Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Técnicas de integración
En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución.
Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente
se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué regla (fórmula) vamos a utilizar
para derivarla.
Sin embargo, en cálculo integral se trata de otra historia completamente diferente.
Cuando queremos calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que podamos calcular la integral inmediatamente.
Debido a esto se han creado algunos métodos para calcular las integrales de funciones que aparecen frecuentemente.
De estos métodos, los más frecuentemente usados son:
3 Cambio de variable
3 Integración por partes
3 Integración de potencias trigonométricas
3 Sustitución trigonométrica
3 Fracciones parciales
Nosotros vamos a considerar solamente estos métodos para iniciarte en el arte de la integración
de funciones.
Cambio de variable
Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable.
Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en Cálculo diferencial:
Z
f (u( x )) u0 ( x ) dx =
Z
f (t) dt
En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la
diferencial incluye a la derivada de la función u( x ) para que podamos integrar.
Observa que el término u0 ( x ) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la
función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final.
Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un
factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.
Calcula la siguiente integral indefinida:
Z
Ejemplo 1
(5 x − 7)12 dx
• Empezamos definiendo: u( x ) = 5 x − 7, de donde: u0 ( x ) = 5.
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• Sustituyendo estos valores en la integral:
Z
f (u( x )) u0 ( x ) dx =
obtenemos:
Z
(5 x − 7)12
Z
f (t) dt
Z
5
1
(u( x ))12 u0 ( x ) dt
dx =
5
5
• Observa que hemos completado la diferencial multiplicando por 5/5 en el integrando.
• Ahora solamente aplicamos la regla (iv) de integración, y obtenemos:
Z
(5 x − 7)12 dx =
=
=
=
1
(u( x ))12 u0 ( x ) dx
5
1 [u( x )]13
·
+C
5
13
1 (5 x − 7)13
·
+C
5
13
(5 x − 7)13
+C
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Z
En otros casos vamos a tener que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos
ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable.
Calcula la integral:
Z Ejemplo 2
2x
p
x2 + x − 5 +
p
x2 + x − 5 dx
• Factorizando el término común, podemos representar esta integral como:
Z p
• Ahora definimos:
x2 + x − 5 (2 x + 1) dx
u( x ) = x2 + x − 5
u0 ( x ) = 2 x + 1
⇒
• Entonces, la diferencial está completa, y podemos integrar haciendo el cambio de variable
como se acaba de definir:
Z q
Z p
x2 + x − 5 (2 x + 1) dx =
u( x ) u0 ( x ) dx
=
=
Z
(u( x ))1/2 u0 ( x ) dx
u( x )3/2
+C
3/2
3/2
2 x2 + x − 5
=
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3
+C
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Calcula la integral indefinida:
Z
Ejemplo 3
√
dx
2x−1
• Podemos calcular esta integral utilizando la regla (iv) de integración:
Z
√
dx
=
2x−1
Z
(2 x − 1)−1/2 dx
• Pero para eso, debemos hacer las definiciones:
u( x ) = 2 x − 1
⇒
u0 ( x ) = 2
• Sustituyendo estos valores en la regla de sustitución obtenemos:
Z
Z
2
dx
−1/2
√
=
dx
(u( x ))
2
2x−1
Z
1
=
(u( x ))−1/2 u0 ( x )dx
2
=
=
=
1 (u( x ))1/2
·
+C
2
1/2
1 2 (2 x − 1)1/2
·
+C
2
1
√
2x−1+C
Calcula la siguiente integral:
Z
5 x4 − 2 x
√
dx
x x3 − 1
Ejemplo 4
• Observa que el integrando se puede reescribir como:
Z 5 x4 − 2 x
Z 5 x4 − 2 x
√
√
dx =
dx
x x3 − 1
x5 − x2
• Y si definimos:
u( x ) = x5 − x2
tenemos que:
u0 ( x ) = 5 x4 − 2 x
que es precisamente el factor que tenemos en el numerador del integrando.
• Entonces, la diferencial está completa.
• Ahora podemos reescribir la integral como:
Z 5 x4 − 2 x
Z −1/2 √
dx =
x5 − x2
5 x4 − 2 x dx
x5 − x2
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• Y la podemos integrar inmediatamente:
Z 5 x4 − 2 x
Z −1/2 √
dx =
x5 − x2
5 x4 − 2 x dx
x5 − x2
Z
=
(u( x ))−1/2 u0 ( x ) dx
(u( x ))1/2
+C
1/2
p
= 2 x5 − x2 + C
=
Este método será muy útil cuando tengamos una expresión irracional en el denominador del
integrando que no se puede simplificar usando solamente las leyes de los exponentes.
Para esto, nosotros vamos a definir una variable z de manera que nos permita simplificar el
integrando, pero siempre teniendo en cuenta la regla para integrar por el método de cambio de
variable.
El truco para este tipo de integrales es definir z elevado a una potencia que sea igual al índice de
la raíz e igualar esta potencia al radicando (que debe estar en función de x).
Los siguientes ejemplos muestran dos casos.
Calcula la integral indefinida:
Z
Ejemplo 5
dx
√
1+ x
• Como tenemos una raíz en el denominador que no podemos simplificar usando las leyes de
los exponentes, vamos a utilizar el siguiente cambio de variable:
x = z2
⇒
dx = 2 z dz
• Observa que utilizamos z2 porque el índice de la raíz es 2.
√
• Esto nos permitirá sustituir al final x en lugar de z.
• Sustituyendo este cambio de variable en la integral obtenemos:
Z
dx
√ =
1+ x
Z
2 z dz
=2
1+z
Z
z dz
1+z
• Ahora vamos a sumar y a restar 1 en el numerador.
• Esto nos permitirá hacer:
2
Z
1+z−1
dz
1+z
1+z
1
−
dz
1+z 1+z
Z 1
2
1−
dz
1+z
Z
Z
dz
2 dz − 2
1+z
2 z − 2 ln |1 + z| + C
= 2
=
=
=
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• Cambiando la variable z en términos de x, obtenemos:
√
√ 2 z − ln |1 + z| + C = 2 x − 2 ln 1 + x + C
• Entonces,
Z
√
√ dx
√ = 2 x − 2 ln 1 + x + C
1+ x
Como puedes ver, el álgebra nos ayudó a convertir el integrando que obtuvimos después del
cambio de variable a una forma que fuera inmediatamente integrable.
Siempre que utilicemos este método, vamos a requerir de creatividad para saber qué hacer algebraicamente para convertirla a una forma integrable.
No siempre conviene sumar y restar en el numerador o para poder calcular la integral.
Calcula la siguiente integral indefinida:
Z √
√
Ejemplo 6
x+1+1
dx
x+1−1
• Dado que el índice de la raíz es 2, definimos: z2 = x + 1.
√
• Así, z = x + 1, y dx = 2 z dz.
• Ahora sustituimos en la integral y obtenemos:
Z
Z √
Z 2
x+1+1
2 z(z + 1) dz
z +z
√
dx =
=2
dz
z−1
z−1
x+1−1
• Ahora vamos a completar el cuadrado en el numerador.
• Para eso, vamos a sumar 0 = −3 z + 1 + 3 z − 1. Así obtenemos:
2
Z
z2 + z
dz
z−1
z2 + z − 3 z + 1 + 3 z − 1
dz
z−1
Z
( z2 − 2 z + 1) + 3 z − 1
dz
2
z−1
Z
Z
( z − 1)2
3z−1
2
dz + 2
dz
z−1
z−1
Z
Z
3z−1
2 (z − 1) dz + 2
dz
z−1
= 2
=
=
=
Z
• Ya podemos calcular la primera integral.
• Para simplificar la otra integral, vamos a sumar en el numerador: −2 + 2
2
Z
(z − 1) dz + 2
Z
3z−1
dz
z−1
=
=
=
=
=
2 z2
−2z+2
2
(3 z − 3) + 2
dz
z−1
Z
Z
3 ( z − 1)
2 dz
z2 − 2 z + 2
dz + 2
z−1
z−1
Z
Z
dz
z2 − 2 z + 6 dz + 4
z−1
z2 − 2 z + 6 z + 4 ln(z − 1) + C
z2 + 4 z + 4 ln(z − 1) + C
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Z
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• Sustituyendo z en términos de x, encontramos el resultado:
Z √
√
√
x+1+1
√
dx = ( x + 1) + 4 x + 1 + 4 ln
x+1−1 +C
x+1−1
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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