) =
(
(
(
= − 3s 6 w 4 s 3 w 2 ) − 3s 6 w 2rw3
= − 12 s 9 w3 − 6s 6 w 4 r + 9s13 w
)
(
− 3s 6 w − 3s 7
1.6.3→ Multiplicación de un Polinomio por un Polinomio:
Se procede de igual forma al anterior.
Ejemplo:
* ( 5 x + 6 y ) 2 x 4 y + 3x 4 w 4 − 5 ) =
(
= 10 x 5 y + 15 x 5 w 4 − 25 x + 12 x 4 y 2 + 18 x 4 yw 4 − 30 y
*
( x 2 + 4 x − 5 ) (4 x 2 − 4 x + 1 )
= 4 x 4 − 4 x 3 + x 2 + 16 x 3 − 16 x 2 + 4 x − 20 x 2 + 20 x − 5
= 4 x 4 + 12 x 3 − 35 x 2 + 24 x − 5
3.
1 
2b 
2
 a + b a - 
2 
3 
3
2
2  2  1
1  2 
=
a ( a ) + a  − b  + b ( a ) + b − b 
3
3  3  2
2  3 
2 a2
4
1
2 2
=
−
a. b +
ab −
b
3
9
2
6
2 2
1
1 2
=
a +
ab −
b
3
18
3
4. Determinar el producto de:
(x
( x n + 3x ) ( x n + 2 x −n
n
)(
+ 3x ⋅ x n + 2 x − n
)=
= x n+n + 2 x n−n + 3x1+n + 6 x1−n
= x 2n + 2 x 0 + 3x1+n + 6 x1−n
)
)
Ejercicios :
1.
(3x2t3 ) (5x4 z 2 )
4m 2
2.
6z

2m
5 zxm − 2

z
4.
]
5.
( 6b + 3 )
(2 xb2 − 5b )
( x3 − 7 x 2 + 9 ) ( 4 x − 1 )
 5x x y 
)  7 xy + 3 )
6. 
−
2
5y
 3

1.7→DIVISIÓN DE POLINOMIOS:
1.7.1→ División de monomios:
Se debe tener en cuenta:
a. Dividir los coeficientes, aplicando cuidadosamente la ley de los signos para la división.
b. A la parte literal se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base.
Ejemplos: Efectuar las siguientes divisiones:
3.
( 4 x − 8z ) 2
− 12 x 2 y a 3 b c 2
*
4 x y a 2b c 2
=
− 12 2 − 1 1 − 1 3 − 2 1 − 1 2 − 2
x
y
a
b
c
= − 3 x1 y 0 a1 b 0 c 0 = −3 x a
4
− 4 m 4 n2 p5
− 28 m p 3
2 4− 3 2 −2 5−2
7
1
0
3
*
= ( −4 ÷ ) m
n
p
= −4 ×
m n p =
= −14 m p 3
2 3 2 2
7
2
2
m n p
7
1.7.2→ División de un polinomio por un monomio:
Ejemplos :
21x 6 − 9 x 4 + 24
21x 6 9 x 4
24
1.
=
−
+
= 7 x 3 − 3 x + 8 x −3
3
3
3
3
3x
3x
3x
3x
( 5s + 2r ) + 5( 5s + 2r ) = 5s + 2r + 5 ( 5s + 2r ) = 1 + 5 = 6
2.
5s + 2r
5s + 2r
5s + 2r
1.7.3→División de un polinomio entero racional en x por un binomio de la forma x – a.
1.7.3.1→ División Sintética o Regla de Ruffini:
Esta se utiliza cuando el divisor es de la forma * x – a* . Por medio de este procedimiento,
se obtiene más fácilmente los Coeficientes en una división de polinomios.
Aplicando
* 4x 4 − 4x3 + 2x 2 − 3 ÷ x − 3 →
4x 4 − 4x3 + 2x 2 − 3
x − 3
− 4 x 4 + 12 x 3
8x 3 + 2 x 2
− 8 x 3 + 24 x 2
26 x 2
− 26 x 2
4x3
−3
−3
+ 78 x
78 x
− 78 x
− 3
+ 234
231
cociente 4 x3 + 8 x 2 + 26 x + 78
residuo 231
Luego esta división no es exacta
+ 8x 2
+ 26 x + 78
Se puede hallar el residuo, sin hallar la división:
* x 2 – 7 x + 6 entre x – 5
*
Se sustituye la x por 5, y se obtiene: 5 2 – 7 ( 5) + 6 = 25 – 35 + 6 = – 4
Residuo = – 4
x 3 + 2 x + 7 entre x +3
Se sustituye la x por ( – 3), y se obtiene: (- 3) 3 + 2 ( -3 ) + 7 = -27 - 6 + 7 = – 26
Residuo = – 26
3
* z 3 − 9 z + 2 entre 4 z − 3, se sustituye la x por , entonces :
4
3
2
27 81
27 − 324 + 128
− 169
3
3
3
2
z − 9 z + 2 =   − 9  + 2 =
− +2=
=
64 16
64
64
4
4
− 169
Residuo =
64
Aplicando la Regla de Ruffini para calcular los cocientes sin realizar la división:
Procedimiento:
a. Se escribe todos los coeficientes del dividendo, y en la parte inferior izquierda, sobre la
horizontal se escribe 3 que aparece en el divisor, pero con signo cambiado, para evitar la
resta que se da en la división:
b. Los coeficientes del cociente se obtiene así:
El primero es igual al primer coeficiente del dividendo: 4 y se escribe debajo de la línea
c. Los coeficientes se obtienen así:
El 12, es el producto de 3 x 4
El 24, es el producto de 3 x 8
El 78, es el producto de 3 x 26
El 234, es el producto de 3 x 78
x4
x3
x2
x
0x
coeficientes
* 4 x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − 3 ÷ x − 3
cociente
residuo 231
del
dividendo
4
−4
2
0
−3
12 + 24 + 78 + 234 * 3
4
8
+ 26 + 78 + 231
4 x3 + 8 x 2 + 26 x + 78
1.7.3.2 → Teorema del Residuo:
Si un polinomio P ( x ) se divide entre x – r, el residuo es P ( r )
Ejemplo: a.) P ( x ) = 2 x3 − 4 x 2 + 2 x − 1 a ) Determinar P ( 1 )
3
2
P(1 ) = 21 ) − 41 ) + 2(1 ) − 1


= 2 − 4 + 2 −1
= −1
b ) Luego usamos la división sintética para determinar el residuo cuando
P ( x ) = 2x3 − 4x 2 + 2x − 1
se divide entre x – 1
2
–4
2
–1
1
2 –2
0
_______________________
2
–2
0
–1
El residuo es – 1
Los resultados de la parte a) y de la parte b ) muestran que cuando P ( x) se divide
entre x – 1, el residuo es P ( 1 ).
1.7.3.3. →Teorema del Factor:
Este Teorema nos explica cómo determinar un factor de un polinomio si el residuo de
cierta división es cero. Si P (x) = 0 si y sólo sí x – r es un factor de P( x )
Un cero de un polinomio en x, es todo valor de x que hace que el valor del polinomio
sea igual a 0.
Ejemplo:
* Sea
P (x) = x3 − 3x 2 + 5 x − 15
Demostremos que:
a) P ( 3) = 0
Se emplea el Teorema del Residuo para evaluar a P ( 3 ), dividiendo
P ( x ) = x3 − 3 x 2 + 5 x − 15 entre x – 3
1
–3
5
–15
3
3
0
15
__________________________
1
0
5
0
El residuo de esta división es 0.
De acuerdo con el Teorema del Residuo, éste es igual a P ( 3 ).
Por lo tanto, P ( 3 ) = 0 y 3 es un cero del polinomio
b) x – 3 es un factor de P ( x )
El residuo es 0 y los números 1, y 5 de la división sintética en la parte a) representan los
coeficientes del cociente: x 2 + 5.
Luego:
(x−3 )
divisor
•
( x2 + 5 )
cociente
+ 0 = x3 − 3x 2 + 5 x − 15
residuo
dividendo, P ( x)
Nota: No siempre es fácil factorizar los polinomios
Ejercicios: Realiza las siguientes divisiones:
1.
7 xyp3
2 p7
14 x
4.
(
2. 15mnx + 18m2 n − m
)
8 x5 y8 + 6 xy3 − 12 y 4
− 2 xy 2
6 x5 + 4 x 4 + 7 x3 + 2 x 2 − 7 x
3x − 13
5
6. x + 2076 − 208 x 2 ÷ x − 5
÷ 3m
5.
3. m 4 + 4n − 48 − 5n3 ÷ n + 2
* Utiliza la división sintética para realizar cada una de las siguientes divisiones:
1.
2.
( x2 + x − 2 )
(
( x − 1 ).
) ÷ (x−4 )
÷
4 − 3x 2 + x
4.
5.
(2x3 − 9 x2 + 10x − 3 ) ÷ ( x − 3 )
(5x2 + 6x3 + 4 ) ÷ ( x + 1 )
3. x 5 + x 4 − 5 x 3 − 7 x + 8 ÷ x + 3 6. 6 x 5 + 2 x 4 − 3x 3 − x 2 + 3 x + 3 ÷ ( 3x + 1 )
* Emplea el Teorema del Factor y explica si la primera expresión es un factor de P ( x)
1 x − 2;
P ( x ) = x3 − 2 x 2 + x − 2
2. x + 1;
3. x + 2;
P ( x ) = x3 + 2 x 2 − 2 x − 3
P ( x ) = 3 x 2 − 7 x + 4;
1.8→APLICACIONES
Biología:
El ancho del abdomen de cierto tipo de polilla hembra es útil para aproximar el número de
huevos que puede cargar. El número promedio de huevos se aproxima en
14 x3 – 17 x2 – 16 x + 34, donde x es el ancho del abdomen en milímetros.
Finanzas:
1. El pago mensual de una casa se puede determinar evaluando la expresión:
i
P = A[
−n ]
1− 1+ i )
(
P es el pago mensual,
A es el precio de la casa menos el pago inicial,
i es la tasa de interés mensual (tasa anual ÷ 12 )
n es el número total de pagos.
2. Se puede calcular el pago mensual de un apartamento que tenga un precio de
$120.000.000, con un 30% de cuota inicial a un interés anual de 25% por un período
de 15 años.
3. El saldo actual de un préstamo de auto se puede calcular evaluando la expresión:
P = Pago mensual
 1 − 1 + r ) k − n 


r = tasa de interés mensual
P = 

k = número de pagos abonados
r




n = número total de pagos mensuales
Se puede calcular el saldo actual de un préstamo con P = $450.000,
r = 0.01 k= 24 y n = 60
Geometría
Se puede hallar el área de un jardín de forma rectangular que mide (4x + 2) unidades de
largo y 4x unidades de ancho.
A de un rectángulo = base. altura
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
2.1→POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
En algunas situaciones es necesario elevar polinomios a una potencia determinada,
procedimiento que resulta simple sabiendo que la potenciación es una simple
multiplicación.
OBSERVA:
2 2 es equivalente a 2 x 2
OBSERVA:
22=2x2
(a + b)2 es equivalente a (a + b).(a + b) (a + b) 2 = (a + b).(a + b)
Como puedes ver la potenciación de un polinomio se convierte en multiplicación de
polinomios: (a + b )2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
2.2→PRODUCTOS NOTABLES
Se denominan productos notables a algunas potencias de polinomios o productos entre
ellos que pueden resolverse rápidamente ya que cumplen algunas características o reglas
fijas.
Existen varios productos notables que son:
2.2.1→CUADRADO DE LA SUMA
El cuadrado de una suma se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se
suma el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se
suma el cuadrado de la primera cantidad. Observa: (a + b) 2
a2
⇒ el cuadrado de la primera cantidad
2ab ⇒ dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad
b2 ⇒ el cuadrado de la segunda cantidad
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
Ejemplos:
2
2
 ( x + 2y)2 = x2 + 2.(x).(2y) + (2y)2 = x + 4 xy + 4 y
 (2a2 + 3b3 )2 = ( 2a2 )2 + 2.(2.a2).(3b3) + ( 3b )2 =
= 4a 4 + 12a 2b3 + 9b 6
2.2.2→DIFERENCIA DE CUADRADOS
El cuadrado de una diferencia se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado,
luego se resta el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y
además se resta el cuadrado de la primera cantidad. Observa: (a − b) 2
a2 ⇒ el cuadrado de la primera cantidad
2ab ⇒ dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad
b2 ⇒ el cuadrado de la segunda cantidad
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Ejemplos:
* (2x – 4)2 = (2 x) 2 − 2(2 x) (4) + 42
= 4 x 2 − 16 x + 16
* (mn3 – 3 m4 x2 )2 = (mn3 ) − 2(mn3 ) (3m 4 x 2 ) + (3m 4 x 2 ) 2
= m 2 n 6 − 6m 5 n 3 x 2 + 9m 8 x 4
EJERCICIOS: Resolver los siguientes productos notables:
2
6.
2
1. (3y+5z)
2
1

2.  x − y 
3

1 
3
3.  a + b 
4 
4
4. (3 – 4 a)2
5. (7 – 2x)2
7.
8.
2
(
x− y
)
2
(5 − a )
( 2 x − 3x )
y 2
x
a +1
a −2 2
1

9.  m 2 n 3 − m 3 n 2 
2

2
10. ( a + b − c )
2
2.2.3→SUMA POR DIFERENCIA
Es un producto de la siguiente forma (a + b)(a – b) los mismos términos en un paréntesis
separados con más y en el otro con menos.
Se resuelve de la siguiente manera:
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a 2 − b 2 ⇒ (a + b) (a – b) = a2 – b2
Ejemplos:
 (2a – 3b)(2a + 3b) = 4 a2 – 9 b2
2
 2
 4 2
2
  a + b  a − b  = a − b
3
3
9



EJERCICIOS
1.
2.
3.
( 3m − 5 y )( 3m + 5 y )
( a − 2b )(a + 2b
3
3
)
[ ( a + b ) + 2] [ ( a + b ) − 2]
 1 3  1 3 
4.  + a  − a 
 3 2  3 2 
5. (2m3 – n4)(2m3 + n4)
6. (a 2x – 3)(a 2x + 3)
7. (a + 2b + 2)(a +2b – 2)
8. (ab + c)(ab – c)
9. (3x2 – b) ( b + 3x 2)
3
10. ( a − x ) − ( a + b ) a - x) 3 + (a + b)
11. (5x+2y)(2y–5x )
3 3
2 3  3 3
2 3
12.  x − 2m y  x + 2m y 
4
 4

(
) ((
)
2.2.4→CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS
Cuando se presentan los siguientes binomios al cubo, se resuelven de la forma que se
indica:
( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b)3 = (a+b)2(a+b)
= (a2+2ab+b2) (a+b)
= a3+3a2b+3ab2+b3
( a − b ) 3 = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 que se demuestra de la misma manera que el anterior.
EJEMPLOS
 (m–2)3 = m3–3(2m2)+3m(2)2–23 = m3–6m2+12m – 8
 (3 a2 + 2 b3)3 = (3 a2)3 + 3(3 a2)2 (2 b3) + 3(3 a2) (2 b3)2 + (2 b3)3
= 27 a6 + 54 a4 b3 + 36 a2 b6 +8 b9
EJERCICIOS:
3
11. 5 x − 5 y
3
1. (a – b)
3
12. x a +1 − x a − 2
2. (3y+5z)3
(
(
1

3.  x − y 
2

3
5.
6.
7.
8.
1 
3
 a + b
4 
4
(3a – 4 b)3
(7 – 2x)3
(2x2 – 5y 3 )3
3
2

a
+
4
m


3

2

15.  x − y 4 
5

(
)
17. ( 3a − 2b )
16. a 3b + b 2b
3
3
3
4 3
2 
3
18.  x 3 + y 2 
3 
4
19. (a – b – c)3
20. (–x – y)3
3
9.  3 x 2 y − 2 xy 2 
5
4

1

10.  + m3 
3

)
1

13.  m 2 − n 2 
2

3
14. ( a + b − c )
3
4.
)
3
3
2.2.5→POTENCIA DE BINOMIOS
El binomio (a+b)n con n perteneciente al conjunto de los números naturales (1,2,3....),
llamado BINOMIO DE NEWTON se resuelve utilizando el TRIANGULO DE PASCAL, de la
siguiente manera:
1. los números que se encuentran en el triángulo de Pascal son los coeficientes
numéricos de los términos del producto.
2. El primer número diferente de 1 es el exponente del binomio
3. El primer término inicia con el mismo exponente que el binomio y el segundo con
exponente cero.
4. El primer término comienza a disminuir su exponente hasta que sea cero y el
segundo a aumentarlo.
5. Los signos son positivos si el binomio es suma y se intercalan si el binomio es
resta– se utiliza así:
6.
1
(a+b)1 = ab0 +a0 b = a + b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
1 2 1
1
1
3
4
3
6
(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a b2 – b3
1
4
1
(a + b )4 =a4+4 a3b + 6a2b2 +4 ab3+b4
EJEMPLOS
 (a+2)6 = a6+6 a5(2)+15 a4 (2)2+20 a3(2)3+15 a2(2)4+6 a(2)5+26
= a6+12 a5+60 a4 + 160 a3 + 240 a2 +192 a + 64
2
2
2
2
2
 (3x– ) 4 =(3x)4– 4 (3x)3 ( ) + 6 (3x)2 ( )2 – 4(3x)( )3 + ( )4
3
3
3
3
3
216
216
32
16
32
16
= 81 x4–
x3 +
x2–
x+
= 81x4 – 72x3 + 24x2 – x +
3
9
9
81
9
81
EJERCICIOS
1. (a – 2b)6
2. (2 x2 – 3y 2) 4
3. (3 – a3) 5
4
x y
4.  − 
2 2
5.
(a
x
+2
)
1

7.  x − y 3 
3

8.
9.
3

6.  − m 2 
4

(2x − 3y )
(5 − 3a )
5
2 6
3
10. ( 2 − a )
3
4
2 3
7
2 
1
11.  a 2 − b 3 
3 
2
4
2.3→COCIENTES NOTABLES
De la misma manera que los productos notables, existen cocientes que pueden realizarse
por simple inspección. Estos cocientes son:
a2 − b2
a4 − b4
1.
5.
= a+b
= a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3
a−b
a−b
2
2
a −b
a4 − b4
2.
6.
= a−b
= a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3
a+b
a+b
3
3
a −b
3.
= a 2 + ab + b 2
La misma estructura funciona para las
a −b
demás
a 3 + b3
2
2
4.
= a − ab + b
a+b
NOTA:
Los cocientes cuya estructura es la siguiente, no son divisiones exactas
a4 + b4
a−b
EJEMPLOS:
8 − a3
= 2 + 2a + a 2

2−a
1 − x 12
= 1 + x 4 + x8

4
1− x
a4 + b4
a+b
16 x 2 − y 2
= 4x − y
4x + y
EJERCICIOS:
Resolver por simple inspección los siguientes cocientes

a4 − 1
a +1
a6 − y6
2.
a3 + b3
8 + a3
3.
2+a
16 x 2 y 4 − 25m6
4.
4 xy 2 + 5m3
36a 10 − 25
5 + 6a 5
256 − m 8
6.
2−m
( a + b) 2 − c 2
7.
a+b−c
32 x 5 + 243 y 5
8.
2x + 3y
1.
5.
2.4→FACTORIZACIÓN
Factorizar un número natural es descomponerlo en sus factores primos así:
12 = 2 x 2 x 3= 22 x 3 donde 2 y 3 son números primos.
Factorizar un polinomio significa descomponerlo hasta donde sea posible, en el producto
de todos sus factores primos.
La propiedad distributiva de la multiplicación de números reales respecto de la adición
permite transformar las sumas indicadas en productos. Esta transformación es una
FACTORIZACIÓN.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2.4.1. → FACTOR COMÚN
Es el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio, tanto de la parte literal como
de la numérica.
El M.C.D de los coeficientes del polinomio, y el factor común literal está conformado por
las variables que se repiten en todos los términos elevadas al menor exponente. El factor
restante con el que se multiplica el factor común, está compuesto por los coeficientes de
cada término sobre el mismo factor común. Ejemplo: Factoriza los siguientes polinomios:
* 6 x3 – 12 x2 + 3 x
El factor común de los términos es 3 x. Por la propiedad distributiva se puede escribir
* 6 x3 – 12 x2 + 3 x = 3x ( 2 x2 – 4 x + 1)
* 8 x w3 + 32 x3 w 2 = 8 x w 2 (w + 4 x2)
* 5 y z4 – 12 y 6 = y ( 5 z4 – 12 y5 )
* 4 x ( x + 2) – ( x + 2)= ( x + 2) ( 4 x –1)
3 − 2  3 + 7 x 3 − 2  =  x 3 − 2   x 3 − 2  2 + 7 

x


 
 


* 



 
 


Ejercicios:
1. 3xy3 + 27 x 4 y
2. 5b + b 4 z − 25b3w
3. 2 x( n − 1 ) − 3 y ( n − 1
)
2.4.2. → FACTOR COMÚN POR AGRUPÁCIÓN:
Cuando el polinomio tiene más de tres términos, es necesario agrupar adecuadamente
Se emplea inicialmente una asociación de términos por medio de los signos de
agrupación, para hallar así los factores comunes de cada uno. Ejemplo:
* 3 x 2 − 6ax + 4 x − 8a
1. Agrupemos: (3x2 – 6 ax) + (4x – 8 a)
2. Factoricemos el factor común:
3x ( x – 2 a) + 4( x – 2 a)
3. Se factoriza de nuevo: (3x +4) (x – 2a)
* x2 − a2 + x − a2 x
2
2
2
1. Agrupemos:  x − a x ) +  x − a )


2
2
2. factoricemos: x( x − a ) +  x − a )

2
3. Se factoriza de nuevo: ( x + 1 )  x − a )

3
2
2
2
2
* 3a − 3a b + 9ab − 3b − a + ab
(
(
1. 3a3 − 3a 2b + 9ab 2 ) − 3b 2 + a 2 − ab
2. 3a a 2 − ab + 3b 2 ) − a 2 − ab + 3b 2 )
(
(
(
3. ( 3a − 1 ) a 2 − ab + 3b 2
Ejercicios:
1. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4
)
)
2. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy3
3. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7 ab 2
2.4.3→. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Es la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las
mismas:
a 2 − b2 = ( a + b )( a − b )
Ejemplos :
(
(
2
*16 x 4 − 81 y 2 =  4 x 2  − ( 9 y ) 2 = 4 x 2 + 9 y ) 4 x 2 − 9 y


2
* 25 − x 6 z 8 = 5 2 −  x 3 z 4  = ( 5 + x 3 z 4 ) ( 5 − y 3 z 4


2
 8 2 x 2  8 2 x 2 
64 4 x 4  8  2  2 x 2 
 −

*
−
=  −
= +
2






9
w
3
w
3
w
3
 
w





)
Ejercicios:
)
1. 361x14 − 1
b12 x
2.
− 49a10n
81
2
3. a m 4n6 − 144
2.4.4→. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P )
Es el resultado de un Binomio al cuadrado. El primer y tercer término son cuadrados
perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y su signo es positivo, y el segundo término es
el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término:
2
a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b )
Ejemplos:
* x 2 – 2x + 1=
( x – 1)2
Raíz cuadrada de x2 = x
Raíz cuadrada de 1 = 1
Doble producto de estas raíces: 2 ( x ) ( 1) = 2 x
* 36 + 12 m2 + m4 = ( 6 + m2 )2
Raíz cuadrada de 36 = 6
Raíz cuadrada de m4 = m2
2 ( 6) ( m2) = 12 m2
*
2
a2
a
 2
2
− ab + b =  − b 
4
2

a
a2
Raíz cuadrada de
=
2
4
Raíz cuadrada de b2 = b
Doble producto de esta raíces:
2(
a
) (b) =
2
2ab
= ab
2
Ejercicios:
1. 1 + 14 x 2 y + 49 x 4 y 2
2. 9 − 6 x + x 2
n2
3.
+ 2mn + 9m2
9
2.4.5→. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR COMPLETACIÓN
Este caso se da cuando los trinomios no son exactos para ser T.C.P.
Ejemplos:
* 4a 4 + 3a 2b 2 + 9b 4
1. Se observa si es un T.C.P
La raíz cuadrada de 4 a4 = 2 a2
La raíz cuadrada de 9 b4 = 3 b2
2 ( 2 a2 ) ( 3 b2 )= 12 a2 b2
Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 3a 2b 2 ≠ 12a 2b 2
2. Luego hay que sumarle 9a2 b2 al segundo término para que sea igual a 12 a2 b2,
pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y
quedaría así:
4a 4 + 3a 2b 2 + 9b 4
– 9a 2b 2
+ 9a 2b 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2 = 4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 ) − 9a 2b 2
(
(
2
= 2a 2 + 3b 2 ) − 9a 2b 2
Factorizo la Diferencia de Cuadrados = 2a 2 + 3b 2 − 3ab ) 2a 2 + 3b 2 + 3ab
y por último lo ordeno
= 2a 2 − 3ab + 3b 2 2a 2 + 3ab + 3b 2
Factorizo el T.C.P
(
)(
(
(
)
* c 4 − 45c 2 + 100
1. Se observa si es un T.C.P
La raíz cuadrada de c4 = c2
La raíz cuadrada de 100 = 100
2 ( c2 ) ( 10 ) = 20 c2
Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 45c 2 ≠ 20c 2
2. Luego hay que sumarle 25 c2 al segundo término para que sea igual a
45 c2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma y quedaría así:
c 4 − 45c 2 + 100
– 25c 2
+ 25c 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
c 4 − 20c 2 + 100 − 25c 2 =  c 4 − 20c 2 + 100 ) − 25c 2

2
=  c 2 − 10 ) − 25c 2

Factorizo la Diferencia de Cuadrados = c 2 − 10 − 5c ) c 2 − 10 + 5c
y por ordeno último lo ordeno
= c 2 − 5c − 10 ) c 2 + 5c − 10 )
Factorizo el T.C.P
(
(
Ejercicios:
(
(
)
)
1. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4
2. 4 − 108 x 2 + 121x 4
3. 121x 4 − 133 x 2 y 4 + 36 y8
2.4.6→. TRINOMIO DE LA FORMA X 2 + BX + C
1. Se organiza el trinomio
2. El coeficiente del primer término es 1
3. Se descompone en dos factores binomios y al comienzo de cada uno de ellos se
escribe la raíz cuadrada del primer término.
4. Se buscan dos cantidades que al multiplicarse den el tercer término y al sumarse den
el segundo término
Ejemplos:
* Factorar: m 2 − 17 m − 60
Se halla la raíz cuadrada del primer término m2 = m
El trinomio se decompone en dos binomios: ( m
) (m
)
Se busca dos números cuya diferencia es 17 y cuyo producto es 60.
En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –17x lo tiene, luego
en el segundo paréntesis se coloca el signo positivo porque al multiplicar el
signo del segundo término con el signo del tercer término nos da positivo.
Se descompone en sus factores primos al tercer término:
60 ↓ 2
30
↓ 2
15
↓ 3
5
↓ 5
1
↓
2 x 2 x 5 = 20 y 3
Rta :
(m
– 20 ) ( m + 3 )
* Factorar: 28 + a 2 − 11a
Se organiza el trinomio: a 2 − 11a + 28
Se halla la raíz cuadrada del primer término a2 = a
El trinomio se descompone en dos binomios: (a
) (a
)
Se busca dos números cuya diferencia es 11 y cuyo producto es 28.
En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –11x lo tiene, luego
en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el signo del
segundo término con el signo del tercer término nos da negativo.
Se descompone en sus factores primos al tercer término:
28 ↓ 2
14
↓ 2
7
1
↓ 7
2x2=4 y 7
Rta :
( a – 4 ) (a – 7 )
* Factorar: x 2 + 2ax − 15a 2
Se halla la raíz cuadrada del primer término x2 = x
El trinomio se descompone en dos binomios: (x
a ) (x
a )
Se busca dos números cuya diferencia es 2 y cuyo producto es 15.
En el primer paréntesis se coloca el signo positivo ya que 2x lo tiene, luego
en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el signo del
segundo término con el signo del tercer término nos da negativo.
Se descompone en sus factores primos al tercer término:
15 ↓ 3
5
1
↓ 5
Rta :
( x + 5a ) (x – 3a )
Ejercicios:
1. x 2 + 6 x + 8
2. x 2 − x − 2
3. 15 + 2 x − x 2
2.4.7. → TRINOMIO DE LA FORMA
AX 2 + BX + C
donde
A≠1
Se multiplica y se divide al mismo tiempo por el valor de * a *
En el numerador el valor de * a* sólo afecta al primer y tercer término
Luego se factoriza de la forma X 2 + BX + C
Por último se divide por * a * para no alterar el trinomio
* Factorar: 6 x 2 + 7 x + 2
(
6 6x2 + 7x + 2
6
)
=
(6 x ) 2 + 7( 6x ) + 6( 2 )
6
36 x 2 + 7( 6 x ) + 12
6
(
6x + 4 )( 6x + 3 )
=
6
=
2 ( 3x + 2 ) ⋅ 3 ( 2 x + 1 )
6
2x3
= ( 3x + 2 ) ( 2 x + 1 )
=
* Factorar: 5 x6 + 4 x3 − 12
(
5 5 x 6 + 4 x 3 − 12
5
)
2
 5 x 3  + 4 5 x 3  − 5(12 ) 25 x 6 + 4 5 x 3  − 60





=
=
=
5
5
=
(
5 x 3 + 2  5 x 3 − 6


5
)
(
= x3 + 2
)
 5 x 3 + 10  5 x 3 − 6 



5
(5x3 − 6 )
Ejercicios:
1. 3x 2 − 18x − 165
2. 2ax2 − 8ax − 24a
3. 20 x 2 + 7 x − 6
2.4.8→. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS: a3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 = ( a ± b
)3
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Tener cuatro términos
2. Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos
3. Qué el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicando por la raíz cúbica del última.
4. Qué el tercer término sea más triple de la raíz cúbica del primer término por el
cuadrado de la raíz cúbica del último.
* 8 − 12a 2 + 6a 4 − a6
La raíz cúbica de 8 = 2
La raíz cúbica de a6 = a2
3 ( 2)2 ( a2 )
= 12 a2
2 2
3 (2) (a )
= 6 a4
Rta
segundo término
tercer término
( 2 – a2 )3
* 125a3 + 150a 2b + 60ab + 8b3
La raíz cúbica de 125 a3 = 5 a
La raíz cúbica de 8b3 = 2 b
3 ( 5 a )2 ( 2 b )
= 150 a2 b
3 ( 2 b )2 ( 5a )
= 60 a b2
Rta
Ejercicios:
( 5a + 2 b )3
segundo término
tercer término
1. 8a3 − 36a 2b + 54ab2 − 27b3
2. 125x3 + 1 + 75 x 2 + 15 x
3. x9 − 9 x6 y 4 + 27 x3 y8 − 27 y12
2.4.9. → SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS:
a 3 + b 3 = ( a + b )  a 2 − ab + b 2 


a 3 − b3 =
( a − b )  a 2 + ab + b 2 )

1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores
x 3 − 27 = ( x − 3
) ( x 2 + 3.x + 3 2 ) = ( x − 3) ( x 2 + 3.x + 9)
La raíz cúbica de x 3 = x
La raíz cúbica de 27 = 3
8 x 3 + y 3 = ( 2 x + 3 y ) [ ( 2 x ) 2 − 2 x ( y ) + y 2 ] = ( 2 x + 3 y ) 4 x 2 − 2 xy + y 2 

*

La raíz cúbica de 8 x 3 = 2 x
La raíz cúbica de y 3 = y
*
m − n


) 3+ 27 =
[ ( m − n ) + 3 ] [ ( m − n ) 2− ( m − n ) ( 3 ) + 3 2 ]
La raíz cúbica de ( m − n )3 = m − n
La raíz cúbica de 27 = 3
Ejercicios:
1. a3 + 27
2. x6 − y9
3. x6 − ( x + 2 ) 3
2.4.10. → SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:
Se debe tener en cuenta:
1. Ambos términos deben tener el mismo exponente
2. Se saca la raíz de cada término
3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a aumentar.
* a 7 + b7 = ( a + b )  a 6 − a5b + a 4b 2 − a3b3 + a 2b 4 − ab5 + b6

)
La raíz séptima de a 7 es = a
La raíz séptima de b7 es = b
* 32 − m5 =
( 2 − m )  24 + 23 m + 22 m2 + 2m3 + m4 )

La raíz qu int a de 32 es = 2
La raíz qu int a de m5 es = m
Ejercicios
1. 1 + 243w5
2. x6 − 64w6
3. a7 + 2187
EXPRESIONES RACIONALES
3.1→MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos.
El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplos:
* Hallar el MCD de ab 2 c, a 2bc
Las letras comunes son a b c. Se toma las letras a, b y c con su menor exponente por
lo tanto su MCD es = a b c
*Hallar el MCD entre 15a 2b 3c, 24ab 2 x, 36b 4 x 2
15a 2 b 3c = 5 • 3 a 2 b 3c
24ab 2 x, = 2. • 2. • 2. • .3 ab 2 x
36b 4 x 2 = 2. • 2. • 3 • .3 b 4 x 2
Por lo tanto el MCD es = 3 b2
* Hallar el MCD entre 2a 2 + 2ab, 4a 2 − 4ab
2a 2 + 2ab = 2a ( a + b )
Por lo tanto el MCD es= 2a
4a 2 − 4ab = 4a ( a − b )
*Hallar el MCD entre 9 x 2 − 1, 9 x 2 − 6 x + 1 |
9x 2 − 1
=
( 3 x − 1 ) ( 3x + 1 )
( 3x − 1 ) ( 3x − 1 )
9x 2 − 6x + 1 =
Por lo tanto el MCD es= 3x – 1
Ejercicios: Hallar el M.C.D
Se factorizan ambos términos
1. x 2 − 4, x 3 − 8
2. 3x 3 + 15 x 2 , ax 2 + 5ax
3.  x 2 − 1
4. 8 x 3 + y 3 , 4ax 2 − ay 2
5. 3x 2 + 3 x − 60, 6 x 2 − 18 x − 24
2
) , x 2 − 4 x − 5, x 4 − 1

3.2→MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos.
El m.c.m es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor
exponente. Ejemplos:
* Hallar el m.c.m de ab 2c, a 2bc
El m.c.m es= a2 b2 c
* Hallar el m.c.m entre 15a 2b3c, 24ab 2 x, 36b 4 x 2
15a 2 b 3c = 5 • 3 a 2 b 3c
24ab 2 x, = 2. • 2. • 2. • .3 ab 2 x
36b 4 x 2 = 2. • 2. • 3 • .3 b 4 x 2
Por lo tanto el m.c.m es = 23 32 5 a2 b4 c x2
= 360 a2 b4 c x2
* Hallar el m.c.m entre 2a 2 + 2ab, 4a 2 − 4ab
2a 2 + 2ab = 2a ( a + b )
Por lo tanto el m.c.m es= 4 a (a + b) ( a–b)
4a 2 − 4ab = 4a ( a − b )
= 4 a ( a2 – b2 )
* Hallar el m.c.m entre 3a 2 x − 9a 2 , x 2 − 6 x + 9 |
3a 2 x − 9a 2
= 3a 2 ( x − 3 |
x − 6x + 9 =
2
)
(x−3 ) (x−3 )
Se factorizan ambos términos
(
Por lo tanto el m.c.m es = 3a 2 x − 3 ) 2
Ejercicios:
1. x 2 − 4, x3 − 8
4. 8 x3 + y 3 , 4ax 2 − ay 2
2. 3 x3 + 15 x 2 , ax 2 + 5ax
5. 3 x 2 + 3 x − 60, 6 x 2 − 18 x − 24
3. x 2 + 2 x, x3 − 2 x 2 , x 2 − 4
6. x3 − y3 , ( x − y ) 3
3.3→OPERACIONES CON FRACCIONES:
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Si es posible, se factorizan los denominadores
2. Se llevan al m.c.m y se efectúan las operaciones indicadas
3. Se unen los términos semejantes
4. Si es posible se simplifica la respuesta.
3.3.1→Suma de fracciones
Simplificar
*
*
x − 2 3x + 2
+
el mcm es 12
4
6
3( x − 2 ) + 2( 3x + 2 )
=
12
3x − 6 + 6 x + 4
9x − 2
=
=
12
12
x + 2 x 2 − 2 2 − x3
+
+
el mcm es 45 x3
2
3
3x
5x
9x
2
15 x x + 2 ) + 9 x x 2 − 2 ) + 5 ( 2 − x3
=
45 x3
(
:
(
)
15 x3 + 30 x 2 + 9 x3 − 18 x + 10 − 5 x3
=
45 x3
=
*
19 x3 + 30 x 2 − 18 x + 10
se reducen a términos semjantes
45 x3
1
x + x2
+
1
+
x+3
1 − x2
x − x2
1
1
x+3
=
+
+
x(1 + x ) x(1 − x ) (1 − x ) (1 + x
el mcm es x (1 + x ) (1 − x )
=
1− x +1+ x + x ( x + 3
x (1 + x ) (1 − x )
x 2 + 3x + 2
=
x (1 − x ) (1 + x )
( x + 2 ) ( x +1 )
=
x (1 − x ) (1 + x )
3.3.2→ Resta de fracciones:
Simplificar
)
) = 1 − x + 1 + x + x 2 + 3x
x (1 + x ) (1 − x )
se simplifica
=
x+2
x (1 − x
)
*
a−3
4 − 3ab 2
−
5ab
3a 2 b 3
3ab 2 a − 3
=
(
=
*
x
−
x −1
=
=
=
)
−5
15a 2 b 3
3a 2 b 2 + 6ab 2 − 20
15a 2 b 3
2
=
el mcm es 15a 2 b 3
( 4 − 3ab )
2
x +1
el mcm es
2
x −1 )
x ( x −1 )
(
( x +1 ) ( x −1 ) 2
x2 − x −
(x
2
+ 2x + 1
( x +1 ) ( x −1 )
x −x −
2
=
3a 2 b 2 − 9ab 2 − 20 + 15ab 2
15a 2 b 3
( x +1 ) ( x −1 ) 2
)
2
x 2 − 2x −1
( x +1 ) ( x −1 ) 2
− 3x − 1
( x +1 ) ( x −1
)2
3.3.3→ Multiplicación de fracciones:
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
a. Se descomponen en factores los términos de las fracciones que se van a multiplicar.
Se simplifica, quitando los factores comunes tanto en los numeradores como en los
denominadores.
b. Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de
simplificar, y este resultado se parte por el producto de las expresiones que queden en
los denominadores
Ejemplos:
Multiplicar:
2a 2
6b 2
12a 2 b 2
*
•
=
= se simplifica
3b
4a
12ab
= ab
2x 2 + x
8
x (2 x + 1)
2 x2 x2
*
•
=
•
6
4x + 2
3x2
2(2 x + 1)
2x
=
3
a 2 − 5a + 6
6a
a 2 − 25
*
•
•
3a − 15
2a − 4
a 2 − a − 30
=
*
(a − 3) ( a − 2)
3(a − 5)
x 2 + 2x
x 2 − 16
•
•
6a
(a − 6) (a + 5)
x 2 − 2x − 8
•
x3 + x 2
=
x( x + 2)
( x − 4) ( x + 4)
=
1
x +1
•
x 2 + 4x
x 2 + 4x + 4
•
Ejercicios:
1
2x 2 + x
8
x
6
4x + 2
a 2 − ab + a − b
3
2.
x
2
2
a + 2a + 1
6a − 6ab
x 3 + 2 x 2 − 3x
2x 2 + 3x
3.
x
4 x2 + 8x + 3
x2 − x
4.
(x - y )3
x
x3 − 1
5.
2a - 2
x
2a 2 − 50
6.
=
a(a − 3)
a−6
x( x + 4
( x + 2) ( x + 2)
(a +
3.3.4→ División de fracciones:
Se debe tener en cuenta:
a. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.
Ejemplos:
Simplificar:
x2
2x
x 2 y 3 xy
÷
=
⋅
=
*
3y 2 y 3 3y 2 2x 6
factoriza
(a − 5) (a + 5)
2(a − 2)
•
( x − 4) ( x + 2)
x 2 ( x + 1)
se
x2 + x +1
( x − y)2
a 2 − 4a − 5
3a + 3
a
a
) (a )
b
b +1
*
*
x3 − x
2x 2 + 6x
÷
x 2 − 6x + 9
4x 2 − 1
5x 2 − 5x
2x + 6
x3 − x
2x + 6
•
2x 2 + 6x
5x 2 − 5x
x (x 2 − 1 )
2 (x + 3 )
=
•
2 x (x + 6 )
5 x (x-1 )
x (x-1 ) (x + 1 )
2 ( x + 3)
=
•
2 x (x + 3 )
5 x ( x-1 )
x +1
=
5x
=
x 2 + 5 x − 24
=
3
2 x + 17 x + 8
÷
=
x 2 − 6x + 9
4x 2 − 1
⋅
2 x 2 + 17 x + 8
x 2 + 5 x − 24
( x − 3)( x − 3) ⋅ ( x + 8)( 2 x + 1) = x − 3
( 2 x − 1)( 2 x + 1) ( x + 8)( x − 3) 2 x − 1
Ejercicios:
Simplificar:
1.
15m 2
20y 2
÷
19ax3
38a3 x 4
2.
x -1
2x - 2
÷
3
6
15x 2 + 7 x − 2
3.
÷
25 x3 − x
4.
5.
6x 2 + 13 x + 6
25 x10 x + 1
 3x
8y 
z2
 ÷
1. 
x
9x  3x 2
 4y
3.
a 2 − 5a
b + b2
 a 2 + 6a − 55
ax + 3 a 
÷ 
x

b2 − 1
ab2 + 11b 2 

(a 2 − 3a )2 x
27 - a 3
a + 3) 2 − 3a
9 - a2
 x 4 − 27 x
4. 
x
 x 2 + 7 x − 30

x3 - 1
7x 2 + 7 x + 7
÷
2x 2 − 2 x + 2
7 x3 + 7
6. ( x -
Ejercicios:
2.
ax 2 + 5
a 3 x 2 + 5a 2
÷
2a − 1
4a 2 − 1
a 4 − 9a 2
÷
(a 2 + 3a ) 2
x 2 − 20 x + 100 
x 2 − 100
÷
x−3
x3 + 3 x 2 + 9 x 
2
x
) ÷ (x )
x +1
x +1
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
4.1→POTENCIACIÓN
4.1.1 →EL CONCEPTO DE POTENCIA
Consideremos los siguientes productos
5 × 5× 5 ×5
2× 2× 2× 2× 2× 2
11 × 11 × 11 × 11× 11
a × a × a × a × ...... × a
,        
,         
y          ;
6 factores
5 factores
4 factores
nfactores
Observemos que en cada producto todos los factores son iguales.
Así como la multiplicación es una suma repetida, también el producto repetido lo podemos
expresar de una manera simplificada por una nueva operación llamada potenciación.
Multiplicación
Potenciación
5+5+5+5=5x4
5 x 5 x 5 x 5 = 54
2+2+2+2+2+2=2x6
11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5
En general
a + a + a + …….+ a = a x n veces
a x a x a x ……..x a = an
donde,
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 115
n sumandos
n factores
54 se lee “5 elevado a la cuarta potencia” o “5 a la cuarta”
26 se lee “2 elevado a la sexta potencia” o “2 a la sexta”
115 se lee “11 elevado a la quinta potencia” o “11 a la quinta”
y en general:
a n se lee “a elevado a la enésima potencia” o “a a la enésima”
Definición:
Se llama potencia enésima de un número entero a,
al producto de n factores iguales a a.
Al expresar esta definición de una manera simbólica, tenemos
donde:
a se llama base
n se llama exponente
el resultado a n se llama potencia
la operación se llama potenciación
4.1.2. Propiedades de la potenciación
1.
2.
3.
4.
5.
9.
6.
7.
8.
Ejemplos:
1.
(
)(
)
75 × 42 × 33 × 7 × 44
75 × 7 42 × 44 × 33 75+1 + 42+ 4 × 33 76 × 46 × 33
=
=
=
73 × 3 × 45
73 × 3 × 45
73 × 3 × 45
73 × 3 × 45
= 76−3 × 46−5 × 33−1 = 73 × 4 × 32 = 343 × 4 × 9 = 12348
2.
6 −2 a −1b 3c −5
=
2 −3 ab −1c −2
1 1 3 1
× ×b ×
c5 =
62 a
1
1 1
×a× ×
3
b c2
2
b3
36ac 5 =
a
8bc 2
a
a
2
2
2


b  a −b
a −b  a −b
 1 a − a 
 1  a 

 a +b 



=  x a +b 
=

 x











3. 



a +b
a +b
 1 
 a +b 
= x
= x a +b = x





8b 4 c 2
=
36a 2 c 5
2b 4
9a 2 c 3
 a −b   a + b 








× a 
 1 
a
a −b
 a +b 

 x










1
−1  1 − 4

 4
1
−1
−1
 a2 
1 
1
1+1  4
 1

 4

2

 2 ×a × 3 
 (16 ) − 2 a 2 b −3 
 81a 2 2 
3 
16
b
256
b

4. 

= 
=
=

1 
6 
 b3 
1
1
3 
−

256
b


×
×
b
−1


1
 81

 ( 81) a 2 b3 


1 



2
a

 81a 2 
−1
 81a  4
=
=

6
256
b


=
6
4 256 × b 4
1
4 81 × a 4
=
1
1
 81a  4


 256b6 
3
4b 2
1
3a 4
1
=
(
1
( 81a ) 4
1
6
256b 4
=
1 6× 1
256 4 × b 4
)
1 1
814 a 4
Ejercicios:
Simplificar y expresar con exponentes positivos
83
1. 3
4
5
2.  
6
2x 2 y 4
3.
− 3x 4 y 3
4.
 a −1b 2 c −2
5.  2 4 −3
a b c
 a 2 n +1 
7.  n +1 
a 



−5
4
8m 5
24n 3
(
6. x a y − b
1/ n
8.
 a b + d
11.  b − d
 a
12.
) (x
3
3
y2
3 n + 4 − 6 × 3 n +1
3n+ 2 × 7
)
−a
b
 b
 a + d

(
)
b −d
 ad
 b
a



d



1/ b
2 n +3 − 2 n + 7
2 n +1 − 2 n + 1
(
2 n * 4 n +1 9 2 n 36 2 2 n + 4 n
×
×
13.
16
3 * 8n
( 81) n


x 
14. 
1 
 x a +1 


1
a −1
)
−3
a 2 −1
a
4.2→EXPRESIONES RADICALES
4.2.1→Raíces cuadradas:
El número y es una raíz cuadrada de x cuando y 2 = x
Todos los números positivos tienen dos números reales que son sus raíces cuadradas:
uno positivo y otro negativo. El único número con una sola raíz cuadrada es 0, cuya raíz
cuadrada es 0.
Signo radical al símbolo
, y al número x que se encuentra bajo el signo radical lo
llamaremos radicando.
El grado de un radical es el índice de la raíz.
Ejemplo:
*
=1
1
*
144 = 12
* −
16
4
=−
81
3
0,0009 = 0,03
*
La raíz cuadrada de todo cuadrado entero es un racional: 4 = 2
1600 = 40
Las raíces cuadradas de muchos enteros positivos no son números racionales, por
ejemplo: 13 ≈ 3,6055
Las raíces cuadradas de números negativos no son números reales.
Ejemplo :
− 4 no es un número real, ya que ningún número real elevado al cuadrado
es igual a –4. Estas raíces cuadradas de números negativos originan el conjunto llamado
Números Imaginarios.
Simplificar un radical es llevarlo a su más simple expresión.
4.2.2→Propiedades de los Radicales:
m
m
n
1.
a = a n
8
4 8
⇒
2 = 2 4
⇒ 3 (8
2. n a b = n a n b
1
na
a
a n
3. n
=
=
nb
1
b
b n
⇒ 6
=
4. m
na
=
m•n
a
) ( 27 )
= 22 =
4
= 3 8 • 3 27 = 2 • 3 = 6
6 125 z 6
125 z 6
=
6 64 b 3
64 b 3
(
53 z 6
(
26 b3
⇒ 4
1
)
)
1
3 216 b 9
6
5 6 z6
6
3
2 6 b 6
3
6
=
6
=
1
5 2 Z
1
2b 2
9
= 4 • 3 216 b =
= 12 63 b 9
3
9
= 6 12 b 12
3
1
= 6 4 •b 4
4.2.3→Raíces cuadradas de expresiones con variables:
Ejemplo :
*
w4 = w2
*
81 x 6 = 9 x3
*
(x +6 )4 = (x +6 ) 2
4.2.4→Raíces cúbicas:
La raíz cúbica de x es cualquier número cuyo cubo sea x, y se representa por
3 x=y
si
y3 = x
Ejemplo :
8 z3
2z
3
*
=
9
64 b
4 b3
* 3 27 a 6 = 3 a3
*
3
(5 5 )
2
= 3 52
( 5)
2
* 3
− 125 x3 = − 5 x
= 3 5 2 ⋅ 5 = 3 53 = 5
4.2.5→Raíces enésimas:
Ejemplo :
7
 − 2 w 2  = − 2 w2




4.3→OPERACIONES CON RADICALES:
4.3.1→Suma y Resta de Expresiones Radicales:
Se llaman radicales semejantes a las expresiones que tienen radicales con el mismo
índice y el mismo radicando, y luego se escriben los radicales no semejantes con su
propio signo.
Ejemplo:
* 12 2 + 4 2 − 7 2 = 2 (12 + 4 − 7 )
factor común
* 7 − 128w14 =
7
= 9 2
* 6 3 16 − 7 3 24 = 6 3 8 • 2
− 7 38 • 3
= 6 3 23 • 2 − 7 3 2 3 • 3
3
3
= 6 23 • 3 2 − 7 23 • 3 3
= 6• 2•32 − 7• 2•33
= 12 3 2 − 14 • 3 3
* 4 48
− 4 243 − 4 768
= 4 2 4 • 3 − 4 34 • 3 − 4 2 4 • 2 4 • 3
4
4 4 4 4 4
4
= 4 3 2 4 − 34 4 3 −
2
2
3
= 2 43 − 3 43 − 2 • 2
3
= −5 43
4.3.2→Multiplicación de Expresiones con radicales:
Se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, para multiplicar
los coeficientes y las cantidades radicales entre sí, por último se simplifica el resultado.
Ejemplo:
* 6 8 • 5 3 = 30 8 • 3 = 30 2 2 • 2 • 3 = 30 • 2 2 • 3 = 60 6
(
* 5 3 2 +5 2
*
(4
18 − 2 5
)
) (7
= 10 3 + 25 3 2 = 10 3 + 25 6
5+2
) = 28
18 • 5 + 8 18 − 14 25 − 4 5
= 28 9 • 2 • 5 + 8
Ley distributva
9 • 2 − 14 • 5 − 4 5
= 28 • 3 10 + 8 • 3 2
− 70 − 4 5
= 84 10 + 24 2 − 70 − 4 5
4.3.3→División de Expresiones con radicales:
Se dividen los coeficientes y las cantidades radicales entre sí, colocando el último
cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
Dividir
1.
4 6
2 3
4
2
:=
6
3
75 x 2 y 4
2.
=
2 2
÷ 5 3 xy =
75 x 2 y 4
5
=
3 xy
1 75 x 2 y 4 1
=
5
3 xy
5
25 xy 3 =
1
• 5y
5
xy
= y xy
RACIONALIZACIÓN
Para dividir expresiones con radicales debemos racionalizar el denominador de una
fracción para reemplazarlo por un número racional, es decir desaparece todo signo
radical. Para eliminar el radical en el denominador, multiplicamos tanto el numerador
como el denominador por un número que produzca un cuadrado perfecto en el radical del
denominador.
Ejemplo:
6
6
5
*
=
•
se multipica el numerador y el denominador por 5
5
5
5
6 5
=
*
7
8
25
7
=
6 5
5
=
•
8
7•8
=
=
56
=
8
2 14
=
8
14
4
82
Multiplicamos el numerador y el denominador por un número que de un cubo perfecto
bajo el signo radical del denominador
Racionalizar:
*
8
33
8
8
= como el denominador es una raíz cúbica, multiplicamos el
numerador el denominador por un número que nos
dé un cubo perfecto bajo el signo radical.
8
33
*
35
3 12
Cómo 3 . 9 = 27 que es un cubo perfecto, ese número es
39
839
839
8
=
•
=
=
33
39
3 27
3
39
= Como 216 es el mínimo cubo perfecto divisible
entre 12 ( 216 ÷ 12 =18), al multiplicar el numerador y el denominador
por 3 18 obtendremos el mínimo cubo perfecto posible bajo el
radical
35
3 12
=
35
12
del denominador.
•
3 18
3 18
=
3 3 • 18
3 216
=
3 3 • 32 • 2
6
=
332
6
=
32
2
7 x2 y3
2 x2 y 4
*
7
2y
=
7
2y
=
2y
2y
7
•
2y
=
14 y
4 y2
=
14 y
2y
=
4.3.4→Binomios Conjugados
Dos expresiones que contienen radicales de 2º grado como
a+ b ,
a− b ó
viceversa que sólo son diferentes en el signo que une sus términos se dicen que son
Conjugados. El conjugado de a + b es a – b y viceversa. El producto de dos
expresiones conjugadas es un número racional.
2
Racionalizar el denominador de
3+2
2
3 +2
=
(
2 3 −2
=
*
)(
3+2
x −4
x
2
(
)
Se multiplica el numerador y el denominador
)
3−2
por el conjugado del denominador.
)
3 −2
9 −2 3 +2 3 −4
=
=
=
(
(
x −4 ) x +4
x x +4 )
(
2
=
(
)
3−2
3−4
=
2
(
3−2
−1
)
= −2
(
)
x + 4 x − 4 x − 16
x+ 4 x
x − 16
x +4 x
Aún esta expresión final no está simplificada.
Ejercicios:
Simplificar
1. xy 3 9 x 2 y 5

3.  16 z 3

5.
(5
) (6 −
m +2 x
Racionalizar:
3
1.
xy
2.
3.
39
2
5
3 54
)(
4z
)
m −7 x
)
2.
5ab
4.
y4 ( x + y
6.
5.
6.
7.
[ 4 (3 −
5
5 −3
7− 3
3+ 7
4+ z
3z
5ab
x
) (x + y )
) ]2
5
3−2
)
ECUACIONES LINEALES
5.1→ ECUACIÓN LINEAL:
Una ecuación lineal con una variable ( x ) es cualquier ecuación que se pueda escribir de
la forma a x + c = 0
donde a y c son números Reales y a es diferente a 0.
Tanbién se les puede llamar de Primer Grado
Ejemplos:
1.) 2 x + 8 = 10
entonces 2x = 10 – 8
luego 2 x = 2 entonces x = 1
2.)
x + 10 =
1
2
entonces x =
3.) 5 x + 3 = 2 x + 8
luego 3 x = 5
1
– 10
2
donde x = –
19
10
entonces 5 x – 2 x = 8 – 3
5
donde x =
3
Ejercicios: hallar el valor de x
1.) 6 – 4 x = 4 x + 7
2.) 5x + 4 – x = 19
2
3.)
+ 8 x = 12
3
3
7
5.2→ECUACIONES CON UN RADICAL:
Para eliminar el radical, se aplica la regla de potenciación, elevando al cuadrado ambos
lados de la ecuación.
Ejemplo:
4.) – 9x + 12 = – 4x –
* 5 − 3x + 1 = 0 ⇒ 52 =
(
3x + 1
⇒ 25 = 3 x + 1
⇒ 25 − 1 = 3 x
⇒8 = x
*
)2
9 x 2 − 5 − 3x = − 1 ⇒ 9 x 2 − 5 =
elevando al cuadrado
− 1 + 3x
aislando el radical
2
2
⇒  9 x 2 − 5 )
=  3 x − 1 ) elevando al cuadrado


⇒ 9 x 2 − 5 = 9 x 2 − 6 x + 1 Efectuando
⇒ 9x 2 − 9x 2 + 6x = 1 + 5
⇒ 6x = 6
⇒x = 1
Ejercicios:
1.
16 x 4 + 8 x 2 + 5 x
2.
x + x+7
= 2 + 4x 2
= 7
3. . x 2 − 2 x + 1 = 9 − x
4.
5.
6.
x − 16
x+7
+
−
x+8
=−4
x −1 = 6
4 x − 11 = 7 2 x − 29
5.3→ECUACIONES CUADRÁTICAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES
LINEALES
* (2 x − 1) 2 + ( x + 3) ( x − 3) = x(5 x − 5) + 2
4 x 2 − 4 x + 1 + x 2 − 9 = 5 x 2 − 5 x + 2 se resuelve el cuadrado
5x 2 − 4 x − 8 = 5x 2 − 5x + 2
se unen los tér min os semejantes
− 4 x + 5x = 2 + 8
x = 10
Ejercicios, Resuelva la ecuación
1. 7( x − 3) 2 = (7 x − 3) ( x − 4)
2. ( x − 2)2 + ( x + 1) ( x − 1) = 2 x( x − 3) + 1
3. 5 x − (3 x − 9) − [ 4 − 2 x − (6 x − 3) ] = 12