UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FUNDAMENTOS BASICOS DE LAS MAQUINAS Hoja Nº I-74 ELECTRICAS TRIFASICAS Las máquinas eléctricas trifásicas asincrónicas y sincrónicas tienen en el estator el mismo principio constructivo y requieren para la descripción de su comportamiento una serie de fundamentos físicos comunes. Debido a esto es conveniente, tratar dichos aspectos comunes en capítulos introductorias. Esto vale en especial para la constitución de los arrollados trifásicos, los factores de arrollamiento, así como los fundamentos de la Teoría del Campo Rotante. Este es el propósito de las Hojas Auxiliares que se presentan a continuación. Así, el funcionamiento de la máquina asincrónica se basa en la formación de un campo rotante por medio de un arrollado polifásico. Esta máquina tiene como inventores por el año 1885, al italiano Galileo Ferraris y el yugoslavo Nicola Tesla. Fue el también yugoslavo Michael V. Dolivo - Dobrowolski, quien en 1889, utilizando el sistema trifásico; al cual le dió, el nombre de “corriente rotante”, construyó el primer motor asincrónico. Ya a comienzos de 1890 se construía el motor en sus variantes de motor asincrónico con rotor jaula y con rotor de anillos. Las máquinas sincrónicas sin embargo, se construyeron primero como generadores monofásicos, los cuales a partir del siglo XIX (mediados) se utilizaban para alimentar instalaciones de alumbrado. El primer generador trifásico fue desarrollado en 1887 en forma independiente por F.A. Haselwander y Bradley, inicialmente como máquina de polos salientes. Como inventor del rotor liso para la máquina sincrónica (turbo-generador) se tiene en 1901 al Ing. Cahrles E Brown, uno de los fundadores de la empresa suiza BBC (hoy ABB). UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. LA FMM ALTERNA Y SU DESCOMPOSICIÓN EN Hoja Nº I-75 ARMONICAS La figura muestra un dispositivo, consistente de un rotor sin arrollamientos y de un estator, con dos ranuras diametralmente opuestas conteniendo un arrollado de N número de vueltas alimentado por una corriente alterna i Un recorrido a lo largo del camino de integración cerrado que se señala (líneas interrumpidas) enlaza por tanto ó bien la FMM +N.i , ó bien -N.i. Vale por lo tanto: 0 <α <π π < α < 2π FMM(α ) = +N.i FMM (α ) = − N .i Si i es una corriente alterna de la forma i = 2 . I . cos cos ω t Se obtienen para diferentes instantes de tiempo las FMM’es: UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. LA FMM ALTERNA Y SU DESCOMPOSICIÓN EN Hoja Nº I-76 ARMONICAS La distribución espacial de la FMM permanece por lo tanto constante. En cambio su magnitud con su signo varían periódicamente con la frecuencia de la corriente. Se trata por lo tanto de una FMM alterna. La “distribución rectangular”, mediante un análisis de Fourier se puede descomponer en fundamental y armónicas; o sea que la FMM, por ejemplo para el instante t=0 puede ser representada por : [ 4 sen ( 2 g ' − 1).α 2 .I . N ∑ . 2g ' −1 g ' =1 π ∞ ~ FMM (α) = ] 1 ≤ g’ < ∞ _______________________________________________________________ Aquí g’ toma todos los valores enteros positivos. Se obtienen por tanto únicamente armónicas de orden impar. Estas tienen igualmente una distribución constante, pero sinusoidal. Su magnitud varía con la frecuencia de la corriente. A pesar de que la corriente es sinusoidal pura, se originan armónicas. Estas se deben exclusivamente a la disposición en el espacio del arrollado y no a armónicas de la corriente. La representación completa de la FMM alterna será por tanto: ~ FMM (α,t) = [ ] 4 sen ( 2 g ' − 1).α 2 .I . N ∑ . . cos ω t ' ' π − 2 g 1 g =1 ∞ UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. REPRESENTACION DE LA FMM ALTERNA POR DOS Hoja Nº I-77 FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES OPUESTAS En la expresión anterior, α es un ángulo mecánico, ya que lo tenemos que ver con una disposición de “dos polos”. Para disposiciones con “p” pares de polos, hay que sustituir a α por α el = p.α mec . De esta manera, la representación anterior es válida para un par de polos, o sea para 0 ≤α el ≤ 2π . __________________________ DEFINICION DE FMM ROTANTE: Una FMM rotante es una FMM distribuida en el espacio de forma y magnitud constante y la cual se desplaza con una velocidad angular ω*. Con respecto a otro punto de referencia que igualmente se desplaza con una velocidad angular ω*, la FMM rotante permanece constante según forma, magnitud y posición para todos los instantes de tiempo SE PUEDE DEMOSTRAR FACILMENTE QUE….. Una FMM alterna sinusoidal, en especial por ejemplo la fundamental de la FMM alterna rectangular, se puede descomponer en dos FMM’es rotantes sinusoidales. Estas tienen una amplitud de la mitad de la amplitud de la FMM alterna y velocidades angulares opuestas. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. REPRESENTACION DE LA FMM ALTERNA POR DOS Hoja Nº I-78 FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES OPUESTAS Demostración: La ecuación para la fundamental de la FMM rectangular es: FMM~1(α,t) = 2 .I .N . 4 π . sen α . cos ω t con una transformación trigonométrica, se puede escribir: FMM ~ 1 (α , t ) = 1 4 2 .I .N . [sen (α − ωt ) + sen (α + ωt ) ] 2 π UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. REPRESENTACION DE LA FMM ALTERNA POR DOS Hoja Nº I-79 FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES OPUESTAS El primer término corresponde a la FMM rotante de secuencia positiva (en el sentido de las agujas de un reloj), el segundo término corresponde a la secuencia negativa. La velocidad angular de ambas es ω. De la misma forma como la fundamental, también las armónicas de la FMM rectangular se pueden representar por una suma de FMM’es rotantes de secuencia positiva y negativa: Con ello, FMM ~ (α , t ) = 2 2 .I .N π ∞ ∑ g =1 2 1 1 g 1 sen −1 2 g 1 − 1 α − ω t + sen 2 El valor de las velocidades angulares de las armónicas es por tanto g 1 − 1 α + ω t } ω 1 2 g −1 Nota: Cuando la corriente en el arrollado alcanza su valor máximo y con ello la FMM alterna sinusoidal, las dos FMM’es rotantes sinusoidales se superponen y su amplitud está sobre el eje magnético del arrollado. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Hoja Nº I-80 ALIMENTADO POR UN SISTEMA TRIFASICO BALANCEADO El arrollado trifásico consiste de 3 arrollados monofásicos desplazados 120º en el espacio uno del otro. Los comienzos (terminales de entrada) se designan por A,B,C y las salidas por a,b,c. Existen por tanto tres arrollados de fase: A-a B-b C-c 2 Estos arrollados se alimentan con las corrientes alternas, desfasadas en π una de otra: 3 i Aa = 2.I .cos ωt 2 = 2 .I . cos(ωt − π ) 3 4 iCc = 2.I .cos(ωt − 3 π ) Cada arrollado de fase origina una FMM alterna, la cual se deja descomponer en FMM’es rotantes de secuencia positiva y negativa. La superposición de las FMM’es de los tres arrollados de fase proporciona la FMM resultante. i Bb “FMM’es rotantes sinusoidales pueden ser representadas por vectores. Su magnitud es una medida de la amplitud de la FMM, su dirección proporciona la posición de la amplitud “. Las representaciones a continuación son por lo tanto representaciones en el espacio y no diagramas fasoriales. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Hoja Nº I-81 1.- Consideración fundamentales. de las ondas En el instante t=0, la amplitud de la FMM rotante del arrollado de fase A-a cae en el eje del arrollado A-a. Al mismo tiempo, la amplitud de la FMM rotante del arrollado de fase B-b esta todavía retrasada en 120º con respecto al eje del arrollado B-b. Algo análogo se puede decir arrollado de fase C-c. para el Esto significa en consecuencia, que las amplitudes de las FMM’es rotantes de secuencia positiva de los tres arrollados de fase caen en el eje A-a. Como la posición relativa es independiente del instante de tiempo, vale para la suma de las ondas fundamentales de secuencia positiva: FMM 1 positiva = 3 FMMRAa1 Esta es la amplitud de una FMM rotante de secuencia positiva. Consideraciones similares proporcionan: La suma de las FMM’es rotantes de secuencia negativa es cero. FMM1 negativa = 0 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Hoja Nº I-82 2. consideración de la tercera armónica. A la longitud de onda de la fundamental corresponden tres longitudes de onda de una tercera armónica. El desplazamiento en 120º de los arrollados de fase significa para la tercera armónica un desplazamiento de 360º referido a su longitud de onda. Esto quiere decir, que las terceras armónicas se superponen de una forma, como si los 3 ejes de arrollado coincidieran en una sola dirección 2 Debido al desfasaje de las tres corrientes en π , tanto las FMM’es rotantes de secuencia 3 positiva como las de secuencia negativa de los tres arrollados de fase están desplazadas una de otra en 120º referidos a la tercera armónica. De ello se desprende: FMM3 positivo =0 y FMM3 negativa =0 De la misma forma se hacen cero las sumas de las armónicas de orden múltiplo de 3, o sea 3, 9, 15, 21,……. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Maquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Hoja Nº I-83 Para la quinta armónica, el desplazamiento del arrollado de fase B-b respecto al A-a en 120º, corresponde a un desplazamiento de 5.120º Λ 240º Con esto se obtiene: Para las séptimas armónicas es 7.120º Λ 120º. Se obtienen condiciones similares como para la fundamental. FMM7 positivo = 3 FMMRAa7 FMM7 negativo = 0 Resumen: Fundamental Secuencia positiva FMM1pos = 3 FMMRAa1 Secuencia negativa es cero 3ª armónica es cero 5ª armónica Secuencia negativa FMM5neg = 3 FMMRAa5 Secuencia positiva es cero 7ª armónica Secuencia positiva FMM7pos = 3 FMMRAa7 Secuencia negativa es cero. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Hoja Nº I-84 La FMM’es rotantes originadas por un arrollado trifásico también pueden ser determinadas, sin necesidad de obtener antes las FMM’es alternas de cada arrollado de fase. Siendo las amplitudes de las FMM’es rotantes constantes, el cálculo se puede efectuar para un instante de tiempo cualquiera. En un instante determinado se obtiene la FMM resultante en el lugar α como la suma de todas las FMM’es de las ranuras encerradas dentro del camino llevado sobre el diámetro. Ejemplos: (para abreviar la escritura, sea θ r = N . 2 .I ) La forma de la FMM resultante varia entre estas dos formas extremas. La descomposición por Fourier proporciona para todos los instantes de tiempo una onda rotante fundamental y ondas rotantes armónicas de amplitud constante. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Hoja Nº I-85 La desviación de la FMM resultante de la onda fundamental es una medida del contenido de armónicas. La variación de la forma de la FMM resultante es una expresión de la diferente velocidad angular de las armónicas respecto a la fundamental. Hasta ahora solo se ha considerado un arrollado de dos polos para el cual, la onda fundamental se extiende sobre toda la periferia de la máquina. Entonces el ángulo eléctrico es igual al mecánico. En una máquina con p pares de polos, se repite la distribución de la FMM p-veces en la periferia. Por ello el = p. mec . α α La onda fundamental se desplaza durante un periodo en un ángulo eléctrico α = 2π . el Por ello, la velocidad angular mecánica es únicamente 1/p de la velocidad angular eléctrica. En general se tiene para la velocidad mecánica de una onda de orden ν = (6 g ± 1) : (g > 0 ) ω0 p .ν ω mec ν = Como hay N vueltas repartidas en p pares de polos, se obtiene: FMM νR = 3 .2 . 2 π .I . N 1 . P ν UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ARROLLAMIENTOS. Hoja Nº I-86 a) FACTOR DE DISTRIBUCION Si las N vueltas de la disposición en la hoja II-2 se reparten en dos ranuras, las cuales están desplazadas en un ángulo β entre sí, la FMM puede ser determinada de la manera siguiente: Cada par de ranuras origina distribuciones de FMM sinusoidales. Estas se pueden sumar geométricamente: Por ejemplo si las amplitudes de las ondas fundamentales de ambos pares de ranuras están desplazadas en un ángulo β, se obtiene para la amplitud resultante: N 4 β 2 2 . . . . cos = I res1 2 π 2 FMM Esto significa que corresponde a la amplitud de la FMM para una disposición de 1 par de ranuras con N . cos β vueltas. 2 Por ello puede determinarse “el número efectivo de vueltas resultante, de la suma geométrica de los números de vuelta: Para la onda fundamental se obtiene: β sen2. β 2 N N = = . cos N res1 2 β 2sen 2 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ARROLLAMIENTOS. Hoja Nº I-87 FACTOR DE DISTRIBUCION Para las armónicas de orden ν , el ángulo β aparece amplificado en el factor ν y así se obtiene para esta disposición: νβ sen 2 2 N resν 1 = N . νβ 2 sen 2 β= ángulo eléctrico Sea en general m el número de fases, nr el número de ranuras, q el número de ranuras por polo y fase, p el número de pares de polos y N el número de vueltas por fase. (para arrollados normales vale por tanto: q = n r ) 2 pm N El número de vueltas por par de ranuras es: p.q La suma geométrica de los números de vuelta de todos los q pares de ranuras de un polo y una fase, proporciona el número efectivo de vueltas por fase y par de polos. p-veces este valor proporciona el número efectivo de vueltas de una fase del arrollado. Por ello, en el cálculo nos podemos limitar primeramente a un par de polos. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ARROLLAMIENTOS. Hoja Nº I-88 FACTOR DE DISTRIBUCION Vale por tanto: β = p. β mec β N = 2 .OA.sen 2 p.q Con ello se obtiene para la fundamental: Y así: β N * res 1 senq . q 2 = p . AB = p . A 0 . sen . β = N . β 2 q . sen 2 En general, para la armónica de orden ν: * N = N . res ν senq . νβ 2 νβ q . sen 2 ====================================== El espacio que ocupan todas las ranuras consecutivas de un paso polar y una capa, con FMM’es de igual fase, se denomina “zona”. De acuerdo a ello, al ángulo correspondiente βZ se llama “ángulo de zona”. La relación N * res N se llama “factor de distribución” Kd K β Para arrollados trifásicos normales es Entonces se obtiene : K De aquí, para q = ∞ ⇒ 3n dν K = 3n dν senq ν .π dν Z = senq . q.sen = q .β νβ 2 νβ 2 π = * 3 6 ν .β qsen 6q = sen νπ νπ 6 6 *Estos arrollados “normales” se llaman por ello arrollados de número entero de ranuras por polo y fase. UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ARROLLAMIENTOS. Hoja Nº I-89 b) FACTOR DE PASO. FACTOR TOTAL Por lo general se disponen en una ranura los conductores en dos capas, que reciben el nombre de capa superior y capa inferior. La FMM resultante se obtiene de superponer las FMM’es de las dos capas. Si las zonas en ambas capas están desplazadas entre si en un ángulo γ , habrá, de acuerdo a ello, que sumar geométricamente los números de vuelta de las dos capas. Para cada capa de una fase hay N vueltas. 2 El número de vueltas resultante por fase y capa es: N * res 2 = N . 2 K dν En consecuencia, el numero efectivo total de vueltas de ambas capas será, para la fundamental: N res1 = N En forma general se tiene para el factor de paso: K pν = cos * res1 2 νγ 2 .2. cos γ 2 = N .K d 1. cos γ 2 γ → ángulo eléctrico UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ARROLLAMIENTOS. Hoja Nº II-90 FACTOR TOTAL. EJEMPLO De los factores de arrollamiento parciales se obtiene el factor total. KTν = Kdν.Kpν ============= Con ello, para el número efectivo de vueltas de una armónica de orden – ν: Nresν = N. KTν En la disposición práctica de tales arrollados, las vueltas se llevan alternadamente por la capa superior e inferior. Es γ ≠ 0, entonces los conductores que forman una vuelta ya no están separados por el diámetro (eléctrico), sino por una secante. Se habla en este caso de “arrollados con acortamiento del paso”. Para el ejemplo anterior: UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ARROLLAMIENTOS. Hoja Nº I-91 FACTOR TOTAL. EJEMPLO 1 1 2τ p = .π.d = .nr.τr = 2q.m.τ R p p Se tiene: El ángulo de acortamiento γ puede ser expresado de una forma general por: −s τ γ= π τ p p = 1 − 2 νγ En consecuencia es : s π .ν . τ p 2 Para arrollados, que solo originan armónica impares, (con raras excepciones, este es siempre el caso *) se obtiene para el factor de acortamiento de paso: K pν s π = ± sen ν . . τ 2 p γ=impar =========================================== * Esta observación se refiere a arrollados trifásicos -de fase-. No es válida para arrollados jaula de ardilla (rotores). En el caso de arrollados con un número entero de ranuras por polo y fase, solo se originan ν impares.