Números reales - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Números reales
En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en
matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.
Para simplificar el estudio de los números, los matemáticos los han clasificado de la siguiente
manera:
Números naturales
Son los números que utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se denota por N.
Definición
1
N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · }
Nótese que el cero no es un número natural, porque cuando alguien no posee nada, no tiene
necesidad de contar.
En el lenguaje matemático, escribimos: 1 ∈ N para indicar que el número 1 está dentro del
conjunto de los números naturales, es decir, el número 1 es un elemento de ese conjunto.
El símbolo: ∈ se lee: «...es un elemento del conjunto...»
Para indicar que un número dado NO es un numero natural escribimos, por ejemplo: π ∈
/ N.
Esto nos está diciendo en palabras: «El número π NO es un número natural».
De manera semejante, el símbolo ∈
/ se lee: «...no es un elemento del conjunto...»
Es una buena idea notar que cuando sumamos dos números naturales, el resultado es otro
número natural. Nunca obtendremos un número con decimales.
Números enteros
Es el conjunto formado por todos los números naturales, el cero y los números naturales dotados del signo
negativo. El conjunto de los números enteros se denota por Z.
Comentario
Definición
2
Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Es importante notar que todos los números naturales son también números enteros, pero no todos
los números enteros son números naturales.
Por ejemplo, el número −5 es un número entero que no es un número natural.
De nuevo, cuando sumamos dos números enteros, el resultado es otro número entero.
Comentario
Números racionales
Es el conjunto formado por todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números
enteros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los números racionales se denota por Q.
p
Q = x | x = ; p, q ∈ Z, q 6= 0
q
Definición
3
Algunos ejemplos de números racionales son los siguientes:
1
2
−
3
7
21
22
7
2
1
10
Pero no todas las fracciones se consideran números racionales. Para que un número sea considerado número racional, se requiere que tanto en el numerador como en el denominador tengamos
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un número entero, aunque sea negativo.
Por ejemplo, los siguientes números no son racionales, a pesar de que son fracciones:
1
√
2
√
1− 5
2
10
0
π
4
La palabra «fracción» viene del
latín:
frangere
que
significa
romper, o fractio
acto de romper.
Otra cosa importante consiste en que en el denominador no aparezca el cero. ¿Por qué?
Ya debes saber que no es posible dividir por cero.
Por ejemplo, cuando queremos dividir 10 entre cero, no podemos encontrar una solución.
Cuando dividimos cero entre diez, sí podemos encontrar una solución. Piensa en términos de
manzanas: «si tengo cero manzanas y las voy a repartir entre diez niños, ¿cuántas manzanas les daré a
cada niño?» La respuesta es obvia, como tengo cero manzanas, a cada niño le corresponden cero
manzanas.
Pero el otro caso: «si tengo diez manzanas y las voy a repartir entre cero niños, ¿cuántas manzanas les
daré a cada niño?», tenemos un problema: ¿cómo vamos a repartir las manzanas, si para empezar,
tenemos cero niños?
Observa que cuando dividimos 10 entre 2, buscamos un número que multiplicado por 2, nos dé
como resultado 5.
Cuando dividimos diez entre cero, tenemos que encontrar un número que multiplicado por cero
nos dé como resultado diez. Pero ya sabemos que cualquier número multiplicado por cero es
igual a cero. Esto significa que no podemos encontrar algún número que multiplicado por cero
dé diez. Por eso no podemos realizar la división.
Otro caso aparte es la división cero entre cero. Si buscamos un número que multiplicado por cero
nos dé como resultado cero, vemos que no hay solamente una solución, sino un número infinito
de soluciones, todas distintas. Por ejemplo el número cero, bien sirve como solución de nuestra
división, porque 0 × 0 = 0, pero igual sirve el número 1 como solución, porque 1 × 0 = 0, y así
como cualquier número que se te ocurra.
El problema aquí consiste en que cuando dividimos un número entre otro, siempre obtenemos
una única solución, pero en este único caso, al dividir cero sobre cero, no obtenemos una única
solución, sino muchas.
Es importante mencionar que no es que la solución de esta división sea infinito, porque cuando
dividimos dos números siempre obtenemos como resultado un único número. Infinito no es un
número, sino una expresión que nos dice que algo no tiene fin. Por esta razón, no es correcto
decir que al dividir entre cero obtenemos infinito como respuesta.
Observa que todos los números enteros son números racionales, porque podemos escribirlos con
el denominador igual a 1. Por ejemplo, el número 10, puede representarse como:
10 =
10
∈Q
1
y cumple con la definición de número racional, porque el denominador es distinto de cero.
Comentario
Igual que con los conjuntos de números naturales y enteros, en el conjunto de los números
racionales, cuando sumamos dos de sus elementos, obtenemos otro elemento de Q.
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Números irracionales
Son todos aquellos números que no se pueden escribir como el cociente de números enteros, siendo el
denominador distinto de cero. El conjunto de los números racionales se denota por Q0 .
p
Q0 = x | x 6= ; p, q ∈ Z, q 6= 0
q
Definición
4
Observa que ningún número racional es un número irracional y de manera semejante, ningún
número irracional es un número racional.
Algunos ejemplos de números irracionales son:
√
π,
2,
√
3,
√
6, · · ·
Números reales
Es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números irracionales.
Definición
5
El siguiente diagrama te ayudará a visualizar mejor cómo se relacionan los distintos conjuntos de
números que hemos estudiado:
R
Q
Z
N
Q0
A partir de este diagrama podemos fácilmente darnos cuenta que todos los números naturales
pertenecen al conjunto de los números enteros, es decir, todos los números naturales son también
números enteros.
Pero todos los números enteros son también números racionales, por lo tanto, todos los números
naturales también son números racionales.
Sin embargo, ningún número racional es un número irracional y viceversa. Esto nos indica que
ningún número natural pertenece al conjunto de los números irracionales. Esto mismo ocurre con
los números enteros.
Y es que si un número es racional no puede ser irracional.
Sin embargo, cuando juntamos a todos los números racionales con todos los números irracionales
obtenemos el conjunto de los números reales. Es decir, todos los números que enlistamos (naturales, enteros, racionales e irracionales) son también números reales.
Verifica si es verdadero o falso lo que se dice de los siguientes números.
• El número
√
Ejemplo 1
9 es un número natural.
π
• El número
es un número racional.
2
V
• El número 0 es un número irracional.
F
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F
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1
es un número entero.
5
√
3
es un número racional.
• El número
2
• El número
F
F
• El número π es un número real.
Ejemplo 2
V
Indica en cada caso a qué conjunto debe pertenecer el número que utilizaremos en cada caso.
Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los números reales, así que mejor menciona
otro de los conjuntos.
• Volumen en mililitros de un vaso.
Q
• Área de un círculo de radio 1.
Q0
NoQ
• Peso de una bolsa de frijol con una precisión de gramos.
• Número total de refrescos embotellados en un día en una embotelladora.
N
• Número total de hojas impresas en una fotocopiadora.
N
• Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de hasta centavos de peso.
Q
• Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de miles de pesos.
Z
Q
• Velocidad de un coche.
Comentario
Cuando sumamos dos números reales, cualesquiera que estos sean, el resultado es otro número
real. De manera semejante, cuando multiplicamos dos números reales, el resultado es otro
número real.
Definición
6
Cerradura
Cuando a los elementos de un conjunto se les realiza una operación, y el resultado es algún elemento del
mismo conjunto, decimos que ese conjunto es cerrado bajo esa operación.
Por ejemplo, los números naturales son cerrados bajo la suma, porque cuando sumamos dos
números naturales obtenemos otro número natural.
De manera semejante, cuando multiplicamos dos números naturales, el resultado es otro número
natural. Entonces el conjunto N también es cerrado bajo la multiplicación.
Enseguida se da la lista de las propiedades más básicas de los números reales. Si a, b, c son
números reales, entonces:
Suma
Multiplicación
a+b ∈ R
a+b = b+a
( a + b) + c = a + (b + c)
a+0 = a
a·b ∈ R
a·b = b·a
( a · b) · c = a · (b · c)
a·1 = a
1
a + (− a) = 0
a· = 1
a
a (b + c) = a b + a c
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Propiedad
Cerradura
Conmutativa
Asociativa
Neutro
Inverso
Distributiva
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Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 22 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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