Tarea 11. Estado Sólido

Tarea 11. Estado Sólido 09/Octubre/2008 Mariana Eugenia Farías Anguiano 1. Probar que la solución de la ecuación f 2 − 2 f cos ka + 1 = 0 es f = e ± ika . La ecuación para f , tiene forma de cuadrática, por lo que puede resolverse usando la fórmula general: f =
=
2 cos ka ± 4 cos 2 ka − 4
2
2 cos ka ± 2 cos 2 ka − 1
2
= cos ka ± cos 2 ka − 1
donde cos 2 ka − 1 = − sin 2 ka , la raíz es cos 2 ka − 1 = i sin ka . Sustituyendo esto en la solución para f: f = cos ka ± i sin ka = e ± ika 2. Probar que la función de onda un ( x ) es una función periódica. Que sea periódica significa que esta función cumple con un ( x ) = un ( x + T ) Donde T es el periodo de la onda. La función original es un ( x ) =
e
ik ( a − xn )
sin k xn + e − ikxn sin k ( a − xn )
sin ka
(1.1) Ahora, evaluando la función en x+T: = e −ikT
e
sin k ( xn + T ) + e (
sin ka
ik ( a − xn )
− ik xn +T )
sin k ( xn + T ) + e
sin k ( a − xn − T )
− ik ( xn )
sin k ( ( a − xn ) − T )
(1.2) sin ka
Donde, haciendo la comparación con la ec. (1.1), vemos que son equivalentes si se cumple la condición: 1 ik ( a − xn −T )
Página
un ( x + T ) =
e
Tarea 11. Estado Sólido 09/Octubre/2008 Mariana Eugenia Farías Anguiano T=
2nπ
k
Y para acabar de probar que esta es una función periódica, graficamos en Mathematica para unos valores dados de a=1, k arbitrario. ES periódica!!!! Página
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